201x届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词
第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。
【步步高】高考数学大一轮复习 1
和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是( C )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
题型分类·深度剖析
题型一
含有逻辑联结词的命题的真假
【例 1】已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x
在 R 上为增函数，p2：函数 y＝2x＋
2－x 在 R 上为减函数，则在命题 q1：
p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2
题型分类·深度剖析
题型二
含有一个量词的命题的否定
【例 2】 写出下列命题的否定， 思维启迪 解析 探究提高
并判断其真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x0，使 x03＋ 1＝0.
题型分类·深度剖析
p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2
和 q4：p1∧(綈 p2)中，真命题是( )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/152022/1/15
【2020】最新高中数学第一章常用逻辑用语1-3简单的逻辑联结词1-3-1且(and)1-3-2或(or)1-3-3非(not)学
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
1.3.3 非(not)
学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．
[解](1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为真命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题， p为假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题， p为假命题．
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．
若p真q假，则 所以m≥3.
若p假q真，则 所以1<m≤2.
所以m的取值范围为1<m≤2或m≥3.
母题探究：1.本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．
[解]由例题知，当p为真时，m>2，当q为真时1<m<3，则当p∨q为真命题时，m>1，
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？
高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑与不等式
3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有 元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B，即 A∩ B＝{x|x∈A，且 x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的 元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪B，即 A∪ B＝{x|x∈A，或 x∈B}． (3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集， 简称为集合 A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A)．
题组一 小题自测 1．已知集合 A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实 数 x 的值为________． 解析：因为－4∈A，所以 x2－5x＝－4，解得 x＝1 或 x＝4. 答案：4 或 1
2．设全集 U＝R，集合 A＝{－2，－1，0，1，2}， B＝{x|x≥1}，则 A∩(∁UB)＝____________．
算
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两 个简单集合的并集与交集．
核
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集．
心 数学抽象、数 素 学运算
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会 养
直观图示对理解抽象概念的作用.
1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 提示：元素互异性，即集合中不能出现相同的元素， 此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于， 记为∉．
(3)集合相等：如果 A⊆B，并且 B⊆A，则 A＝B. 两集合相等：A＝B⇔AA⊆⊇BB，. A 中任意一个元素都符 合 B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合 A 中元素 的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集，记作∅. 提示：0，{0}，∅，{∅}之间的关系：∅≠{∅}，∅∈{∅}， ∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅}，0∈{0}，∅⊆{0}．
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时作业3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件理新人教A版
A．p∧q B．p∨(綈q) C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧q
解析 对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⊄β才能推出m∥β，所以
命题p为假命题，命题綈p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝
n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题綈q为假
命题。所以(綈p)∧q为真命题。故选D。 答案 D
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)
解析 由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题， ∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题。故选C。
答案 C
5．已知命题p：∃x0∈R，cosx0＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0。则 下列结论正确的是( )
