材料力学(I)第三章
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材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第三章 扭转
B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学第三章剪切和扭转
T
Ⅰ
T
d1
(a)
l
T (b)
D2
Ⅱ
T
l
36
3.3 等直圆杆扭转时的应力
解：
Wp1
πd13 16
Wp2
πD23 14
16
1,maxW Mpt11
T Wp1
16T πd13
2,ma xW M pt2 2W Tp2πD 2 311T 6 4
D 2 31 4 d 1 3
螺栓连接[图(a）]中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压
缩）。
F
3
3.1 剪切
键连接[图(b）]中，键主要受剪切及挤压。
4
3.1 剪切
剪切变形的受力和变形特点： 作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相 反，作用线相隔很近，并使各自推动的部分沿着与合 力作用线平行的受剪面发生错动。
受剪面上的内力称为剪力； 受剪面上的应力称为切应力；
3.3 等直圆杆扭转时的应力
传动轴的外力偶矩：
已知：
T2
T1
从动轮
n 主动轮
T3 从动轮
传动轴的转速 n ；某一轮上 所传递的功率
NK (kW)
作用在该轮上的外力偶矩T 。
一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所 作的功：
NK60 13 0(J)T2πn(Nm)
33
3.3 等直圆杆扭转时的应力
26
3.3 等直圆杆扭转时的应力
dj M t
d x GI pBiblioteka G djdx
GGMItp
Mt
Ip
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式
Mt
O
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
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x dφ( x) T ( x) T (t ) φ( x) dt 0 G (t ) dx G ( x) I P ( x) I P (t )
若圆轴在标距为l的两横截面间G、IP、T为
常数，则相对扭转角：
Tl —单位为弧度(rad) j G IP
Tl 180 j —单位为度 (º ) G IP
即受扭圆轴横截面上任一点的 切应力与该点的半径ρ成正比 当ρ=R时,得τmax=GRθ
T
τmax τmax
τmax
即横截面边沿上各点的切应力最大
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
22
(3) 静力学关系
则 T G I P
考虑到
T 即 G IP G I P —抗扭刚度
T
令
——圆截面的极惯性 矩,它是一个与圆面 积有关的几何量
WP ( x) | T ( x) | [ ]
求许可载荷 | T ( x) | WP( x)[ ]
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
31
【例3-3】图示阶梯轴，AB段直径d1=120 mm，BC 段直径d2=100 mm。MA =22 kN· m，MB =36 kN· m， MC =14 kN· m，材料的许用切应力[ ]80 MPa。试 校核该轴的强度。
0 x
m=kx T(x)+dT(x)
T x —
kx2 2
k x2 2
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
§3-4 等直圆杆扭转时的应力· 强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力 (1)变形几何关系 圆轴扭转前的横截面,变形后仍保持为平截面,其形 状和大小不变,半径仍保持为直线,横截面象刚性平 面一样绕轴线转动了一个角度. dx
O R
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
23
T 将 代入 G IP
得
T τmax
τmax τmax τmax τmax
令ρ =R,则
令 ——抗扭截面模量
T τmax
τmax τmax
则
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
24
Ⅱ.极惯性矩IP和 抗扭截面模量WP (1)空心圆截面
(2)实心圆截面
D
d
O
其中
周向线
轴线
纵向线
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
7
推论： (1) 横截面形状和大小不变，即横截面象刚 性平面一样(平截面假定)绕轴线转动； (2) 横截面间的距离不变。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
8
横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且 圆周上所有点的切应力相同； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力，处于纯剪切状态。
e1
1
3
M e 2 M e 3 4774.5 N m M e 4 6366 N m
对调后
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
【例3-2】图示杆受矩集度m=k x的线 性分布力偶作用，试画出杆的扭矩图. m=kx T(x) O x dx
T ( x) dT ( x) m dx T ( x) 0 dT ( x) m dx T ( x) kxdx
Me1 Me2 Me3 n Me4
2
3 1
4
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
【解】1） 计算外力偶矩
pkw M e 9 549 nr / min
M e1 15915 N m M e 4 6366 N m
Me2
Me3 3
Me1
n
Me4
2 M e 2 M e 3 4774.5 N m
y
dz
dy τ左 O τ下
τ右
x
z F S下 F S上 τ上 τ下 τ 左 τ 右 F S左 F S右 F S上 dy F S右 dx
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扭 转
切应力互等定理 ： 在互相垂直的两个平面 上,切应力必然成对存 在且数值相等; 二者都垂直于两平面的 交线,共同指向或共同 背离两平面的交线.
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
1
第 3 章
扭
转
§3-1 概述 §3-2 薄壁圆筒的扭转 §3-3 传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图 §3-4 等直圆杆扭转时的应力· 强度条件 §3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件 §3-6 等直圆杆扭转时的应变能 §3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 *§3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转 时的应力与变形
T 2 A0
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
10
Ⅲ. 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) (1) 薄壁圆筒表面格子的直角均改变了g,这种直 角改变量称为切应变(shearing strain). (2) 圆筒两个端面绕轴线产生了相对扭转动角j. (3) 在假定切应力均匀分布情况下,切应变也均匀,
扭 转
IV. 扭矩图 以横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截面扭矩大 小,并按适当比例绘制出的二维图形. 【例3-1 】 转速 n = 300 r/min ,主动轮1输入功率为 P1 = 500 kW ,从动轮输出功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试画扭矩图.
