材料力学-轴向拉压
材料力学第3章 轴向拉压变形
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
材料力学课件-第三章-轴向拉压变形
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
Page30
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学 中国建筑工业出版社第二章 轴向拉压习题答案
2-1a 求图示各杆指截面的轴力，并作轴力图。
(c ')(e ')(d ')N (kN)205455(f ')解：方法一：截面法（1）用假想截面将整根杆切开，取截面的右边为研究对象，受力如图(b)、(c)、(d)、(e)所示。
列平衡方程求轴力： (b) 图：)(20020011拉kN N NX =→=-→=∑(c) 图：)(5252002520022压kN N NX -=-=→=--→=∑(d) 图：)(455025200502520033拉kN N NX =+-=→=-+-→=∑(e) 图：)(540502520040502520044拉kN N NX =-+-=→=--+-→=∑（2）杆的轴力图如图（f ）所示。
方法二：简便方法。
（为方便理解起见，才画出可以不用画的 (b ‘)、(c ‘)、(d ‘)、(e ‘) 图，作题的时候可用手蒙住丢弃的部份，并把手处视为固定端）（1）因为轴力等于截面一侧所有外力的代数和：∑=一侧FN 。
故：)(201拉kN N =)(525202压kN N -=-=)(455025203拉kN N =+-=)(5405025204拉kN N =-+-=（2）杆的轴力图如图（f ‘）所示。
2-2b 作图示杆的轴力图。
(c)图：(b)图：（3）杆的轴力图如图（d ）所示。
2-5 图示两根截面为100mm ⅹ100mm 的木柱，分别受到由横梁传来的外力作用。
试计算两柱上、中、下三段的应力。
(b)(c)(d)(f)题2-5-N图（kN）6108.5N图（kN）326.5-解：（1）梁与柱之间通过中间铰，可视中间铰为理想的光滑约束。
将各梁视为简支梁或外伸梁，柱可视为悬臂梁，受力如图所示。
列各梁、柱的平衡方程，可求中间铰对各梁、柱的约束反力，计算结果见上图。
（2）作柱的轴力图，如(e)、(f)所示。
（3）求柱各段的应力。
解：（1）用1-1截面将整个杆切开，取左边部分为研究对象；再用x -x 截面整个杆切开，取右边部分为研究对象，两脱离体受力如图(b)、(c)，建立图示坐标。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学之四大基本变形
WZ
IZ ymax
一、变形几何关系
( y)d d y
d
d
y
z
y
dx
y
CL8TU3-2
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
（1）求支座反力
M A 0, M 0 RBl 0 M B 0, RAl M 0 0
（2）列剪力方程和弯矩方程
RB
M0 l
RA
M0 l
AC段 :
Q1
RA
M0 l
M1
RA x
M0 l
x
(0 x a)
CB段 :
Q2
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对等值、反向的纵向力，力的作用线与杆轴线 重合。 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动
002-材料力学_轴向拉压
σ
F FN
σ =
FN A
拉应力为正 压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
公式适用于轴载作用的杆件。 公式适用于轴载作用的杆件。 变截面杆或分布轴载作 用下横截面正应力计算
σ ( x) =
FN ( x ) A( x )
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ F σ
τ= σ
σ
2
σ
τ=
2
σ
F
2 σ τ= 2
ρgπ
l
ξ )2
叠加原理适用
FN (0) = F
FN (l ) = ( F + P)
dFN ( x) ρgπ 2 d1 (d 2 d1 ) d d ρgπ d d = [d1 + 2 x + ( 2 1 )2 x2 ] = (d1 + 2 1 x) 2 = p( x) dx 4 l l 4 l
单向(单轴) 单向(单轴)应力状态
σ
2
σ τ = 2 σ
2
2
讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应 作顺时针转动的趋势为正。 切应力以使隔离体有作顺时针转动的趋势为正。 力的关系， 力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应 σ max = σ 0 = σ τ0 = 0 横截面上 变相同，即变形是均匀的。 变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分 σ min = σ 90 = 0 τ 90 = 0 布。 纵截面上 σ Fα = ∫ Aoα p α dAτ max p ατ ∫ Aα=dA = p α σ α = σ = = A F
2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面， 横截面是杆件内最有代表性的截面， 其上的内力可用截面法求出。 其上的内力可用截面法求出。 由隔离体的平衡条件截面上只 有截面法向的内力分量 FN(x), ), 轴力。 称为轴力 称为轴力。 由 ∑ Fx = FN ( x) F = 0
《材料力学》第2章 轴向拉(压)变形 习题解讲解
第二章轴向拉(压变形[习题2-1]试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（b）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（c）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（d）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图中间段的轴力方程为：轴力图如图所示。
[习题2-2]试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力[习题2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EC横截面上的应力。
解：（1）求支座反力由结构的对称性可知：（2）求AE和EG杆的轴力①用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。
由平衡条件可知：②以C节点为研究对象，其受力图如图所示。
由平平衡条件可得：（3）求拉杆AE和EG横截面上的应力查型钢表得单个等边角钢的面积为：[习题2-5] 石砌桥墩的墩身高，其横截面面尺寸如图所示。
荷载，材料的密度，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：墩身底面积：因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
