材料力学：第三章扭转强度

解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa
32
max
T Wt
1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
的剪切比例极限时
G
G d
dx
剪应力方向垂直于半径
3.静力学关系
dA
dA T
A
A
G
d
dx
dA
T
dA
o
G
d
dx
2dA
T
A
令 I p 2dA
A
I p 2dA 极惯性矩
A
则 d T
dx G I p
d T
dx G I p
G
d
dx
G T
GIp
T
Ip
max
T max
Ip
径之比D2/D1。
解：由
T
T
D13 D23 (1 0.84 )
T(N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§3 薄壁圆筒的扭转实验
一、薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成 方格,然后加载。
m
m
观察到如下现象：
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ (2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大Biblioteka Baidu应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
T1 mB 351 N m T2 702 N m T3 mD 468 N m
外力偶矩m所作的功：
W = m2 n
(2)
(1) = (2) 得
N×1000×60 = m 2 n
m 9549 N n
m 7024 N n
N ─ kW
n
─
rpm
m ─ N m
N ─ PS
n
─
rpm
m ─ N m
§2 扭矩和扭矩图
Tm
T m
扭矩
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
§4 圆轴扭转时的应力和强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
I p
2dA
D/2
22
d
(D4
d4)
A
d /2
32
D4 (1 4 )
32
Wt
Ip
max
Ip D
D3
(1
2
4
)
16
极惯性矩：
实心圆：
Ip
d4
32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wt
d3
16
空心圆：
Wt
D3
16
(1 4 )
T Wt
Wt
Ip
max
抗扭截面模量
T Ip
max
T Wt
max
max
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A d4 0
2 2
d4
4 32
Wt
Ip
max
Ip d
d3
16
0
d
o
2
对于空心圆，外径为D，内径为d
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
离没有改变 根据以上实验现象,可得结论：
圆筒横截面上没有正应力，只有剪应 力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直 于半径。
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
m
m
TT
dA
dA
r
r dA T
A
r dA T
A
r 2rt T
T 2 r2t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式 的误差不超过4.52%,是足够精确的。
二、剪应力互等定理
dy
t dx
微元体 单元体
( t dy)dx ( t dx)dy
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
二、圆轴扭转时的变形
d T
d x GI p
d T d x
d
GI p
T d x
l GI p
若T const，则 T l
GIp l N l
EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
max
刚度条件：
T
Wt
[ ]
d T [] rad / m
d x GIp
T 180 [] GI p
扭转
§1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
汽车的转向操纵杆
丝锥、电动机轴
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。
变形特征：横截面绕轴线转动。
二、外力偶矩的计算
设某轮所传递的功率是N kW，轴的转 速是 n rpm
N kW的功率相当于每分钟作功：
W = N×1000×60 (1)
1.变形几何关系
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距
离没有变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
d
dx d
d
dx
在外表面上
r d
dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料