圆轴扭转时的应力与强度计算 许秀兰
圆轴扭转时的应力和强度计算
本章结束
延安大学西安创新学院建筑工程系
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解： 1、计算轴的扭矩T
将轴在离左端任一距离处用截面切开， 取左段为脱离体，画出其受 力图如下图， 由平衡条件可得：T=M
2、校核强度
此轴满足强度要求
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§6-3 圆轴扭转时的变形与刚度计算
目的要求：掌握圆轴扭转的变形计算和刚度条 件。
§6-1 圆轴扭转时的应力和强度计算
目的要求：掌握扭转横截面上的应力分 布规律和强度条件的应用。
教学重点：强度条件及其应用。 教学难点：切应力互等定理和剪切胡克
定律。
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一、 切应力互等定理和剪切胡克定律 １、 切应力互等定理 相互垂直两个平面上的切应力必然成 对存 在，且大小相等、方向都垂直指向 或背离两平面的交线。
延安大学西安创新学院建筑工程系 （３） 指定截面扭矩的计算方法。
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用一假想的截从要求内力处将 杆件切开 分成两段，取其中的任意一段为研究对 象，画出其受力图，利用平衡方程，求 出 内力（扭矩）
注意：在受力图中，扭矩最好假设成正 方向，如上图。
由力偶平衡得： Me-T=0 即：T=Me
一、 圆轴扭转的概念与实例
1、扭转的概念
杆件的两端受到大小相等、转向相反且作
用平面直垂于杆轴线的力偶的作用，致使杆件
各横截面都绕杆轴线发生相对转动，杆件表面
的纵向线将变成螺旋线。
2、扭转的受力特点：受一对等值、反向、
作用面在横截面内的力偶作用时，圆轴产生扭
转变形。
3、圆轴扭转的变形特点：各横截面绕杆
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计ppt课件
C
上的切应力与其作用面的面积相乘后组成一绕z轴的
力偶，其力偶矩为dydzdx。
dy
x
▪ 为了保持微元的平衡，在微元与纵截面对应的一对 B 面上，必然存在切应力τ′，这一对面上的切应力也
组成一个力偶矩为 'dxdzdy的力偶。这两个力偶的 z
力偶矩大小相等、方向相反，才能使微元保持平衡。
dz
dx D
▪ 圆轴扭转时的强度设计准则为
其中为许用切应力。
对于脆性材料
对于韧性材料
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44
9.4.2 扭转强度设计
许用切应力与材料的许用正应力之间存在一定的关系。 对于脆性材料 对于韧性材料
如果设计中不能提供值时，可根据上述关系由值求得值。
大连大学
45
9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴
▪ 已知：汽车发动机将功率通过主传动 轴AB传给后桥，驱动车轮行驶。设主 传动轴所承受的最大外力偶矩为Me＝ 1.5kN·m，轴由45号钢无缝钢管制成， 外直径D＝90mm，壁厚δ＝2.5mm，
＝60MPa。
▪ 试:
1．试校核主传动轴的强度；
2 . 若改用实心轴，在具有与空心轴相 同的最大切应力的前提下，试确定实 心轴的直径；
3 . 确定空心轴与实心轴的重量比。
大连大学
46
9.4.2 例题9-4 汽车主传动轴
▪ 解： 1. 校核空心轴的强度 根径据与已外知直条径件之， 比主传动轴横截面上的扭矩Mx＝Me＝1.5kN·m，轴的内直
上将只有扭矩一个内力分量。
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
A'
圆轴扭转时的应力与强度条件
圆轴扭转时的应力与强度条件扭转是杆件的基本变形形式之一。
工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。
通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。
本讲主要分析圆截面杆的扭转。
非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。
图1 圆轴的扭转扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。
力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。
● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。
一、圆轴扭转的应力图2 圆轴扭转的剪应力分布图图2中，tW T=max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。
实心圆轴163D W n π=，空心圆轴Dd D W n16)(44-=π。
二、扭转强度分析为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即A Bm axm τ][max ττ≤=tW T（9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。