[习题2-6]图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：式中，，把的数值代入以上二式得：轴向拉/压杆斜截面上的应力计算题目编号10000 100 0 100 100.0 0.0 习题2-6100 30 100 75.0 43.310000100 45 100 50.0 50.010000100 60 100 25.0 43.310000100 90 100 0.0 0.010000[习题2-7]一根等直杆受力如图所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（2） 杆的最大正应力max
AB段 BC段
AB
FN1 A1
176.8MPa
BC
FN 2 A2
74.6MPa
DC段
DC
FN3 A3
110.5MPa
FN1 =20kN FN2 =-15kN FN3 =-50kN
max = 176.8MPa 发生在AB段。
【练习】图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。 l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm， d2=16mm，d3=24mm。试求：
（1） Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图； （2） 杆的最大正应力max；
（3） B截面的位移及AD杆的变形。
练习1
20KN
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正应力.已 知横截面面积A=2×103mm2
1
2
3
20KN
40KN
40KN
1
2
3
40kN
11 10MPa
20kN
22 0
33 20MPa
例题2-2、2-3看会
注意！会涉及到类似2-3这样环向应力径向应力的题，但是不是 第二章这样考，这道题我们简单了解一下。 课本17页18页的斜截面应力自己要看一下。虽说不是必考点，但 是有可能涉及 。
ΔlAD ΔlAB ΔlBC ΔlCD 0.47 10-4 m
（2）熟练运用强度条件对杆件进行设计。 （3）理解应变能的概念并能够进行杆件的应变能计算。 （4）了解应力集中的概念。
第3条个别题型会涉及到，理解应变能概念，掌握应变能计算公 式，第四条不会考到。
外力： 作用在构件上的所有载荷和支座 反力统称为外力
学习：什么是内力？
第二章 轴向拉伸和压缩
物理中的内力——物体内各质点间的相互作用的力。
ν —泊松比
胡克定律
实验表明：大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，有：
Δl Fl A
Δl Fl EA
F FN
式中 E 称为弹性模量 ，EA称为抗拉 （压）刚度。
Δl FNl EA
胡克定律
Δl FNl EA
l 1 FN l EA
E
第二章 轴向拉伸和压缩
单轴应力状态下的胡 克定律
B
A Ⅰ
l1
FRD
FN3
FN2
F1 F2
FN3 FRD 0 FN3 50kN
F1 F2 FN2 0 FN2 15kN
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
—
50
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
20 +
FN1 =20kN FN2 =-15kN FN3 =-50kN
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变 形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.5310-4 m
ΔlBC
FN2l2 EA2
1.4210-4 m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
ΔlCD
FN3l3 EA3
1.5810-4 m
Ⅲ
Ⅱ
DⅢ l3
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1Biblioteka ⅢFRDDⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
解：求支座反力
FRD = -50kN
（1）求Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图。
F1 FN1 0 FN1 20kN
FN1
F1
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F1 F2
法向分量 切向分量
正应力σ 切应力τ
某一截面上法向分布内力 在某一点处的集度
某一截面上切向分布内力 在某一点处的集度
第二章 轴向拉伸和压缩
符号规定： 正应力： 拉应力为正，压应力为负 切应力： 对截面内部（靠近界面）的一点产生顺时针方向的力矩的切应 力为正，反之为负
应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa (1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)
应力：受力杆件某一截面上分布内力在一 点处的集度。
应力这一节很重要，不仅仅是在这一章，页也涉及到后面的很多 章节，是最基础的基础。
理解平面假设的概念。 平面假设—变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，
且仍垂直于轴线。 什么是切应力，什么是正应力，以及正负的判断。
p
M
总应力p
第二章 轴向拉压
铁道大学考试大纲
注意，轴向拉压一般 会出一道大题，在整 体难度看来偏简单些 掌握大纲中红色字体 的两条要求，这道大 题都是从前两条出来， 请好好理解一下。
1、轴向拉压（分值比例5-10%）： （1）掌握拉压杆件的轴力计算方法、横截面应力的分析方法和计
算公式，掌握胡克定律和变形计算方法。
§2-4 拉(压)杆的变形·胡克定律（重点）
b
F
h
l l1
一、纵向变形
纵向变形—
纵向应变—
Δl l1 l Δl
l
h1
F
b1
b
F
h
l l1
h1
F
b1
二、横向变形
横向变形
b b1 b
横向应变
b1 b Δb
bb
三、泊松比
拉(压)杆横截面上的应力
m
第二章 轴向拉伸和压缩
m
FN
dA
A
* 与轴力相应的只可能是正应力σ，与切应力 无关*
F
FN
正应力公式
均匀分布
FN
A
式中, FN 为轴力，A 为杆件横截面面积，正应力 的符号与轴力FN 的符号相同。
公式使用条件 （1）轴向拉压直杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。
材料力学中的内力——由于外力作用而引起的物体内各质点间相互作 用力的改变量，又称“附加内力”。
*根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布 *
通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力或合力偶 称为该截面上的内力。
对研究对象列平衡方程
F
FN = F
式中：FN 为杆件任一横截面 m-m上 的内力，与杆的轴线重合。即垂直于横截 面并通过其形心，称为轴力。
m FN
m
轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置； 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值； 从而绘出对应横截面位置的轴力的图线—称为轴力图 ； 将正的轴力画在 x 轴上侧，负的轴力画在 x 轴下侧。
FN
O
x
轴力图不会在考试中单独考，但是轴力
图是我们分析问题中较为关键的一步，是 做其他大题的基础，课本11页例题2-1好好 看一下。