2012版步步高高考数学考前三个月抢分训练13：圆锥曲线
2012年高考试题汇编——圆锥曲线
2012年高考数学真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是B【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b ca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
【步步高】2012高考数学 考前三个月抢分训练11 立体几何
训练11 立体几何1．(2011·浙江改编)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则下列结论判断正确的为________．(填序号)①α内的所有直线与l 异面；②α内不存在与l 平行的直线；③α内存在唯一的直线与l 平行；④α内的直线与l 都相交．2．以下命题中，正确的命题为________．(填序号)①已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；③对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．3．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．4．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．5．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m ′和n ′，给出下列四个命题：①m ′⊥n ′⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m ′⊥n ′；③m ′与n ′相交⇒m 与n 相交或重合；④m ′与n ′平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数为________．6．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小为________．7.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B 与AC所成角的余弦值是________．8．在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱BC、SC的中点，且MN⊥AN，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是________．9．如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是60°，一个半径为1的球放在该支架上，则球心到P的距离为________．10．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及平面β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．11．(2011·福建)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________．12.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为______．13．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD 的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC 与平面ABCD 垂直；③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)14.三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是________．答案1．② 2．①② 3．6 4．②④ 5．4 6．45° 7.66 8．36π 9. 3 10．①③④⇒②(或②③④⇒①) 11. 2 12．8 3 13．①③14．①②③④。
【步步高】(浙江专用)高考数学 考前三个月 压轴大题突破练 直线与圆锥曲线(二)
压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二)1． 已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围． 解 (1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3,0)，即点F (3,0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，即a ＝5. 所以b 2＝a 2－32＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225(－5≤m ≤5)．所以原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1.所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交，L 2＝4(r 2－d 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1925m 2＋16. 因为－5≤m ≤5，所以152≤L ≤465. 2． 已知点A 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称．线段AF 2的中垂线m 分别与AF 1、AF 2交于M 、N 两点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P 、Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意得，F1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4， 且|MF 2|＝|MA |.从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MA |＝|AF 1|＝4>|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中长轴2a ＝4，得a ＝2，焦距2c ＝23，则短半轴b ＝1，∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2－1＋4k 2. 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<2且m 2≠1.S △OPQ ＝12|x 1－x 2||m |＝m 2－m 2，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．3． 如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：x 2b 2＋y2a2＝1(a >b >0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由．(3)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，1b 2＋2a 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程x 22＋y 24＝1.(2)解 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，所以Δ＝－8m 2＋64>0⇒－22<m <22，x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.所以|BD |＝1＋22|x 1－x 2|＝62·8－m 2. 