第3章拉压 材料力学
材料力学第3章 轴向拉压变形
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
结构力学 拉压 课件
目录
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
§2-4 材料拉伸时的力学性质
三 卸载定律及冷作硬化
e P
d
e
b
f
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。
b
a c
s
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
f h
o
d g
目录
3
目录
§2-1
概述
4
§2-1
目录
§2-1
概述
5
目录
§2-1
概述
6
目录
§2-1
概述
7
目录
§2-1
概述
8
目录
§2-1
概述
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为 拉伸
F
压缩
F F
F
9
目录
§2-1
概述
10
目录
§2-2 轴力和轴力图
厦门理工学院土木工程与建筑系 陈昌萍
Email: cpchen@
1
第二章
拉伸与压缩
2
目录
第二章
•§2-1 •§2-2
轴向拉伸与压缩
概 轴 力 和 轴 述 力 图
•§2-3 •§2-4
•§2-5 •§2-6 •§2-7 •§2-8 •§2-9
截
面
上
的
应
力
材料拉伸时的力学性质
材料压缩时的力学性质 拉 压 杆 的 强 度 条 件 拉压杆的变形 胡克定律 拉、 压 超 静 定 问 题 应 力 集 中 的 概 念
(完整版)材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F Aσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F A σσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F A σσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l lδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
材料力学实验(拉压试验)
材料力学实验（拉压试验）拉伸实验一．实验目的：1.学习了解电子万能试验机的结构原理，并进行操作练习。
2.确定低碳钢试样的屈服极限3.确定铸铁试样的强度极限、强度极限。
、伸长率、面积收缩率。
4.观察不同材料的试样在拉伸过程中表现的各种现象。
二．实验设备及工具：电子万能试验机、游标卡尺、记号笔。
三．试验原理：塑性材料和脆性材料拉伸时的力学性能。
（在实验过程及数据处理时所支撑的理论依据。
参考材料力学、工程力学课本的介绍，以及相关的书籍介绍，自己编写。
）四．实验步骤1.低碳钢实验（1）量直径、画标记：用游标卡尺量取试样的直径。
在试样上选取3各位置，每个位置互相垂直地测量2次直径，取其平均值；然后从3个位置的平均值中取最小值作为试样的直径。
用记号笔在试样中部画一个或长的标距，作为原始标距。
（2）安装试样：启动电子万能试验机，手动立柱上的“上升”或“下降”键，调整活动横梁位置，使上、下夹头之间的位置能满足试样长度，把试样放在两夹头之间，沿箭头方向旋转手柄，夹紧试样。
（3）调整试验机并对试样施加载荷：调整负荷（试验力）、峰值、变形、位移、试验时间的零点；根据出加载速度，其中计算为试样中部平行段长度，当测定下屈服强度和抗拉强度时，并将计算结果归整后输入；按下显示屏中的“开始”键，给试样施加载荷；在加载过程中，注意观察屈服载荷的变化，记录下屈服载荷的大小，当载荷达到峰值时，注意观察试样发生的颈缩现象；直到试样断裂后按下“停止”键。
（4）试样断裂后，记录下最大载荷和断口处最小直径。
从夹头上取下试样，重新对好，量取断后标距2.铸铁实验（1）量直径：用游标卡尺量取试样的直径。
在试样上选取3各位置，每个位置互相垂直地测量2次直径，取其平均值；然后从3个位置的平均值中取最小值作为试样的直径。
（2）安装试样：启动电子万能试验机，手动立柱上的“上升”或“下降”键，调整活动横梁位置，使上、下夹头之间的位置能满足试样长度，把试样放在两夹头之间，沿箭头方向旋转手柄，加紧试样。
材料力学课件-第三章-轴向拉压变形
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
Page30
BUAA
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2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
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第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7
材料在拉压时的力学性能
曲线
（4）颈缩阶段DE 应力达到强度极限后，试件的变形开始集中在最弱横截面