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
2
§3-1 概 述
M
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
3
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
4
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶。
变形特点: Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线(母线)变成螺旋线；
纵向线
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
5
§3-2 薄壁圆筒的扭转
dA=2πρdρ
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
Ⅲ. 切应力互等定理 FS上=τ上dxdz FS下=τ下dxdz FS左=τ左dydz Me
Me
dx τ上
FS右=τ右dydz
F ix F S下－ F S上＝0 F iy F S左－ F S右＝0 m z ( F i ) F S上 dy－ F S右 dx＝0
3
3
71.3MPa
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
35
§3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件
Ⅰ. 扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的 相对扭转角(相对角位移) j 来度量。 Me Me
g
A D BC
j
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
若圆轴的G(x)、IP (x) 、T (x)为横截面位 置x的连续函数，则相对扭转角：
则 g ρ
dx
即受扭圆轴横截面上任一点的
切应变与该点的半径ρ成正比 当ρ=R时，得γmax=Rθ
A
Tρ
γρ
B dυ
B'
ρ
O Tρ
即横截面边沿上各点的切应变最大
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
（2）物理关系 圆轴处于比例极限 T τmax
τmax τmax τmax τmax
内,由胡克定律知
ρ G g ρ G
故有g =j r0/l,此处r0为薄壁圆筒的平均半径.
材料力学(Ⅰ)电明：当横截面上切应力 不超过材料 的剪切比例极限p时，外力偶矩Me(数值上 等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性关系, 从而可知 与g 亦成线性关系，即：
Gg
—剪切胡克定律
G—材料的切变模量(shear modulus)。
r0 薄壁圆筒通常指 的圆筒 10
当其两端面上作用有外力 偶时，任一横截面上的内 力偶矩——扭矩(torque) T Me
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
6
Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点切应力的变化规律
表面变形情况：
(1) 周向线绕轴线转动,形状及尺寸不变
(2)周向线间的距离保持不变
(3) 纵向线仍为直线,但发生倾斜
3
64.8MPa
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
34
AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm BC段内：
2,max
3）校核强度 2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件.
T2 1410 π Wp 2 100103 16
1 6366 N· m +
-
4
2）画扭矩图 4774.5 N· m
9549 N· m
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
17
【课堂练习】若将
从动轮3与4对调如
图,试作扭矩图.这
Me2 2
Me4 4
Me1
n
Me3
样布置是否合理？ 6366 N· m 对调后 4774.5 N· m + 对调前 + _ _ 4774.5 N· m m 9549 N· m 4774.5 N· 11140.5 N· m M 15915 N m
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
12
§3-3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
Ⅰ. 传动轴的外力偶矩
PkW M eNm 9549 nr/min
P —转轴上输入 或输出功率 n —转轴转速 外力偶矩Me亦称为转矩
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭 转
13
Ⅱ. 扭转时横截面上的内力——扭矩 扭矩符号规定： Me1 Me2 Me3 Me4 Me5
若圆轴在标距为l的两横截面间G、IP、T为
常数，则相对扭转角：
Tl —单位为弧度(rad) j G IP
Tl 180 j —单位为度 (º ) G IP
即受扭圆轴横截面上任一点的 切应力与该点的半径ρ成正比 当ρ=R时,得τmax=GRθ
T
τmax τmax
τmax
即横截面边沿上各点的切应力最大
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扭 转
22
(3) 静力学关系
则 T G I P
考虑到
T 即 G IP G I P —抗扭刚度
T
令
——圆截面的极惯性 矩,它是一个与圆面 积有关的几何量
WP ( x) | T ( x) | [ ]
求许可载荷 | T ( x) | WP( x)[ ]
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31
【例3-3】图示阶梯轴，AB段直径d1=120 mm，BC 段直径d2=100 mm。MA =22 kN· m，MB =36 kN· m， MC =14 kN· m，材料的许用切应力[ ]80 MPa。试 校核该轴的强度。
0 x
m=kx T(x)+dT(x)
T x —
kx2 2
k x2 2
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§3-4 等直圆杆扭转时的应力· 强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力 (1)变形几何关系 圆轴扭转前的横截面,变形后仍保持为平截面,其形 状和大小不变,半径仍保持为直线,横截面象刚性平 面一样绕轴线转动了一个角度. dx
O R
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T 将 代入 G IP
得
T τmax
τmax τmax τmax τmax
令ρ =R,则
令 ——抗扭截面模量
T τmax
τmax τmax
则
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Ⅱ.极惯性矩IP和 抗扭截面模量WP (1)空心圆截面
(2)实心圆截面
D
d
O
其中
周向线
轴线
纵向线
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7
推论： (1) 横截面形状和大小不变，即横截面象刚 性平面一样(平截面假定)绕轴线转动； (2) 横截面间的距离不变。
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8
横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且 圆周上所有点的切应力相同； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力，处于纯剪切状态。
e1
1
3
M e 2 M e 3 4774.5 N m M e 4 6366 N m
对调后
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【例3-2】图示杆受矩集度m=k x的线 性分布力偶作用，试画出杆的扭矩图. m=kx T(x) O x dx
T ( x) dT ( x) m dx T ( x) 0 dT ( x) m dx T ( x) kxdx
Me1 Me2 Me3 n Me4
2
3 1
4
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【解】1） 计算外力偶矩
pkw M e 9 549 nr / min
M e1 15915 N m M e 4 6366 N m
Me2
Me3 3
Me1
n
Me4
2 M e 2 M e 3 4774.5 N m
y
dz
dy τ左 O τ下
τ右
x
z F S下 F S上 τ上 τ下 τ 左 τ 右 F S左 F S右 F S上 dy F S右 dx
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切应力互等定理 ： 在互相垂直的两个平面 上,切应力必然成对存 在且数值相等; 二者都垂直于两平面的 交线,共同指向或共同 背离两平面的交线.
