材料力学第二章 轴向拉压
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
材料力学第二章
钢拉杆
8.5m
解： ① 整体平衡求支反力 q
HA
RA
钢拉杆
8.5m
RB
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
② 局部平衡求 轴力： q HC ③应力： RC
mC 0 N 26.3kN
HA
RA ④强度校核与结论： N
max
N 4P A d2
max 0 /2127.4/263.7MPa
127 .4 a (1cos 2a ) (1cos 60)95.5MPa 2 2
127 .4 a sin 2a sin6055.2MPa 2 2
0
0
§2－4 材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。
由杆2的强度条件得
FN 2 A2 P A2 co sa P 8 8.6kN
(c) 确定许可载荷。 杆系的许可载荷必须同时满足1、2杆的强度要求，所以 应取上述计算中小的值，即许可载荷为[P]=88.6kN
L x A B
分析：
V ABDLBD;
P C
ABD N B / ; LBD h / sin 。
h
D
L x
XA
A
B
YA
NB
P
C
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
PL NBD hcos
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
《材料力学》第2章轴向拉(压)变形习题解答
其方向。 解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：
ασσα20cos = αστα2sin 2 = 式中，MPa mm N A N 1001001000020===σ，把α的数值代入以上二式得：
[习题 2-7] 一根等直杆受力如图所示。已知杆的横截面面积 A 和材料的弹性模量 E 。试作轴力图，并求杆端点 D 的位移。 解： （1）作轴力图
[习题 2-9] 一根直径 mm d 16=、长 m l 3=的圆截面杆，承受轴 向拉力 kN F 30=，其伸长为 mm l 2.2=?。试求杆横截面上的应 力与材料的弹性模量 E 。 解：（1）求杆件横截面上的应力 MPa mm N A N 3.1491614.34 110302 23=???==σ （2）求弹性模量 因为：EA Nl l = ?， 所以：GPa MPa l l l A l N E 6.203)(9.2035902 .23000 3.149==?=??=???=σ。 [习题 2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截 面沿圆周方向的线应变 s ε等于直径方向的线应变 d ε。 （2）一根直径为 mm d 10=的圆截面杆，在轴向力 F 作用下，直 径减小了 0.0025mm 。如材料 的弹性模量 GPa E 210=，泊松比 3.0=ν，试求该轴向拉力 F 。 （3）空心圆截面杆，外直径 mm D 120=，内直径 mm d 60=，材 料的泊松比 3.0=ν。当其轴向拉伸时，已知纵向线应变 001.0=， 试求其变形后的壁厚。 解：（1）证明 d s εε= 在圆形截面上取一点 A ，连结圆心 O 与 A 点，则 OA 即代表直 径方向。过 A 点作一条直线 AC 垂直于 OA ，则 AC 方向代表圆周方向。νεεε-==AC s（泊
《材料力学》第二章
F
F
F
F
横截面上 正应力分
横截面间 的纤维变
斜截面间 的纤维变
斜截面上 应力均匀
布均匀
形相同
形相同
m
分布
F
m
p
Page24
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 s t
n
F p
n p
FN FN p s 0 cos A A / cos
s p cos s 0 cos 2 s t p sin 0 sin 2
二、材料拉伸力学性能 低碳钢Q235
s
D E A
o
线弹性 屈服
硬化
缩颈
e
四个阶段：Linear, yielding, hardening, necking
Page32
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸试验 线性阶段
s
B A
规律：
s Ee （OA段）
变形：变形很小，弹性 特征点：s p 200MPa （比例极限）
应力——应变曲线（低碳钢）
思考：颈缩阶段后，图中应力为什么会下降？
Page37
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
名义应力与真实应力
真实应力曲线 名义应力曲线 名义应力
FN s A
变形前截面积
颈缩阶段载荷减小，截面积也减小，真实应力继续增加
Page38
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢试件在拉伸过程中的力学现象
材料力学应力分析的基本方法：
•试验观察
•几何方程
e const 变形关系
•提出假设
•物理方程
s Ee
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
材料力学-第二章
第二单元第二章 杆件的轴向拉压应力与材料的力学性能§2-1 引言工程实例: 连杆、螺栓、桁架、房屋立柱、桥墩……等等。
