范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.
圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
圆轴扭转时刚度计算
例若将前题中的圆轴改为同样强度的空心圆轴，其内外径之比
=d/D=0.7，试设计其内外径尺寸，并与前题所消耗材料作
一比较。 解：要求与前题之轴具有同样强度，即要求该空心圆轴工 作时的最大切应力与实心圆轴的最大切应力相同： max ＝ 38.4MPa，即有
max
70016 T 38.4MPa 3 4 WP D (1 )
61%，节约了材料。
T2 M B M A
468 1168 700 N m
3-3截面的扭矩
B
468Nm
A
T3 M C 350N m
绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大，由于是等 截面圆轴，故危险截面在AC段内。
3） 强度校核
max
T 700 16 P 3 9 a WP 45 10
圆轴扭转时的变形和刚度计算 扭转变形
扭转角：圆轴扭转时，两横截面相对转过 的角度称为这两截面的相对扭转角。
A M
BO
T d dx l l GI P
IP 均为常数，则圆轴两端 截面的相对扭转角为：
GI P
抗扭刚度：式中的 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变 形的能力。
38.4ΜΡa [ ] 40ΜΡa
轴满足 强度条件
4） 刚度校核
Tmax 180 700 32 180 0 max （ / m） 9 4 12 GIp 8010 45 10
1.23
m
[ ] 1.5
m
因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。
例 传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm，转速n =300r/min。 主动轮A输入的功率PA=36.7KW；从动轮B、C、D输出的功率分别为 PB=14.7KW，PC=PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切 应力[ ]=40MPa，单位长度的许用扭转角[ ]=1.5/m，试校核轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
其中
φ1 =
M x1l , GI p1
M l φ2 = x 2 GI p2
将（a）和（c）式代入（b）式得
（c）
M l M l Tl = x1 + x 2 GI p1 GI p1 GI p2
由此解得
（d）
M x1 = M x 2 =
其中
I p2 I p1 + I p2
T
（e）
于是，卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为
2
3
4－4 变截面轴受力如图所示，图中尺寸单位为 mm。若已知 Me1＝1765 N·m，Me2 ＝1171 N·m，材料的切变模量 G＝80.4 GPa，求： 1．轴内最大剪应力，并指出其作用位置； 2．轴内最大相对扭转角 ϕ max 。
习题 4－4 图
解：1、确定最大剪应力 AB 段：
案
τ max ( AB ) =
Ts R3 = 3 0 4 Th R 2 (1 − n )
7
aw .
(d)Biblioteka co m由（a）式有
2 2 R0 = R2 − R12
将其代入（d）式，最后得到所要证明的结论：
3 3 3 2 Ts ( R 2 − R12 ) 2 (1 − n 2 ) 2 (1 − n 2 ) 2 1 − n2 = 3 = = = Th R 2 (1 − n 4 ) 1 − n4 (1 − n 2 )(1 + n 2 ) 1 + n2
τ 2 max =
Mx T = = 75.4MPa Wp πd 3 ⎛ ⎛ 1 ⎞ 4 ⎞ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 16 ⎜ ⎝ ⎝2⎠ ⎠
4
ww
r 0
τ 1max
Mx 3 × 10 3 × 16 T T = 70.7 MPa = = = = W P W P πd 3 π × 0.06 3 16
清华出版社工程力学答案-第4章 材料力学概述
eBook工程力学习题详细解答教师用书(第4章)2011-10-1范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio习题4－1 习题4－2 习题4－3 习题4－4工程力学习题详细解答之四第4章 材料力学概述4－1已知两种情形下直杆横截面上的正应力分布分别如图（a ）和（b ）所示。
请根据应力与内力分量之间的关系，分析两种情形下杆件横截面存在什么内力分量？（不要求进行具体计算）。
解：对于图（a）中的情形，横截面上的应力积分的结果将形成一个沿轴线方向的轴力。
对于图（b）中的情形，横截面上的应力积分的结果将形成一个弯矩。
4－2微元在两种情形下受力后的变形分别如图（a ）和（b ）中所示，请根据剪应变的定义确定两种情形下微元的剪应变。
解：对于图（a）中的情形，微元的剪应变γα=对于图（b）中的情形，微元的剪应变0γ=4－3 由金属丝弯成的弹性圆环，直径为d （图中的实线），受力变形后变成直径为d +Δd 的圆（图中的虚线）。
如果d 和Δd 都是已知的，请应用正应变的定义确定：（1） 圆环直径的相对改变量；(a) (b)习题4－1图ααπ2ααααααα90°α(a)(b)习题4－2图d xABCDA'B'D'αα(a) (b)习题4一4图（2） 圆环沿圆周方向的正应变。
解：1. 圆环沿直径方向的正应变r d dεΔ=2. 圆环沿圆周方向的正应变()t πππd d d dd dε+Δ−Δ==4－4 微元受力前形状如图中实线ABCD 所示，其中ABC ∠为直角，d x = d y 。
受力变形后各边的长度尺寸不变，如图中虚线''A B C D ′′所示。
（1）请分析微元的四边可能承受什么样的应力才会产生这样的变形？（2）如果已知d 1000xCC ′=求AC 方向上的正应变。
（3）如果已知图中变形后的角度α，求微元的剪应变。
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
材料力学课后习题答案4章
第四章 扭 转题号 页码 4-5.........................................................................................................................................................1 4-7.........................................................................................................................................................2 4-8.........................................................................................................................................................3 4-9.........................................................................................................................................................4 4-11.......................................................................................................................................................6 4-13.......................................................................................................................................................7 