轴扭转计算
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第4节 圆轴扭转时的强度计算
3
55 . 5 MPa [ ]
故：此阶梯形圆轴满足强度条件。
第六章 圆轴的扭转
第四节
一、强度条件
圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时 的强度条件
max
T WP
[ ]
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
0.8kNm
1.0kNm
第六章 圆轴的扭转 2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0 . 8 10 63 . 7 a [ ] AB段： max WP 3 ( 40 10 ) 16 d 45 0 . 818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 1 10 max Pa WP 3 3 4 ( 55 10 ) (1 0 . 818 ) 16
55 . 5 MPa [ ]
故：此阶梯形圆轴满足强度条件。
第六章 圆轴的扭转
第四节
一、强度条件
圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时 的强度条件
max
T WP
[ ]
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题： 强度校核
设计截面尺寸
确定许用载荷
第六章 圆轴的扭转 例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直 径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D =55mm，内 径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动 轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN· ｍ，从动轮A、D 传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN· m，MD=1kN· m， 材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。 解：1）画扭矩图： 用截面法（或简捷方法） 可作出该阶梯形圆轴的 扭矩图如图所示。
0.8kNm
1.0kNm
第六章 圆轴的扭转 2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不 同，故要分别进行强度校核。
T 0 . 8 10 63 . 7 a [ ] AB段： max WP 3 ( 40 10 ) 16 d 45 0 . 818 CD段：轴的内外径之比 D 55 3 T 1 10 max Pa WP 3 3 4 ( 55 10 ) (1 0 . 818 ) 16
11圆轴扭转变形与刚度计算
§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
l
x
12
三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】 设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴，在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的 凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭 刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ，试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩 m解 除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗 其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作 用，平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
l
x
12
三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】 设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴，在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的 凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭 刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ，试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩 m解 除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗 其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作 用，平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。
轴的转动惯量
轴的转动惯量
轴的转动惯量（或扭转惯性矩）是描述轴绕其自身轴线旋转时惯性特性的物理量。
它是一个刚体特有的物理量，用来衡量物体对转动的惯性程度。
轴的转动惯量可以用公式I = ∫r²dm来计算，其中r是物体上离
转轴距离为r的质点，dm是质点的微元质量。
对于简单的几何体，可以使用一些已知的公式来计算转动惯量：- 对于绕轴旋转的直杆，转动惯量为I = (1/3)mL²，其中m是
直杆的质量，L是直杆的长度。
- 对于绕轴旋转的圆盘，转动惯量为I = (1/2)mR²，其中m是
圆盘的质量，R是圆盘的半径。
- 对于绕轴旋转的球体，转动惯量为I = (2/5)mR²，其中m是
球体的质量，R是球体的半径。
转动惯量的大小取决于物体的质量分布和转轴的位置。
质量集中在离转轴较远的区域，转动惯量会较大；质量集中在离转轴较近的区域，转动惯量会较小。
对于复杂形状的物体，需要使用积分来计算转动惯量。
根据物体的几何形状和质量分布，可以通过积分计算出转动惯量的精确值。
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
圆轴扭转的计算(工程力学课件)
9 549 20 637 300
Nm
318 N.m 1 477 N.m 2 1432 N.m 3 637 N.m
B
1C
A 2
D 3
扭矩图（T图）
318 N.m
477 N.m
1432 N.m
637 N.m
B
C
A
D
练习1
画扭矩图！
5
3
＋
A
B
C
练习2
3000N.m
3000
＋
1200
T图（N.m）
G E
材料的三个弹性常数
2(1 ) 由三个中的任意两个，求出其第三个
扭转的概念 扭矩和扭矩图
扭转变形
角应变
扭转角
受力特点
大小相等、方向相反， 作用面垂直于杆件轴线的外力偶矩
变形特点 任意横截面绕杆轴线产生转动
典型构件
以扭转变形为主的杆件通常称为轴 最常用的是圆截面轴
扭转的工程实例
螺丝刀杆工作时受扭
输出功率： PB 10 kW PC 15 kW PD 20 kW
M eA
9
549
PA n
9 549 45 1 432 300
Nm
M eB
9
549 PB n
9
549 10 318 300
Nm
M eC
9 549 PC n
9 549 15 477 300
Nm
M eD
9 549 PD n
（1）条件 （2）求约束力
扭矩 T图
T
Ip
Tl l FN l
GI P
EA
扭转
拉压
max
Tmax Wp
11圆轴扭转变形与刚度计算
§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
6
2. 用截面法求 各段内的扭矩
mB+T1=0
T1 350N m
mB+ mC+ T2=0 T2 700N m
-mD+ T3=0 T3 446N m 3. 作扭矩图
7
4. 确定最大扭矩
T max T2 700N m
5. 强度设计
max
d0
T
max
m d2 x l
10
d1
解：设距左端为 x 的任 意横截面的直径为 d(x) ， 按比例关系可得 d2
d1 d 2 x d d2 1 d2 l
x
l
m
d1
此横截面的极惯性矩为
d1 d 2 x Ip 1 32 32 d2 l
d
4
d2
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
6
2. 用截面法求 各段内的扭矩
mB+T1=0
T1 350N m
mB+ mC+ T2=0 T2 700N m
-mD+ T3=0 T3 446N m 3. 作扭矩图
7
4. 确定最大扭矩
T max T2 700N m
5. 强度设计
max
d0
T
max
m d2 x l
10
d1
解：设距左端为 x 的任 意横截面的直径为 d(x) ， 按比例关系可得 d2
d1 d 2 x d d2 1 d2 l
x
l
m
d1
此横截面的极惯性矩为
d1 d 2 x Ip 1 32 32 d2 l
d
4
d2
