第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
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圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
工程力学第七章 圆轴扭转
二、圆轴扭转的强度条件 1．圆轴扭转的强度条件 max M Tmax ≤
Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度
max
M Tmax ≤ Wn
Wn≥M Tmax /
（2）选择截面尺寸
（3）确定许可载荷
M Tmax ≤Wn
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
典型例题：某汽车主传动轴所传递的功率P=80 kW，转速n
= 582 r/min，直径d=55mm，材料的许用切应力[τ]=50 MPa。
试校核该轴的强度。
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
实心圆轴与空心圆轴 通过牙嵌式离合器相连， 并传递功率。轴的转速 n=100r/min，传递的功率 P=7.5 kW。若要求两者横 截面上的最大切应力均等 于40 MPa，空心圆轴的内、 外径之比α=0.5，试确定实 心轴的直径和空心轴的外 径。
第七章 圆轴扭转
§7－1 圆轴扭转的力学模型 §7－2 扭矩和扭矩图 §7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件 *知识拓展
第七章 圆轴扭转
Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度
max
M Tmax ≤ Wn
Wn≥M Tmax /
（2）选择截面尺寸
（3）确定许可载荷
M Tmax ≤Wn
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
典型例题：某汽车主传动轴所传递的功率P=80 kW，转速n
= 582 r/min，直径d=55mm，材料的许用切应力[τ]=50 MPa。
试校核该轴的强度。
解题过程
§7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
实心圆轴与空心圆轴 通过牙嵌式离合器相连， 并传递功率。轴的转速 n=100r/min，传递的功率 P=7.5 kW。若要求两者横 截面上的最大切应力均等 于40 MPa，空心圆轴的内、 外径之比α=0.5，试确定实 心轴的直径和空心轴的外 径。
第七章 圆轴扭转
§7－1 圆轴扭转的力学模型 §7－2 扭矩和扭矩图 §7－3 圆轴扭转时的应力及强度条件 *知识拓展
第七章 圆轴扭转
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
材料力学 第7章 扭转
Me
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
第7章 扭转的强度和刚度计算
WP
D3
16
1
4
3 M nmax 16
14 76.7mm
21
M n21L GIP
0.00734rad
13 34
M n13L MGn3I4PL
GIP
0.00917rad 0.00275rad
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
3 圆轴扭转时的刚度条件 要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:
M n max GIP
1800
M n max
G d 4
1800
0 m
32
d
4
M nmax 180 32
G 2
4
7004 180 32
80109 2 0.3
0.114m 11.4 cm
由此应选直径 d maxd强，d刚＝max9.6,11.411.4cm
2. 选择空心圆轴直径
• 按强度条件
Mn WP
实心圆截面 d
d
d
2
IP 2dA 2 2 d 2 3d
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
D
IP
2
2 3d
D4 d4
d
32
d
D
2
IP
D4
32
1 4
WP
D3
16
1 4
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算
1 扭转角 与剪切角
1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模
量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。
清华出版社工程力学答案-第7章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
解：τ (ρ) = M x ρ Ip 在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时 推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。所以正确答案是 A 。
7－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ1max 和 τ 2max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
解： τ 轴max
=
Mx Wp1
= T1 πd 3
≤ 60 ×106
16
T1
≤
60 ×106
× π× 663 16
× 10 −9
=
3387 N·m
τ 套 max
= Mx Wp2
=
T2 πd 3 ⎜⎛1 − ( 68 )4 ⎟⎞
≤ 60 ×106
16 ⎝ 80 ⎠
T2
≤
60 ×106
× π× 803 16
8
7－12 功率为 150kW、转速为 15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=75mm，d3=90mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
Me
d5 d2 d1 d3 d4
电机轴
习题 7－12 图
解：1. 求外力偶矩
（A） τ 1max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ1max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ1max ＜ τ 2 max 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1max > τ2 max 。因此，正确答案是 C 。
7－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ1max 和 τ 2max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
解： τ 轴max
=
Mx Wp1
= T1 πd 3
≤ 60 ×106
16
T1
≤
60 ×106
× π× 663 16
× 10 −9
=
3387 N·m
τ 套 max
= Mx Wp2
=
T2 πd 3 ⎜⎛1 − ( 68 )4 ⎟⎞
≤ 60 ×106
16 ⎝ 80 ⎠
T2
≤
60 ×106
× π× 803 16
8
7－12 功率为 150kW、转速为 15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=75mm，d3=90mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
Me
d5 d2 d1 d3 d4
电机轴
习题 7－12 图
解：1. 求外力偶矩
（A） τ 1max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ1max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ1max ＜ τ 2 max 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1max > τ2 max 。因此，正确答案是 C 。
工程力学-第7章
圆轴扭转时的剪应力分析
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式－例题 1 例题
实心轴 空心轴
d1=45 mm D2＝46 mm d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比 解：确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
1 A d 45×10 1 = 2 1 2 = ＝ .28 1 × 3 2 A2 D2 (1α ) 46×10 1 0.5
τ =τ′
D
z
剪应力互等定理
y