附近的局部区域内，出现颈缩现象。
由于局部区域横截面面积显著 减小，使试样继续伸长所需的载荷 也随之下降，应力-应变关系曲线 中用F / A 表示的应力也随之下降， 到E 点，试件在颈缩处断裂。 试件拉断后，断口呈杯锥状。
试件与设备
压缩标准试件 拉伸标准试样
d h
h = (1.5—3.0)d
l 10d 或 l 5d
2
试验设备——万能试验机
变形传感器
工程上材料的品种很多，下面以低碳钢和铸铁为主要代表， 介绍材料在拉伸时的力学性能
3
一、材料在轴向拉伸时的力学性能 低碳钢轴向拉伸时的力学性能 拉伸试验与拉伸图 ( F-Dl 曲线 )
压
拉
b
o
铸铁压缩时的曲线和破坏形状
15
总
结
衡量材料的力学性能的指标主要有：
p , e, s , b , E , ,
衡量材料强度的指标：
s, b
对塑性材料，把屈服极限 s 作为材料的极限应力 对脆性材料，把强度极限 b 作为材料的极限应力 衡量材料塑性的指标：
,
17
13
二、材料在轴向压缩时的力学性能
1、低碳钢轴向压缩时的力学性能 低碳钢是典型的塑性材料,其压缩时的曲线如图所示。最初 阶段应力与应变成正比关系，其压缩时的弹性模量、比例极限及 屈服极限都与拉伸时基本相同。 当应力超过屈服极限后， 试件产生显著的横向塑性变 形，试件越压越扁，横截面 面积不断增大，试样的抗压 能力也持续增强，如果材料 o 塑性好的话，可被压成扁圆 盘而仍不断裂，因此得不到 压缩时的强度极限。
材料力学习题及答案
材料力学-学习指导及习题答案第一章绪论1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。
试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。
解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。
1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。
解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPaτ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。
试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。
图中之C点为截面形心。
解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN其力偶即为弯矩M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m1-4 板件的变形如图中虚线所示。
试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。
解：第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。
解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F(b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F(c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN(d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。
材料力学习题解答[第三章]
![材料力学习题解答[第三章]](https://img.taocdn.com/s3/m/ad0c511fddccda38376bafaa.png)
3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm 2。
解a):MPaMPa1004001040050400102033231=⨯==-=⨯-=σσσ 题3-1a)图 解b):MPa MPaMPa2540010105050400102032231=⨯=-=-=⨯-=右左σσσ MPa MPa 125400105025333=⨯==右左σσ 题3-1b)图3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A 1=200mm 2，A 2=300mm 2，A 3=400mm 2，求杆内各横截面上的应力。
解a ）:MPaMPa MPa10040010407.663001020502001010333231=⨯=-=⨯-==⨯=σσσ题3-2a)图解b):MPaMPa 7540010303.333001010033321-=⨯-==⨯==σσσ题3-2b)图30kN3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm 2，载荷F=200kN 。
试求各杆横截面上的应力。