例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。
若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。
根据强度确定轴的直径。
解: (1) 计算力偶距m 2 。
m N m m m .3.194312=+=（2）画扭矩图。
（3）根据强度条件计算直径。
从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。
][163maxmax max τπτ≤==DT W T t []m 0272.0104014.31551616363max=⨯⨯⨯=≥τπT D1231m 2m 3m 0.30.4mxT155N.m39.3N.m。
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算基础篇之四第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算杆的两端承受⼤⼩相等、⽅向相反、作⽤平⾯垂直于杆件轴线的两个⼒偶，杆的任意两横截⾯将绕轴线相对转动，这种受⼒与变形形式称为扭转（torsion ）。
本章主要分析圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒以及两相邻横截⾯的相对扭转⾓，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计⽅法。
4－1 外加扭⼒矩、扭矩与扭矩图作⽤于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。
在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭⼒矩M e 可⽤下式计算：[][]e kw 9549[N m]r /min P M n =?其中P 为功率，单位为千⽡（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。
如功率P 单位⽤马⼒（1马⼒=735.5 N ?m/s ），则e []7024[N m][r /min]P M n =?马⼒外加扭⼒矩M e 确定后，应⽤截⾯法可以确定横截⾯上的内⼒—扭矩，圆轴两端受外加扭⼒矩M e 作⽤时，横截⾯上将产⽣分布剪应⼒，这些剪应⼒将组成对横截⾯中⼼的合⼒矩,称为扭矩（twist moment ），⽤M x 表⽰。
图4－1 受扭转的圆轴⽤假想截⾯m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有M x －M e = 0由此得到图4－3 剪应⼒互等M x = M e与轴⼒正负号约定相似，圆轴上同⼀处两侧横截⾯上的扭矩必须具有相同的正负号。
因此约定为：按右⼿定则确定扭矩⽮量，如果横截⾯上的扭矩⽮量⽅向与截⾯的外法线⽅向⼀致，则扭矩为正；相反为负。
据此，图4－1b 和c 中的同⼀横截⾯上的扭矩均为正。
当圆轴上作⽤有多个外加集中⼒矩或分布⼒矩时，进⾏强度计算时需要知道何处扭矩最⼤，因⽽有必要⽤图形描述横截⾯上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。
绘制扭矩图的⽅法与过程与轴⼒图类似，故不赘述。
【例题4－1】变截⾯传动轴承受外加扭⼒矩作⽤，如图4－2a 所⽰。
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
圆轴扭转时的应力计算公式
圆轴扭转时的应力计算公式在我们学习力学的过程中，圆轴扭转时的应力计算公式可是个相当重要的家伙。
咱们今天就来好好唠唠它！先来说说啥是圆轴扭转。
想象一下，你手里拿着一根棍子，然后像拧麻花一样去转动它，这时候棍子内部就会产生应力。
圆轴扭转就是类似这样的情况啦。
那圆轴扭转时的应力计算公式到底是啥呢？它就是：τ = Tρ / Ip 。
这里的τ 表示的是扭转切应力，T 是扭矩，ρ 是所求应力的点到圆心的距离，Ip 则是极惯性矩。
咱们来仔细瞅瞅这个公式。
扭矩 T 就好比是你拧棍子的那个力气，力气越大，应力也就越大。
而ρ 呢，距离圆心越远，应力也就越大，就像离圆心远的地方更“吃力”。
极惯性矩 Ip 则反映了圆轴抵抗扭转的能力，它越大，应力就相对越小。
我记得之前在给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他举了个例子。
咱们把圆轴想象成是由好多好多层薄圆环组成的。
当圆轴扭转时，每一层薄圆环都会发生相对的滑动，就像是在互相“拉扯”。
通过对这种“拉扯”的分析和计算，咱们就得出了这个公式。
在实际应用中，这个公式可太有用了。
比如说在机械设计里，要设计一根传动轴，就得先算出它在工作时扭转产生的应力，看看是不是在材料能承受的范围内。
要是应力太大，轴就可能会断掉，那可就出大问题啦！再比如，在一些工程结构中，像桥梁的支撑柱，如果受到扭转力的作用，也得用这个公式来算算应力，保证结构的安全稳定。
咱们在解题的时候，一定要搞清楚每个参数的含义和单位，千万别马虎。
