材料力学 第三章 扭 转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
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T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
p
(rad/m)
[θ]为容许的单位扭转角，可在设计手册中查到。
o /m [ ] =(0.150.3) 精密机器：
一般传动轴： [ ]=(0.32.0)o /m 钻杆：
[ ]=(2.04.0)o /m
例 直径d =100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN· m作 用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大切应力是多少？ T d T T D T D/2
解： 各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN · m
（1）实心圆截面
πd 3 3.14 (100)3 109 m3 WP = = = 1.96 104 m3 16 16
第三章
扭
转
§3-1 概 述
工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕 着杆轴线转动，这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆 件称为轴（shaft）。
外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于 杆轴线的平面内。 变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任 意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角， 用j表示；纵向线也随之转过一角度g。
+ d
1.75
0.95
（2）校核轴的切应力强度
d
AC段截面扭矩绝对值最大
Mx max=1.75 kN· m Mx (kN· m) 1.43
+
轴的最大切应力
1.75
0.95
max =
M x max WP
1.75 103 N m 6 2 = = 71 . 3 10 N/m = 71.3MPa 3 π 0.05 3 m <[τ]=75MPa 16
τu
脆性材料 [τ]=（0.8-1.0）[σ]
例 直径为50mm的实心传动轴。电动机通过A轮输入 功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶 矩分别为TA=3.18kN· m，TB=1.43kN· m，TC=0.80kN· m， TD=0.95kN· m,[τ]=75MPa。 （1）作轴的扭矩图,(2）校核轴的切应力强度。 解： （1）轴的扭矩图 Mx (kN· m) 1.43
§3-4 扭转时材料的力学性能
由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T- j 曲线
δ
r0
T ( 2r0 )r0 = M x = T = 2r02
gl = r0j
r0 g = j l
故可得τ -γ曲线
τp τs
——剪切比例极限
——剪切屈服极限
τ=Gγ
剪切胡克定律
G= E 2(1 )
实心： max = W P
例 两空心圆轴，横截面面积相等，内、外直径比值 分别为0.6和0.8，在相同扭矩作用下，问哪一个的最大切 应力大？ T D1 T 0.6D1
T
D2 0.8D2
T
思考题
Mx G1 1. 横截面上的切应力怎样分布； G2 2. 横截面上两种材料交界处的切应力 是否连续；
线弹性材料，弹性范围内加 载，两种材料共同变形
d
T3
B 解:
lAB
A
lAC
C
AB、AC两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kN· m， Mx2 =0.32kN· m。
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m Mx2 =0.32kN· m lAC=500mm G=80GPa
B
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
A
lAC
C
d=50mm
j AC
320 0.5 M x 2l AC = = 0.0033rad = GI P 9 80 10 0.054 32
dy
τ' τ o τ'
τ
o'
= '
dx
§3-3 圆杆扭转时的变形•扭转超静定问题 一、圆杆扭转时的变形
扭转角：横截面之间的相对角位移。
dj Mx = 单位长度杆相对扭转角 θ = G Ip dx
dx微段相对扭转角
d j = θd xBiblioteka 长l的圆杆两端截面相对扭转角
j =∫ dj = ∫ l
l
0
Mxdx GIp
T
d T （1）实心圆截面
πd 3 3.14 (100)3 109 m3 WP = = = 1.96 104 m3 16 16
max =
M x max WP
10 103 N m 6 2 = = 51 . 0 10 N/m = 51.0MPa 4 3 1.96 10 m
例
画出如图所示圆轴的扭矩图。
T
1
3T
2
T
3
T
A
1
B
2
C
3
D
功率、转速与外力偶矩的关系 W=Tφ φ =ωt P Pt W T= φ = ωt = ω ω =2nπ/60 W P= t
n—转速（转/分），P以kW计，则
P T =9.55 n （kN· m）
§3-2 圆杆扭转时的应力
一、横截面上的应力
T
γ
T
φ
扭矩的计算 扭矩图
1. 扭矩用Mx表示，单位：N· m, kN· m。
2. 符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截 面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正， 反之为负。
3. 计算方法：截面法
扭矩图 以平行于杆轴线的坐标为x坐标，表示横截面 的位臵；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示 各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为扭矩图。
Mx /kN· m
1.43
+ 1.75
x
0.95
2.最大切应力
Mx
max
= 1.75kN m
Mx /kN· m
1.43
+ 1.75
x
0.95
3.14 0.053 WP = = 16 16
d 3
= 24.5 10 m
6
3
max =
Mx
max
WP
1.75 103 = = 71.4MPa 6 24.5 10
c c' d'
d
τ=Gγ
g
剪切胡克定律 G为切变模量
横截面上切应力的分布规律
dj τ ρ =Gγ ρ =Gρ dx 3. 静力学关系 Mx= ∫ Aρτρ dA Mx= ∫
A
o Mx
Gρ2
dj =G ∫ Aρ2dA dx
dj dA dx
τ ρ dA r dA ρ o Mx
令
Ip= ∫ Aρ2dA
截面的极惯性矩
dj Ip =G dx GIp ——抗扭刚度
dj Mx = G ∫ Aρ2dA dx 故 dj Mx = G Ip dx M xρ 从而 τ ρ= Ip
Mxr Mx τ max = Ip = Wp Ip Wp = r 称为扭转截面系数
二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算
1. 实心圆截面
Ip= ∫ Aρ2dA dA=2πρdρ Ip = ∫
例 一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力［τ］ =40MPa，切变弹性模量G=8×10MPa，杆的容许 单位长度扭转角［θ］=0.20/m。试求轴所需的直径。
解：（1）轴的扭矩图
Mx (kN· m)
7
+
3.5
+
（2）求直径
max
M x max = [ ] Wp
3. 横截面上两种材料的最大切应力。
d 2d
G2 > G1
三、切应力互等定理
τ' x
dx dy
τ
(a)
o'
o τ'
dx
τ
(b)
∑MO'O=0
( dydz)dx =( ' dxdz)dy
故
= '