【轻松突破120分】2014高考数学精炼13 理
2014高考数学(理)二轮专题突破训练第3部分专题1第1讲送分题——准确解,一分不丢Word版含解析
第一讲 送分题——准确解，一分不丢高考试卷虽然是选拔性的试卷，但是试卷中仍然有相当部分的送分题．所谓送分题是指知识点基础，数据计算量小，解题方法基本的试题．这部分试题往往因为简单，导致许多考生思想重视不够，从而失分，特别是一些数学成绩优秀的考生更是如此．笔者以多年送考的经验告诉大家，只要处理好以下几个方面的问题，即可达到“送分题，一分不丢”的效果，使考生能在高考考场上取得开门红，增强考试的信心．[例1] (2013·大连模拟)若复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，则a 的值是( ) A ．－3 B ．－3或1 C ．3或－1 D ．1[尝试解答][错因] 本题易混淆复数的有关概念，忽视虚部不为零的限制条件．[正解] 因为复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝0，a ＋3≠0，解得a ＝1.[答案] D[反思领悟] 利用复数的有关概念解题时，一定要过好审题关，仔细辨析试题中的待求问题；在准确用好概念的前提下对试题进行解答，这样才能避免应用概念出错．如本题，若能搞清复数z 为纯虚数的概念，只需令复数z 的实部为零，虚部不为零，从而把求参数问题转化为求方程组解的问题，即可避开概念的陷阱．[例2] 已知：p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)·(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[尝试解答][错因] 本题的易错点是对充要条件的概念把握不清，判断错误，并且不会将充要条件进行转化．[正解] ∵p ：－2≤x －3≤2,1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.易得q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，∴2≤m ≤4. [答案] [2,4][反思领悟] 对充要条件的判定需注意：(1)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(2)要注意转化：如果p 是q 的充分不必要条件，那么綈p 是綈q 的必要不充分条件．同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么綈p 是綈q 的充分不必要条件；如果p 是q 的充要条件，那么綈p 是綈q 的充要条件.[例3] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2 x 的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[尝试解答][错因] 不能准确作出两函数在相应区间的图像以及两函数图像的相对位置关系，只是想当然、没有依据地乱作图像，很容易导致错误．[正解] 分别在同一坐标系内作出两函数的图像．如图所示，观察易知两函数图像有且仅有3个交点．[答案] B[反思领悟] 在判断函数图像交点的个数或利用函数图像判断方程解的个数时，一定要注意函数图像的相对位置关系，可以取特殊值验证一下，如取x ＝12时，4x －4<log 2x ，即此时对函数图像上的点应在相应直线的上侧，因此我们可以通过取特殊值的方法相对准确地确定两函数图像的相对位置关系．[例4] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba ＋1的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－2,1] D ．(－2,1)[尝试解答][错因] 不能根据函数解析式的特点以及零点所在区间确定a ，b 所满足的条件，导致找不到解决问题的突破口，或者忽视a >0的限制条件，导致错解．[正解] 因为a >0，所以二次函数f (x )的图像开口向上，又因为f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子b a ＋1表示平面区域内的点P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的斜率．而直线QA的斜率k ＝1－00－(－1)＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．[答案]D[反思领悟]本题是一个函数的零点取值范围与线性规划的综合问题，先结合函数图像确定函数在指定区间存在零点的条件，再确定不等式组所表示的平面区域，将目标函数转化为平面区域内的点与定点连线的斜率，根据图形判断其取值范围．在作图时要注意不等式组中各个不等式是否带有等号，否则很容易忽视边界值而导致错解.[例5](2013·福州模拟)已知数列{a n}中a n＝n2－kn(n∈N*)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，2] B．(－∞，3)C．(－∞，2) D．(－∞，3][尝试解答][错因]认为a n是关于n的二次函数，定义域为整数集，又{a n}递增，则必有k2≤1，即k≤2，思维不严谨导致解题错误．[正解]a n＋1－a n＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，由于{a n}单调递增，故应有a n ＋1－a n>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．