力学特征: 构件：直杆外力：合力沿杆轴作用(偏离轴线、怎样处理?)内力：在轴向载荷作用下，杆件横截面上的唯一内力分量为轴力N ，它们在该截面的两部分的大小相等、方向相反。
规定拉力为正，压力为负。
变形：轴向伸缩§2-2 拉压杆的应力一、拉压杆横截面上的应力(可演示，杆件受拉，上面所划的横线和纵线仍保持直线，仅距离改变，表明横截面仍保持为平面)平面假设→应变均匀→应力均匀AN=σ或A P =σ(拉为正，压为负)二、Saint-Venant 原理(1797-1886，原理于1855年提出)问题：杆端作用均布力，横截面应力均布。
杆端作用集中力，横截面应力均布吗? 如图, 随距离增大迅速趋于均匀。
局部力系的等效代换只影响局部。
它已由大量试验和计算证实，但一百多年以来，无数数学力学家试图严格证明它，至今仍未成功。
这是固体力学中一颗难以采撷的明珠。
三、拉压杆斜截面上的应力(低碳钢拉伸，沿45°出现滑移线，为什么?)0cos =-P Ap αα ασ=α=αcos cos AP p ασ=α=σαα2cos cos pασ=α=ταα22sin sin p ()0=ασ=σm ax ()452=ασ=τmax方位角α：逆时针方向为正剪应力τ：使研究对象有顺时针转动趋势为正。
例1和例2，看书p17,18§2-3 材料拉伸时的力学性能(构件的强度、刚度和稳定性，不仅与构件的形状、尺寸和所受外力有关，而且与材料的力学性能有关。
拉伸试验是最基本、最常用的试验。
)一、拉伸试验P18： 试样 拉伸图绘图系统放大变形传感器力传感器--→→→→二、低碳钢拉伸时的力学性能材料分类：脆性材料（玻璃、陶瓷和铸铁）、塑性材料(低碳钢：典型塑性材料)四个阶段：线性阶段（应力应变成正比，符合胡克定律，正比阶段的结束点称为比例极限）、屈服阶段(滑移线)（可听见响声，屈服极限s σ）、强化阶段（b σ强度极限）、局部变形(颈缩)阶段（名义应力↓，实际应力↑） 三(四个)特征点：比例极限、（接近弹性极限）、屈服极限、强度极限(超过强度极限、名义应力下降、实际应力仍上升)。
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
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N or A
N MPa 2 mm
15
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
FN
17
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
32
§2-4 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压杆的变形
节点的位移
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
33
分析两种变形 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
L
L （1）轴向线应变： L （2）虎克定律:
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例 §2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件
§2-3 应力集中概念 §2-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
§2-5 材料在拉压时的力学性质
§2-6 轴向拉压杆系的超静定问题
1
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
9
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A
FA
B
FB B FB FN3
C
FC C FC C FC FN4
D
FD D FD D FD D FD
10
求AB 段内力：
X 0
30
§2-3
应力集中
应力集中概念
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
应力集中因数
max K 0
max－最大局部应力 31 0 －名义应力(净截面上的平均应力）
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当max达到s 后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度
F
25KN
X
4 25103 FN 4F 162 MPa 2 2 3.14 0.014 A d
170MPa 3、强度校核： max 162MPa
此杆满足强度要求，能够正常工作。
23
例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许
FN 1 2F [ t ], [ t ] A1 A1
A1[ t ] F 14.14 kN 2
F [ c ] A2
F A2[ c ] 15.0 kN
25
[ F ] 14.14 kN
例 已知：l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [ ]. 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值.
