材料力学第三章扭转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
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Wp
Tmax
Tmax=1.5kN·m
[]=50MPa
d/D = 0.9
(3) 比较重量
同种材料，杆长相同，所以，重量 比即为横截面面积之比
重量比 4
D2 d2
4
d02
762 68.52 0.395 542
空心轴远比实心轴轻，说明空心轴材 料利用率高。原因？
(2) 杆内最大剪应力 max (3) 两端截面之间相对扭转角
y
m0
A
m0
z
BC
m0=14kN·m
D = 100mm
解：(1) 求A、B、C三点应力:
Ip
D3
32
由截面法，易求得轴任意截面的扭矩均为 T = m0
A
T Ip
A
A
D 2
14 103 100 4 10 12
m0
m0
1. 横截面上的应力 1）. 变形几何关系
① 各圆周线形状、大小、相邻两圆周线的间距不变。 ② 各纵向线近似于直线，只是倾斜了一个相同的角度。
轴表面变形前的矩形格，变形后成了平行四边形格。
设想，从轴上取出微段dx
m
1
y
1 2m
z
o
x
12 x dx
l
1
2
o
A
max
d
A
1 dx 2
将圆轴看成由无数个同心薄壁圆筒组成，然后，再想象从
O
3. 薄壁圆筒切应变为：
m
m
r
l
3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
作用在轴上的外力偶往往不是直接给出的，而是 给出轴所传递的功率和轴的转速，因而需要换算。 1.外力偶矩的计算
直接计算
按输入功率和转速计算
已知:
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
y
A
T
Cz B
由剪应力分布关系求大小, 定方向。
(2) 求最大剪应力:
a dA
o
dA b
d T
dx GI p
G
d
dx
T Ip
T Ip
max
T Ip
r
T Ip
D 2
T wp
wp
Ip r
Ip D
2
—— 抗扭截面模量
圆轴扭转剪应力的有限元解
2. Ip 与 Wp 的计算
空心轴
令
则
p
实心轴 空心轴
令d=0
(作用力反作用力)
为了表达方便，按变形特点规定符号 3.扭矩符号规定
右手螺旋法则 (扭矩矢量指离截面为 + ，指向截面为 -)
无论保留左段还是右
m
m
段，得到的扭矩大小、符
号均相同，同时，若给出 m
某截面扭矩的大小和符号，
Tx
则无论保留左段还是右段，
都能方便地画出该截面的
T
m
扭矩 (大小、转向)。
例 : 某传动轴受力如图所示，已知：MA=350N·m， MB=1000N·m， MC=650N·m。作此轴的扭矩图。
解： 1.求扭矩
对AB段，1-1左：
MeA
MeB
1
A1
B
M x 0 : T1 M A 0
T1 M A 350 N m
MeA T1
MeC
C
例 某传动轴受力如图所示，已知：MA=350N·m， MB=1000N·m， MC=650N·m。作此轴的扭矩图。
3-2 薄壁圆筒的扭转
先讨论比较简单的薄壁圆筒的扭转问题。
t
R0
t R0
t1 ( ) R0 10
1.薄壁圆筒扭转时的切应力
1).变形几何关系
me
me
① 圆周线的大小、形状不变，圆周线的间距 不变——横截面上只有切向剪应力 τ。
② 纵向线倾斜相同角度γ, 薄壁圆筒横截面绕轴线转 动了一个角度φ——半径相同处切应变相同。
由于， 为常数，且 t<< R0
上式中的 r 可用 R0 代，于是
rT
R0
T
R0
dA
A
R0
2R0t
2R02t
T
2R02t
2.切应力互等定理
材料单元体 三棱边为微元长度
Fy 0
y
1dzdy 2dzdy
1 2
mZ 0
2 dy 4 1
dx
3
T1=1114 (N.m) T2=557 (N.m) T3=185.7 (N.m)
max
E
T1 Wp1
16 1114 π 703 10-9
Pa
16.54MPa
max
H
T2 Wp2
16 557 π 503 10-9
Pa
22.69MPa
[]=50MPa
d/D = 0.9
即
d03
16
Tmax
d0
3
16Tmax
3
161.5103 3.14 50 106
53.5103 m 53.5mm 取 d0 54mm
(2) 设计空心圆轴
16
D3 (1
4
)
Tm a x
D3
16 Tm ax
GI p
d l T dx
l
0 GI p
d l T dx
l
0 GI p
若在l长度内，T、G、Ip为常数，则上式可写成：
l T dx T
l
dx
Tl
0 GI p
GI p 0
GI p
适用条件：线弹性材料；
相对扭转角 抗扭刚度
n
Tili
解： 1.求扭矩
MeA
MeB
1
MeC
2
对AB段： T1 350 N m
A1
B2
C
对BC段： T2 650 N m
2.作扭矩图
350 N . m
T
+
T 650 N m max
-
650 N . m
解: (1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
Ip
p
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
p
p
例题
3
已知：P1＝14kW,P2= P3=P1/2， n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=7 0mm, d 2=50mm, d3=35mm.
求:各轴横截面上的最大切应力。
解：1、计算各轴的功率与转速 2、计算各轴的扭矩
M=9549 P/n (N.m)
又由于t<<R0,所以我们又可假设剪应力沿厚度方向均布。
me
me
T
故 薄壁圆筒的横截面上各点的剪应力均匀分布。
结论： 薄壁圆筒在受扭转变形时，横截面上将产 生剪应力，它的方向沿圆周切线方向，且在整个 横截面的大小相等。
3). 静力学关系
横截面上的分布内力系合成为扭矩T，即
T AdA r
i1 GI Pi
GIp —— 抗扭刚度
对比
轴向拉压 l FNl
EA
圆轴扭转 Tl
GI p
公式形式相似，适用L=1m，
两端受外力偶矩m0=14kN·m作用，如图所示。 设材料的剪切弹性模量G=80GPa。
y
m0
A
m0
z
BC
试求：
(1) 杆内图示截面上A、B、C三点处的剪应力 数值及方向(C距横截面中心为25mm)；
50
10 3
32
y
m0
A
m0
z
71.4106 pa 71.4MPa
B
y
B
T Ip
B
m0
A
m0
z
BC
14 103 100 4 10 12
50
10 3
32
71.4MPa
T =14kN·m
D =100mm
B
D 2
Q A = B A B
Tmax=1.5kN·m ， 许 用 剪 用 力 []=50MPa ， 试 按
下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较其 重量。
(1) 横截面为实心圆截面 (2) 横截面是 d/D = 0.9的空心截面
解：① 设计实心圆轴
max
Tmax Wp
Wp
Tmax
Tmax=1.5kN·m
第三章 扭转
3-1 概述
传动轴
汽车传动轴
齿轮传动轴
机器中的传动轴
直升机的旋转轴
Me
Me
受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶。 变形特点：任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动。
以扭转变形为主的杆称为轴。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。
材料力学只研究圆轴扭转问题。