材料力学扭转
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材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学课件扭转
用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。
但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，
还要注意加上成本和构造上的要求等因素。
§3-5 扭转变形 扭转刚度计算
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭
转角(相对角位移) 来度量。
Me
AD BC
Me
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单 位长度扭转角)为 d T 可知，杆的相距 l
Wp1
πd13 16
,
Wp2
πD23 16
14
1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16Me πd13
2,max
T2 Wp2
Me Wp2
16Me
πD23 1 4
2. 求D2/d1和二轴重量之比。
由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 1 0.84
1.194
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所
斜截面 ef (如图)上的应力。
分离体上作用力的平衡方程为
F 0,
d A d Acos sin d Asin cos 0
F 0,
d A d Acos cos d Asin sin 0
利用 = '，经整理得
sin 2 , cos 2
sin 2 , cos 2
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
r0 即
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
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4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
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§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
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工程中的受扭转杆件
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工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
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4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
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第3章 扭转
3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转
【基本内容】
一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
1 r （r：为平均半径）
10
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
Me
横截面上没有正应力
圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
由Mx 0
有Me 2rr
Me 2r 2
pq
pq
l
A' A B
B'
Me
A AB'
o
r
B'
二、切应力互等定理
截面上扭矩为T时．最大剪应力为 。若截面
上A点距外周边的距离为0.1D．则A点的剪应力 是( )
3.5 圆轴扭转时的变形
扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的
相对转角
dxd
G
T
Ip
Tl GI p
GI p 称为圆轴的抗扭刚度
刚度要求：单位扭转角不能超过允许值[ ' ] 单位 (/m)
'max T 180 [']
1
2
3
mB
(a)
T1
mB
(b)
(c)
mC
T2
T3
mD
T135N0m 350 1 350 2
1146 3
446
T270N0m
T3 4 4N6m
3）绘制扭矩图
B
C
A
D
1
2
3
T(Nm)
446
x
350 700
跟踪训练
1.受扭圆轴如图所示，1一1．2-2横截面上的 扭矩分别是( ）．
3m 3m
2m
3.3 纯剪切
例3.1 轴的转速为n =300r/min，主动轮A输入功率为
PA=36kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=11kW， PD=14kW，试做轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶矩
B
C
A
D
mA
9549PA n
9549 36 1146(Nm) 300
mB
mC
9549PB n
9549 11 350(Nm) 300
Ip
D 4
32
Ip
(D4
32
d4)
D 3
Wt 16
W t 16D(D4d4)
跟踪训练
2.实心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
跟踪训练
3.空心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
T A
T B
T C
T D
跟踪训练
4.空心圆轴的内径为d，外径为D, D=2d。当横
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[]
刚度条件的应用
'maxGTIp
180
[']
作业：3.1(b,c)
3.5 3.11
l为圆筒的长度
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
四、剪切胡克定律
扭转实验表明，切应力低于材料的剪切比例 极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比，可以 得到：
G
这就是剪切胡克定律。其中G为材料的剪切 模量。
剪切模量、弹性模量，泊松比三个弹性常量 满足以下关系：
G E
2(1 )
3.4 圆轴扭转时的应力
一、平面假设
圆周扭转变形前的横截面变形后仍为平 面， 形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻 两截面间的距离不变。
