§3.3 纯剪切§3.4圆轴扭转时的应力
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第三章 扭转
46
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学课件第3-4章
L M x( x) d x
0 GIP (x)
28
3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件
二. 刚度条件
对等直轴:
d
dx
Mx GIP
单位长度的扭转角
等直圆轴扭转
max
M x max GIP
180
[ ](o /m)
对阶梯轴: 需分段校核。
max
M x max GIP
180
[ ](ο /m)
2. 给出功率, 转速
(kw)
Me = 9549
P n
(N. m)
(r/min)
5
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二.横截面上的内力
截面法求内力： 截，取，代，平
Mx 称为截面上的扭矩
Mx 0 Mx Me 0 即 Mx Me
按右手螺旋法：
指离截面为正，
M x 指向截面为负。
6
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
10
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一. 薄壁筒扭转实验
nm
t
实验观察 分析变形
x
r
nm l
mn没变 x = 0
x = 0
Me
nm
γ
Me
φ
x
r没变 = 0
= 0
nm
Me
nm
Mx
x
n m Mx
11
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
Me Mx
nm
Mx
n m Mx
由于轴为薄壁,所以认
为 沿t 均布.即 =C
max
M x max Wp
31.5 103 m
M x max d 3
16
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
第3.3圆轴扭转部分内容
例 P＝7.5kW,许用剪应力＝40MPa，空心圆轴 题 的内外径之比 = 0.5。
求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
一
第四节 圆轴扭转时的应力
例题一
解：(1)对于实心轴
T=9549
P n
=
9549
7.5 100
=716.2 N.m
T
16 T
max= Wt1 = d13 =40 MPa
3
第四节 圆轴扭转时的应力
应力分析方法及过程：
变形
平面假设
应变分布
物性关系
应力公式 静力方程 应力分布
第四节
1、平面假设 变形前在圆轴
上画出母线和圆 周线
圆轴扭转时的应力
变形特点：
1、各圆周线的形状、尺 寸和间距保持不变，只 是绕轴线作相对转动。 2、各母线仍为直线，但 都倾斜了一相同的角度 。
第四节 圆轴扭转时的应力
第五节 圆轴扭转时的变形
若两截面间T值不变，且
为等直径杆，则为T/GIp
常数，于是：
AB＝
Tl GIp
对于阶梯轴：AB n Ti li , 绝对刚度条件 AB [ ] i1 GI pi
刚度条件： d T [ ] rad/m (/m)
dx GI p
一般轴，[ ]=0.5~1°/m；精密轴，[ ]=0.25~0.5°/m
80mm
N1
A
T
500
(kNm)
d2
3
16T
π τ
3
16 4210 3.14 70 106
67.4mm
N2
N3
②全轴选同一直径时
B
C
400
d d1 80mm
求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
一
第四节 圆轴扭转时的应力
例题一
解：(1)对于实心轴
T=9549
P n
=
9549
7.5 100
=716.2 N.m
T
16 T
max= Wt1 = d13 =40 MPa
3
第四节 圆轴扭转时的应力
应力分析方法及过程：
变形
平面假设
应变分布
物性关系
应力公式 静力方程 应力分布
第四节
1、平面假设 变形前在圆轴
上画出母线和圆 周线
圆轴扭转时的应力
变形特点：
1、各圆周线的形状、尺 寸和间距保持不变，只 是绕轴线作相对转动。 2、各母线仍为直线，但 都倾斜了一相同的角度 。
第四节 圆轴扭转时的应力
第五节 圆轴扭转时的变形
若两截面间T值不变，且
为等直径杆，则为T/GIp
常数，于是：
AB＝
Tl GIp
对于阶梯轴：AB n Ti li , 绝对刚度条件 AB [ ] i1 GI pi
刚度条件： d T [ ] rad/m (/m)
dx GI p
一般轴，[ ]=0.5~1°/m；精密轴，[ ]=0.25~0.5°/m
80mm
N1
A
T
500
(kNm)
d2
3
16T
π τ
3
16 4210 3.14 70 106
67.4mm
N2
N3
②全轴选同一直径时
B
C
400
d d1 80mm
《化工设备机械基础3版》第三章
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R
1 D3
16
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt
Ip
/ R 1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
§3.4 圆轴扭转的强度条件
扭转强度条件：
1. 等截面圆轴：
max
Tmax
W2.t 阶梯形圆轴：
交线。
纯剪切
三、切应变 剪切胡克定律
在切应力的作用下，单 元体的直角将发生微小的