设d 为点A 到直线BD ：y ＝2x ＋m 的距离，所以d ＝|m |3.所以S △ABD ＝12|BD |·d ＝24·－m2m 2≤2，当且仅当8－m 2＝m 2，即m ＝±2时取等号．因为±2∈(－22，22)，所以当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2. (3)证明 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ，则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1，(*) 将(2)中①、②式代入(*)式，整理得22＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝0，即k AB ＋k AD ＝0.4． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)若圆：x 2＋y 2＝23的切线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，问OP →与OQ →是否垂直？若垂直，请给出证明，若不垂直，请说明理由． 解 (1)设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，F (c,0)(c 2＝a 2＋b 2)， 则|AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2. |AB |＝x 02＋y 02＝2x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2b 2 ＝2b 2＋c 2x 20a2，∵0≤x 20≤a 2，∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设条件可知直线的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .l 与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|m |1＋k2＝63，∴m 2＝23(k 2＋1)．把l 的方程y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝8(2k 2＋1－m 2)>0，令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2① x 1x 2＝2m 2－21＋2k2② y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2③OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2－21＋2k2＝0， ∴OP →⊥OQ →.。
2012年高考圆锥曲线
2012年高考真题数学圆锥曲线一、选择题1.【2012高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.BD. 2.【2012高考新课标8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B C/4 ()D 83.【2012高考新课标4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 C 34 ()D 454.【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 6.【2012高考湖南5】已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17.【2012高考福建8】已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.B. C.3 D.58.【2012高考安徽9】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B C2()D 9.【2012高考全国卷3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 10.【2012高考全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45二、填空题13.【2012高考四川15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
【步步高】2012高考数学 考前三个月抢分训练21 综合(五)
训练21 综合(五)1．复数z ＝11－i的共轭复数是________． 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤0－x ＋2， x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是________． 3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是________．4．f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 011)＝________. 5．若圆x 2＋y 2－2mx ＋m 2－4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4my ＋4m 2－8＝0相切，则实数m 的取值集合是________．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1(n ∈N *)，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 9＝________.7．一个正方体的外接球的表面积是它内切球的表面积的________倍．8．执行下面的流程图，若p ＝0.8，则输出的n ＝______.9.设等差数列{a n }的各项均为整数，其公差d ≠0，a 5＝6，若a 3，a 5，a m (m >5)是公比为q (q >0)的等比数列，则m 的值为________．10．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n 的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为________． 11．如果实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是________．12．已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过的定点的坐标为________．13．2009年在山东第十一届全国运动会射击比赛的预赛场上，专家们预测某射手在一次射击中命中9环的概率是0.48，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.08.则这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率为________．14．甲、乙、丙、丁四人独立破解一类数据，甲、乙二人能独立破解成功的概率都是12，丙、丁二人能独立破解成功的概率都是23，今由4人同时破解这类数据，则数据不能被破解的概率是________．答案1.12－12I 2．[－1,1] 3．(1,3) 4.22 5．{－125，－52，0,2} 6.9407．3 8．4 9．11 10．2 268 11. 3 12．(5，－2) 13．0.73 14.136。
【步步高】2012高考数学 考前三个月抢分训练16 算法初步、复数
