材料力学第三章
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材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学第三章
解 ϕ = Tl0 = M el0 GI p GI p
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
33
G=
M el0 ϕI p
= M el0 ϕ ⋅ πd 4
=
150 × 0.1× 32 0.012π × 204 ×10−12
= 79.6 GPa
3-8 设有 1 圆截面传动轴，轴的转速 n = 300 r/min，传递功率 P = 80 kW，轴材料的 许用切应力[τ ] = 80 MPa，单位长度许用扭转角[θ ] = 1.0° / m ，切变模量 G = 80 GPa。试
τ max
= Tmax Wp
≤ [τ ]
3-6 金属材料圆轴扭转破坏有几种形式？ 答 塑性金属材料和脆性金属材料扭转破坏形式不完全相同。塑性材料试件在外力偶作 用下，先出现屈服，最后沿横截面被剪断，如图 a 所示；脆性材料试件受扭时，变形很小， 最后沿与轴线约 45°方向的螺旋面断裂，如图 b 所示。
（2）用简化公式
τ max
=
8FD πd 3
=
8 ×1.5 ×103 × 50 ×10−3 π × 83 ×10−9
= 373 MPa
< [τ ],安全。
讨论：由于 c = D d = 50 8 = 6.25 < 10 ,故应用解（1）中修正公式计算（（1）（2）计算
值相差较大）。
3-7 一圆截面等直杆试样，直径 d = 20 mm，两端承受外力偶矩 M e = 150 N⋅ m 作用。 设由试验测得标距 l0 = 100 mm 内轴的相对扭转角ϕ = 0.012 rad，试确定切变模量 G 。
设计轴的直径。
解 T = 9549 × P = 9549 × 80 = 2546 N ⋅ m
n
300
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学：第三章 剪切
F 挤压面上应力分布也是复杂的
F
实用计算中，名义挤压应力公式
bs
Fbs Abs
Fbs
Fbs
Abs d
——挤压面的计算面积
挤压强度条件：
bs
Fbs Abs
bs
挤压强度条件同样可解三类问题 bs 常由实验方法确定
例: 已知： =2 mm，b =15 mm，d =4 mm，[ =100 MPa， [] bs =300 MPa，[ ]=160 MPa。 试求：[F]
第三章 剪 切
一. 剪切的概念和实例 二. 剪切的实用计算 三. 挤压的实用计算
一. 剪切的概念和实例 工程实际中用到各种各样的连接，如： 铆钉
销轴
平键 榫连接
(剪切)受力特点： 作用在构件两侧面上的外力合力大小相 等、方向相反且作用线相距很近。
变形特点： 构件沿两力作用线之间的某一截面产生相 对错动或错动趋势。
F F
剪切面上的内力 Fs （用截面法求）
实用计算中假设切应力在剪切
F
m m
面（m-m截面）上是均匀分布的 F
名义切应力计算公式：
F
m
m
FS
FS m
m
F
Fs
A
剪切强度条件：
Fs
A
——名义许用切应力
由实验方法确定
剪切强度条件同样可解三类问题
三. 挤压的实用计算
挤压力不是内力，而是外力
解： 1、剪切强度
4F πd 2
[
]
F πd 2[ ] 1.257 kN
4
2、挤压强度
bs
F
d
[ ]bs
F d[ ]bs 2.40KN
3、钢板拉伸强度 F
材料力学课件第三章剪切
材料抵抗剪切破坏的最大应力称为剪切强度。
剪切现象
生活中的剪切现象
如剪刀剪纸、锯子锯木头等，都 是典型的剪切现连接处， 由于受到垂直于连接面的力而发 生相对错动。
剪切应力与应变
剪切应力
在剪切过程中，作用在物体上的剪切力与物体截面面积的比值称 为剪切应力。
剪切应变
04
剪切破坏与预防措施
剪切破坏类型
01
02
03
04
脆性剪切
材料在无明显屈服的情况下突 然发生剪切断裂，多发生在脆 性材料中。
韧性剪切
材料在发生屈服后逐渐发生剪 切断裂，多发生在韧性材料中 。
疲劳剪切
材料在循环应力作用下发生的 剪切断裂，多发生在高强度材 料中。
热剪切
由于温度变化引起的剪切断裂 ，多发生在高温环境下。
车辆工程中的剪切问题
航空航天器在高速飞行时，会受到气 动力的剪切效应，影响其稳定性。
车辆在行驶过程中，车体结构会受到 风力、路面等载荷的剪切作用，影响 车辆的安全性和舒适性。
船舶结构中的剪切变形
船舶在航行过程中，会受到波浪、水 流等载荷的剪切作用，影响其结构安 全。
THANK YOU
感谢聆听
患。
05
剪切在实际工程中的应用
建筑结构中的剪切问题
80%
桥梁结构的剪切变形
桥梁在受到车辆等载荷作用时， 会发生剪切变形，影响结构的稳 定性。