课时作业(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础过关组 一、选择题 1．下列语句是“p且q”形式的命题的是( ) A．老师和学生 B．9的平方根是3 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分的四边形是矩形
解析 根据逻辑联结词“且”的含义，可知C符合。A不是命题，B， D不是“p且q”形式。故选C。
答案 D
二、填空题 9．命题p的否定是“对所有正数x， ____。
x >x＋1”，则命题p可写为
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对
结论否定即可。 答案 ∃x0∈(0，＋∞)， x0≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时 为假命题，则x＝________。
C．0，14
D．0，41
2023年《师说》高考数学一轮复习 学生用书 第1章 集合与常用逻辑用语
第一节集合课程标准1．了解集合的含义．理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合．2．理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．3．理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集．4．能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．体会图形对理解抽象概念的作用．考情分析2020(Ⅰ)第1题考查了无限集合的并集运算；2021(Ⅰ)第1题考查了无限集与有限集的交集运算；2021(Ⅱ)第2题考查了有限集的交、补运算．核心素养直观想象数学运算教材回扣·夯实“四基”基础知识1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性．(2)元素与集合的关系是________或________，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法．(4)常用数集及其记法：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B)________________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中________________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集________【微点拨】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A____属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，________x∈B}________并集所有属于A________属于B的元素组成的集合{x|x∈A，________x∈B}________补集全集U中________A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x______A}________【微点拨】用集合运算表示区域[常用结论]1．任何一个集合是它本身的子集．2．若有限集A中有n个元素，则A 的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．3．子集的传递性：A ⊆B，B⊆C⇒A⊆C.4．A⊆B⇔A＝A⇔A＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A；(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)1.集合{x2＋x，0}中的实数x可取任意值．()2．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()3．对任意集合A，B，一定有A.()4．若A＝A则B＝C.()题组二教材改编5．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是()A.{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则＝()A．[－1，4] B．(0，3]C．(－1，0]题组三易错自纠7．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A．{－1} B．{1}C．{－1，1} D．{－1，0，1}8．已知集合A＝{x|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|y＝x2－1}，则＝()A．R B．{x|y2＝x2－1}C．{(x，y)|y＝x2－1} D．∅题型突破·提高“四能”题型一集合及其表示[例1](1)[2022·淄博实验中学月考]集合A＝{x∈N*}，用列举法可以表示为()A．B．C．D．(2)[2022·广东实验中学月考]若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．B．C．0 D．0或[听课记录]类题通法与集合中元素有关问题的求解策略[巩固训练1](1)[2022·江苏模拟]设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2题型二集合间的基本关系[例2](1)[2022·福建厦门二中月考]集合M＝，N＝{x ＝，n∈Z}，则下列关系正确的是()A．M⊆N B．M＝∅C．N⊆M D．M＝Z(2)[2022·重庆蜀都中学月考]已知集合M＝，N＝(1，4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．(－∞，0]C．D．[听课记录]类题通法判断集合间关系的常用方法[巩固训练2](1)[2022·海南海口模拟]已知集合A＝，B＝，则下列判断正确的是()A．B∈A B．A＝∅C．A⊆B D．B⊆A(2)[2022·北京师范大学附属中学模拟]已知集合A＝，则集合A的子集的个数是()A．2 B．3C．4 D．5题型三集合的基本运算角度1 交、并、补运算[例3](1)[2022·湖北恩施模拟]设集合A＝，B＝，则A＝()A．B．C．D．(2)已知集合U＝R，集合A＝，B＝，则∁U＝()A．或B．或C．且D．或[听课记录]类题通法求集合交集、并集或补集的步骤[巩固训练3](1)[2021·新高考Ⅰ卷]设集合A＝，B＝，则＝()A．{2} B．{2，3}C．{3，4} D．{2，3，4}(2)[2022·湖南师大附中月考]已知全集U＝，集合A＝，B＝，则A＝()A．B．C．D．角度2 利用集合运算求参数[例4](1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)已知集合A＝，集合B＝{x|2m<x<1－m}．若A＝∅，则实数m 的取值范围是()A．≤m<B．m≥0C．m≥D．<m<[听课记录]类题通法利用集合的运算求参数的方法[巩固训练4](1)[2022·山东泰安模拟]集合A＝，B＝.若A＝，则a＝()A．±1 B．±2C．±3 D．±4(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(C R B)＝R，则实数a的取值范围是()A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}❶集合的新定义问题一、集合的新定义问题的解决方法1．