训练16 算法初步、复数1．已知复数z ＝11＋i ，则复数(z －1)·i 在复平面内对应的点在第________象限．2．在复平面内，复数21－i 对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．3．在如图所示的流程图中，若f (x )＝2x，g (x )＝x 3，则h (2)的值为________．．题3 题5 题64．(2011·陕西改编)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ||xi |＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为________．5．给出如图所示的流程图，其功能是________．6．一组数据x i (1≤i ≤8)从小到大的茎叶图为：4|0 1 3 3 4 6 7 8，在如图所示的流程图中x 是这8个数据的平均数，则输出的s 2的值为________．7．已知一个算法的流程图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为________．题7 题88．执行如图所示的流程图，则输出的S ＝________.9.若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12i，i 2，|5i 2|，＋2i，－i 22，则集合A ∩R ＋的子集个数为________．11．(2010·北京)在复平面内，复数2i1－i 对应的点的坐标为______．12．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是________．题12 题13 题1413．某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：14．若如图所示的算法流程图中输出y 的值为0，则输入x 的值可能是________(写出所有可能的值)． 答案1．四 2.223．8 4.[)0，1 5．求|a－b|的值 6．7 7．－2或18．7 500 9．－20 10．8 11．(－1,1) 12．8 13．6.42 14．0，－3,1。
2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件6(2汇总
§ 2椭圆.双曲线、抛物线真题热身1. （2011-安徽改编）双曲线2X2-/=8的实轴长是_12解析•/ 2x2 - y2 = 8,・••才 $:.a = 2, 2a = 4.・•・/ +，= 9.由①②得«2= 5, Z?2 = 4.2 2・・・双曲线的标准方程为1.2. (2011-广东改编)设，+(y —3尸=1外切，与直线y=0相切，则C 的 E I 心轨迹为抛物线・解析 设圆C 的半各为厂，则圆心C 到直线y = O 的距离 为厂.由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为厂+1,也 就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y = ()的距离大 1,故点C 到点(0,3)的距离和它到直线- 1的距离相等, 符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线.3. (2011-山东改编 线均和圆X 2 v 2£、2下1(4>0, 〃>0)的两条渐近,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为5一 4 = 192解析 ・・•双曲线1的渐近线方程为厂 b ±-X,a 圆C 的标准方程为(x - 3)2+ y 2= 4,・・・圆心为C(3,0).又渐近线方程与圆C 相切, 即直线bx - ay =()与圆C 相切,又：•缶-話=1的右焦点尸2(#2 +①b\ 0)为圆心 C(3,0),4. （2011-iI宁）已知点（2,3）在双曲线C：》一器=1（4>0, 〃>0）上，C的焦距为4,则它的离心率为___________ •4 9解析由题意知7 一戸=1'疋=/ + /?2= 4得a = 1,/? =羽,C.e = 2.锥曲线的又 F X F 2 = 2^/3, 由余弦定理可知COS ZF I PF 2 = -壬.范围 丄皿QO几 何 性质(0,0)顶 "7±a,0)(0, ±b)(±a,0) 对称性 关于X 轴，丿轴和原点对称关于x 轴对称焦点 (±c,0)§ o )轴长轴长2a 9 短轴长2b实轴长2a f 虚轴长”离心率C e=~FA /1-? (0<e<l)c e=~=A /1+?(e>l)e=l准线x=~2渐近线by =±a x锥曲鋸亘义及几何性质 °例1 (1)已知P 为椭圆亍+b=l 和双曲线X 2-^=1的一个交 点尺、F2为椭圆的两个焦点，那么ZF.PF2的余弦值为 _____ ・ (2)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线G ?=8r 相交于A 、〃两点，F 为C 的焦点.若FA = 2FB 9则比= ______________ ・(1) 由椭圆和双曲线的方程可知，Fp 尸2为它们的公共 PF { + PF? = 4PF\_ PF? = 2所以解析不妨设\PFi = 3回2 = 1又F X F2 = 2^/3, 由余弦定理可知COS ZF I PF2 = -壬.（2）方+ 2)(* > 0)恒过定点 P( - 2,0). 如图，过A 、B 分别作AM 丄Z 于点M, BN 丄I 于点N ・ 由皿=2FB 9则AM = 2BN,点B 为AP 的中点. 连结OB,则OB = R F ,・・・OB = BF,点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为(1,2^2). . 2岛0 _2\耳 ・・ 1_(_2)一 3 ••匹 BB‘ 1 9AC~AA f"2J即B 是AC 的中点. .2x 〃 ■必 _ 2,* * [2yn = y AJ42= 8X4，yin =张〃，联立可得4(4,4迈)，〃(1,2迈). . 4迈 一 2^2 2^2• ^AB = 川―- =2一•答案⑴一扌（2）2屮方法二如F, AA f-AF,归纳拓展1 •圆锥曲线的定义是根本，它是标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略.对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要■求PF. + PF2 > F X F2,双曲线的定义中要求IPFj - PF2\ < FX F2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化.2.注意数形结合，提倡画出合理草图.变式训练1卫欖交点，F1、尸2分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为"双曲线离心率为巾，若两•航=0,则A+A = ______________ ・(2)如图，过抛物线j2=2px(p>0)的焦点的直线Z依次交抛物线及其准线与点A、B、C,若BC=2BF,且AF=3,则抛物线的方程是_____________________ ・=i ・(2)作 丄 垂足分别娇 则由抛物线定义得， Ag = AF-3, BF = BM.— 2BF,所以 BC = 2BM.解析(1兄 轴长为0,双曲线实半轴长为",由题意，得PFi + PFi = 2a,①由BM//二、圆锥曲线的方程及应用= l(a>b>0)的离心率e=例2 (2010-天津)已知椭圆弓,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4・(1)求椭圆的方程；(2)设直线/与椭圆相交于不同的两点A, B,已知点A的坐标为(一0,0),点0(0,为)在线段的垂直平分线上，且QA QIi =4,求旳的值.=i ・由方程组消今三严―F(1 + 4k 2)x 2 + 16k 2x + (16k 2- 4) = 0.16, - 4 由根与系数的关系，得-加L〒W ， 所以从而J, =1^4p*设线段4B 的中点为M, 则M 的坐标为(一岸気， 以下分两种情况讨论：①当Ar = 0时，点B 的坐标是(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是鬲=(-2, -jo),筋=(2, -jo). 