材料力学扭转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学-第四章 扭转_1
d4
32
(5-8)
Wt
Ip
max
Ip d /2
d3
16
(5-9)
d
o
I p
D/2
2 2
d/2
d
(D4
32
d4)
Ip
32
D4 (1 4 )
（5-10）
Wt
Ip
max
D3 (1 4 )
16
(5-11)
[例5-2]内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面 轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应 力及横截面上的最大和最小剪应力。
第五章 扭转
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
螺旋桨轴
受力特征： 杆受转向相反的力偶矩作用，力偶 作用面垂直于轴线。 变形特征： 横截面绕轴线相对转动。
扭转：横截面绕轴线（纵向线）作相对旋转为主要特征的变形形式。
dx
二. 扭转应力
d A
rdA T r 2 r T
dA
r
A
T
2 r 2
(5-2)
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不
超过4.52%,是足够精确的。
三. 扭转角
l r
l / r ... Tl 2G r3
四、剪切胡克定律
在纯剪状态下，
单元体相对两侧面将
外力偶 Me 每分钟做的功为：
W = 2nMe
( 2)
(1)=(2) 得
P kW × 1000× 60=2 n M e N.m
Me
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0
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杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶.
三、变形特点(Character of deformation)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
.
6
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
Me2 1 Me3
Me1 3 Me4
在
T1 Me2
AD 段内
4774.5
Nm
B
Me2
T3 Me4 6366 N m
1C T1
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同.
A 3D Me4
T3 6366 N·m
作出扭矩图 从图可见,最大扭矩在 CA段内.
Tmax 9549 N m
4774.5 N·m
.
_
9549 N·m
+
13
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)
薄壁圆筒：壁厚
1 10Βιβλιοθήκη r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
1.实验前
（1）画纵向线,圆周线;
（2）施加一对外力偶.
(Free torsion of open and closed thin-
walled members) .
3
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
.
4
.
5
二、受力特点(Character of external force)
Chapter 3 Torsion
.
1
第三章 扭 转 (Torsion)
§3-1 扭转的概念和实例 (Concepts and example problem of torsion)
§3-2 扭转内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转 (Torsion in thin—wall circular tube)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
.
D
10
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
M
e
9
549
p kw
n
r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
.
11
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值. 由平衡方程
3.扭矩图(Torque diagram)
Me
用平行于杆轴线的坐标 x 表示
横截面的位置;用垂直于杆轴线的
坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的
扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x
轴下方. T
n Me
•
x
n T
•
x
• T
Me
x
•
+
_ .
x
9
例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的 功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输 出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
x
dx
Me
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜成同样. 大小的平行四边形.
14
3.推论(Inference)
Me
（1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
§3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition) .
2
§3-5 圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
(Torsional deformation of circular bars &
stiffness condition)
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致.
τ T
τ
.
16
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, y
其方向于 y 轴平行.
由平衡方程
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
MeN
m
9
P
549 kW
n r / min
Me2
Me1
从动轮 主动轮
n Me3
从动轮
Me—作用在轴上的力偶矩( N ·m ) n—轴的转速( r/min )
P—轴传递的功率(kW)
.
7
二、内力的计算 (Calculation of internal force)
圆周各点处切应力的方向于圆周相切, A
且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
B
.
Me
D
C
dx δ
15
4.推导公式 (Derivation of formula)
A dA r rAdA r(2π r ) T
T 2πr 2
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
§3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形
(Calculation of the stress and deformation
in §c3lo-s7e-c非oi圆led截h面eli杆ca的l s扭pr转ings)
(Torsion of noncircular prismatic
bar§s3)-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
1.求内力(Calculating internal force)
截面法 (Method of sections)
在n-n 截面处假想将轴截开取
左侧为研究对象
Me
Me
Mx 0
T Me
Me
T
.
8
2.扭矩符号的规定 (Sign convention for torque)
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负.
Me2
Me3 2
Me1
Mx 0
B C2 A
Me2 Me3 T2 0
Me2
T2 Me2 Me3 9549N m
Me3 T2 x
结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩 同理,在 BC 段内
BC
T1 Me2 4774.5 N m
Me2 T 1 x
.
Me4 D
12
同理,在 BC 段内
三、变形特点(Character of deformation)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
.
6
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
Me2 1 Me3
Me1 3 Me4
在
T1 Me2
AD 段内
4774.5
Nm
B
Me2
T3 Me4 6366 N m
1C T1
注意：若假设扭矩为正值,
则扭矩的实际符号与计算符号相同.
A 3D Me4
T3 6366 N·m
作出扭矩图 从图可见,最大扭矩在 CA段内.
Tmax 9549 N m
4774.5 N·m
.
_
9549 N·m
+
13
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)
薄壁圆筒：壁厚
1 10Βιβλιοθήκη r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
1.实验前
（1）画纵向线,圆周线;
（2）施加一对外力偶.
(Free torsion of open and closed thin-
walled members) .
3
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
.
4
.
5
二、受力特点(Character of external force)
Chapter 3 Torsion
.
1
第三章 扭 转 (Torsion)
§3-1 扭转的概念和实例 (Concepts and example problem of torsion)
§3-2 扭转内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转 (Torsion in thin—wall circular tube)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
.
D
10
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
M
e
9
549
p kw
n
r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
.
11
计算 CA 段内任横一截面 2-2
截面上的扭矩.假设 T 2为正值. 由平衡方程
3.扭矩图(Torque diagram)
Me
用平行于杆轴线的坐标 x 表示
横截面的位置;用垂直于杆轴线的
坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的
扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x
轴下方. T
n Me
•
x
n T
•
x
• T
Me
x
•
+
_ .
x
9
例题1 一传动轴如图所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的 功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输 出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试做扭矩图.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
x
dx
Me
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
（3）所有矩形网格均歪斜成同样. 大小的平行四边形.
14
3.推论(Inference)
Me
（1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
§3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件
(Analyzing stress of circular bars &
strength condition) .
2
§3-5 圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件
(Torsional deformation of circular bars &
stiffness condition)
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致.
τ T
τ
.
16
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, y
其方向于 y 轴平行.
由平衡方程
Fy 0
两侧面的内力元素 dy dz
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
MeN
m
9
P
549 kW
n r / min
Me2
Me1
从动轮 主动轮
n Me3
从动轮
Me—作用在轴上的力偶矩( N ·m ) n—轴的转速( r/min )
P—轴传递的功率(kW)
.
7
二、内力的计算 (Calculation of internal force)
圆周各点处切应力的方向于圆周相切, A
且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处
切应力的数值无变化.
B
.
Me
D
C
dx δ
15
4.推导公式 (Derivation of formula)
A dA r rAdA r(2π r ) T
T 2πr 2
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
§3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形
(Calculation of the stress and deformation
in §c3lo-s7e-c非oi圆led截h面eli杆ca的l s扭pr转ings)
(Torsion of noncircular prismatic
bar§s3)-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转
1.求内力(Calculating internal force)
截面法 (Method of sections)
在n-n 截面处假想将轴截开取
左侧为研究对象
Me
Me
Mx 0
T Me
Me
T
.
8
2.扭矩符号的规定 (Sign convention for torque)
Me
采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的 指向背离截面时扭矩为正,反之为负.
Me2
Me3 2
Me1
Mx 0
B C2 A
Me2 Me3 T2 0
Me2
T2 Me2 Me3 9549N m
Me3 T2 x
结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩 同理,在 BC 段内
BC
T1 Me2 4774.5 N m
Me2 T 1 x
.
Me4 D
12
同理,在 BC 段内