轴扭转计算
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圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
轴的扭转刚度计算
Hypermesh求解
长度单位全部为毫米（mm） 最大应变为1.936e-4mm 扭转角度=最大应变/(r/2)=3.872e-5rad=2.219deg 扭转刚度 Kt=T/扭转角度=4.507 Nm/deg
计算结果对比
公式计算 直径/mm 长度/mm 扭矩/N
剪切模量 Ip
扭转角度/rad 扭转角度/deg 刚度/N/deg
10
300
0.01 8.00E+10 9.82E-10
3.82E-05
2.19E-03 4.57E+00
hypermes量 2.10E+11
扭转角度/rad 扭转角度/deg 刚度/N/deg 0.00003872 0.00221849 4.5075758
轴的扭转刚度计算方法
张志军
扭转变形计算公式：
扭转角(φ)：圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。
G—剪切弹性模量
几种材料特性举例：
公式求解：
已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为 0.01Nm，求扭转刚度？
首先将长度单位化为米(m) Ip=π*d^4/32=9.82e-10 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.82e-5 rad=2.19e-3 deg 扭转刚度Kt=T/扭转角度=4.57 Nm/deg
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
扭转力公式
扭转力公式
扭力计算公式：M=LxF，其中L是从转动轴到着力点的距离矢量，F是矢量力，引擎的功率能由扭矩计算出来的。
扭力是指扭转物体使物体产生形变的力。
扭力，使材料产生扭转变形时所施加的力距，单位N·m。
在测材料的扭转刚度或扭转模量等力学量时，在以扭转方式测材料动态力学性能时，都需对试样施加扭力。
特别在动态力学的许多测量仪器上，因为比较容易实现自由振荡或强迫振荡的扭力施加形式，所以采用是比较广泛的。
如扭摆分析仪、扭辫分析仪、旋转流变仪等对试样都是施加的扭力。
所谓扭力就是物体受到一个与物体转动方向的切向力
作用时产生的力矩，常用扭力扳手来计量，单位是牛顿·米。
常见的受扭力作用的物体有，螺杆螺母副传动轴等等。
材料力学-扭转-计算公式及例题
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 计截面的内
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
d2=70mm。 。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
max
M n max Wp
[ ]
1
横截面上的最大扭 矩
Mn max
（扭矩）计算公式汇总
按许用转应力计算公式5t式中d计算剖面处轴的直径mmt轴传递的额定转钜nmm
（扭矩）计算公式汇总
轴设计计算
机械设计手册 第3本
第3章 轴的强度19-16
按许用转应力计算公式5T 式中 d-计算剖面处轴的直径（mm） [ τ ] T-轴传递的额定转钜（N/mm）
T=955000 P/n
[ τ ]-轴的许用转应力（Mpa)见表19.3-2
=156.8 N / 100 mm 2=
1.568 N / mm 21.568 N 1mm 2=12314.68 N 实心轴d≥ 3 光轴
实心轴ф=584
7853.7
5*12314.68
20
d≥ 14.547478 12314.68*200
8.1*108*14.54
第4章 轴的刚度
19-28轴的扭转变形计算
T ι式中 ф-圆轴扭转角ф的简化计算公式G d 4 T-轴传递的额定转钜（N/mm）
ι-轴受转钜作用的长度（mm) ι=200 G-材料的切变模量(Mpa)
假设d=14.5
对钢 G=8.1*108 (Mpa) F = A * S F=力 A=压强 S=面积例：DN100 = 7853.75 mm 2PN16=16 kgf / cm 2
2462936
358061*108 ф=0.00004017＜ 轴的变形许用值
合格
满足此刚度要求的轴直径可由下式求得 T 一般轴：ф=0.50~~10/m 138.5ф
12314.68
69.25ф=584
ф=584
d≥ 4d≥ 3d≥ 33078.67
d≥ 4
d≥3.65=d≥ 4177.829=
（扭矩）计算公式汇总
轴设计计算
机械设计手册 第3本
第3章 轴的强度19-16
按许用转应力计算公式5T 式中 d-计算剖面处轴的直径（mm） [ τ ] T-轴传递的额定转钜（N/mm）
T=955000 P/n
[ τ ]-轴的许用转应力（Mpa)见表19.3-2
=156.8 N / 100 mm 2=
1.568 N / mm 21.568 N 1mm 2=12314.68 N 实心轴d≥ 3 光轴
实心轴ф=584
7853.7
5*12314.68
20
d≥ 14.547478 12314.68*200
8.1*108*14.54
第4章 轴的刚度
19-28轴的扭转变形计算
T ι式中 ф-圆轴扭转角ф的简化计算公式G d 4 T-轴传递的额定转钜（N/mm）
ι-轴受转钜作用的长度（mm) ι=200 G-材料的切变模量(Mpa)
假设d=14.5
对钢 G=8.1*108 (Mpa) F = A * S F=力 A=压强 S=面积例：DN100 = 7853.75 mm 2PN16=16 kgf / cm 2
2462936
358061*108 ф=0.00004017＜ 轴的变形许用值
合格
满足此刚度要求的轴直径可由下式求得 T 一般轴：ф=0.50~~10/m 138.5ф
12314.68
69.25ф=584
ф=584
d≥ 4d≥ 3d≥ 33078.67
d≥ 4
d≥3.65=d≥ 4177.829=
轴扭转计算
第5章扭转5。
1 扭转的概念及外力偶矩的计算5。
1。
1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件.例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉.图5.1图示5。
2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5。
2图示5。
3,载重汽车的传动轴。
图5.3图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成(图5。
5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.5分析以上受扭杆件的特点,作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。
变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示.以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5。
1。
2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。
根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：nNm 9550= （5.1） 式中 m--—-作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ⋅; N —---—轴传递的功率,单位为kW ； n ——--——轴的转速，单位为r/min.图5。
75.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图5.2.1 扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。
图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力.假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象(图5。
8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系e M T =内力偶矩T 称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看,逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8图示5。
8的b 和c,从同一截面截出的扭矩均为正号。
圆轴扭转变形与刚计算
2 dsdx
2G
l
T2
T2
8 2G dsdx
l
8
2G
ds
dx
T为常数的等截面杆
V
T 2l 2GI t
=W=T / 2
式中：
It
4 2 ds
Tl
GI t
27
三、开口薄壁杆的扭转应力
max
3T max
n
hi i 3
i 1
3Tl
n
G hi i 3
i 1
3
1
2
28
【例题5】 如图所示为相同尺寸的闭口钢管和开口 钢管，承受相同的扭矩T。设平均直径为d，壁厚为t，
试比较两者的强度和刚度。
d
t (a)
d
t (b)
29
T 2
Tl
GI t
4 2 I t ds
解：1. 对闭口薄圆环， A d 2 s d ，则
dT
t
t
(a)
(b)
相同的扭矩，由于应力分布不同导致了应力大 小差别。
33
课后练习
思考：
一等直圆杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生 切应变吗？当受到扭转时，杆内会产生正应变吗？