G
τ
改变，这个改变量
应变。
称为切
G
—
剪切弹性模量(GN/m2)
当切应力不超过材料 的剪切比例极限时，切应
变与切应力τ成正比，这
个关系称为剪切胡克定律。
各向同性材料， 三个弹性常数之间的 关系：
G E
2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
Pa
21.98MPa
满足强度要求。
§3.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
一、圆轴扭转的变形
相对扭转角
抗扭刚度
n
Tili
i1 GIPi
二、圆轴扭转的刚度条件
单位长度扭转角
' d T
dx GI p ' T 180
GI p
rad/m ⁰/m
扭转刚度条件
' max
[' ]
[ ' ]许用单位扭转角
§3.1 扭转的概念和实例
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
圆轴扭转时的应力与强度条件
圆轴扭转时的应力与强度条件扭转是杆件的基本变形形式之一。
工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。
通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。
本讲主要分析圆截面杆的扭转。
非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。
图1 圆轴的扭转扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。
力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。
● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。
一、圆轴扭转的应力图2 圆轴扭转的剪应力分布图图2中，tW T=max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。
实心圆轴163D W n π=，空心圆轴Dd D W n16)(44-=π。
二、扭转强度分析为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即A Bm axm τ][max ττ≤=tW T（9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。
例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。
若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。
根据强度确定轴的直径。
解: (1) 计算力偶距m 2 。
m N m m m .3.194312=+=（2）画扭矩图。
（3）根据强度条件计算直径。
从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。
][163maxmax max τπτ≤==DT W T t []m 0272.0104014.31551616363max=⨯⨯⨯=≥τπT D1231m 2m 3m 0.30.4mxT155N.m39.3N.m。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
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dd
3
D 32
4
d
4
D 4
32
1
4
式中
IP D 3 4 4 D d 1 4 Wt R 16 D 16
α =d/D
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
三、强度条件
max
（1）强度计算 ①校核 ②设计截面 Wt
Tmax Wt
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
§3.3 纯剪切
在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二者关 系的研究非常重要。 一、薄壁圆筒扭转时的切应力 连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应力，剪切面附近变形十分 复杂。纯剪切是指截面上只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄 壁圆筒的扭转。 （1）观察变形及分析 变形前纵线与圆周线形成方格。 变形后方格左右两边相对错动，距离保持不 变，圆周半径长度保持不变，这表示横截面上 无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵 截面，故横截面上的切应力与半径正交。 对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。 （2）力矩平衡Σ Mx=0
D23≥71.5mm
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
895
358 1433
例 3—4 图示传动轴外力偶矩某度为 m M=500N·m/m D=30mm 试求： τ
max
l=1000mm
解： Σ Mx=0 当 x=0 时，T=0
T(x)=mx
扭矩沿轴线线性变化
当 x=l 时，Tmax=ml=500N·m ∴ max
rd x Rd d r R dx d r dx
（a）
讨论： a.