由芮L •函=4,得为=±2\「2・②当直平分线的方程为 2k y T^P =-*"1 + 40・ 令x = 0,解得旳=-务.由QA = (~2f -jo), QB = (xi ，yi -j 0)，一 2(2 一 蛇) 6k z 4k ~ +1+ 4*^1 + 4*2 + 4(16^4 +丄5宀卫+ 4J12)2QA-QB = ~ 2xi-jo(yi- jo)整理得7k27・综上，jo = ±2-\/2或为=归纳拓展1 •求圆锥曲线的标准方程的基本步骤： ⑴定型（确定圆锥曲线类型）.（2） 定位（判断它的中心在原点，焦点在哪条坐标轴上）. （3） 定量（建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量a, b 的值）.2.椭圆、双曲线.抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及 几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究 它们与直线的交点、相交弦等有关问题.的点M 与椭圆右焦点F 、的连线MF X 与 x 轴垂直，且OM （O 是坐标原点）与椭圆 长轴和短轴端点的连线AB 平行. （1）求椭圆的离心率；⑵巧是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点， 证明：ZF X CF 2^⑶过F I 且与4〃垂直的直线交椭圆于P 、Q,若△PAO 的 面积是2叭5,求此时椭圆的方程.=1±变式训练y B M:.—=~=^b = c=>a = y<2c ac a v⑵证明 由椭圆定义得：FiC +尺< =加,COSZF1CF2 =4a 1 2-4c 2- 2F& F2C即 j = - \[2(x - c).代入椭圆方程消去工得：^(c~^y)2+^= 1, 整理得：5y 2- 2yj2cy - 2<?2 = 0,. 2\l2c 2c 2・・ Jl +J2= 5 ' ^1J2= 一亏一・ m 警沪誓：礬S&F Q |-2<-lyi -j 2l == 2叭/§, c 2= 25,因此a 2= 50,沪= 25,所以椭圆方程为备+幺".2F I CF 2C一 FiC + F 2C 2F]C ・F2CW(」2 )=2b 22c 2•••COSZF1CF2 工 72■- 1 =茲2 -1 = 0, ・・・ZF1CF2W 务则M(c,-2F X CF 2C 2b 2F I CF 2C 2 0),b "a (1)解设你，k OM = k设冼=(七兀3 =加1 +例 3 (2011 •江西)P(x 0, ,o)(xoH±a)是双曲线 E ：》一点2= 1(°>0, 〃>0)上一点，M, N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线 PM, PV 的斜率之积为占⑴求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A, B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，且满足荒=2芮 +OB 9求久的值.解（1）由点竺由题意有—.Jo Jo5’⑵联立设 A （x 5c +（加1 + X 2）2丹卅-50 + （xl - 5yl ） + 2>.（X J X 2 - 5丿也）=5b 2.又A(x n J O ，B(X 29力)在双曲线上， 所以 xj - 5yi = 5b 2, xj - 5yl= 5b 2.由①式又有- 5JIJ 2 =小*2 - 5(*1 - c)(x 2 - c)=一 4XJ X 2 + 5c(*i + x 2) 一 5c 2= 10b 2, ②式可化为A 2 + 4x = 0,解得久=0或2二-4.归纳拓展 本题考查了双曲线方程和它的几何性质，同时 还考查了直线与双曲线的位置关系，圆锥曲线与直线的综合类题目中数形结合法是解题首选，根与系数的关系是解 题利器，方程思想是解题的切入点.变式训练3 (20U ・江西)已知过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点， 斜率为2边的直线交抛物线于A (X|, yi)9 B(X 2,歹2)仗心2)两 点，且AB=9. (1)求该抛物线的方程，(2)0为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC=OA+；VB,求 2的值.又C 为双b\有⑴直线^牡鱼科2 ,2（x-伶），与y2 = 2px联立,从而有4x2 - 5px + p2 = 0, 所以Xi+X2*由抛物线定义得AB +x2 + p - 9,所以p = 4,从而抛物线方程是y2 = Sx・(2)由” _ 4 知4x2— 5px + _ o 可化为x2— 5x + 4 — 0,从而Xi = 1, x2 = 4, Ji = - 2^/2, y2 = 4^/2, 从而4(1, -2迈)，3(4,4迈)・设OC = (x3, J3)= (b - 2迈)+ 2(4,4迈)= (4z+l, 4血-2^2), 又J3 = 8x3,所以[2^(22-1)]2 = 8(42+1),即(22-1)2 = 42+1,解得；＞0或・一、填空题1. AB是某平面上一定线段，点P是该半面内的一动点,满足质I一I两1 = 2, I芮一苛1 = 2诟，则点P的轨迹是双曲线的一支.解析由I芮-丙1 = 2击得I芮l = 2\S. 又I芮I - I萌=2 <2审，由双曲线定义可得轨迹为双曲线的一支线y 2=2px （p>0）^J 焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线 与抛物线的准线的交点坐标为（一2, -1）,则双曲线的焦距 为 _______ ・解析双曲线左顶点为人（-Q,0）, 渐近线为y = 土务，抛物线y 2= 2px （p>0）焦点为F 時、0）, 准线为直线%= - 2- 由题意知-纟=-2,•*.p = 4,由题意知 2 + a = 4, /.a = l.-1）的渐近线为歹=尹, - 1 pX (- 2),/.c 2 = a 2 + Z>2 = 5, ・・・c = \M,・・.2c = 2迟 答案2^52. (2011 天津雷毬fjg^=lS>0, b>0）的左顶点与抛物・•・双曲线渐近线y = 中与准线x = -纟交于（- 2,2,焦点与椭圆£+£ =1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_1±红QL；渐近线方程为心/±)=°.解析・••双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，・= 4.Ve = - =2,・\a = 2,・\b2 = 12,・\b = 2^/3.a v・・•焦点在x轴上，・・・焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y= 土务，即y = ±^/3x, 化为一般式为帝兀土y = 0.4. (2010-陕西)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2—6x 一7=0相切，则D的值为 2 .解析抛物线y2 = 2px(p>0)准线为x=圆x2 + y2 - 6x - 7 = 0 即(x - 3)2 + y2 = 16,则圆心为(3,0),半径为4;又因为抛物线b = 2px(p>0)的准线与圆x2 + y2 - 6x - 7 = 0 相切，所以3+号=4,解得p = 2.=0的距离的最小值为&）・解析 设P （x （）,为），则点P 到直线x + 2y + 8 = 0的距离 ,+ 2y （）+ 81 d =―疋—■ 又点P 在抛物线y =上，所以y （）= 2x ＜）,所以 d=+x （）+ 81,所以当Xo = 一+时，46.设抛物线_/=2p.心＞0）的焦点为F,点4（0,2）.若线段皿 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为卫_・ 解析抛物线的焦点F 的坐标为（£ 0）,线段朋的中点B 的坐标为（? 1）,代入抛物线方程得1 =2pX^,解得p = d 故点B 的坐标为序，1,故点B 到该抛物线 准线的距5.已知抛八、、127审则点P 到127审80 -〃min离为普+警普.7.已知点F为抛物线y =—8x的焦点，O为原点,点尸是抛物线准线上一动点，点4在抛物线上，且AF=4,则必+ PO的毘小値为2屈.解析抛物线的准线方程为x = 2,因为AF = 4,由抛物线定义可得，点A的横坐标为-2,取点A( - 2,4)・因为原点O关于准线的对称点为3(4,0),贝y M + PO = M + PBMAB = 2(13.8.已知A(—刃0),3是・・・B4 + PF=2,即P 到两定点A 、F 距离之和为定值2且大于两定点A 、F 之间的距离1, 故3-4 - 2 b 1一29右焦点为(2迈，0).斜率为1的直线/与椭圆G 交于A 、B 两点，以4〃为底边作等腰三角形，顶点为尸(一3,2)・ (1)求椭(2)求的面积. ft? (1)由已知得c = 2翻,'=半，解得■。
