材料力学第三章
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材料力学第三章
解 ϕ = Tl0 = M el0 GI p GI p
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学第三章剪切和扭转
T
Ⅰ
T
d1
(a)
l
T (b)
D2
Ⅱ
T
l
36
3.3 等直圆杆扭转时的应力
解：
Wp1
πd13 16
Wp2
πD23 14
16
1,maxW Mpt11
T Wp1
16T πd13
2,ma xW M pt2 2W Tp2πD 2 311T 6 4
D 2 31 4 d 1 3
螺栓连接[图(a）]中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压
缩）。
F
3
3.1 剪切
键连接[图(b）]中，键主要受剪切及挤压。
4
3.1 剪切
剪切变形的受力和变形特点： 作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相 反，作用线相隔很近，并使各自推动的部分沿着与合 力作用线平行的受剪面发生错动。
受剪面上的内力称为剪力； 受剪面上的应力称为切应力；
3.3 等直圆杆扭转时的应力
传动轴的外力偶矩：
已知：
T2
T1
从动轮
n 主动轮
T3 从动轮
传动轴的转速 n ；某一轮上 所传递的功率
NK (kW)
作用在该轮上的外力偶矩T 。
一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所 作的功：
NK60 13 0(J)T2πn(Nm)
33
3.3 等直圆杆扭转时的应力
26
3.3 等直圆杆扭转时的应力
dj M t
d x GI pBiblioteka G djdx
GGMItp
Mt
Ip
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
Mt
O
材料力学：第三章 剪切
F 挤压面上应力分布也是复杂的
F
实用计算中，名义挤压应力公式
bs
Fbs Abs
Fbs
Fbs
Abs d
——挤压面的计算面积
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
挤压强度条件同样可解三类问题 bs 常由实验方法确定
例: 已知： =2 mm，b =15 mm，d =4 mm，[ =100 MPa， [] bs =300 MPa，[ ]=160 MPa。 试求：[F]
第三章 剪 切
一. 剪切的概念和实例 二. 剪切的实用计算 三. 挤压的实用计算
一. 剪切的概念和实例 工程实际中用到各种各样的连接，如： 铆钉
销轴
平键 榫连接
(剪切)受力特点： 作用在构件两侧面上的外力合力大小相 等、方向相反且作用线相距很近。
变形特点： 构件沿两力作用线之间的某一截面产生相 对错动或错动趋势。
F F
剪切面上的内力 Fs （用截面法求）
实用计算中假设切应力在剪切
F
m m
面（m-m截面）上是均匀分布的 F
名义切应力计算公式：
F
m
m
FS
FS m
m
F
Fs
A
剪切强度条件：
Fs
A
——名义许用切应力
由实验方法确定
剪切强度条件同样可解三类问题
三. 挤压的实用计算
挤压力不是内力，而是外力
解： 1、剪切强度
4F πd 2
[
]
F πd 2[ ] 1.257 kN
4
2、挤压强度
bs
F
d
[ ]bs
F d[ ]bs 2.40KN
3、钢板拉伸强度 F
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
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解：1. 当实心轴和空心轴的强度相同 时，两者的抗扭截面系数应该相等
16
D13
16
D3 1 4
于是有
D13 (90)3 (1 0.9444 )
D1 53.1mm 0.0531m
2. 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等 于横截面面积之比。
实心轴和空心轴横截面面积为
A1
D12
4
(0.0531)2
已知：P＝7.5kW, n=10心
圆轴的内外直径之比 = 0.5。二
轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
开口/闭口薄壁杆件扭转比较
总结
1、受扭物体的受力和变形特点
2、扭矩计算，扭矩图绘制
P
P
3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T
IP
max
Tmax Wt
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
Tl
GI P
m ax
Tm a x GI p
• 作业：习题 3-5
•
3-10
•
3-20
例题3.4
2dA
A
2
0
D
2 d
3dd
2
令： 则：
Wt I p /(D / 2)
实心轴与空心轴 I与p W对t比
扭转强度条件
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(Tmax Wt
)max
强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度： max
69.3103 m 69.3mm
7640N m
按刚度条件
d2
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
76mm
d2 76mm 5.选同一直径时
d d1 86.4mm
A
6. 将主动轮安装在两从 动轮之间
C
d1
C d2
M e1
M e2
4580N m 7640N m
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩
由公式 M e 9549P / n
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图 讨论：变换A、D轮的位置， 扭矩将如何变换？
MB
MC
MD
MA
Tmax 1432N m
传动轴上主、从动 轮安装的位置不同， 轴所承受的最大扭矩 也不同。前者的布局 比较合理
汽车传动轴
汽车方向盘
扭转受力特点： 杆件受到大小相等, 方向相反且作用平面垂直于杆件
轴线的力偶作用 变形特点: 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