解:(1)约束反力:kNF F kN F F kN F F AXAY Dy 2001504315043======(2)各杆轴力)(250150200)(150)(200)(1502222压压拉拉kN F F F kN F F kN F F kN F F NCD NAC NAC D NCD AX NAC AY NAB =+=+======= 题3-3图(3)各杆的正应力)(3.8330010250,)(5030010150)(7.6630010200,)(50300101503333压压拉拉MPa MPa MPa MPa AC CDAC AB -=⨯-=-=⨯-==⨯==⨯=σσσσ 3-4钢杆CD 直径为20mm ，用来拉住刚性梁AB 。
已知F=10kN ，求钢杆横截面上的正应力。
解:)(7.112204104.3544.3545cos 1)5.11(232拉MPa d F kNF F NCD CD oNCD =⨯⨯===⨯+=ππσ 题3-4图3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm 和20mm ，试求两杆内的应力。
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FN 10kN
30kN
+
x
+
一
20kN
例3-2竖柱AB如图（3-4a）所示，其横截 面为正方形，边长为a，柱高为h，材料的 体积密度为ρ；柱顶受载荷P作用。试作 出其内力图。
解：对任意截面取上段为研究对象 G = a 2 x 是该段研究对象的自重
FN x = -F - a 2 x 0 x h
第3章 轴向拉伸和压缩
•3.1 轴向拉伸与压缩的概念 •3.2 拉伸与压缩时横截面上的内力——轴力 •3.3 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 •3.4拉伸与压缩时斜截面上的应力 •3.5 拉伸与压缩时的变形 •3.6 静定结构节点的位移计算 •3.7 材料的力学性质 •3.8 轴向拉伸与压缩时的强度计算 •3.9 拉（压）杆的超静定问题 •3.10 应力集中的概念 •3.11轴向拉伸与压缩的变形能
轴向拉伸和压缩
作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
I
50kN 150kN
轴向拉伸和压缩
I
II
100kN
50kN I II
FN1 FN1=50kN
I 50kN FN
II FN2
100kN II
+
100kN
FN2= -100kN
| FN |max=100kN
例3-1试绘出图3-3所示杆的轴力图。已知 F1=10kN, F2=30kN，F3=50kN。 解 （1）计算支座反力
的位移。 解：解题的关键是先准确计算出每段杆的轴力，然后计算 出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D点的位移。 这里要注意位移的正负号应与坐标方向相对应。
P A
a
3P
a
3P D
x
l AB = -
Pa EA
B
C
a
l BC = 0
lCD = 3Pa EA
图5-1
3P
FN图
P
+
+
l AD = l AB + lBC + lCD = -
螺栓的横向变形为
d = 1 d1 = -2.223 10-4 15.3 = -0.0034 mm
3.6 静定结构节点的位移计算
轴向拉伸和压缩
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽钢。
材料均为Q235钢，E=210GPa。已知F=60kN，试计算B点的位移。
A
解：1、计算各杆上的轴力
例 等截面杆A=400mm2，F=50kN，试求斜截面m-m上的正应力与 切应力 解：杆横截面上的正应力
FN - 50103 1 = = = -125MPa A 400
斜截面m-m上的正应力与切应为
50 = 0 cos2 = -125cos2 50 = -51.6 MPa 0 - 125 50 = sin 2 = sin 100 = -61.6 MPa
1 30
60kN 2 20 40kN 3 35 30kN 50kN
轴向拉伸和压缩
FN1 = 0 FN 2 = 60kN FN 3 = 50kN
1
2
60
3 50 20
kN
FN图
+
1 =
FN1 =0 A1
FN 2 60103 4 2 = = = 191 MP a -3 2 A2 (2010 ) FN 3 50103 4 3 = = = 52MP a -3 2 A3 (3510 )
-50kN
F
300 400
FNB = -3F = -150kN
（2） 求各段应力
1 =
FN 1 - 501000 = = -0.87 MP a A1 240 240
C
一
-130kN
240 370
FN B - 1501000 B = = = -1.1 MP a AB 370 370
作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3 截面的应力。
线应变（相对变形）:单位长度的变形
l1 - l l = 轴向(纵向)应变： = l l
d1 - d d = 横向应变： = d d