例 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3，拧紧后，l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力
B
a C
2) 计算：
Fa 3Fa 4 Fa FN L (1). L LAC LAB LBC EA EA EA EA 3Fa (2). B LBC 负值表示位移向下 EA Fa LAB F EA (3). AB LAB a EA 40
1.内力
——
轴力（用FN 表示）
X 0,
FN P 0
FN P
5
例：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。 解： （截面法确定） 1—1 F ①截开。
②代替，FN 代替。 ③平衡， ∑X=0, FN - F = 0, FN = F。 以1－1截面的右段为研究对象： FN
F
8、公式的使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）
16
三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
FN= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 F F F
F
FN
x
p
②应力公式—— FN F F p cos cos A A A cos
21
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
（1）、校核强度——已知：F、A、[ζ ]。求： max ≤
？
FN max ？ max A （2）、设计截面尺寸——已知：F、 [ζ ] 。求：A
解：
FN max 解： max A
A ≥ FNmax／ [ζ ] 。
斜撑杆
26
解：1. 斜撑杆受力分析
M A 0,
FN,max
FN
Fx hcos
Fl h cos
2. q 最佳值的确定
由强度条件
A
FN,max [ ]
，
FN,max Fl Amin [ ] [ ]hcos
VBD Aminl BD
欲使VBD 最小
Fl h 2Fl [ ]h cos sin [ ]sin 2
面沿杆轴线作相对平移
12
横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
13
横向线——仍为平行的直线，且间距减小大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
14
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
5、应力的计算公式：
F
FN
A FN
FN A
or A N
由 x 轴逆时针转到斜截面外法线——“” 为正值；
⑵、σ：同“σ”的符号规定
⑶、τ：在保留段内任取一点，如果“τ”对该点之矩为 18 顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。
3、斜截面上最大应力值的确定
F
FN
x
cos ,
2
2
sin 2
( 1 ) max :
2
活塞杆
厂房的立柱 F
F
3
二、轴向拉压的概念：
外力合力作用线与杆轴线重合。 （1）受力特点：
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。 FN1
B
A C
F FN2 FN1 FN2
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
4
§2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件 一、轴向拉压杆横截面的内力
（3）确定外荷载——已知： [ζ ] 、A。求：F。
FN max 解： max A
FNmax ≤ [ζ ] A。→ F
22
例 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。
F
FN 解：1、轴力FN =F =25kN 2、应力： max
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 l EA EA EA EA
F2 (l1 l2 ) F1l1 l EA EA
39
A a
F 2F 3F
x F
例 ：已知杆件的 E、A、F、a 。
求：△LAC 、δ B（B 截面位移） ε AB （AB 段的线应变）。 解：1)画 FN 图： FN
jx
n
（其中 n 为安全系数,值 ＞ 1）
⑶、安全系数取值考虑的因素：
（a）给构件足够的安全储备。
（b）理论与实际的差异。
20
2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力
max ≤
等直杆： max 变直杆： max
FN max A
FN A max
a a
b b
Biblioteka a1 a
横向变形系数（泊松比）：
35
a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
N i li 1 n l N i li n 3 EA i 1 i 1 EA
n
36
b. 阶梯杆，各段 EA 不同，计算总变形。
FN2
FN 2 FB FC FD 0
FN2= –3F，
求BC段内力：
X 0 FN 3 FC FD 0
FN3= 5F，
求CD段内力：
X 0
FN 4 FD 0
FN4= F
FN1 2F ,
FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
用拉应力 [t ]=200 MPa，许用压应力 [c ]=150 MPa 试求：载荷F的许用值 [F]
24
解：1. 轴力分析
由
F
x
0,
F
y
0
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
2. 利用强度条件确定[F]
（A1=A2=100 mm2，许用拉应力 [ t ]=200 MPa，许用压应力 [ c ]=150 MPa）
N MPa 2 mm
15
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
FN
17
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
32
§2-4 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压杆的变形
节点的位移
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
33
分析两种变形 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
L
L （1）轴向线应变： L （2）虎克定律:
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例 §2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件
§2-3 应力集中概念 §2-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
§2-5 材料在拉压时的力学性质
§2-6 轴向拉压杆系的超静定问题
1
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
9
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A
FA
B
FB B FB FN3
C
FC C FC C FC FN4
D
FD D FD D FD D FD
10
求AB 段内力：
X 0
30
§2-3
应力集中
应力集中概念
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
应力集中因数
max K 0
max－最大局部应力 31 0 －名义应力(净截面上的平均应力）
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当max达到s 后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度
F
25KN
X
4 25103 FN 4F 162 MPa 2 2 3.14 0.014 A d
170MPa 3、强度校核： max 162MPa
此杆满足强度要求，能够正常工作。
23
例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许
FN 1 2F [ t ], [ t ] A1 A1
A1[ t ] F 14.14 kN 2
F [ c ] A2
F A2[ c ] 15.0 kN
25
[ F ] 14.14 kN
例 已知：l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [ ]. 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值.