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．2．按新定义的要求，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．3．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．二、常见的命题角度角度1创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以创新，结合相应的数学知识，来解决创新集合的新定义问题．[典例1]若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．【解析】因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，所以若a＝0，则B＝∅，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝＝，若A与B构成“全食”或“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.【答案】0或1或4角度2创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．[典例2](1)(多选)[2022·山东烟台模拟]若非空集合G和G上的二元运算“⊕”满足：①∀a，b∈G，a ⊕b∈G；②∃I∈G，对∀a∈G，a ⊕I＝I ⊕a＝a；③∃I∈G，使∀a∈G，∃b ∈G，有a ⊕b＝I＝b ⊕a；④∀a，b，c∈G，(a ⊕b)⊕c＝a ⊕(b ⊕c)，则称(G，⊕)构成一个群．下列选项对应的(G，⊕)构成一个群的是()A．集合G为自然数集，“⊕”为整数的加法运算B．集合G为正有理数集，“⊕”为有理数的乘法运算C．集合G＝{－1，1，－i，i}(i为虚数单位)，“⊕”为复数的乘法运算D．集合G＝{0，1，2，3，4，5，6}，“⊕”为求两整数之和被7除的余数【解析】A.G＝N时，不满足③，若I＝0，则由1＋b＝0得b＝－1∉G，若I∈N*⊆N，则在G中设a>I，由a＋b＝I得b＝I－a<0∉G，所以(N，⊕)不能构成群；B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然1∈G，对任意a∈G，a⊕1＝a＝1⊕a，③对任意正有理数a，也是正有理数，且a⊕＝1＝⊕a，即I＝1，④有理数的乘数满足结合律，B中可构成群；C．G＝{－1，1，－i，i}(i为虚数单位)，①可验证G中任意两数(可相等)的乘积仍然属于G；②I＝1，满足任意a∈G，有a ⊕1＝1 ⊕a；③I＝1，满足任意a∈G，存在b∈G，有a ⊕b＝b ⊕a＝1，实质上有－1×(－1)＝1×1＝i×(－i)＝1；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构成群；D．G＝{0，1，2，3，4，5，6}，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于G，②I＝0，满足对任意a∈G，a ⊕I＝I ⊕a，③I＝1，I＝0，0＋0＝0，1＋6＝2＋5＝3＋4＝7除以7的余数为0；④加法满足交换律，又a＋b除以7的余数等于a除以7的余数加b除以7的余数的和再除以7所得余数，因此∀a，b，c∈G，(a ⊕b)⊕c＝a ⊕(b ⊕c)，D 中可构成群；故选BCD.【答案】BCD(2)[2022·湖北联考]对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B }，A *B＝(A－B)记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________．【解析】由题意知A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以 A *B＝[－3，0)【答案】[－3，0)角度3创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．[典例3][2022·北京东城区模拟]设A是非空数集，若对任意x，y∈A，都有x ＋y∈A，xy∈A，则称A具有性质P.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若A1，A2具有性质P，且A1则A1具有性质P；③若A1，A2具有性质P，则A1具有性质P；④若A具有性质P，且A≠R，则∁R A不具有性质P.其中所有真命题的序号是________．【解析】对于①，取集合A＝具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；对于②，取x，y∈A1则x∈A1，x∈A2，y∈A1，y∈A2，又A1，A2具有性质P，∴x＋y∈A1, xy∈A1，x＋y∈A2, xy∈A2，∴x＋y∈A1所以A1具有性质P，故②正确；对于③，取A 1＝，A2＝，2∈A1，3∈A2，但2＋3∉A1故③错误；对于④，假设∁R A具有性质P，即对任意x，y∈∁R A，都有x ＋y∈∁R A，xy∈∁R A ，即对任意x，y∉A，都有x ＋y∉A，xy∉A，举反例A＝，取1∉A，3∉A，但1＋3＝4∈A，故假设不成立，故④正确．【答案】①②④第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教材回扣夯实“四基”基础知识1．(1)互异性(2)属于不属于(3)列举法描述法2．A⊆B(或B⊇A)A B(或B A)A＝B3．且且A或或A不属于∉∁U A基本技能、思想、活动经验1．× 2.× 3.× 4.×5．解析：因为2不是自然数，所以a∉A.故选D.答案：D6．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A＝{x|－1≤x≤4}．故选A.答案：A7．解析：∵B⊆A，当B≠∅，即a≠0时，B＝，∴－∈A，即a＝±1；当B＝∅，即a＝0时，满足条件．综上可知实数a所有可能取值的集合是{－1，0，1}．答案：D8．解析：因为集合A的代表元素是实数，而集合B的代表元素是图象上的点，故A＝∅.答案：D题型突破提高“四能”例1解析：(1)因为∈Z且x∈N*，所以x的可取值有：1，2，4，5，6，9，所以列举法表示集合为：，故选B.(2)集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，当a＝0时，可得x＝，集合A只有一个元素为：.当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，可得：a＝.故选D.答案：(1)B(2)D巩固训练1解析：(1)因集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，又x∈A，y∈B，则当y＝5时，x＋y的值有：6，7，8，9，当y＝6时，x＋y的值有：7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，所以C中元素的个数为5.故选C.(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a ＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.答案：(1)C(2)C例2解析：(1)M＝，N＝，n＋2表示整数，2n＋1表示奇数，故N⊆M，故A错误，B错误，C正确，而M中的元素有分数，故D错误．