切应力互等定理
τ′
如果在微元的一对面上存在剪 应力，另一对与剪应力作用线互 相垂直的面上必然垂直大小相等 相垂直的面上必然垂直大小相等 、方向或相对(两剪应力的箭头相 x 方向或相对( 对)或相背(两剪应力的箭尾相对) 或相背(两剪应力的箭尾相对) ，以使微元保持平衡。这种相互 关系称为剪应力互等定理或 关系称为剪应力互等定理或剪应 力成对定理。 力成对定理。
圆轴扭转时的剪应力分析
弹性范围内的剪应力－剪应变关系
于是，上式表明，横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。
τ = Gγ = Gρ
d dx
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
圆轴扭转时的剪应力分析
静力学方程
作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 截面中心简化结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭 矩。于是有
平面假定
变 形 应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
圆轴扭转时的剪应力分析
变形协调方程 弹性范围内的剪应力－剪应变关系 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计
实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
2.扭矩和扭矩图
T = Me
5
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
30
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
例题7－4
31
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6
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
画出扭矩图
7
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 7.2剪应力互等原理
3
35
3
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解：1、计算各轴的功率与转速
z1 36 n1=n2= 120r/min n3＝n1 ＝120 r/min ＝360r/min z3 12
23
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
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单向应力：微体仅 在一对相互平行的 截面上承受正应力
纯剪切：微体仅 承受切应力
微体两种最基本的受力形式
8
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
M
y
0
dxdy dz 'dydz dx 0
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
32
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
长为 l ，扭矩为 T 的等截面圆轴，其两端横截面 间的相对转角为：
Tl ＝ GI p
对于扭矩、截面积或者切变模量沿轴线逐段变化 的圆截面轴，其两端横截面间的相对转角为： 叠加原理：
max H
T2 16 557 Pa 22.69MPa 3 -9 WP 2 π 50 10
T3 16 185.7 max C Pa 21.98MPa 3 -9 WP3 π 35 10
25
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16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
d2＝0.5D2=23 mm
21
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm
d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2 1 3 2
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
7.3.3 静力学方程
A
G
d dA T dx
圆轴扭转变形的基本公式
14
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
• 总结
圆轴最大扭转切应力
T Ip
当ρ＝R时应力最大
16
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
Ip 与 Wp 的计算
实心轴
17
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Ti li ＝ i 1 Gi I pi
33
n
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 传 动 轴 的 转 速 为 n =500r/min ， 主 动 轮 A 输 入 功 率 P1=400kW ， 从 动 轮 C ， B 分 别 输 出 功 率 P2=160kW ， P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
解： 1.外力
M e2
P 400 1 M e1 9549 9549 7640 N m n 500 160 240 M e1 3060 N m M e3 M e1 4580 N m 400 400
34
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
空心轴
令
则
18
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
19
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
2、计算各轴的扭矩
M2
3
P M 9549 n
P1
M3
M1
P M 1 9549 1 1114 NM n1 P2 M 2 9549 557 NM n2 P3 M 3 9549 185.7 NM n3
T1=M1=1114 NM
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
2
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16 716.2 d1 0.045m=45mm 6 π 40 10
3
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
空心轴
max2
M 16 M T T x 40MPa x 3 WP 2 πD2 1 4
T2=M2=557 NM
T3=M3=185.7 NM
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
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3、计算各轴的横截面上的 最大切应力
T1 16 1114 max E Pa 16.54MPa 3 -9 WP1 π 70 10
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
已知：P＝7.5kW, n =100r/min,最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴 的内外直径之比 = 0.5。二轴长 度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 P 7.5 M x T 9549 9549 716.2N M n 100 M 16 M T x max1 T3 x 40MPa 实心轴 WP1 πd1
7.3.1 变形协调方程
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
7.3.2 弹性范围内的剪应力－剪应变关系
G
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第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
2.扭矩图 3.直径d1的选取 按强度条件
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
max
16T 3 d1
4580 N m 7640 N m
16T 16 7640 3 d1 82 . 2 10 m 82.2mm 6 π[ ] π 7010
第七章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 7.4 圆轴扭转时的强度与刚度设计