4-14.......................................................................................................................................................8 4-19.......................................................................................................................................................8 4-20.......................................................................................................................................................9 4-21.....................................................................................................................................................10 4-22.....................................................................................................................................................12 4-23.....................................................................................................................................................13 4-24.....................................................................................................................................................15 4-26.....................................................................................................................................................16 4-27.....................................................................................................................................................18 4-28.....................................................................................................................................................19 4-29.....................................................................................................................................................20 4-33.....................................................................................................................................................21 4-34.....................................................................................................................................................22 4-35.....................................................................................................................................................23 4-36.. (24)（也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm ，内径d = 40mm ，扭力偶矩M = 500N ·m ，切变模量G =75GPa 。
圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学
•
度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
返回 下一张 上一张 小结
精品课件！
， 圆轴扭转时横载面上的剪应力公式 由平衡条件，得 （2）刚度计算的三方面： b 截面选择 （3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。 二、内力------扭矩 （2）根据外力偶矩，计算扭矩： 所以，满足强度要求。 （2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。 精度要求不高的轴 （2）根据外力偶矩，计算扭矩： 且大小、形状不变，半径为直线。
返回 下一张 上一张 小结
• 第三节 圆杆扭转时的应力和变形 一
实心圆杆的扭转 • 1 观察变形现象：
•
• 2 变形现象：
• （1）纵线在变形后近似为直线，
• 但相对于原位置转了一个 角。 • （2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。 • 3 推论： • （1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面， • 且大小、形状不变，半径为直线。 • （2）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。 • （3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。
•
m Np n
9.55npr/K mN ink.nm
nr/min
7.02N马力 KN .M
返回 下一张 上一张 小结
• 二、内力------扭矩
• 1.截开：
• 2.代替：
•
扭矩Mn-----当杆受到外
• 力偶矩作用而发生扭转变形
• 时，在杆横截面上将同时产
• 生相应内力矩，称为扭矩。
• 记为： Mn
解：1. 求外力偶：
m1 7.0250011.70KN.m 300
转向与轴的转向一 致
m 2m 37.01 3 25 03 0 0.5K 1.m N m47.023 20 00 040K 68.N m
《理论力学》(范钦珊)习题解答第2篇第4-6章
(b)υ(a)第2篇 工程运动学基础第4章 运动分析基础4－1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R （如图所示）。
已知小环的初速度为v 0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜2π，试确定小环 A 的运动规律。
解：Rv a a 2nsin ==θ，θsin 2R v a =θθtan cos d d 2tR v a tv a ===，⎰⎰=t v v t R v v 02d tan 1d 0θ t v R R v t s v 00tan tan d d -==θθ⎰⎰-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθtv R R R s 0tan tan ln tan -=θθθ4－2 质。