[答案] B[反思领悟]函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所在函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n＋1与a n的大小来判断：若a n＋1>a n，则数列为递增数列；若a n＋1<a n，则数列为递减数列．[例6]如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD＝x AB＋y AC，则x＝________，y＝________.[尝试解答][错因] 本题想利用向量的基本运算，但由于计算费时，时间紧迫，所以思路出现阻碍，致使问题无法求解或求解失误．[正解] 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，且取单位长度为AB ，则问题转化为求D 点坐标(x ，y )．易知BC ＝2，所以DE ＝2，所以BD ＝DE sin 60°＝62.易知直线BD 的倾斜角是45°，所以D 点纵坐标y ＝BD ·sin 45°＝32，D 点的横坐标x ＝1＋BD cos 45°＝1＋32，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫1＋32，32. [答案] 1＋32 32[反思领悟] 在试题中不含有向量的坐标时，要善于根据问题的实际情况，在不改变问题本质的情况下建立适当的坐标系，把向量问题代数化，可以降低问题的难度.[例7] 已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，且l 1∥l 2，则a 的值为( ) A ．0 B ．－16C ．6D ．0或－16[尝试解答][错因] 本题易出现忽略直线斜率不存在的特殊情况致误．[正解] 法一：当直线斜率不存在，即a ＝0时，有l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2；当直线斜率存在时，l 1∥l 2⇔－32a ＝3a －1a 且52a ≠－2a ⇔a ＝－16.故使l 1∥l 2的a 的值为－16或0.法二：l 1∥l 2⇔3·(－a )－(3a －1)·2a ＝0， 得a ＝0或a ＝－16.故使l 1∥l 2的a 的值为0或－16.[答案] D[反思领悟] 在给定直线的一般方程，利用直线的位置关系，求参数的值时，一定要注意直线斜率存在性的讨论，不能想当然地以斜率存在进行求解，致使答案错误．为避免讨论，此类题可采用法二解决．[例8] (2013·郑州模拟)过点(0,3)作直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[尝试解答][错因] 本题易只考虑斜率k 存在的情况，而忽视斜率k 不存在以及直线l 平行于抛物线对称轴时的两种情形．[正解] 当斜率k 存在且k ≠0时，由题中条件知，直线l 的方程为y ＝13x ＋3；当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝3，此时l 平行于对称轴，且与抛物线只有一个交点⎝⎛⎭⎫94，3； 当k 不存在时，直线l 与抛物线也只有一个公共点，此时l 的方程为x ＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点的直线l 的方程为y ＝13x ＋3，y ＝3，x＝0，共3条．[答案] D[反思领悟] 解答直线与抛物线位置关系的相关问题时，注意直线与抛物线的两种特殊的位置关系：直线和抛物线的对称轴垂直与直线和抛物线的对称轴平行．[例9] 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，则数列{a n }的前2n 项的和S 2n ＝________.[尝试解答][错因] 对于等比数列的前n 项和易忽略公比q ＝1的特殊情况，造成概念性错误．再者没有从定义出发研究条件中的数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，得不到数列{a n }的奇数项和偶数项成等比数列，从而找不到解题的突破口，使思维受阻．[正解] 由数列{a n ·a n ＋1}是公比为q 的等比数列，得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ⇔a n ＋2a n ＝q ，这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又a 1＝1，a 2＝2，所以，当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1－q n )1－q；当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋1＋…＋1)＋(2＋2＋2＋…＋2) ＝3n .[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧3(1－q n)1－q ，q ≠1，3n ，q ＝1[反思领悟] (1)本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中a n ＋2a n ＝q 是解题的关键；(2)不要认为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察、比较就能得出正确结论；(3)对等比数列的求和一定要注意公比为1这种特殊情况，高考往往就是在此设计陷阱，使考生考虑的问题不全面而导致解题错误.[例10] 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [尝试解答][错因] 本题易忽视对公比大于0和小于0的讨论． [正解] 因为等比数列{a n }中a 2＝1， 所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q . 