100%
高层建筑的剪切力传递
高层建筑中的剪切力对建筑物的 稳定性和安全性具有重要影响。
80%
地震作用下的剪切效应
地震时，建筑结构会受到地震波 的剪切作用，可能导致结构破坏 。
03
剪切与弯曲的关系
弯曲与剪切的相互作用
剪切现象
生活中的剪切现象
如剪刀剪纸、锯子锯木头等，都 是典型的剪切现连接处， 由于受到垂直于连接面的力而发 生相对错动。
剪切应力与应变
剪切应力
在剪切过程中，作用在物体上的剪切力与物体截面面积的比值称 为剪切应力。
剪切应变
04
剪切破坏与预防措施
剪切破坏类型
01
02
03
04
脆性剪切
材料在无明显屈服的情况下突 然发生剪切断裂，多发生在脆 性材料中。
韧性剪切
材料在发生屈服后逐渐发生剪 切断裂，多发生在韧性材料中 。
疲劳剪切
材料在循环应力作用下发生的 剪切断裂，多发生在高强度材 料中。
热剪切
由于温度变化引起的剪切断裂 ，多发生在高温环境下。
车辆工程中的剪切问题
航空航天器在高速飞行时，会受到气 动力的剪切效应，影响其稳定性。
车辆在行驶过程中，车体结构会受到 风力、路面等载荷的剪切作用，影响 车辆的安全性和舒适性。
船舶结构中的剪切变形
船舶在航行过程中，会受到波浪、水 流等载荷的剪切作用，影响其结构安 全。
THANK YOU
感谢聆听
患。
05
剪切在实际工程中的应用
建筑结构中的剪切问题
80%
桥梁结构的剪切变形
桥梁在受到车辆等载荷作用时， 会发生剪切变形，影响结构的稳 定性。
100%
高层建筑的剪切力传递
高层建筑中的剪切力对建筑物的 稳定性和安全性具有重要影响。
80%
地震作用下的剪切效应
地震时，建筑结构会受到地震波 的剪切作用，可能导致结构破坏 。
03
剪切与弯曲的关系
弯曲与剪切的相互作用
材料力学第三章-PPT
Me3
r / min
Me1 15915 N m
2
3
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
Me1 n Me4
1
4
6366 N·m
+
2)画扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
【课堂练习】若将
Me2
Me4
从动轮3与4对调如
18
Me1 n Me3
图,试作扭矩图、
2
BC段内:
2,max
T2 Wp 2
π
14103 71.3MPa 100 103 3
3)校核强度
16
2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件、
36
§3-5 等直圆杆扭转时得变形·刚度条件
Ⅰ、 扭转时得变形
等直圆杆得扭转变形可用两个横截面得
相对扭转角(相对角位移) j 来度量。
GIP
j Tl 180 GIP
—单位为度 (º)
若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常 数,则相对扭转角:
n
j
T i li
—单位为弧度(rad)
i1 Gi I Pi
n
j
T i li 180 —单位为度 (º)
i1 Gi I Pi
39
【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa、试求横截面C 相对于
Me
Me
FS左=τ左dydz
FS右=τ右dydz
材料力学第三章总结
一、剪切：1、受力特征：杆件受到两个大小相等，方向相反、作用线垂直于杆的轴线并且相互平行且相距很近的力的作用。
2、变形特征：：两力之间的截面将发生相对错动，甚至破坏。
3、剪切面：两力作用之间的面（发生错动的面）。
4、剪切的应力：由于螺栓、销钉等工程上常用的连接件与被连接件在连接处都属于“加力点附近局部应力”，应力分布很复杂，很难作出精确的理论分析。
因此，工程设计中，大都采取实用（假定）计算方法。
一、假定应力分布。
二、实验。
由假定应力分布得到破坏时的应力值。
然后由两个假定建立设计准则。
假定：剪切面上的切应力是均匀分布的。
名义剪力：AF s =τ，—A 剪切面面积。
5、剪切的强度条件：[]—ττ≤=A F s 名义许用切应力：在假定的前提下进行实物或模型实验，并考虑安全因数，确定许用应力。
6、可解决三类问题：（1）选择截面尺寸;（2）确定最大许可载荷；（3）强度校核。
7、.剪切的破坏计算：—b s AF ττ>=剪切强度极限。
8、剪切实用计算的关键：剪切面的判定及计算。
（单剪切、双剪切）二、挤压及挤压的实用计算1、挤压：连接件和被连接件在接触面上彼此承压的现象。
2.挤压引起的可能的破坏：在接触表面产生过大的塑性变形、压溃或连接件（如销钉）被压扁。
3.挤压的强度问题：①挤压力bs F ：作用在接触面上的压力。
F F bs =；②挤压面bs A 挤压力的作用面。
③挤压应力bs σ挤压面上由挤压力引起的应力。
