材料力学扭转
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Ft 0
Fn 0
t
sin 2 得： cos2
max 45
min 45
有 0 ? 0 或90 ，有 ? max max
低碳钢扭转破坏
铸铁扭转破坏
第三章
扭
转
§3-1
m A
概
述
m B j B'
外力偶作用平面和杆件横截面平行
：剪切角 切应变
j：相对扭转角
§3.2 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
一、传动轴上的外力偶矩 输入功率：P(kW)
Me 转速：n(转/分)
1分钟输入功：
W 60 P 1000 60000 P
1分钟me作功
解： 实心轴 j Tl GI p
空心轴j
j 实 10.98 103 1.663 3 j空 6.55 10
(10 103 ) 1 3 10.89 10 rad 4 12 104 10 9 (80 10 ) 32 Tl (10 103 ) 1 3 6.55 10 rad 4 4 12 GI p (80 109 ) (120 60 ) 10 32
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
第一种解法
解： 假设A截面不动
j BA
jCA
T AB l AB GI p TCB l CB
GI p
955 300 10 3 704 1012 9 (80 10 ) 32 637 500 10 3 704 1012 9 (80 10 ) 32 4 BA
---薄壁圆筒
1
m
T
扭矩
对应
规定：矢量方向与横截面外
法线方向一致的扭矩为正
切应力
圆周线 纵向线
扭转实验前
扭转实验后
平面假设成立
结论
相邻截面绕轴线作相对转动 横截面上各点的剪（切）应 力的方向必与圆周线相切。
1.薄壁圆筒的扭转的切应力
Me
r0
dA
x
A
τdA r
2r r M e
2.剪切胡克定律
由几何关系知：
Me 得： τ 2 2r
r / l
G
……剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
T
G为材料的剪切弹性模量
O
O
G 另外有：
E （ 2 1 ）
3.切应力互等定理
y
dz
单元体：微小的正六面体 在扭转时，左右两侧面（杆的横截 面）上只有切应力，方向与y轴平行， 前后无应力。
1.52 10 rad 1.69 10 rad
3
3
jCB jCA j 1.7 10 rad
方向同 m3
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
第二种解法 叠加法
在线弹性范围和小变形条件下，可采用叠加法。
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB MC
MA
MD
解：已知
D
B
C
A
M A 1592N m M B M C 477.5N m M D 637N m
作扭矩图如左图示。
T
955N· m 477.5N· m
+
637N· m
§3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
m
1
m
R0
δ<<R0
′
o
dy
x
dx
由平衡条件：
z 切应力互等定理：两个相互垂直的微面上的切应力（τ、τ′） 成对存在，数值相等，且都指向（或背离）两平面的交线。
注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。
纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应 力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）
dj T j rad/m dx GIp
其中： [j，]—许用扭转角， 取值可根据有关设计标淮或规 范确定。
刚度条件
jmax Tmax 180 [j ] GI
一、单位长度相对扭转角φ’ 相对扭转角φ
dj T j dx GIp
T dj dx GI p
dφ
例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转
角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa， G=80GPa。求该轴长度。
解：
(1) 9 得： 6 80 10 0 . 05 ( 2) I jG p 180 l 6 max Wpt 90 10 2
2.33 m
Tl T j （ 1 ） max Wt GI p
2 2
D
D 32
4
d4
D4
32
1
4
I p D3 Wt 14 D 16 2
d 式中： D
二、斜截面上的应力
n
x
dA dA cos sin dA sin cos 0 dA dA cos cos dA sin sin 0
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴
较实心轴合理。
§3.5 圆轴扭转时的变形 刚度条件
计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。
T 相对扭转角： j dj dx 0 GI p l
l
j
Tl GI p
rad
GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 单位长度的扭转角：
关于极惯性矩和抗扭截面系数
Ip 称为极惯性矩，Wt 称为抗扭截面系数，它们均与横截面的形状、 尺寸有关。
dA 2 d 4 d d I p A 2dA 2 0 2 3d 32 Ip d3
a. 圆截面
Wt
d
2
16
b. 空心圆截面
I p A dA 2 d 2 3d
dydz dx dxdz dy
§3.4
圆轴扭转时的应力 强度条件
a T T a dx b O2
dj
一、横截面上的应力
1、变形几何关系 Me
e
dx
b
2、物理关系(剪切虎克定律)
G
3、静力学关系
dj T dA G A dx
dj G G dx
1592 300 103 637 (300 500) 103 4 12 70 10 704 1012 9 9 (80 10 ) (80 10 ) 32 32
j
l