d 为扭转角φ 沿轴线 dx
x 的变化率对给定截面上的各点而言，
（即 x 相同）它是常量。 b. 横截面上任意点的切应变γ P 与该点到圆心的距离 P 成正比。 （任 意半径圆周处的切应变均相等） 。
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
max
T
Me3=2866N·m Me4=1075N·m Me5=358N·m [τ ]=20MPa 试设计阶梯轴各段的直径 D （1）求各段轴的扭矩，作出扭矩图 （2）求各段轴的直径 D ∵
Wt
T
D 3
16
T
∴
D3
16T
D12 3
16 895 1000 61.1mm 20
Tmax
D 3
16
Tmax
4
D3
16Tmax
D 3
16
1 T
max
D3
16Tmax 1 4
③确定许用载荷 Tmax≤[τ ]Wt 2）讨论：对变截面杆、如阶梯杆、圆锥形杆，Wt 不是常量，τ 并不一定发生在扭矩为 Tmax 的截面上， 这要综合考虑 T 和 Wt 寻求 最大值。 四、强度计算举例 例 3—3 图示传动轴 Me1=895N·m Me2=538N·m
切应力互等定律 圆轴扭转时的强度条件及其应用 教 学 内 容 与 教 学 过 程
提示与补充
1、 薄壁圆筒扭转时的切应力 （1） 观察变形及分析 （2） 力矩平衡 2、 切应力互等定律 3、 切应变剪切胡可定律 4、 圆轴扭转时的应力分布规律、切应力计算公式 5、 IP、Wt 的计算 6、 强度条件 例 3—3 ，例 3—4 。
Tmax 16Tmax 16 500103 94.3 Mpa Wt D3 303
x
l
x
500
I A 2 dA （截面
对圆心 O 的板惯性矩）
T GI P
于是：
d dx d T dx GI P
（c） 式（c）代入式（b）得
②讨论
T I
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
D
TR Ip
d D
max
引入
（e）
Wt
IP R
（抗扭截面系数）
则
max
（2）物理关系 ①剪切胡克定律
Gr
Байду номын сангаас G
②结论 a. 距圆心等距的圆周上各点处的切 应力均相等。τ
P
d dx
（b）
与半径垂直（即各点处的
圆周切线方向） 。 b. 切应力沿半径直线分布。 （3）静力关系 ①内力为分布力系的合力
T A dA G
令
d 2 dA A dx
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
课 题 教 学 目 的 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 切应力互等定律 圆轴扭转时的应力分布，IP、Wt 的计算及强度条件的应用
编写日期 年 月 日
§3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
需 2 课时
了解薄壁圆筒扭转时的切应力，掌握圆轴扭转时的应力分布规律，IP、Wt 的计算及强度条件的应用
τ = Gγ
G——比例常数，材料的切变模 量。单位 GPa 四、三个弹性常数之间的关系 对各向同性材料
G
E 21
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
§3.4 圆轴扭转时的应力 一、. 应力分布规律： 几何学方面 物理学方面 静力学方面 （1）变形几何关系 ①观察试验（在小变形前提下） a.圆周线大小、形状及相邻 二圆周线之间的距离保持不变， 仅 绕轴线相对转过一个角度。 b.在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一微小角度， 变形前表面的 矩形方格，变形后错动成菱形。 ②平面假设： 圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面， 形 状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻二截面间的距离保持不变。 ③结论：横截面上只有切应力而无正应力。 ④取 dx 一段轴讨论：
T Wt
（f）
二、IP、Wt 计算公式 （1）实心圆截面 dA=ρ dθ dρ
D
I P P dA
2 A
2 R
OO
3
dpdt
R 4
2
D 4
32
I P R 3 D 3 Wt R 2 16
（2）空心圆截面
2 D/2
I P dA
2 A
0
d /2
青 岛 滨 海 学 院 教 师 教 案
M e 2r · · r Me 2r 2
二、切应力互等定理 取出单元体如左图
Me 2r 2
τ ′=τ
Σ Fx=0 Σ Mz=0
dydx dxdy
τ ′=τ
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其 方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背离两平面交线。这就是 切应力互等定理，也称为切应力双生定理。 三、切应变剪切胡克定律 上述单元体，属于纯剪切状态 胡克定律：试验表明，当切应力不 超过比例极限时，切应力与切应变成正 比。