'
轴向拉伸和压缩 实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数μ----称为
横向变形系数（泊松比）
|' | ' = =| |
= - = -
轴向拉伸和压缩
F F
F
B x
G
Fx = 0
FN x + F + G = 0
FN a a A FN图
-
轴力图如图
h
F+ρa2h
结论(外力法)：杆的轴力等于截面一侧所有外力的代数和，其中离开截面 的外力取正号，指向截面的外力取负号
3.3 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
3.3.1 实验观察与假设
3.1 轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：外力（或其合
力）的作用线沿杆轴线
轴向拉伸和压缩
变形特点：杆件沿轴线方向
伸长或缩短
F
F
F
F
F
F
拉杆
压杆
3.2 拉伸与压缩时横截面上的内力 ——轴力 3.2.1 横截面上的内力——轴力
F
轴向拉伸和压缩
I
II
F
单位：
SFX=0：+FN-F=0
F
I
FN
x
FN=F
N(牛顿)或 kN(千牛)
解： 螺栓的纵向变形为
=
l 0.04 = = 7.41 10 -4 l 54
轴向拉伸和压缩
螺栓横截面上的正应力为
= E = 200 103 7.4110-4 = 148.2 MP a
螺栓的横向应变为
1 = - = -0.3 7.41 10 -4 = -2.223 10 -4
3、计算B点的位移
= -0.6610-3 m = -0.66mm
| B2 B3 |=| BB1 | sin = L1 sin = 1.04mm | B4 B1 |= L1 cos = 1.42mm | B3 B1 |= L2 + | B4 B1 |= 2.08mm | B3 B |=| B3 B1 | ctg = 2.77mm | B2 B =| B2 B3 | + | B3 B |= 3.81mm
例 图示阶梯形圆截面杆，F1=20kN， F2=50kN，d1=20mm，d2=30mm，计 算杆内横截面上最大正应力。 解：1.支反力计算 FR = F2 - F1 = 30kN 2.轴力分析 FN1 = F1 = 20kN
轴向拉伸和压缩
FN 2 = - FR = -30kN
3.应力分析
FN1 4 FN1 4 20103 1 = = = = 63.7MP a A1 d12 202 FN 2 - 30103 4 2 = = = -42.4MP a 2 A2 30
最大正应力
max = 1 = 63.7 MPa
3.4 拉伸与压缩时斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；
轴向拉伸和压缩
斜截面----是指任意方位的截面。 ①全应力：
F
F
p =
F cos = 0 cos A
p
F
②正应力：
FN
= p cos = cos2
2 2
3.5 拉伸与压缩时的变形
3.5.1 变形和应变的概念
轴向拉伸和压缩
杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生 变形。变形后杆长为l1，直径为d1。
F
d1
F
d l l1
1.绝对变形
纵向绝对变形 Δ l= l1-l 横向绝对变形 Δ d= d1 - d
其中：拉应变为正， 压应变为负。
2.相对变形
①
FX = 0 ： - FN 1 cos - FN 2 = 0 FN 1 sin - F = 0 FY = 0 ： FN 1 = 1.67F FN 2 = -1.33F
1.8m
FN 1
FN 2
B
F
C
②
2.4m
B F
2、计算各杆的变形
B1
B3
B2 l 2
F1 A F2 B
轴向拉伸和压缩
F3 FR
C
D
∑Fx=0，-F1+F2- F3+FR=0 得 FR= F1- F2+ F3=10-30+50=30 kN
F1
（2） 分段计算轴力 FN1= F1=10 kN
FN1 F2
FN3
FR
F1
FN2
FN2= F1- F2=10-30 =-20kN FN3= FR=30 kN
4 Pa EA
D点的位移为：
4 Pa EA
例3-4 变截面钢杆受轴向载荷F1=30kN, F2=10kN。轴向拉伸和压缩 杆长l1= l2= l3=100mm，杆各横截面面积分别为 A1=500mm2, A2=200mm2, 弹性模量E=200 GPa。试 求杆的总伸长量。
解 ：⑴计算各段轴力 AB段和BC段的轴力分别为 FN1= F1 -F2=30-10 =20kN FN2= - F2=- 10kN 轴力图如图所示 ⑵计算各段变形
⑶求总变形
l = l AB + lBC + lCD = 0.02 - 0.01 - 0.025 = -0.015 mm
即整个杆缩短了0.015mm
例3-5 图所示连接螺栓，内径d1=15.3mm，被连接部分 的总长度l=54mm，拧紧时螺栓AB段的伸长Δ l=0.04mm， 钢的弹性模量E=200 GPa，泊松比μ =0.3。试求螺栓横 截面上的正应力及螺栓的横向变形。