T dx GI p
若T const ,
GI P 称为抗扭刚度
FN l 比较拉压变形：l EA
Tl 则j GI p
公式适用条件： 1、当p（剪切比例极限）公式才成立 2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立） 3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量） 4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算 若圆轴的(T/GIP) 分段为常数，其两端面间的 相对扭转角φ为 Ti li j ji Gi I pi
强度校核; 选择截面;
计算许可荷载。
某汽车主传动轴钢管外径 D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩 T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
例
解：计算截面参数： D 4 4 4 4 I ( 1 ) 77 . 1 10 m m p 32 W I p 20.3 103 m m3 t D/2 由强度条件：
2
max G 2.7 2
180
0.09425 MPa
6
m max Wtp 0.09425 10
118 . Nm
0.04
16
3
例：有两根圆轴，一为实心轴，一为空
心轴，它们的长度、横截面面积和承受的 外力偶矩均相同。外力偶矩m=10KN· m,轴长 l=1m,剪切模量G=80GPa，实心轴直径为 104mm，空心轴外径为120mm，内径为60mm。 试比较它们的最大扭转角ф。
（2）
例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,
原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。如杆长 l=300mm，试求两 端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变 模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪 应力和杆端的外力偶矩ｍ。
解：由
d l j 2
j
2 2 30 得 j l 2 300 d 40
dj 2 dA G Ip A dx
dj dx
dA
O
r
Ip
2 A dA —极惯性矩
dABiblioteka Baidu
由T G
dj dj T I p得 — 单位长度相对扭转角 dx dx GIP
应力公式
1)横截面上任意点：
T T：横截面上的扭矩 I p ：点到截面形心的距离
例：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，
G=80GPa，lAB 300mm ， lAC 500mm m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m 试求截面C相对截面B的扭转角。
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
W W'
P M e 9550 n
( N m)
当杆件只受到位于其横截面内的扭 转力偶作用时。杆件将会产生扭转变形。 在该杆BC区间内作m-m截面,取截面 左侧杆段为研究对象，如图所示，此时 杆件横截面上只有Mx，记作扭矩T，其 余的内力分量均为零。
max
Tmax 97.5MPa [ ] Wt
故轴的强度满足要求。 若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
Tmax 1.98103 max 97.5MPa 由上式解出：d=46.9mm。 3 Wp d / 16 1 空心轴与实心轴的截面 A空 ( D 2 D 2t 2 ) d 2 0.334 面积比(重量比)为： 4 4 A实 3
假设B截面不动。分别求出在 m1和m3 单独作用下，C截面相对B截面的扭转角， 然后叠加。
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
jCB
m1 l AB m3 (l AB l AC ) G IP G IP
MB MC MA MD
例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动
B
C
A
D
解：计算外力偶矩
PA M A 9550 1592N m n PB M B M C 9550 477.5N m n PD M D 9550 637N m n
二、扭矩及扭矩图
1.横截面上的内力：扭矩(T) 2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
Tr T 2)横截面边缘点： max I p Wt
T d/2 ρ O O
其中： Wt
T D/2 d/2
Ip r
抗扭截面系数
m ax
m ax
实心圆
d 4 W d Ip t
32
3
空心圆
16
Ip
D 32
4
d
4
D 4
32
(1 )
4
Wt
D 3
16
(1 4 )
三、强度条件
强度条件： max
Tmax [ ] ， Wt
[]—许用切应力；
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与 许用正应力[]之间存在下述关系： 对于塑性材料． [] ＝(0.5一0.577) [] 对于脆性材料， [] ＝(0.8—1.0) [l] 式中， [l]代表许用拉应力。 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状 态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。 根据强度条件可进行：
由研究对象的平衡方程可知，m-m截面的扭矩
m1 m2
T
T
T=m1-m2
等于其一侧的外力偶矩的代数和。
扭矩的符号按右手法则规定，即右手四指指向扭矩的转向， 拇指离开截面的扭矩为正，指向截面的扭矩为负。
对未知的扭矩按正方向设定
轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转 速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