【步步高】2012高考数学 考前三个月抢分训练4 不等式
训练4 不等式1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的________条件．2．(2010·江西改编)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的________条件． 3．若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．4．不等式x 2－4>3|x |的解集是________．5．(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.6．已知p ：关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋2|>m 的解集为R ；q ：关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0的解集为R .则p 成立是q 成立的________条件．7．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是________．8．(2011·大纲全国)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤6，x －3y ≤－2，x ≥1，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________．9．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的解集是M ，若M ∩Z ＝∅，则常数k的取值范围是________．10．若关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13，则(a －3b )x ＋b －2a >0的解集是________．11．(2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x的取值范围是________．12．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________． 13．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．14．(2011·四川改编)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为________．答案1．充分不必要 2．必要不充分 3．3＋2 2 4．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 5．{x |－2≤x ≤5} 6．必要不充分 7．4 8．5 9．2≤k ≤310．{x |x <－3} 11．(－1，2－1) 12．5<b <7 13.⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916 14．4 900元。
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训练13 圆锥曲线
1．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．
2．若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 3．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2
＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m ＝________. 4．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24
＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当t 变化时，AB 的最大值是________． 5．已知点M (3，0)，椭圆x 24
＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．
6．(2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足PF 1∶F 1F 2∶PF 2＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率为________．
7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14
，则该双曲线的离心率是________．
8．如图所示，F 为双曲线C ：x 29－y 216
＝1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7－i (i ＝1,2,3)关于y 轴对称，则P 1F ＋P 2F ＋P 3F －P 4F －P 5F －P 6F 的值是________． ]
9.对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足PQ ≥|a |，则a 的取值范围是________．
10．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．
11．(2010·浙江改编)设F 1、F 2分别为双曲线 x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足PF 2＝F 1F 2，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________．
12．经过点(3,0)的直线l 与抛物线y ＝x 22
相交，两个交点处的抛物线的切线相互垂直，则直线l 的斜率k ＝________.
13．从双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线l ，切点为T ，且l
交双曲线的右支于点P.若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则OM－TM＝________.
14．(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x
轴上，离心率为
2
2.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的
方程为__________．答案
1.1
22．4 3．8 4.
410
55．8 6.
1
2或
3
27.
23
38．18 9．(－∞，2]
10. 5 11．4x±3y＝0 12．－1
613．b－a14.
x2
16＋
y2
8＝1。