故选C.(2)因M⊆N，而∅⊆N,所以M＝∅时，即2a≤1－a，则a≤，M≠∅时，M⊆N，则⇒，无解，综上得a≤，即实数a的取值范围是.故选C.答案：(1)C(2)C巩固训练2解析：(1)∵A＝＝，B＝，∴B⊆A，A＝B＝，故选D.(2)∵A＝＝，有2个元素，则集合A的子集的个数是22＝4.故选C.答案：(1)D(2)C例3解析：(1)因集合A＝，则A＝，又B＝，所以A＝{1，2，3}．故选C.(2)因为A＝＝，B＝，则A ＝或，因此，∁U＝或.故选D.答案：(1)C(2)D巩固训练3解析：(1)由题设有A＝，故选B .(2)U＝＝，因为B＝{3，4，5}，可得∁U B＝，因为A＝{1，2，3，5}，所以A＝{1，2}，故选C.答案：(1)B(2)C例4解析：(1)由已知可得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，又∵A＝{x|－2≤x≤1}，∴－＝1，∴a＝－2.故选B.(2)由A＝∅，得：①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；②若2m<1－m，即m<时，由A＝∅，则或，解得0≤m<，综上可得：m≥0，所以实数m的取值范围是m≥0.故选B.答案：(1)B(2)B巩固训练4解析：(1)由A＝知，，解得a＝±2.故选B.(2)因为B＝{x|1<x<2}，所以∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，又∵A∪(∁R B)＝R，∴a≥2.故选C.答案：(1)B(2)C第二节常用逻辑用语课程标准考情分析核心素养1.必要条件、充分条件、充要条件2020和2021年新高考未单独考查，只是在2020年(Ⅱ)卷逻辑推理数学运算基础知识1.充分条件、必要条件与充要条件的概念【微点拨】1．A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BD⇒A.2．A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AD⇒B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．2．全称量词和存在量词【微点拨】含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”．[常用结论]1．集合与充要条件：设p ，q 成立的对象构成的集合分别为A ，B ， (1)p 是q 的充分不必要条件⇔AB ；(2)p 是q 的必要不充分条件⇔A B ； (3)p 是q 的充要条件⇔A ＝B .2．若p 是q 的充分不必要条件，则¬q 是¬p 的充分不必要条件．基本技能、思想、活动经验在量词命题．( )2．命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) 3．当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )4．“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) 题组二 教材改编5．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(多选)下列命题为真命题的是( ) A ．任意实数的平方大于或等于0B ．对任意实数a ，二次函数y ＝x 2＋a 的图象关于y 轴对称C ．存在整数x ，y ，使得2x ＋4y ＝3D ．存在一个无理数，它的立方是有理数 题组三 易错自纠7．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 38．命题“∃x <1，1x<1”的否定是________________________________________________________________________．题型突破·提高“四能”[例1] (1)[2022·广东韶关模拟]命题p ：x 2－x －2<0是命题q ：0<x <1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)[2022·河北石家庄模拟]a >2是a ＋2a>3的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 [听课记录]类题通法充分、必要条件的两种常用判断方法[巩固训练1] (1)[2022·湖南长郡中学模拟]设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)[2022·山东济南模拟]△ABC 中，“sin A ＝12 ”是“A ＝π6”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件题型二 充分条件、必要条件的应用[例2] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[听课记录]变式探究 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．类题通法利用充分、必要条件求参数的两点提醒[巩固训练2] [2022·山东日照模拟]若不等式()x －a 2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________．题型三 全称量词命题与存在量词命题角度1 全称量词命题、存在量词命题的真假判断[例3] [2022·江苏盐城模拟]下列4个命题中，真命题的是( )A ．∃x ∈()0，＋∞ ，⎝⎛⎭⎫14 x <⎝⎛⎭⎫15 xB ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，15 ，⎝⎛⎭⎫15 x <log 15x C ．∀x ∈()0，＋∞ ，⎝⎛⎭⎫14 x>log 14xD ．∃x ∈()1，＋∞ ，log 14x >log 15x[听课记录]类题通法判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路[巩固训练3] 下列四个命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0B ．∀x ∈R ，2x －1＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2角度2 全称量词命题和存在量词命题的否定[例4] (1)[2022·湖北武汉模拟]命题“∃x ≥0，2x ＋x －a ≤0”的否定是( ) A ．∀x ≤0，2x ＋x －a ≤0 B ．∀x ≥0，2x ＋x －a >0 C ．∃x ≤0，2x ＋x －a >0 D ．∃x ≥0，2x ＋x －a >0(2)[2022·山东潍坊模拟]命题“∀a >0，a ＋1a≥2”的否定是( )A ．∃a ≤0，a ＋1a <2B ．∃a >0，a ＋1a <2C ．∀a ≤0，a ＋1a ≥2D ．∀a >0，a ＋1a<2[听课记录]类题通法对全称量词命题与存在量词命题进行否定的步骤[巩固训练4] (1)[2022·山东德州模拟]已知命题p ：∀x >0，ln ()x ＋1 >0，则¬p 为( ) A ．∀x >0，ln ()x ＋1 ≤0 B ．∃x >0，ln ()x ＋1 ≤0 C ．∀x <0，ln ()x ＋1 ≤0 D ．∃x ≤0，ln ()x ＋1 ≤0 (2)[2022·北京二中月考]已知命题p ：∃x >0，ln x <0，则¬p 为________．