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
轴的扭转刚度计算
计算结果对比
公式计算
直径/mm
长度 扭矩/N /mm
剪切模量
Ip 扭转角度/rad
扭转角度/deg
10
300
0.01
8.00E+10
9.82E10
3.82E-05
2.19E-03
刚度/N/deg
4.57E+00
hypermesh
应变/mm 1.94E-04
弹性模量 2.10E+11
扭转角度/rad 0.00003872
03
扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.82e-5 04 r a d = 2 . 1 9 e - 3 d e g
扭转刚度Kt=T/扭转角度=4.57 05 N m / d e g
Hypermesh 求解
长度单位全部为毫米（mm）
最大应变为1.936e-4mm
扭转角度=最大应变/(r/2)=3.872e5rad=2.219deg 扭转刚度 Kt=T/扭转角度=4.507 Nm/deg
扭转角度/deg 0.00221849刚度/N/deg Fra bibliotek.5075758
轴
的
扭
转
刚
张志军
度
计
算
方
法
扭转变形计算 公式：
0 1
扭转角(φ)：圆轴扭转时两 横截面相对转过的角度。
0 2
G—剪切弹性模量
几种材料特性 举例：
公式求解：
已知：直径为10mm，长度为300mm， 01 受 到扭 矩为 0 . 0 1N m ， 求扭 转刚 度？
首先将长度单位化为米(m)
02
Ip=π*d^4/32=9.82e-10
轴扭转计算
第5章扭转5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算5.1.1、扭转的概念在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。
例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.5分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。
变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。
以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。
根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：nN m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ⋅；N-----轴传递的功率，单位为kW ；n------轴的转速，单位为r/min 。
图5.75.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图5.2.1 扭矩已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。
图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。
假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系e M T =内力偶矩T 称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。
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横截面面积相等的实心轴和空心轴，两轴材料相同，受同样的扭矩T作用，已知实心轴直径 ，空心轴内外径之比值 。试求二者最大切应力之比及单位长度扭转角之比。
钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值 ）的横截面面积相等，钢轴许用应力 ，铝轴许用应力 ，若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？
实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速 ，传递功率 ，材料的许用切应力 ，试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
1、作扭矩图（图b）
2、分段求扭转角
式中，
例题主传动钢轴，传递功率 ，转速 ，传动轴的许用切应力 ，许用单位长度扭转角 ，切变模量 ，试计算传动轴所需的直径。
解：1、计算轴的扭矩
2、根据强度条件求所需直径
3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径
故应按刚度条件确定传动轴直径，取 。
本章小结
1、圆轴扭转横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大剪应力发生在截面外周边各点处，其计算公式如下：
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩 变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量，用 表示，称为单位长度扭转角。即：
（）
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
图
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
（a）（b）
图
等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
塑性材料
脆性材料
例题汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
对于图（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
图
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图（b）所示。同理可得
（）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 成正比关系。
，
2、圆轴扭转的强度条件为：
利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可荷截等三类强度计算问题。
3、圆轴扭转变形的计算公式为：
圆轴扭转的刚度条件是：
思考题
直径相同，材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大切应力 和最大单位扭转角 是否相同？
横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？
题图
已知传动轴的功率分别为 ， ， ，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题图
已知轴的许用切应力 ，切变模量 ，许用单位扭转角 ，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为 ，另一根为空心轴，内外径之比 ，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
将（）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（）
将（）式代入（）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力 与该点到圆心的距离 成正比，其分布如图所示，式中 可利用静力方程确定。
图
3、静力学关系
根据图所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
题图
一钢轴受扭矩 ，许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试选择轴的直径。
桥式起重机题图所示。若传动轴传递的力偶矩 ，材料的许用切应力 ， ，同时规定 °/m。试设计轴的直径。
题图
某空心钢轴，内外径之比 ，转速 ，传递功率 ，已知许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试设计钢轴的内径和外径。
某传动轴，横截面上的最大扭矩 ，许用切应力 ，试按下列两种方案确定截面直径：⑴横截面为实心圆截面；⑵横截面为 的空心圆截面。
习题
试作下列各轴的扭矩图。
题图
图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， 。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题图题图
T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
图示圆截面空心轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题图
一直径为 的圆截面轴，其转速为 ，设横截面上的最大切应力为 ，试求所传递的功率。
将直径 ，长 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量 ，求此时钢丝内的最大切应力 。
某钢轴直径 ，扭矩 ，材料的许用切应力 ，单位长度许用扭转角 ，切变模量 ，试校核此轴的强度和刚度。
阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为N3=3kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力 ， ，许用扭转角 ＝。试校核轴的强度和刚度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即
图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度 和长度l，试求B截面的扭转角 。
题图题图
传动轴外径 ，长度 ， 段内径 ， 段内径 ，欲使轴两段扭转角相等，则 应是多长。
（）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图
圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 或 ，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。
（）
在工程中， 的单位习惯用 （度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得
对于等截面圆轴，即为
许用扭转角 的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴， 为 ~ ，对于精密机器的轴， 常取在 之间。
例题图示轴的直径 ，切变模量 ，试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题图
解：两端面之间扭转角 为
第5章扭转
扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示，常用的螺丝刀拧螺钉。
图
图示，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图
钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值 ）的横截面面积相等，钢轴许用应力 ，铝轴许用应力 ，若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？
实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速 ，传递功率 ，材料的许用切应力 ，试选择实心轴直径 和内外径比值 的空心轴外径 。
1、作扭矩图（图b）
2、分段求扭转角
式中，
例题主传动钢轴，传递功率 ，转速 ，传动轴的许用切应力 ，许用单位长度扭转角 ，切变模量 ，试计算传动轴所需的直径。
解：1、计算轴的扭矩
2、根据强度条件求所需直径
3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径
故应按刚度条件确定传动轴直径，取 。
本章小结
1、圆轴扭转横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大剪应力发生在截面外周边各点处，其计算公式如下：
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩 变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率 来度量，用 表示，称为单位长度扭转角。即：
（）
5.5.2圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件
图
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
（a）（b）
图
等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
塑性材料
脆性材料
例题汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
对于图（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
图
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图（b）所示。同理可得
（）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 成正比关系。
，
2、圆轴扭转的强度条件为：
利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可荷截等三类强度计算问题。
3、圆轴扭转变形的计算公式为：
圆轴扭转的刚度条件是：
思考题
直径相同，材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大切应力 和最大单位扭转角 是否相同？
横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？
题图
已知传动轴的功率分别为 ， ， ，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。
题图
已知轴的许用切应力 ，切变模量 ，许用单位扭转角 ，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为 ，另一根为空心轴，内外径之比 ，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
将（）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（）
将（）式代入（）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力 与该点到圆心的距离 成正比，其分布如图所示，式中 可利用静力方程确定。
图
3、静力学关系
根据图所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
题图
一钢轴受扭矩 ，许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试选择轴的直径。
桥式起重机题图所示。若传动轴传递的力偶矩 ，材料的许用切应力 ， ，同时规定 °/m。试设计轴的直径。
题图
某空心钢轴，内外径之比 ，转速 ，传递功率 ，已知许用切应力 ，许用扭转角 ，切变模量 ，试设计钢轴的内径和外径。
某传动轴，横截面上的最大扭矩 ，许用切应力 ，试按下列两种方案确定截面直径：⑴横截面为实心圆截面；⑵横截面为 的空心圆截面。
习题
试作下列各轴的扭矩图。
题图
图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， 。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。
题图题图
T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
图示圆截面空心轴，外径 ，内径 ，扭矩 ，试计算 的A点处的扭转切应力 以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
题图
一直径为 的圆截面轴，其转速为 ，设横截面上的最大切应力为 ，试求所传递的功率。
将直径 ，长 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量 ，求此时钢丝内的最大切应力 。
某钢轴直径 ，扭矩 ，材料的许用切应力 ，单位长度许用扭转角 ，切变模量 ，试校核此轴的强度和刚度。
阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为N3=3kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力 ， ，许用扭转角 ＝。试校核轴的强度和刚度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即
图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度 和长度l，试求B截面的扭转角 。
题图题图
传动轴外径 ，长度 ， 段内径 ， 段内径 ，欲使轴两段扭转角相等，则 应是多长。
（）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图
圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大 或 ，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。
（）
在工程中， 的单位习惯用 （度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得
对于等截面圆轴，即为
许用扭转角 的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴， 为 ~ ，对于精密机器的轴， 常取在 之间。
例题图示轴的直径 ，切变模量 ，试计算该轴两端面之间的扭转角。
例题图
解：两端面之间扭转角 为
第5章扭转
扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示，常用的螺丝刀拧螺钉。
图
图示，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图