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1
第 3 章
扭
转
§3-1 概述 §3-2 薄壁圆筒的扭转 §3-3 传动轴的外力偶矩· 扭矩及扭矩图 §3-4 等直圆杆扭转时的应力· 强度条件 §3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件 §3-6 等直圆杆扭转时的应变能 §3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 *§3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转 时的应力与变形
T 2 A0
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Ⅲ. 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) (1) 薄壁圆筒表面格子的直角均改变了g,这种直 角改变量称为切应变(shearing strain). (2) 圆筒两个端面绕轴线产生了相对扭转动角j. (3) 在假定切应力均匀分布情况下,切应变也均匀,
扭 转
IV. 扭矩图 以横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截面扭矩大 小,并按适当比例绘制出的二维图形. 【例3-1 】 转速 n = 300 r/min ,主动轮1输入功率为 P1 = 500 kW ,从动轮输出功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试画扭矩图.
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2
§3-1 概 述
M
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3
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4
受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直的平面内受外力偶。
变形特点: Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线(母线)变成螺旋线；
纵向线
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5
§3-2 薄壁圆筒的扭转
dA=2πρdρ
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Ⅲ. 切应力互等定理 FS上=τ上dxdz FS下=τ下dxdz FS左=τ左dydz Me
Me
dx τ上
FS右=τ右dydz
F ix F S下－ F S上＝0 F iy F S左－ F S右＝0 m z ( F i ) F S上 dy－ F S右 dx＝0
3
3
71.3MPa
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§3-5 等直圆杆扭转时的变形· 刚度条件
Ⅰ. 扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的 相对扭转角(相对角位移) j 来度量。 Me Me
g
A D BC
j
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若圆轴的G(x)、IP (x) 、T (x)为横截面位 置x的连续函数，则相对扭转角：
则 g ρ
dx
即受扭圆轴横截面上任一点的
切应变与该点的半径ρ成正比 当ρ=R时，得γmax=Rθ
A
Tρ
γρ
B dυ
B'
ρ
O Tρ
即横截面边沿上各点的切应变最大
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（2）物理关系 圆轴处于比例极限 T τmax
τmax τmax τmax τmax
内,由胡克定律知
ρ G g ρ G
故有g =j r0/l,此处r0为薄壁圆筒的平均半径.
材料力学(Ⅰ)电明：当横截面上切应力 不超过材料 的剪切比例极限p时，外力偶矩Me(数值上 等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性关系, 从而可知 与g 亦成线性关系，即：
Gg
—剪切胡克定律
G—材料的切变模量(shear modulus)。
r0 薄壁圆筒通常指 的圆筒 10
当其两端面上作用有外力 偶时，任一横截面上的内 力偶矩——扭矩(torque) T Me
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6
Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点切应力的变化规律
表面变形情况：
(1) 周向线绕轴线转动,形状及尺寸不变
(2)周向线间的距离保持不变
(3) 纵向线仍为直线,但发生倾斜
3
64.8MPa
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AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm BC段内：
2,max
3）校核强度 2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件.
T2 1410 π Wp 2 100103 16
1 6366 N· m +
-
4
2）画扭矩图 4774.5 N· m
9549 N· m
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【课堂练习】若将
从动轮3与4对调如
图,试作扭矩图.这
Me2 2
Me4 4
Me1
n
Me3
样布置是否合理？ 6366 N· m 对调后 4774.5 N· m + 对调前 + _ _ 4774.5 N· m m 9549 N· m 4774.5 N· 11140.5 N· m M 15915 N m
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§3-3 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
Ⅰ. 传动轴的外力偶矩
PkW M eNm 9549 nr/min
P —转轴上输入 或输出功率 n —转轴转速 外力偶矩Me亦称为转矩
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Ⅱ. 扭转时横截面上的内力——扭矩 扭矩符号规定： Me1 Me2 Me3 Me4 Me5