角度3由全称(存在)量词命题的真假求参数的范围[例5][2022·福建上杭一中月考]已知命题p：∃x∈R，mx2＋2≤0；命题q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0.若p、q都为假命题，则实数m的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1，1][听课记录]类题通法根据全称(存在)量词命题的真假求参数的一般步骤[巩固训练5][2022·湖北襄阳模拟]若“∃x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围为________．温馨提示：请完成课时作业2第二节常用逻辑用语教材回扣夯实“四基”基础知识1．充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2．∀∃3．∀x∈M∃x∈M∃x∈M∀x∈M基本技能、思想、活动经验1．× 2.× 3.√ 4.√5．解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.答案：B6．解析：A、B为真命题；C为假命题，因为2x＋4y＝2(x＋2y)必为偶数；D为真命题，如x＝，x3＝2∈Q.故选ABD.答案：ABD7．解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．故选A.答案：A8．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，既改量词，又否结论，“<1”的否定是“0≤x≤1”．答案：∀x<1，0<x≤1题型突破提高“四能”例1解析：x2－x－2<0⇔－1<x<2，所以pDq，反之q⇒p.故p是q的必要不充分条件．故选B.答案：B解析：由不等式a＋>3，即a＋－3＝＝>0，解得0<a<1或a>2，即不等式的解集为{a|0<a<1或a>2}，所以a>2是a＋>3的充分不必要条件．故选C.答案：C巩固训练1解析：若a＝0，b＝－2，则a2<b2，故不充分；若a＝－2，b＝0，则a2>b2，而a<b，故不必要，故选D.答案：D解析：在△ABC中，若sin A＝，则A＝或，因为，因此，“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．故选C.答案：C例2解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.又∵S≠∅，如图所示．则，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].答案：[0，3]变式探究解析：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴，∴，∴不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．答案：不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件巩固训练2解析：由2<1得a－1<x<a＋1，因为1<x<2是不等式2<1成立的充分不必要条件，∴满足且等号不能同时取得，即，解得1≤a≤2.答案：例3解析：因为∀x∈，x<x，故A为假命题；∀x∈，x<0＝＝1，即x，故B为真命题；取x＝，则＝<0＝1，所以，故C为假命题；∀x∈，log4x>log5x>0，所以－log4x<－log5x<0，即x，故D为假命题．故选B.答案：B巩固训练3解析：A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin ，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．故选D.答案：D例4解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得，命题“∃x≥0，2x＋x－a≤0”的否定是“∀x≥0，2x＋x－a>0”故选B.答案：B解析：命题“∀a>0，a＋≥2”为全称量词命题，则其的否定为∃a>0，a＋<2，故选B.答案：B巩固训练4解析：对命题否定时，全称量词改成存在量词，即∃x>0，ln ≤0；故选B.答案：B解析：根据题意，命题p：∃x>0，ln x<0是存在量词命题，则¬p：∀x>0，ln x≥0.答案：∀x>0，ln x≥0例5解析：p，q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得∀x∈R，mx2＋2>0，∴m≥0.由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，得∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题∴Δ＝(－2m)2－4≥0，得m≤－1或m≥1.∴m≥1.故选A.答案：A巩固训练5解析：若“∃x∈R，x2－2x－a＝0”是假命题，则其否定若“∀x∈R，x2－2x－a≠0”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4＋4a<0，解得a<－1，故实数a的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册
1.1。
3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。
问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。
这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。
（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲逻辑联结词全称量词与存在量词
第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一
集合与常用逻辑用语
章
第三节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
高考概览 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量 词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否 定.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理]
1．简单的逻辑联结词 (1)概念：命题中的 且、或、非
叫做逻辑联结词．
(2)复合命题的真假判断：用真值表来确定
[温馨提示] 一个易混点：命题的否定与否命题 命题的否定是直接对命题的结论进行否定，即命题“若 p， 则 q”的否定为“若 p，则綈 q”，其真假与原命题的真假是相对
的，即一真一假，而否命题则是“若綈 p，则綈 q”，其真假与
原命题的真假无必然的联系．
[温馨提示] (1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含
的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．如全等
三角形的对应边相等，其否定是
存在两个全等三角形，其对应边不都相等
．
(2)复合命题的否定：①“綈 p”的否定是“p”；②“p∨q”的
否定是“綈 p∧綈 q”；③“p∧q”的否定是“綈 p∨綈 q”，如
[解析] 命题的等价形式为方程 x2－2＝0 的解是 x＝ 2或 x ＝－ 2，所以使用了逻辑联结词“或”，故选 A.