有一次考试，就有同学因为把单位搞错了，结果整个答案都错了，那叫一个可惜哟！总之，圆轴扭转时的应力计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真理解，多做几道题练练手，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。
怎么样，同学们，这回对圆轴扭转时的应力计算公式是不是更清楚啦？加油，相信大家都能学好这部分知识！。
圆轴扭转时的应力与强度条件
求所决定的，具体要求请查相应的规范。工程
中，单位通常采用0／m(度／米)，而 的单 位为red／m(弧度／米)，经过换算后上述刚度
条件可写为
抗扭转刚度
Tmax 180 (3 18)
GI p
Torsional rigidity
例3-5 已知：M1=1592N.m M2=955N.m M3=637N.m
由于两层材料的界面不会发生错动
3.物理关系 两层材
料的相对扭转角分别为
1
T1l G1 I p1
2
T2 l G2 I p2
T1l T2l
b
G1 I p1
G2 I p2
4.联立求解 由式(a)和式(b)可求得两层材料各自承担的扭矩分别为
T1
G1I
G1I p1 p1 G2I
p2
Me
T2
G2 I p2 G1I p1 G2 I p2
II. 扭转时的刚度 条件
对于较长的轴，即使在线弹性范围内，两端截 面的相对扭转角也可能过大而影响正常的使用 。机械工程中对传动轴的扭转变形有严格的限 制，要求每单位长度(距离)的相对扭转角目不 得超过所能容许的限度[ ]，即
m ax m ax
(3 17)
称为容许单位长度扭转角，是由工程的精度要
NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料
为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。
(1) 计算外力偶矩
TA
9550
NA n
9550 36.7 300
1170N m
TB
9550 N B n
9550 14.7 300
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教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算
八、教学程序
阶
段
教学内容教师活动学生活动教学意图
创
设
情
境，导入新课（5分钟）圆轴扭转时横截面上的应力
（模拟薄壁圆筒扭转实验）
教师展示
课件，模拟
薄壁圆筒
扭转实验,
积极引导
学生观
察思考，
学生根
据常识
及上节
课所学
内容回
答问题。
正式教学内容
之前，创设情
境，引起学生
的好奇与思
考，激发学生
的求知欲和内
在动机，产生
学习的愿望和
意向。
模拟练兵
提高技能
技能训练
例1：某一传动轴所传递的功率
P=80kW，其转速n=582r/min，
直径d=55mm，材料的许用切
应力 MPa，试校核该轴
的强度。
例2：如图所示的实心传动轴，
N k1=50KW，N k2=150KW，
N k3=100KW，n=300r/min，许
用应力[τ]=100MPa，试设计此
轴的直径D。
①明确提出所
求问题，巡堂
指导学生思
考、分析；
②引导学生逆
向推导所求各
项问题；
③注意根据实
际情况作出及
时的指导或提
出新的要求。
①学生在
老师的引
导下，思
考所求问
题及应用
到的原理
与公式
②对所求
结果能灵
活分析、
判断。
结合工程实例，
讲解圆轴扭转
强度条件应用，
培养学生分析
问题、解决问题
的能力，提高学
生的职业素养。
总结
评价 加
深 印象
1、 利用提问的形式，环环相扣，进行总结；
2、 强调并归纳总结本节课重
点，形成知识体系； 3、评价学生学习实训情况，增
强学生学习的信心。
查漏补缺，并进行情感教
育。
所体会到的知识与教师引导
讲解的内容结合起来，形成自己的认识。
完善知识体系，培养学生的分析归纳能力
布
置
作
业
P208 9-3
按时完成
一边听说
明，一边作记录。
尊重学生的个体差异，设计探究
作业供学有余力的同学思考。
同时培养学生的合作精神和创新能力。
七、板书设计
第二节 圆轴扭转时的应力与强度计算
一、圆轴扭转时的应力 １、 剪应力及其分布规律
２、 横截面上任一点的切应力计算公式
3、最大切应力发生在周边上，计算公式为
二、惯性矩I p 和抗扭截面系数W p
(1）实心圆截面
（2）空心圆截面
三、圆轴扭转强度计算
等直圆轴：
四、举例讲解
八、教学后记
在设计本节课时，我改变了以往以教师讲授为主，学生接受式学习方式，把学习的主动权交还给学生，但是，学生能行吗？会发生许多意想不到的事吗？我带着种种担心踏入课堂。
一节课上完了，的确有许多意外（例如：个别学生阅读能力很差，对题意不能正确理解，这远超出了事前的估计），但是学生进入学习状态后所迸发的主动性和潜能却让我惊喜，在创设的问题情境中，对老师所提出的问题，学生很快进入角色，抢着回答问题。
在巩固练习环节中，大部分学生积极参与，利用本节课知识积极讨论、辩论、争论，课堂气氛浓厚。
而课后通过作业反馈情况以及与学生的交谈中，了解到由于本节课内容是学生运用直觉思维一步步推理归纳出来的，因而他们理解和记忆都较深刻，做作业时也相对较为顺利。
学生非常认同这种教学形式，并要求老师尽可能多让他们在做中学。
尽管在整体的学习上，学生仍习惯被动的接受式学习，但通过这一节课让学生显露出的潜力，仍然让我对教学充满了期待。
也使我更了解我的学生，更清楚应该如何上好一节课——就是让学生自主探究，在做中学习。