由此求出外力偶矩的计算公式：
Me
9549
P n
(N
m)
P——轴传递的功率kw n——轴的转速r/min
Me——作用在轴上的力偶矩N m
二、扭矩和扭矩图
1.截面法求内力
n
Mx 0
T Me 0 T Me
n
Me
Me
“ T ”称为横截面
x
上的扭矩
T
2.扭矩的符号规定：
按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为 负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）
得 '
y
上式表明：在单元体相互垂直
的两个平面上，切应力成对存 t
'
在且数值相等，两者都垂直于
两平面的交线，其方向则共同 dy
指向或共同背离该交线，这就
'
x
是切应力互等定理。
z dx
在单元体上、下、左、右四个侧面上只有切应力， 没有正应力的情况称为纯剪切。
三、切应变
pq
Me
r l
pq
l
其中,为两端面横截面的 扭相 转对 角
【重点和难点】
重点：外力偶矩的计算，扭矩图的作法，圆轴扭转时 强度条件和刚度条件的应用
难点：横截面上切应力的推导
3.1 扭转的概念和实例
一、工程实例
二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点 杆件的任意横截面绕杆件轴线发生相对 转动。
扭转变形的零件，通常为轴类零件，横截面大 都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
直接计算
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩
作用于轴上的外力偶矩往往是由轴所传递 的功率和轴的转速来计算的。
已知：传动轴功率p(kw)
转速n(r/min)，
Me
求： 外力偶矩Me
传动轴每秒输入功：WP10(N 0m 0)
力偶每秒完成做功：WMe26n0(Nm)
3
1
2
解：1.计算外力偶矩
m1
m2
0.3m
m 1 95p n 14 995 1 0 4 .7.8 5 9 5 3 36 .3 9 N m
m3
0.4m
m 39
5p 34 995 2 4 .99 8 1N 5m 5
n
1.8 53
M x 0m 2 m 1 m 3 1.3 N 9 m 4
2.做扭矩图
T A dA(1)
2.剪切胡克定律 G (2)
3.变形几何关系
dxd(3) Me
由(1)(2)(3)式得
T
Ip
x dx
dA
x
γ d R
等圆截面直杆扭转横截面上切应力的计算公式
Me
τρ
Tρ Ip
x
其中T——为横截面扭矩
Ip —— 称为横截面对圆心的极惯性矩
——求应力的点到圆心的距离。
IpA
3.根据强度条件确定直径
maxTW mtax1T 6Dm3ax[]
D31T [6 m ]a x31 4 61 015605 m2.7 2mm 319.3
4.根据刚度条件确定直径
194.3 2
'maxT G mpa Ix 180 3 G T 2 D m 4a x 18[0 m']1
D 4
32Tmax180
80109 15(5300.4103)4
32
9.75103rad
1
2
m1
m2
0.3m
T(Nm)
39.3
0.4m
3
m3
13 12 23 1.85103 9.75103
7.9103rad
x
155
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
Me
9549
P n
(N
m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
mD
9549PD n
9549 14 446(Nm) 300
2)截面法求扭矩（扭矩按正方向设）
由平衡方程 Mx 0依次有 350 1
350 2
11463
446
T1 mB 0 T1 350N m
T2 mB mC 0 T2 700N m
T3 mD 0 T3 446N m
B
C
A
D
o
x
γ
平面假设推论：
(1)相邻两截面间的距离不变→ 横截面上无正应力. (2)横截面大小和形状不变，只是绕轴线作了相对转动
→ 径向无正应力 (3)纵向线倾斜→ 横截面上有切应力,且垂直于半径.
(4)各纵向线均倾斜了同一微小角度
→ 同一圆周上的切应力均匀分布.
o
x
γ
二、等圆截面直杆扭转横截面上切应力的建立 1.静力关系
3.扭矩图 表示扭矩沿轴线各截面上的变化情况。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
注意 用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭
矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
1. 用相邻的两个横截面
Me
和两个过轴线的纵向
面，从圆筒中取出微
单元体。y
dy
x
z dx
r
x
y
两侧面的切应力数值相等，
方向相反，组成一个力矩为
'
(dy)dx的力偶。
为保持平衡，上下两个 dy
x
侧面必有切应力组成力偶与
'
之相平衡。( 'dx)dy
3.1 扭转的概念和实例 3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 3.3 纯剪切 3.4 圆轴扭转时的应力 3.5 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转
【基本内容】
一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
1 r （r：为平均半径）
10
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
Me
横截面上没有正应力
圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
由Mx 0
有Me 2rr
Me 2r 2
pq
pq
l
A' A B
B'
Me
A AB'
o
r
B'
二、切应力互等定理
截面上扭矩为T时．最大剪应力为 。若截面
上A点距外周边的距离为0.1D．则A点的剪应力 是( )
3.5 圆轴扭转时的变形
扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的
相对转角
dxd
G
T
Ip
Tl GI p
GI p 称为圆轴的抗扭刚度
刚度要求：单位扭转角不能超过允许值[ ' ] 单位 (/m)
'max T 180 [']
1
2
3
mB
(a)
T1
mB
(b)
(c)
mC
T2
T3
mD
T135N0m 350 1 350 2
1146 3
446
T270N0m
T3 4 4N6m
3）绘制扭矩图
B
C
A
D
1
2
3
T(Nm)
446
x
350 700
跟踪训练
1.受扭圆轴如图所示，1一1．2-2横截面上的 扭矩分别是( ）．
3m 3m
2m
3.3 纯剪切
例3.1 轴的转速为n =300r/min，主动轮A输入功率为