例 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3，拧紧后，l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力
B
a C
2) 计算：
Fa 3Fa 4 Fa FN L (1). L LAC LAB LBC EA EA EA EA 3Fa (2). B LBC 负值表示位移向下 EA Fa LAB F EA (3). AB LAB a EA 40
1.内力
——
轴力（用FN 表示）
X 0,
FN P 0
FN P
5
例：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。 解： （截面法确定） 1—1 F ①截开。
②代替，FN 代替。 ③平衡， ∑X=0, FN - F = 0, FN = F。 以1－1截面的右段为研究对象： FN
F
8、公式的使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）
16
三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
FN= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 F F F
F
FN
x
p
②应力公式—— FN F F p cos cos A A A cos
21
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
（1）、校核强度——已知：F、A、[ζ ]。求： max ≤
？
FN max ？ max A （2）、设计截面尺寸——已知：F、 [ζ ] 。求：A
解：
FN max 解： max A
A ≥ FNmax／ [ζ ] 。
斜撑杆
26
解：1. 斜撑杆受力分析
M A 0,
FN,max
FN
Fx hcos
Fl h cos
2. q 最佳值的确定
由强度条件
A
FN,max [ ]
，
FN,max Fl Amin [ ] [ ]hcos
VBD Aminl BD
欲使VBD 最小
Fl h 2Fl [ ]h cos sin [ ]sin 2
面沿杆轴线作相对平移
12
横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
13
横向线——仍为平行的直线，且间距减小大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
14
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
5、应力的计算公式：
F
FN
A FN
FN A
or A N
由 x 轴逆时针转到斜截面外法线——“” 为正值；
⑵、σ：同“σ”的符号规定
⑶、τ：在保留段内任取一点，如果“τ”对该点之矩为 18 顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。
3、斜截面上最大应力值的确定
F
FN
x
cos ,
2
2
sin 2
( 1 ) max :
2
活塞杆
厂房的立柱 F
F
3
二、轴向拉压的概念：
外力合力作用线与杆轴线重合。 （1）受力特点：
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。 FN1
B
A C
F FN2 FN1 FN2
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
4
§2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件 一、轴向拉压杆横截面的内力
（3）确定外荷载——已知： [ζ ] 、A。求：F。
FN max 解： max A
FNmax ≤ [ζ ] A。→ F
22
例 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。
F
FN 解：1、轴力FN =F =25kN 2、应力： max
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 l EA EA EA EA
F2 (l1 l2 ) F1l1 l EA EA
39
A a
F 2F 3F
x F
例 ：已知杆件的 E、A、F、a 。
求：△LAC 、δ B（B 截面位移） ε AB （AB 段的线应变）。 解：1)画 FN 图： FN
jx
n
（其中 n 为安全系数,值 ＞ 1）
⑶、安全系数取值考虑的因素：
（a）给构件足够的安全储备。
（b）理论与实际的差异。
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2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力
max ≤
等直杆： max 变直杆： max
FN max A
FN A max
a a
b b
Biblioteka a1 a
横向变形系数（泊松比）：
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a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
N i li 1 n l N i li n 3 EA i 1 i 1 EA
n
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b. 阶梯杆，各段 EA 不同，计算总变形。
FN2
FN 2 FB FC FD 0
FN2= –3F，
求BC段内力：
X 0 FN 3 FC FD 0
FN3= 5F，
求CD段内力：
X 0
FN 4 FD 0
FN4= F
FN1 2F ,
FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
用拉应力 [t ]=200 MPa，许用压应力 [c ]=150 MPa 试求：载荷F的许用值 [F]
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解：1. 轴力分析
由
F
x
0,
F
y
0
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
2. 利用强度条件确定[F]
（A1=A2=100 mm2，许用拉应力 [ t ]=200 MPa，许用压应力 [ c ]=150 MPa）