4.3 圆轴扭转时的变形计算
圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式(供参考)
04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（****************），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。
........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，其受力特点和变形特点与直轴不同。
下面我们来详细探讨一下圆轴扭转的受力特点和变形特点。
一、受力特点
在圆轴扭转过程中，受到的力主要是扭矩。
扭矩是使物体产生转动的力，其大小可以用公式T=FT*d来计算，其中T是扭矩，F是力，T是距离，d是轴的直径。
在圆轴扭转时，扭矩会使圆轴上的横截面产生剪切应力，剪切应力的大小与扭矩成正比。
二、变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，会产生扭转变形。
这种变形主要表现为圆轴的各个横截面发生相对转动。
在圆轴扭转时，横截面之间的距离保持不变，因此不会出现拉伸或压缩变形。
同时，由于圆轴的刚度较大，所以扭转变形量相对较小。
三、影响圆轴扭转的因素
圆轴的扭转性能受到多种因素的影响，包括材料性质、截面形状、尺寸和边界条件等。
例如，圆轴的材料强度越高，其抵抗扭矩的能力就越强；截面形状和尺寸也会影响圆轴的扭转性能；边界条件如支撑条件和固定方式也会对圆轴的扭转性能产生影响。
四、圆轴扭转的应用
圆轴的扭转性能在机械工程中有着广泛的应用。
例如，在汽车和自行车中，车轴就是一种圆轴，它们需要承受来自轮子和车轮的扭矩。
在设计这些车轴时，需要考虑其受力特点和变形特点，以确保其具有足够的强度和刚度。
此外，在建筑工程和桥梁工程中，钢结构和钢筋混凝土结构的连接节点也需要利用圆轴的扭转性能来传递力和转矩。
圆轴的扭转工程力学
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
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3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
09圆轴扭转时的变形、应变能
B
b
e
A
a
c
d
ae. 因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。
2、图示直杆，其抗拉刚度为EA，试 求杆件的轴向变形△L，B点的位移
δB和C点的位移δC
A L
F
F
δB
=
∆LAB
=
FL EA
B
C
L
δC
=
δB
=
FL EA
3、塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能 发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确 的： （A）屈服应力提高，弹性模量降低； （B）屈服应力提高，塑性降低； （C）屈服应力不变，弹性模量不变； （D）屈服应力不变，塑性不变。 正确答案是（ B ）
lAB
A
lAC
ϕCA C
纯剪切应力状态下的应变能密度( τ ≤ τ p )
y
τ
dz γ dτ'
aτ
τ
dy
τp
O
b
τ' c
x
z
dx
O
γ
dW = 1 (τ d y d z)(γ d x)= 1τγ (d x d y d z)
vε
=
dVε dV2 = dWdV=1τγ2
(d
x
d
y
d
z
2
)
=
1
τγ
dxd ydz 2
例题4-4
例题4-5
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率 P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。
机械基础——轴的扭转变形和计算(教学教案)
ab图14—17汽车传动轴轴的扭转变形和计算章节名称 轴的扭转变形和计算授课形式讲授课时2班级中专0101教学目的 掌握外力偶矩、转速和功率三者的关系，会计算轴的扭矩，知道圆轴扭转时 横截面上的应力分布规律。
教学重点 会计算轴的扭矩，知道圆轴扭转时 横截面上的应力分布规律。
教学难点 会计算轴的扭矩辅助手段课外作业课后体会机械中的轴类零件往往承受扭转，它 的受力特点是：在垂直于轴线的两个平面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用，轴的各横截面都绕其轴线作相对转动，这种变形称为扭转变形。
一、圆轴扭转时横截面上内力的计算图14—18截面法求扭矩l 、外力偶矩：为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是根据给定的轴的传递功率和轴的转速算出来的，功率、转速和外力偶矩三者间的关系是：M ＝9550 P ／n式中：P ——轴传递的功率(千瓦， KW) n ——轴的转速(转／分， r ／ min) M ——作用在轴上的外力偶矩(牛顿米，Nm)2、扭转时横截面上的内力——扭矩圆轴在外力偶矩的作用下，横截面上产生内力。
求内力的方法仍用截面法。
右图表示装有四个皮带轮的传动轴，在四个带轮上分别作用有主动力偶矩 M 1和从动力偶矩M 2、M 3、M 4，外力偶矩分别为 M 1＝110Nm ，M 2=60Nm ，M 3=20Nm ， M 4=30Nm 。
若计算 AB 段内任一截面上的内力，可假想沿该段内的任一截面1—1将轴截开，取左边部分为研究对象。
如图所示。
为了保证该段的平衡，必须以内力偶矩 Mn 1代替另一部分对被研究部分的作用， Mn 1称为扭矩。
扭矩的正负有如下规定：使右手拇指与截面法线的方向一致，若截面上的扭矩的转向与其它四指的转向相同，则扭矩取正号：反之取负号。
应用截面法时，一般都先假设截面上的扭矩为正。
扭矩的大小用平衡方程Σm=0求得，即AB 段内： Σm=0， M 1十Mn 1＝0Mn 1＝一M 1＝一l10 Nm (设反)图14—19圆轴扭转变形图14—20圆轴的横截 面上剪应力的分布规律BC 段内： Σm ＝0 M 1—M 2＋Mn 2＝0 得 Mn 2＝—50 Nm (设反) CD 段内： Σm ＝0 M 1—M 2—M 3十Mn 3＝0 得 Mn 3＝—30 Nm (设反) 为了清楚地看出各截面上的扭矩变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。
圆轴扭转变形与刚计算
2 dsdx
2G
l
T2
T2
8 2G dsdx
l
8
2G
ds
dx
T为常数的等截面杆
V
T 2l 2GI t
=W=T / 2
式中：
It
4 2 ds
Tl
GI t
27
三、开口薄壁杆的扭转应力
max
3T max
n
hi i 3
i 1
3Tl
n
G hi i 3
i 1
3
1
2
28
【例题5】 如图所示为相同尺寸的闭口钢管和开口 钢管，承受相同的扭矩T。设平均直径为d，壁厚为t，
试比较两者的强度和刚度。
d
t (a)
d
t (b)
29
T 2
Tl
GI t
4 2 I t ds
解：1. 对闭口薄圆环， A d 2 s d ，则
dT
t
t
(a)
(b)
相同的扭矩，由于应力分布不同导致了应力大 小差别。
33
课后练习
思考：
一等直圆杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生 切应变吗？当受到扭转时，杆内会产生正应变吗？
作业：
4-16 4-27 4-32 4-33
34
T1-T2=0
T1
T2
mG2 I p2 G1Ip1 G2 Ip2
T2
2
1
T1
16
§7.6 非圆截面杆的扭转
m
m
农业机械中的方轴
柴油机曲柄的受 扭截面为矩形