Fn 0
t
sin 2 得： cos2
max 45
min 45
有 0 ? 0 或90 ，有 ? max max
低碳钢扭转破坏
铸铁扭转破坏
第三章
扭
转
§3-1
m A
概
述
m B j B'
外力偶作用平面和杆件横截面平行
：剪切角 切应变
j：相对扭转角
§3.2 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
一、传动轴上的外力偶矩 输入功率：P(kW)
Me 转速：n(转/分)
1分钟输入功：
W 60 P 1000 60000 P
1分钟me作功
解： 实心轴 j Tl GI p
空心轴j
j 实 10.98 103 1.663 3 j空 6.55 10
(10 103 ) 1 3 10.89 10 rad 4 12 104 10 9 (80 10 ) 32 Tl (10 103 ) 1 3 6.55 10 rad 4 4 12 GI p (80 109 ) (120 60 ) 10 32
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
第一种解法
解： 假设A截面不动
j BA
jCA
T AB l AB GI p TCB l CB
GI p
955 300 10 3 704 1012 9 (80 10 ) 32 637 500 10 3 704 1012 9 (80 10 ) 32 4 BA
---薄壁圆筒
1
m
T
扭矩
对应
规定：矢量方向与横截面外
法线方向一致的扭矩为正
切应力
圆周线 纵向线
扭转实验前
扭转实验后
平面假设成立
结论
相邻截面绕轴线作相对转动 横截面上各点的剪（切）应 力的方向必与圆周线相切。
1.薄壁圆筒的扭转的切应力
Me
r0
dA
x
A
τdA r
2r r M e
2.剪切胡克定律
由几何关系知：
Me 得： τ 2 2r
r / l
G
……剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
T
G为材料的剪切弹性模量
O
O
G 另外有：
E （ 2 1 ）
3.切应力互等定理
y
dz
单元体：微小的正六面体 在扭转时，左右两侧面（杆的横截 面）上只有切应力，方向与y轴平行， 前后无应力。
1.52 10 rad 1.69 10 rad
3
3
jCB jCA j 1.7 10 rad
方向同 m3
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
第二种解法 叠加法
在线弹性范围和小变形条件下，可采用叠加法。
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MB MC
MA
MD
解：已知
D
B
C
A
M A 1592N m M B M C 477.5N m M D 637N m
作扭矩图如左图示。
T
955N· m 477.5N· m
+
637N· m
§3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
m
1
m
R0
δ<<R0
′
o
dy
x
dx
由平衡条件：
z 切应力互等定理：两个相互垂直的微面上的切应力（τ、τ′） 成对存在，数值相等，且都指向（或背离）两平面的交线。
注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。
纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应 力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）
dj T j rad/m dx GIp
其中： [j，]—许用扭转角， 取值可根据有关设计标淮或规 范确定。
刚度条件
jmax Tmax 180 [j ] GI
一、单位长度相对扭转角φ’ 相对扭转角φ
dj T j dx GIp
T dj dx GI p
dφ
例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转
角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa， G=80GPa。求该轴长度。
解：
(1) 9 得： 6 80 10 0 . 05 ( 2) I jG p 180 l 6 max Wpt 90 10 2
2.33 m
Tl T j （ 1 ） max Wt GI p
2 2
D
D 32
4
d4
D4
32
1
4
I p D3 Wt 14 D 16 2
d 式中： D
二、斜截面上的应力
n
x
dA dA cos sin dA sin cos 0 dA dA cos cos dA sin sin 0
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴
较实心轴合理。
§3.5 圆轴扭转时的变形 刚度条件
计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。
T 相对扭转角： j dj dx 0 GI p l
l
j
Tl GI p
rad
GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 单位长度的扭转角：
关于极惯性矩和抗扭截面系数
Ip 称为极惯性矩，Wt 称为抗扭截面系数，它们均与横截面的形状、 尺寸有关。
dA 2 d 4 d d I p A 2dA 2 0 2 3d 32 Ip d3
a. 圆截面
Wt
d
2
16
b. 空心圆截面
I p A dA 2 d 2 3d
dydz dx dxdz dy
§3.4
圆轴扭转时的应力 强度条件
a T T a dx b O2
dj
一、横截面上的应力
1、变形几何关系 Me
e
dx
b
2、物理关系(剪切虎克定律)
G
3、静力学关系
dj T dA G A dx
dj G G dx
1592 300 103 637 (300 500) 103 4 12 70 10 704 1012 9 9 (80 10 ) (80 10 ) 32 32
j
l
T dx GI p
若T const ,
GI P 称为抗扭刚度
FN l 比较拉压变形：l EA