④挤压的实用计算：bs bs bs A F =σ；⑤挤压的强度条件：[]—bs bsbs bs A F σσ≤=名义许用挤压应力，由实验测定。
注意：在应用挤压强度条件进行强度计算时，要注意连接件与被连接件的材料是否相同，如不同，应对挤压强度较低的材料进行计算，相应的采用较低的许用挤压应力。
挤压实用计算的关键：挤压面的判定及计算。
4、挤压面面积的计算：（1）平面接触（如平键）：挤压面面积等于实际的承压面积。
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T
max
max
T
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
空心圆截面切应力分布图
29
⒌ 最大切应力
max
令： Wt
max
IP
T max IP
,
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
T Wt
实心圆截面 空心圆截面
30
3 D 16 Wt 3 d4 D (1 4 ) 16 D
8
扭矩图的画法步骤： ⒈ ⒉ ⒊ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受
力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两
侧，并在图上表出数值和正负号。
9
例1 画图示杆的扭矩图 3kN.m 1 5kN.m 2 2kN.m
2 1 3 2
36
（三）、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：
max
T [ ] Wt
其中容许切应力[]是由扭转时材料的极限切应力除以安全 系数得到。
37
(四)、刚度条件
d T dx GI p GI p
(rad/m)
max T (rad/m)
[ ]称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是 / m 则上式改写为
解： AC段：
A 1 C 3kN.m 2 B 2kN.m T2 扭矩图 3kN.m ⊕
○ -
m 0 m 0
T1 3 0; T1 3kN.m
BC段：
T1
T2 2 0; T2 2kN.m
2kN.m
10
三、外力偶矩换算
扭矩是根据外力偶矩来计算，
对于传动轴，外力偶矩可通过
2m
2m
1m
3m
6kN .m
4kN .m
扭矩图
⊕
_ ○
⊕
2kN .m
15
3.3
纯剪切、剪切应力
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
1、实验
D
t
D / t 20
实验现象：
(A)纵向线倾斜了同一微 小角度方格变成了菱形。 (B)圆周线的形状大小及 圆周线之间的距离没变, 只是绕圆筒的轴线发生 了相对转动 16
因此认为切应力在横截面均匀分布
横截面上内力系对O点的力矩为：
2rt r 2r 2 t
设该截面的扭矩为T，则：
T
T 2r 2 t
即：
T 2r 2t
18
说明：根据精确理论分析，上述公式的误差不超过4.52%
二、切应力互等定理
组成顺时针转向力偶，其矩为
( tdy )dx
n D
12
m2
1
m3
2
m1
3
m4
A
1
B
2
C
n 3 D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , m 0 ,
T1 m2 0,
T1 m2 4.78kN m
m 0; T2 m3 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
传递功率和转数来换算。 若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟 功率作功： W 60 P 力偶作功：
W m 2n
60 P m 2n
P m 9549 (N m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（r/min）
11
例2 已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率
27
4、IP 与 Wt的计算 对于实心轴 ：
IP
dA 2
2 A
D 2 0
D d 32
3
4
d
o
dA
IP D 3 Wt R 16
D
D 2 d 2
对于空心轴 ：
IP 2 dA 2
A
( D 4 d 4 ) 3 d 32
o
31
d D
min
例3.2已知:传动轴AB转速n=300r/min,传递的功率P =7.5KW,
AC段为实心圆截面,CB段为空心圆截面,D =3cm,d= 2cm。 求：AC段横截面边缘处切应力及CB段横截面外边缘和内边缘 处的切应力。
（1）计算扭矩 解：
P 7.5 m 9549 9549 199 N m n 360