作业：
4-16 4-27 4-32 4-33
34
T1-T2=0
T1
T2
mG2 I p2 G1Ip1 G2 Ip2
T2
2
1
T1
16
§7.6 非圆截面杆的扭转
m
m
农业机械中的方轴
柴油机曲柄的受 扭截面为矩形
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5.3.1实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
5.2横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？
习题
5.1试作下列各轴的扭矩图。
题5.1图
5.2图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， 。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题5.2图题5.3图
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
将（5.3）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.15实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速 ，传递功率 ，材料的许用切应力 ，试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
题5.15图
5.16已知传动轴的功率分别为 ， ， ，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题5.16图
5.17已知轴的许用切应力 ，切变模量 ，许用单位扭转角 ，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
5.18长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为 ，另一根为空心轴，内外径之比 ，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
5.19图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度 和长度l，试求B截面的扭转角 。
题5.18图题5.19图
5.20传动轴外径 ，长度 ， 段内径 ， 段内径 ，欲使轴两段扭转角相等，则 应是多长。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩 变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量，用 表示，称为单位长度扭转角。即：
（5.8）
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内Байду номын сангаас及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
5.3T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
5.4图示圆截面空心轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题5.4图
5.5一直径为 的圆截面轴，其转速为 ，设横截面上的最大切应力为 ，试求所传递的功率。
5.6将直径 ，长 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量 ，求此时钢丝内的最大切应力 。
（5.9）
在工程中， 的单位习惯用 （度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得
对于等截面圆轴，即为
许用扭转角 的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴， 为 ~ ，对于精密机器的轴， 常取在 之间。
例题5.4图示轴的直径 ，切变模量 ，试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题5.4图
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 或 ，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
题5.8图
5.9一钢轴受扭矩 ，许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试选择轴的直径。
5.10桥式起重机题5.10图所示。若传动轴传递的力偶矩 ，材料的许用切应力 ， ，同时规定 0.5°/m。试设计轴的直径。
题5.10图
5.11某空心钢轴，内外径之比 ，转速 ，传递功率 ，已知许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试设计钢轴的内径和外径。
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
5.2横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？
习题
5.1试作下列各轴的扭矩图。
题5.1图
5.2图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， 。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题5.2图题5.3图
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
将（5.3）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.15实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速 ，传递功率 ，材料的许用切应力 ，试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
题5.15图
5.16已知传动轴的功率分别为 ， ， ，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题5.16图
5.17已知轴的许用切应力 ，切变模量 ，许用单位扭转角 ，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
5.18长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为 ，另一根为空心轴，内外径之比 ，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
5.19图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度 和长度l，试求B截面的扭转角 。
题5.18图题5.19图
5.20传动轴外径 ，长度 ， 段内径 ， 段内径 ，欲使轴两段扭转角相等，则 应是多长。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩 变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量，用 表示，称为单位长度扭转角。即：
（5.8）
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内Байду номын сангаас及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
5.3T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
5.4图示圆截面空心轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题5.4图
5.5一直径为 的圆截面轴，其转速为 ，设横截面上的最大切应力为 ，试求所传递的功率。
5.6将直径 ，长 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量 ，求此时钢丝内的最大切应力 。
（5.9）
在工程中， 的单位习惯用 （度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得
对于等截面圆轴，即为
许用扭转角 的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴， 为 ~ ，对于精密机器的轴， 常取在 之间。
例题5.4图示轴的直径 ，切变模量 ，试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题5.4图
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 或 ，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
题5.8图
5.9一钢轴受扭矩 ，许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试选择轴的直径。
5.10桥式起重机题5.10图所示。若传动轴传递的力偶矩 ，材料的许用切应力 ， ，同时规定 0.5°/m。试设计轴的直径。
题5.10图
5.11某空心钢轴，内外径之比 ，转速 ，传递功率 ，已知许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试设计钢轴的内径和外径。