材料力学3-扭转详解

a
'
d


b
'
c
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
A
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
4.78
T 图(kN· m)
9.56 Tmax = 9.56 kN· m 在BC段内
§3-3 关于切应力的若干重要性质
薄壁圆筒轴的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力 (壁厚 1、实验：
t
1 r0 , r0：为平均半径） 10

2
d
T dA.r0 r0 td r0 t 2
2 A 0
2

T 2 2r0 t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律 l

为扭转角
r0 l
r0 l
即
做薄壁圆筒的扭转试验可得
T T—— 2 2r0 t r0 l
3
C
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
T3
3
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C 6.37 M4
P M e 7.024 (kN m) n
其中：P — 功率，马力（PS）
1PS=735.5N· m/s , 1kW=1.36PS
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
1、扭转杆件的内力（截面法）
取左段为研究对象：
m
m
m
x
0, T m 0
m T
T m
取右段为研究对象：
x
m
m
T m
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力 （1） 0 0 （2） 0 0 因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
剪应变的变化规律：
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
微段扭转 变形 d
DD' Rd tan dx dx
第三章
扭 转
§3-1 扭转概念和工程实例
§3-2 自由扭转杆件的内力计算 §3-3 关于切应力的若干重要性质
§3-4 圆轴扭转时横截面上的应力
§3-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算
§3-6 圆轴扭转破坏分析
§3-1
扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
Me
mA
阻抗力偶
主动力偶
me
主要发生扭转变形的杆——轴。
§3-2
自由扭转杆件的内力计算
一、外力偶矩计算
功率、转速与外力偶矩的关系：
P Me 其中：P — 功率（W）， — 角速度（1/s） 2n P Me 其中：n — 转速，转/分（rpm, r/min） 60 P 其中：P — 功率，千瓦（kW） M e 9549 (N m) n .m/s 1kW=1000N P M e 9.55 (kN m) n
x
0, m T 0
T
x
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为
负值。
+
T
-
3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
扭矩图作法：同轴力图： 例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
得
F 0 F 0 M 0
y x z
自动满足
存在'

y
切应力互等定理
'
a dy

O ' dx
d

c x
z
b

在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。

单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
2、变形规律：

'


圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上
0, 0 0 0

D
t
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：
tan dd d
dx
dx
d dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
解：
一、计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 A
M3 B
M1
M4
D
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37kN m 300
剪切虎克定律
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
p,
G
E G 2(1 )
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体 Me M
e
y a
dy b
'
d x d z
d

O '

c
d yd z
x
z
dx
d y d z d x d x d z d y