材料力学第三章扭转

l/2
T1 ( x )
x
T
ml
+
画扭矩图
−
x
2 ml
•试与轴力图比较， 考察对应关系。
21
2. 对应的轴力图与扭矩图
M = 3ml
m
A B
C
对应拉压问题 与轴力图
D
q
l
F = 3ql
l
l/2
l/2
l/2
l/2
T
ml
FN
+
ql
+
2ml
−
x
2ql
−
x
22
§3-3 纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定理 ¾ 一、薄壁圆筒横截面上的切应力
τ
τ =τ′
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
τ'
d
τ
b
τ τ'
c
31
三、剪切胡克定理
A1 A B
D1 γ D D1' D' B1 C C' C1 C1'
32
τ
γ
τ ∝γ
剪切虎克定律： 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。
A Me
γ
O ϕ B Me
8
受扭杆件的受力特征： 受扭杆件的受力特征 杆受一对大小
相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于 轴线。变形特征： 变形特征 横截面绕轴线转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其 横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆 截面扭转应力和变形。实际构件工作时除发 生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其 他变形。
39
§3–4 等直圆轴扭时的应力及强度条件 ¾ 一、实心圆轴横截面上的应力
等直圆杆扭 转实验观察
纵线
①变形几何方面 等直圆杆横截面应力 ②物理关系方面 ③静力学方面
圆周线
现象：1. 横截面变形后仍为平面；2. 轴向无伸
缩；3. 纵向线变形后仍为平行。
40
一、试验与假设
1. 实验观测
圆周线：形状、大小与间距均不改变，仅绕轴线相对旋转。 纵线：倾斜同一角度并保持直线。 2. 扭转平面假设 各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。 这一假设为建立单参数的变形协调公式提供了依据。
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 扭矩 用符号T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 Me A
1 1 1
Me B T
x
Me
A T
1 1 1
T = Me
Me B
13
扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定: 扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。 T T T T T (+)
T (-)
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴 扭矩图 线各横截面上扭矩的变化情况。与轴力图作法完全 相同(纵坐标改为扭矩大小)。反映扭矩变化规律； 14 进行强度计算（危险截面）。
E G= 2(1 + υ )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三 个量就可以推算出来。
34
课堂讨论：下列论述是否正确？
1.传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩越大；
2.扭矩只与轴所受的外力偶矩有关，与轴的材料、 横截面形状、大小无关；
35
课堂讨论：下列论述是否正确？
3.等截面直杆产生扭转变形后，杆件横截面的形 状、大小都保持不变； 4.圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围 成立； 5.圆轴扭转时，横截面、纵截面均保持平面；
z
τ1 τ 2， τ2
τ1
dz
，
dy
x
29
二、单元体·切应力互等定理
单元体—— 此处为以横截面、径截面以及与表面平 行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一 微小的正六面体 M
e
Me
y
dz a
τ'
τ ′d x d z
d
dy
τ
z
b
O τ' c dx
τห้องสมุดไป่ตู้
τ d yd z
x
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
1 1
M3 B
3
2 2
M1 C
3 3
M4 D
500 M 1 = (9.55 × 10 × ) N ⋅ m = 15.9kN ⋅ m 300
150 M 2 = M 3 = (9.55 × 10 × )N ⋅ m = 4.78kN ⋅ m 300
3
200 M 4 = (9.55 × 10 × ) N ⋅ m = 6.37 kN ⋅ m 300
3
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之 间的关系：
P × 103 × 60 3 P Me = = 9.549 ×10 (N • m) 2 πn n
Me1 n 主动轮 Me3
Me2
从动轮
从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。12
二、扭矩及扭矩图
2π n P × 10 = M × 60
M
N ⋅m
= 9549
P kW n r / min
10
已知： 传动轴的转速n ；某一轮上所传递的功率P (kW) Me2 Me1 n 主动轮 Me3
从动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
2π n P × 10 = M × 60
3
11
P × 60 × 10 (J ) = M e × 2 πn(N • m)
扭转角变化率 圆轴扭转切应力的 一般公式。
45
公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变 形时的等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过 外力偶矩求得。 ρ —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
I p = ∫ A ρ 2dA 单位：mm4，m4。
46
9
§3-2、传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图
¾ 一、传动轴和外力偶矩
传动轴是通过转动传递动力的构件。轴传递的功率 P（kW） 传动轴 已知传动构件的转速与所传递的 功率，计算轴所承受的扭力矩。
联轴器 电机
A B
P = Mω
KW 功率：
3
2π n 角速度 = 60 n : 转速 (r min) N.m 力偶矩：
薄壁圆筒：圆筒的平均半径 r0和壁厚δ之比r0 /δ>10
（r0：为平均半径）。
– 1. 扭转实验
纵线
圆周线
1）实验前
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
23
¾ 2）实验后
①圆周线不变； ②纵向线变成 斜直线。
¾3）现象观察
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只 是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
3
17
分别计算各段的扭矩 M3 M2 1 A M2 A
1 1 1
2 2
M1 C
3 3
M4 D
B T1 x M3 B
T1 = − M 2 = −4.78kN ⋅ m
2 2
M2
T2
T2 = − M 2 − M 3
x
= −9.56kN ⋅ m
T3
3 3
A
M4 D x
18
T3 = M 4 = 6.37 kN ⋅ m
得
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
τ′ =τ
30
切应力互等定理 y τ' dz a d dy
该定理表明：在单元体
相互垂直的两个平面上，剪 应力必然成对出现，且数值 相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向 x 或共同背离该交线。 a
τ
z
b
O τ' c dx
955N·m 477.5N·m
T
+ 637N·m
作扭矩图如右图示。
20
例：画扭矩图(m：单位长度的扭力偶矩)。
M = 3ml
m
A B
C
D
在AB、BC和CD段分别由三截面 x 切开，考察左（或右）段平衡 AB段： T1 ( x ) = mx BC段： T2 = ml CD段： T3 = −2ml
l
l/2
Me A
1 1 1
Me B T
x
Me
A T
1 1 1
T = Me
Me B T图
15
Me
+
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的
功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
16
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩 M2 A
25
5）表面变形特点及分析 Me
γ
A B D C
Me
ϕ
圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距 不变； ——横截面在变形前后都保持为形状、大小未改 变的平面，没有正应力产生。 所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。 ——横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周 向均匀分布。
26
6）薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析 Me
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆 截面杆，只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p = ∫ A ρ dA
2
dρ
= ∫ ρ ⋅ 2ρ ⋅ π ⋅ dρ
41