2、应力分析 取微单元体abcd A、切应力的存在性 由剪切变形可知有切变， 单元体的两侧必然有切应力。
a d
B、正应力不存在
扭转过程中，圆筒的周边 线形状、大小、相邻周边线的 距离都不变， 推论: 无线应变, （轴向或周向）无正应力
b c
a
d
c
17
b
C、切应力大小 （1）由于沿圆周线方向各点的变形相同， 同一圆周线上各点的 r相同，故可认为切 应力沿圆周线处处相等。 （2）又因壁厚很薄，又可近似的认为切 应力沿壁厚方向均匀分布。
o1
o2
a
A
D
b
B’
B
o1
C’
o2
A
D
dB
C B’
b’ d c c’
C
dx ⒈ 变形的几何条件
dx C’
平行四边形ABCD变为AB’C’D ,BC边相对AD错位
BB Rd
'
横截面上B 点的切应变：
BB ' Rd dx dx
24
同理，可求得轴内距离圆心 处的矩形切应变
d
D 4 (1 4 ) 32
IP D 3 Wt (1 4 ) R 16
dA
d 其中 D
极惯性矩的单位：m4
d D
28
同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应 力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的
半径，且与扭矩的转向一致。
组成逆时针转向力偶，其矩为
( tdx )dy
a
d
c
b
m 0
得
( tdx )dy ( tdy )dx 0
在单元体互相垂直的两个平面上，切应力必然成对存在， 且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，它们的方向共 同指向公共棱边，或背向公共棱边。这个关系即切应力互等 定理。 只有切应力而没有正应力，因此称该应力情况为纯剪切。
19
三、剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比 例极限，切应力就与切应变成正 比，如右图，即：
G
其中：G是比例常数，称为剪切弹性模量，上式为剪 切胡克定律。 对于各向同性材料，有：
E G 2(1 )
20
3.4
先看实验
圆轴扭转时的应力和变形
21
（一）、实验与假设
1、实验现象
例
已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，
求最大、最小切应力。 解： max
T T d 4 max Wt 3 D (1 4 ) 16 D 161000 43[1 ( 1 ) 4 ] 2 84.9MPa
T
min
d 1 max 84.9 42.45 MPa D 2
第三章
扭 转
1
教学要求：
1、掌握圆轴扭转时外力偶矩的计算方法，会用截 面法求扭矩已及画扭矩图 2、掌握横截面上的应力以及强度、变形、刚度的 计算
2
3.1、概 述
汽车方向盘
3
丝锥攻丝
4
3.1
概
述
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产 生转动。 受扭转变形杆件通常为轴 类零件，其横截面大都是圆形的。 所以本章主要介绍圆轴扭转。
例3.3 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过 40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 P 7.5 M x T 9549 9549 716.2N m n 100 M x 16M x 实心轴 max1 T T 40MPa Wt1 πd13
2
T
其中
I P 2 dA
A
称为截面对圆心的
极惯性矩。
T GI p
26
于是得横截面上任一点的切应力为
T Ip
式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；
—求应力那点到圆心的距离； Ip—截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意
义。
注意：上面的切应力公式只有在等直圆轴且处于弹 性范围时才能使用
max
T 180 GI p
(/m)
d2＝0.5D2=23 mm
35
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm
d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面 积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ .28 1 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
16 716.2 d1 0.045m=45mm 6 π 40 10
3
34
空心轴
max2
Mx T 16M x 40MPa T 3 Wt 2 πD2 1 4