所以当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3(当且仅当q ＝1时，等号成立)； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2(－q )·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1(当且仅当q ＝－1时，等号成立)． 所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． [答案] D[反思领悟] 在利用基本不等式解决函数的值域问题时，要注意其使用条件和等号成立的条件，即所谓“一正、二定、三相等”．例如，求函数y ＝x ＋1x 的值域和a b ＋ba 的取值范围问题时，要注意分类讨论．[例11] (2013·滨州模拟)设函数f (x )＝x －2x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性． [尝试解答][错因] 本题的易错点是在讨论函数y ＝f (x )的单调性时，因缺乏分类讨论意识，导致解题错误；或者有分类讨论意识，但分类标准模糊导致分类不全致误．[正解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x ＝x 2－3x ＋2x 2＝(x －1)(x －2)x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：所以f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝－1；在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0， f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减．综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减． [反思领悟] 判断含参数的单调性问题应注意：先树立分类讨论的思想意识，做题时应先对问题作深入的研究，明确其分类的标准，如本题中要讨论函数f (x )的单调性，应讨论f ′(x )的符号，即讨论x 2－ax ＋2的符号，从而应分Δ≤0与Δ>0两种情况讨论；由于考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，应讨论f ′(x )＝0的两根与定义域的关系，故再次分a <－22和a >22两种情况．一般地，与y ＝ax 2＋bx ＋c 有关的讨论有三种依据：a 取值，Δ取值，根的大小.[例12] 曲线y ＝1－x 2与直线y ＝x ＋b 没有公共点，则实数b 的取值范围为________． [尝试解答][错因] 本题易直接联立y ＝1－x 2与y ＝x ＋b ，整理为2x 2＋2bx ＋b 2－1＝0，然后错误地认为曲线y ＝1－x 2与直线y ＝x ＋b 没有公共点等价于方程2x 2＋2bx ＋b 2－1＝0无解，从而导致解题错误．[正解] 如图，根据图像可知：当b >2或b <－1时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2，y ＝x ＋b 无解，即曲线y ＝1－x 2与直线y ＝x ＋b 没有交点．故b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)[反思领悟] 在研究直线与圆或直线与圆锥曲线的公共点的个数时，通常联立与曲线的方程，通过方程组解的个数来判断．但是在解决此类问题时，一定要注意圆或圆锥曲线是否为完整的圆或圆锥曲线，否则应画出图形，利用数形结合法解决，如本例中曲线y ＝1－x 2表示的图形为半圆而不是整个圆，故应采用数形结合的方法求解．[例13] 若sin x ＋sin y ＝13，则sin y －cos 2x 的最大值为________． [尝试解答][错因] 本题易将sin y －cos 2x 转化为⎝⎛⎭⎫13－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，误认为sin x ∈[－1，1]，致使问题转化不等价而导致解题错误．[正解] 由已知条件有sin y ＝13－sin x ， 且sin y ＝⎝⎛⎭⎫13－sin x ∈[－1,1]，结合sin x ∈[－1,1]，得－23≤sin x ≤1， 而sin y －cos 2x ＝13－sin x －cos 2x ＝sin 2x －sin x －23，令t ＝sin x ⎝⎛⎭⎫－23≤t ≤1， 则原式＝t 2－t －23＝⎝⎛⎭⎫t －122－1112⎝⎛⎭⎫－23≤t ≤1， 因为对称轴为t ＝12， 故当t ＝－23，即sin x ＝－23时，原式取得最大值49. [答案] 49[反思领悟] 在利用换元法解决问题时，要注意换元后自变量取值范围的变化，当题目条件中出现多个变元时，要注意变元之间的相互约束条件，如本例中易忽视等式sin x ＋sin y ＝13中两个变量的相互制约，即由于－1≤sin y ≤1，所以sin x 必需满足－1≤13－sin x ≤1这个隐含的约束条件.[例14] (2013·南京师大附中模拟)如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝2EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .[尝试解答][错因] 本题易失分的原因有以下两点：(1)推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如证明BF ∥平面ACE 时，易忽视指明BF ⊄平面ACE ；(2)线面位置关系的证明思路出错，缺乏转化意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的．[正解](1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB＝2EF，∴BO＝EF.又∵EF∥BD，∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE.∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO.∵EO∥BF，∴BF⊥BD.[反思领悟]证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解决这类问题时要注意推理严谨，使用定理时要找足条件，书写规范等．[例15]已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2) 是函数y＝a x(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像，可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论122x xa a>a122x+x成立．运用类比思想，可知若点C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有____________成立．[尝试解答][错因] 本题通过类比推理，易得“sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22”的错误结论，其错误的原因是类比推理不严谨，未真正读懂题意，未能把握两曲线之间相似的性质，导致得出错误结论．[正解] 运用类比推理与数形结合，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像是上凸，因此线段CD的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图像上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的纵坐标，即sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立． [答案] sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22[反思领悟] 类比推理是从特殊到特殊的推理，求解有关类比推理题时，应找出两类事物之间的相似性和一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题．类比推理的关键是找到合适的类比对象，否则就失去了类比的意义.[例16] 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝1，c ＝ 3.(1)若角C ＝π3，则角A ＝________； (2)若角A ＝π6，则b ＝________. [尝试解答][错因] 在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现了丢解的错误．[正解] (1)由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a <c ，∴A <C ，∴A ＝π6. (2)由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3. 当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2； 当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1. [答案] (1)π6(2)2或1 [反思领悟] 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据：一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．[例17] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．[尝试解答][错因] 本题容易因忽视特殊情况而出错．因为当点P 在右顶点处，∠F 1PF 2＝π，所以0<∠F 1PF 2≤π.如果忽视特殊情况，就会出现0<∠F 1PF 2<π的错误．[正解] 如图所示，设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ≤π)，当点P 在右顶点处时，θ＝π.由条件，得|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .所以e ＝2c 2a＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm ＝5－4cos θ.又－1≤cos θ<1，所以e∈(1,3]．[答案](1,3][反思领悟]本题在求解中稍不注意，就会出现漏掉特殊情况的错误．在平时的训练中应该加强对解题的监控，注意多研究问题的各种情况，以形成全面思考，周密答题的良好习惯．这对考生来说，是非常重要的．。
2014高考数学百题精练分项解析13