Tl 则j GI p
公式适用条件： 1、当p（剪切比例极限）公式才成立 2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立） 3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量） 4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算 若圆轴的(T/GIP) 分段为常数，其两端面间的 相对扭转角φ为 Ti li j ji Gi I pi
强度校核; 选择截面;
计算许可荷载。
某汽车主传动轴钢管外径 D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩 T=1.98kN· m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
例
解：计算截面参数： D 4 4 4 4 I ( 1 ) 77 . 1 10 m m p 32 W I p 20.3 103 m m3 t D/2 由强度条件：
2
max G 2.7 2
180
0.09425 MPa
6
m max Wtp 0.09425 10
118 . Nm
0.04
16
3
例：有两根圆轴，一为实心轴，一为空
心轴，它们的长度、横截面面积和承受的 外力偶矩均相同。外力偶矩m=10KN· m,轴长 l=1m,剪切模量G=80GPa，实心轴直径为 104mm，空心轴外径为120mm，内径为60mm。 试比较它们的最大扭转角ф。
（2）
例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,
原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。如杆长 l=300mm，试求两 端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变 模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪 应力和杆端的外力偶矩ｍ。
解：由
d l j 2
j
2 2 30 得 j l 2 300 d 40
dj 2 dA G Ip A dx
dj dx
dA
O
r
Ip
2 A dA —极惯性矩
dABiblioteka Baidu
由T G
dj dj T I p得 — 单位长度相对扭转角 dx dx GIP
应力公式
1)横截面上任意点：
T T：横截面上的扭矩 I p ：点到截面形心的距离
例：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，
G=80GPa，lAB 300mm ， lAC 500mm m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m 试求截面C相对截面B的扭转角。
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
W W'
P M e 9550 n
( N m)
当杆件只受到位于其横截面内的扭 转力偶作用时。杆件将会产生扭转变形。 在该杆BC区间内作m-m截面,取截面 左侧杆段为研究对象，如图所示，此时 杆件横截面上只有Mx，记作扭矩T，其 余的内力分量均为零。
max
Tmax 97.5MPa [ ] Wt
故轴的强度满足要求。 若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
Tmax 1.98103 max 97.5MPa 由上式解出：d=46.9mm。 3 Wp d / 16 1 空心轴与实心轴的截面 A空 ( D 2 D 2t 2 ) d 2 0.334 面积比(重量比)为： 4 4 A实 3
假设B截面不动。分别求出在 m1和m3 单独作用下，C截面相对B截面的扭转角， 然后叠加。
m1 1592N m, m2 955N m, m3 637 N m
m2
m1
m3
B
l AB A
l AC
C
jCB
m1 l AB m3 (l AB l AC ) G IP G IP
MB MC MA MD
例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动
B
C
A
D
解：计算外力偶矩
PA M A 9550 1592N m n PB M B M C 9550 477.5N m n PD M D 9550 637N m n
二、扭矩及扭矩图
1.横截面上的内力：扭矩(T) 2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
Tr T 2)横截面边缘点： max I p Wt
T d/2 ρ O O
其中： Wt
T D/2 d/2
Ip r
抗扭截面系数
m ax
m ax
实心圆
d 4 W d Ip t
32
3
空心圆
16
Ip
D 32
4
d
4
D 4
32
(1 )
4
Wt
D 3
16
(1 4 )
三、强度条件
强度条件： max
Tmax [ ] ， Wt
[]—许用切应力；
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与 许用正应力[]之间存在下述关系： 对于塑性材料． [] ＝(0.5一0.577) [] 对于脆性材料， [] ＝(0.8—1.0) [l] 式中， [l]代表许用拉应力。 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状 态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。 根据强度条件可进行：
由研究对象的平衡方程可知，m-m截面的扭矩
m1 m2
T
T
T=m1-m2
等于其一侧的外力偶矩的代数和。
扭矩的符号按右手法则规定，即右手四指指向扭矩的转向， 拇指离开截面的扭矩为正，指向截面的扭矩为负。
对未知的扭矩按正方向设定
轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转 速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。