1．⎪⎩⎪⎨⎧-=-=225.1324tt y tt x ， 2．⎩⎨⎧==t y t x 2cos 2sin 3解：1．由已知得 3x = 4y （1）⎩⎨⎧-=-=t y t x 3344 t v 55-=⎩⎨⎧-=-=34y x5-=a为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。
2．由已知，得 2arccos 213arcsin y x= 化简得轨迹方程：2942x y -= （2）轨迹如图（b ），其v 、a 图像从略。
4－3点作圆周运动，孤坐标的原点在O 点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为221Rt s π=，式中s 以厘米计，t 以秒计。
轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。
当点第一次到达y 坐标值最大的位置时，求点的加速度在x 和y 轴上的投影。
解：Rt s v π== ，R v a π== t ，222n Rt Rv a π==y 坐标值最大的位置时：R Rt s 2212ππ== ，12=∴tA习题4－1图习题4－2图习题4－3图e e -t(c)e e -t(b)R tR(a)习题4-6图R a a x π==t ，R a y 2π-=4－4 滑块A ，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r 的鼓轮上，鼓轮以匀角速度ω转动，如图所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：1、轴的强度计算M T τ 轴max = x = 1 3 ≤ 60 × 10 6 Wp1 π d 16 T1 ≤ 60 × 10 6 × 2、轴套的强度计算π × 66 3 × 10 −9 = 3387 N ⋅ m 16 习题 4－6 图τ 套 max = Mx T2 = ≤ 60 × 106 3 68 4 ⎞ Wp2 πD ⎛⎜1 − ( ⎟ 16 ⎝ 80 ⎠ 6 ⎡⎛ 17 ⎞ 4 ⎤ π × 80 3 −9 T2 ≤ 60 × 10 × × 10 ⎢1 − ⎜⎟⎥ = 2883 N ⋅ m 16 ⎢⎣⎝ 20 ⎠⎥⎦ 3、结论Tmax ≤ T2 = 2883 N ⋅ m = 2.883 kN ⋅ m 4－7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为δ ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。
试：习题 4－7 图1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 6
τ max ≈ τ max ≈ 2M x δπ D2 3M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力δ 2πD 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布。
解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力由于是薄壁，所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布（图 a1），于是有习题 4－7 解图Mx = ∫ A D D ⋅ τd A = ⋅ τ ⋅ π Dδ 2 2 由此得到δπ D 2 δπ D2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力根据狭长矩形扭转剪应力公式，有3M x 3M x 3M x τ max = = = 2 2 hb π D ⋅δ δ 2π D τ= 2M x 即：τ max = 2M x 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布两种情形下剪应
力沿壁厚方向的分布分别如图 a1 和 b2 所示。
4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。
设实心轴半径为 R0，空心圆轴的内、外半径分别为 R1 和 R2，且 R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为 Ts 和 Th。
若二者横截面上的最大剪应力相等，试证明：Ts 1− n2 = Th 1+ n2 解：因为长度和质量相等，所以面积也相等。
于是有2 2 π R0 =π ( R2 − R12 （a）（b）实心轴：τ max = 空心轴：τ max = 由（b）、（c）二式，得Ts d3 π 16 = Ts R3 π⋅ 0 2 Th π (2 R2 3 (1 − n 4 16 （c）Ts R3 = 3 0 4 Th R2 (1 − n 7 (d
由（a）式有2 2 R0 = R2 − R12 将其代入（d）式，最后得到所要证明的结论：3 3 3 2 Ts ( R 2 − R12 2 (1 − n 2 2 (1 − n 2 2 1 − n2 = = = = 3 Th R 2 (1 − n 4 1 − n4 (1 − n 2 (1 + n 2 1 + n2 4－9 直径 d = 25mm 的钢轴上焊有两个凸台，凸台上套有外径 D = 75mm、壁厚δ =1.25mm 的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩 T = 73.6N·m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。
假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，剪切弹性模量 G = 40MPa。
试： 1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力。
习题 4－9 图焊接前习题 4－9 解图焊接卸载后解：1．分析卸载后轴和薄壁管横截面上的内力焊接前，轴承受扭矩，轴发生扭转变形。
这时，如果卸载，轴的扭转变形将全部恢复，因而轴的横截面上将没有扭矩。
与薄壁管焊接后，再除去轴上的外加扭力矩，轴的扭转变形不能完全恢复，因而轴的横截面上仍然存在扭矩，但已经不是加载时的扭矩，而是小于原来的扭矩。
二者焊接后形成一个整体，如果用一个假想截面将整体截开，这时的横截面由轴和薄壁管的横截面组成，卸载后，没有外加扭力矩作用，仅仅轴的横截面上存在扭矩无法平衡，因此，薄壁管的横截面上必然存在与之大小相等方向相反的扭矩，二者组成平衡力系，使截开的部分保持平衡。
设轴和薄壁管横截面上的扭矩分别为 Mx1 和 Mx2 ，于是有 Mx1＝ Mx2 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力设轴受 T = 73.6N·m 时，相对扭转角为ϕ 0 ，于是，有dφ0 M x T = = dx GI p1 GI p1 （a）焊接后卸载，管承受扭转，其相对扭转角为ϕ 2 ，轴上没有恢复的相对扭转角为 8
ϕ1 = ϕ0 − ϕ 2 ，即ϕ1 + ϕ 2 = ϕ 0 （b）其中φ1 = M x1l , GI p1 M l φ2 = x 2 GI p2 将（a）和（c）式代入（b）式得（c） M l M l Tl = x1 + x 2 GI p1 GI p1 GI p2 由此解得（d） M x1 = M x 2 = 其中 I p2 I p1 + I p2 T （e）πd 4 π = × 254 × 10−12 = 38349.5 × 10−12 m 4 32 32 4 4 πD 4 ⎡⎛ D − 2δ ⎞⎤ π × 754 ⎡⎛ 72.5 ⎞⎤ −12 I p2 = ⎢1 − ⎜⎥= ⎢1 − ⎜⎥ × 10 ⎟⎟ 32 ⎢ 32 ⎢⎣⎝ D ⎠⎥⎦⎣⎝ 75 ⎠⎥⎦ −12 4 = 393922 × 10 m I p1 = 于是，卸载后薄壁管横截面上的最大剪应力为τ 2max = 将
Ip1、Ip2 值代入（f）得 I M x2 T T D = ⋅ p2 = ⋅ Wp2 I p1 + I p2 Wp2 I p1 + I p2 2 （f）τ 2max 75 × 10−3 2 = = 6.38 MPa ( 38349.5 + 393922 ×10−12 73.6 × I p2 ⋅ T M x1 d d ⋅ = ⋅ I p1 2 I p1 ( I p1 + I p2 2 73.6 ×卸载后，轴横截面上的最大剪应力为
τ1max = 25 × 393922 × 10−3 2 = = 21.86 MPa 38349 . 5 393922 + ( × 38349.5 ×10−12 上一章返回总目录下一章 9。