[答案] A
2．(2017·广西高三检测(一))命题“∀x∈R，x2＋2x＋2>0” 的否定是( )
A．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 B．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．∀x∈R，x2＋2x＋2<0 D．∃x∈R，x2＋2x＋2>0
题，故选 B.
(2)函数 y＝2－ax＋1 的图象可看作是先把函数 y＝ax 的图象向 左平移一个单位，再将所得图象沿 x 轴作翻折，最后再将所得图 象向上平移 2 个单位得到，而 y＝ax 的图象恒过(0,1)，所以 y＝2 －ax＋1 的图象恒过(－1,1)，因此 p 为假命题；若函数 f(x－1)为偶 函数，即图象关于 y 轴对称，f(x)的图象由 f(x－1)向左平移一个单 位得到，所以 f(x)的图象关于直线 x＝－1 对称，因此 q 为假命题．故
2．全称命题与特称命题 (1)全称量词与存在量词 ①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词，用“ ∀ ”表示；含有全称量词的命题叫做全 称命题． ②存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词，用“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题叫 做特称命题．
(2)含有一个量词的命题的否定
4．如果命题“綈 q∨p”与“綈 p∨q”都是真命题，则下列
结论： ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是假命题；③命
题“綈 p∧q”是假命题；④命题“綈 p∧q”是真命题．
其中可能成立的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 命题綈 q∨p 为真，则綈 q 与 p 中至少有一个为真； 命题綈 p∨q 为真，则綈 p 与 q 中至少有一个为真．若 p 为真， 则綈 p 为假，由命题綈 p∨q 为真可得 q 为真；若 p 为假，由命 题綈 q∨p 为真可得綈 q 为真，即 q 为假．由以上可知，命题 p
[解析] 全称命题的否定是特称命题，故选 B.
[答案] B
3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则綈 p 为( )
A．∀n∈N，n2>2n C．∀n∈N，n2≤2n
B．∃n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n，故选 C.
[答案] C
q：若函数 y＝f(x－1)为偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x
＝1 对称，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(綈 p)∧q D．p∨(綈 q)
判断命题 判断选项中复 [思路引导] p，q的真假 → 合命题的真假 → 结论
[解析] (1)因为 3x>0，当 m<0 时，m－x2<0， 所以命题 p 为假命题； 当 m＝19时，因为 f(－1)＝3－1＝13， 所以 f[f(－1)]＝f13＝19－132＝0， 所以命题 q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈 p)∧q 为真命
p∨(綈 q)为真命题，故选 D. [答案] (1)B (2)D
(1)本题(1)的求解需要注意 f(x)是一个分段函数． (2)中命题 p、q 真假的判断用到了图象平移的知识，由 y＝f(x) 得到 y＝f(x＋h)，只需向左(h>0)或向 右(h<0)平移|h|个单位． (3)复合命题真假判断的依据是“真值表”．
与 q 同时为真，或同时为假．当命题 p 与 q 同时为真时，可得结 论①③正确；当命题 p 与 q 同时为假时，可得结论②③正确．所 以可能正确的结论有①②③，共三个，所以选 C.
[答案] C
5．(2015·山东卷)若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则 实数 m 的最小值为________.
“x＝1 或 x＝0”的否定是x≠1 且 x≠0 ，y＝tanx 是奇函数且是周
期函数的否定是 y＝tanx 不是奇函数或不是周期函数
．
[小题速练] 1．命题：“方程 x2－2＝0 的解是 x＝± 2”中使用逻辑联结 词的情况是( ) A．使用了逻辑联结词“或” B．使用了逻辑联结词“且” C．使用了逻辑联结词“非” D．没有使用逻辑联结词
给出下列两个命题：命题 p：∃m∈(－∞，0)，
方程 f(x)＝0 有解，命题 q：若 m＝19，则 f[f(－1)]＝0，那么，下
列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．(綈 p)∧q
C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q)
(2)已知命题 p：函数 y＝2－ax＋1 的图象恒过定点(1,2)；命题
[解析] ∀x∈0，π4，tanx∈[0,1]，∴m≥1， ∴m 的最小值为 1.
[答案] 1
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断——偶考点 (1)(2017·江 西 红 色 七 校 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
3x，x<0， m－x2，x≥0，