具有上述特征的变形称为扭转变形。
工程上，以扭转变形为主的杆件称为轴
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： W P 1000(N m)
外力偶作功完成：
W
Me
2
n 60
P
P
2.扭矩和扭矩图
用截面法研究横截面上的内力—— 扭矩
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+), 反之为负(-)
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
dx
d
dx
根据变形后横截面仍为平面、半径仍为直线的假设
距圆心为
处的切应变：
d
dx
也发生在垂直于半径的平面内。
d —— 扭转角 沿x轴的变化率。
dx
2.物理关系
剪切胡克定律： G
距圆心为
处的切应变：
d
dx
距圆心为 处的切应力：
G
G
d
dx
， 垂直于半径
根据切应力互等定理：
D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3 （2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa
满足强度要求
例3.3 如把上例中的传动轴改为实 心轴，要求它与原来的空心轴强度 相同，试确定其直径。并比较实心 轴和空心轴的重量。
Tmax Wt
D3
Wt 16
扭转刚度条件
m ax
Tm a x GI p
Ip
D4
32
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]，设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和，校核刚度 •已知T 和 ，设计截面 •已知D 和 ，确定许可载荷
例题3.6
某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm， 材料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长
度转角 =1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。
max
T Wt
例题3.7 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率
P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，
P3=240kW。已知[τ]=70MPa， =1°/m，G=80GPa。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
dx
令： d 单位长度扭转角
dx
d
T GI p dx
' d T
dx GI p ' T 180
GI p
rad/m ⁰/m
Tl
GI p
l
扭转刚度条件
m ax ——许用单位扭转角
m ax
Tm a x GI p
m ax
Tmax 180o
GI p
扭转强度条件
max
三、切应变 剪切胡克定律
各个截面上只有切应力没有正应力的 情况称为纯剪切
τ
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变
与切应力τ成正比
G —— 剪切胡克定律
G — 剪切弹性模量(GN/m2)
各向同性材料，三个弹 性常数之间的关系：
G E
2(1 )
四、剪切应变能
右侧面的剪力：dydz
d
dy
位移增量：ddx 剪力作的功：dW 1dydz ddx
令：Wt
Ip R
max
TR Ip
—— 抗扭截面系数，m3
公式适用于：
1）等直圆轴
2） max p
max
T Wt
I p 与 Wt 的计算
（1）实心轴
I p
2dA
A
Wt
Ip R
dA dd
I p
2dA
A
2
R 3dd
0
0
R4 D4
2 32
Wt
R3
2
D3
16
(2)空心轴
I p
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
解：1.外力偶矩 ，扭矩
2.扭矩图
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
max
16T
d13
7640N m
4580N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
按刚度条件
Tmax Wt
（2）设计截面： Wt
Tmax
（3）确定载荷： Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动
轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩 T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴的 强度。
解：（1）计算抗扭截面模量 d 0.945
B
C
D
A
T3
MA
A
318N. m
795N. m
1432N. m
• 作业： • 习题：3.1 （c) 3.2
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
现象： 1.方格左右两边发生相对错动， 变成平行四边形； 2.圆筒沿轴线及周线的长度没 有变化。
横截面上只有切应力，没有正应力
采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行 的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分 布。
了一个微小角度；
Me
2. 纵向平行线仍然保持为直线且
pq pq
Me
相互平行，只是倾斜了一个微
小角度;
x
3. 正方形网格加外力偶后变成平
pq
行四边形。
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，
圆轴扭转的平面假设：变半形径后仍仍保保持持为为直平线面；，且形相状邻和两大截小面不间变的，
距离不变。
圆周边缘上的切应变
Me
pq
Me
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q
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p
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——扭转角（rad）