PA=36kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=11kW， PD=14kW，试做轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶矩
B
C
A
D
mA
9549PA n
9549 36 1146(Nm) 300
mB
mC
9549PB n
9549 11 350(Nm) 300
Ip
D 4
32
Ip
(D4
32
d4)
D 3
Wt 16
W t 16D(D4d4)
跟踪训练
2.实心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
跟踪训练
3.空心受扭圆轴在弹性变形时，横截面上剪应力 的分布图是( )，图中T为扭矩。
T A
T B
T C
T D
跟踪训练
4.空心圆轴的内径为d，外径为D, D=2d。当横
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[]
刚度条件的应用
'maxGTIp
180
[']
作业：3.1(b,c)
3.5 3.11
l为圆筒的长度
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
四、剪切胡克定律
扭转实验表明，切应力低于材料的剪切比例 极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比，可以 得到：
G
这就是剪切胡克定律。其中G为材料的剪切 模量。
剪切模量、弹性模量，泊松比三个弹性常量 满足以下关系：
G E
2(1 )
3.4 圆轴扭转时的应力
一、平面假设
圆周扭转变形前的横截面变形后仍为平 面， 形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻 两截面间的距离不变。
由此求出外力偶矩的计算公式：
Me
9549
P n
(N
m)
P——轴传递的功率kw n——轴的转速r/min
Me——作用在轴上的力偶矩N m
二、扭矩和扭矩图
1.截面法求内力
n
Mx 0
T Me 0 T Me
n
Me
Me
“ T ”称为横截面
x
上的扭矩
T
2.扭矩的符号规定：
按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为 负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）
得 '
y
上式表明：在单元体相互垂直
的两个平面上，切应力成对存 t
'
在且数值相等，两者都垂直于
两平面的交线，其方向则共同 dy
指向或共同背离该交线，这就
'
x
是切应力互等定理。
z dx
在单元体上、下、左、右四个侧面上只有切应力， 没有正应力的情况称为纯剪切。
三、切应变
pq
Me
r l
pq
l
其中,为两端面横截面的 扭相 转对 角
【重点和难点】
重点：外力偶矩的计算，扭矩图的作法，圆轴扭转时 强度条件和刚度条件的应用
难点：横截面上切应力的推导
3.1 扭转的概念和实例
一、工程实例
二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点 杆件的任意横截面绕杆件轴线发生相对 转动。
扭转变形的零件，通常为轴类零件，横截面大 都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
直接计算
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩
作用于轴上的外力偶矩往往是由轴所传递 的功率和轴的转速来计算的。
已知：传动轴功率p(kw)
转速n(r/min)，
Me
求： 外力偶矩Me
传动轴每秒输入功：WP10(N 0m 0)
力偶每秒完成做功：WMe26n0(Nm)
3
1
2
解：1.计算外力偶矩
m1
m2
0.3m
m 1 95p n 14 995 1 0 4 .7.8 5 9 5 3 36 .3 9 N m
m3
0.4m
m 39
5p 34 995 2 4 .99 8 1N 5m 5
n
1.8 53
M x 0m 2 m 1 m 3 1.3 N 9 m 4
2.做扭矩图
T A dA(1)
2.剪切胡克定律 G (2)
3.变形几何关系
dxd(3) Me
由(1)(2)(3)式得
T
Ip
x dx
dA
x
γ d R
等圆截面直杆扭转横截面上切应力的计算公式
Me
τρ
Tρ Ip
x
其中T——为横截面扭矩
Ip —— 称为横截面对圆心的极惯性矩
——求应力的点到圆心的距离。
IpA
3.根据强度条件确定直径
maxTW mtax1T 6Dm3ax[]
D31T [6 m ]a x31 4 61 015605 m2.7 2mm 319.3
4.根据刚度条件确定直径
194.3 2
'maxT G mpa Ix 180 3 G T 2 D m 4a x 18[0 m']1
D 4
32Tmax180
80109 15(5300.4103)4
32
9.75103rad
1
2
m1
m2
0.3m
T(Nm)
39.3
0.4m
3
m3
13 12 23 1.85103 9.75103
7.9103rad
x
155
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
Me
9549
P n
(N
m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
mD
9549PD n
9549 14 446(Nm) 300
2)截面法求扭矩（扭矩按正方向设）
由平衡方程 Mx 0依次有 350 1
350 2
11463
446
T1 mB 0 T1 350N m
T2 mB mC 0 T2 700N m
T3 mD 0 T3 446N m
B
C
A
D
o
x
γ
平面假设推论：
(1)相邻两截面间的距离不变→ 横截面上无正应力. (2)横截面大小和形状不变，只是绕轴线作了相对转动
→ 径向无正应力 (3)纵向线倾斜→ 横截面上有切应力,且垂直于半径.
(4)各纵向线均倾斜了同一微小角度
→ 同一圆周上的切应力均匀分布.
o
x
γ
二、等圆截面直杆扭转横截面上切应力的建立 1.静力关系
3.扭矩图 表示扭矩沿轴线各截面上的变化情况。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
注意 用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正， 如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭
矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
1. 用相邻的两个横截面
Me
和两个过轴线的纵向
面，从圆筒中取出微
单元体。y
dy
x
z dx
r
x
y
两侧面的切应力数值相等，
方向相反，组成一个力矩为
'
(dy)dx的力偶。
为保持平衡，上下两个 dy
x
侧面必有切应力组成力偶与
'
之相平衡。( 'dx)dy