2014高考数学百题精练之分项解析13【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.若向量a 与b 的夹角为60°，|b|=4，（a+2b ）·（a-3b ）=-72，则向量a 的模为（） A.2B.4C.6D.21 答案：C解析：由已知得a 2-a ·b-6b 2=-72.故|a|2-2|a|-24=0，|a|=6或-4（舍）.2.若a=（2，3），b=（-4，7），则a 在b 方向上的投影为（） A.3B.513C.565D.65 答案：C解析：a 在b 方向上的射影为5656513||==∙b b a . 3.已知a ⊥b ，|a|=2，|b|=3，且3a+2b 与λa-b 垂直，则λ等于（） A.23B.-23C.±23D.1 答案：A解析：因a ⊥b ，故a ·b=0，又（3a+2b ）（λa-b ）=0.故3λa 2-2b 2=0,λ=23||3||222=a b . 4.(2010天津和平区一模，4)已知a+b+c=0，|a|=1，|b|=2，|c|=2，则a ·b+b ·c+c ·a 的值为（） A.7B.27C.-7D.-27 答案：D解析：2（a ·b+b ·c+c ·a ）=a （b+c ）+b （c+a ）+c （a+b ）=-（a 2+b 2+c 2）=-（1+4+2）=-7，∴a ·b+b ·c+c ·a=-72.5.(2010湖南十校联考，3)已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3，|BC |=4，|CA |=5，则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值等于()A.25B.24C.-25D.-24答案：C解析：由已知得cosA=53,cosB=0,cosC=54. 原式=-|AB ||BC |cosB-|BC ||CA |cosC-|CA ||AB |cosA=0-4×5×54-5×3×53=-25.6.已知向量a=（2cos α,2sin α）,b=(3cos β,3sin β),a 与b 的夹角为60°，则直线x ·cos α-y ·sin α+21=0与圆（x-cos β）2+(y+sin β)2=21的位置关系是() A.相切B.相交C.相离D.随α、β而定答案：C解析：由d=1|21sin sin cos cos |++βααβ=|cos(α-β)+21|,又因为a ·b=6cos αcos β+6sin αsin β=|a||b|cos60°. 故有cos(α-β)=1232⨯=21. ∴d=1＞22. 7.已知向量OB =（2，0），向量OC =（2，2），向量CA =（2cos α,2sin α）,则向量OA 与向量OB 的夹角的范围为()A.［0,4π］B.［4π,125π］C.［125π,2π］D.［π21,125π］ 答案：D 解析：OA =(x,y),CA =OA -OC =(x-2,y-2), x=2+2cos α,y=2+2sin α, OA ·OB =2x,cos θ2)(11||||x y OB OA +=.又（x-2）2+(y-2)2=(2)2,设y=kx, 21|22|kk +-=2.k=2±3,即（x y ）2最大为（2+3）2，最小为（2-3）2426-≤cos θ≤426-,θ∈［12π,125π］ 二、填空题（每小题5分，共15分）8.(2010江苏南京一模，14)若|a|=1，|b|=2，c=a-b ，且c ⊥a,则向量a 与b 的夹角为___________.答案：3π解析：c ⊥a ⇒（a-b ）a=0,a ·b=a 2=1,∴cos 〈a 、b 〉=||||b a b a ∙=21，故a 与b 夹角为3π. 9.已知i ，j 为互相垂直的单位向量，a=i-2j ，b=i+λj,且a 与b 夹角为锐角，则实数λ取值范围为________________________.答案：λ＜21且λ≠-2 解析：由a 与b 夹角为锐角有⎩⎨⎧>∙不共线与b a b a ,0可得.10.已知△ABC 的面积为4315，|AB |=3，|AC |=5，AB ·AC ＜0，则|BC |=____________. 答案：7解析：S △=21|AB |·|AC |·sinA=4315⇒sinA=23,又AB ·AC ＜0,即A ＞90°,故A=120°.∴|BC |2=|AC -AB |2=|AC |2+|AB |2-2|AC ||AB |cosA=32+52+3×5=49,|BC |=7. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知向量a=（cosx,sinx ）,b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x ∈(0,π).(1)向量a 、b 是否共线？请说明理由；（2）求函数f(x)=|b|-(a+b)·c 的最大值.解析：（1）a 与b 共线.因cosx ·（1-cos2x)-sinx ·sin2x=cosx ·2sin 2x-2sin 2x ·cosx=0.(2)|b|=2|sinx|,∵x ∈(0,π),∴sinx ＞0,|b|=2sinx.又（a+b ）·c=sinx+2sin 2x,∴f(x)=-2sin 2x+sinx =-2(sinx-41)2+81. ∵x ∈(0,π), ∴当sinx=41时，函数f （x ）取得最大值81. 12.已知a=（cos α,sin α）,b=(cos β,sin β)且a ，b 满足|ka+b|=3|a-kb|（k ＞0）.(1)用k 表示a ，b 的数量积；（2）求a ·b 的最小值及此时a ，b 的夹角θ.解析：（1）|a|=1,|b|=1,|ka+b|2=3|a-kb|2,k 2a 2+2ka ·b+b 2=3a 2+3k 2b 2-6ka ·b ，8ka ·b=2k 2+2,a ·b=k k 412+.(2)k ＞0,a ·b=k k 412+=41(k+k 1)≥21,当k=1时等号成立.此时a ·b 的最小值为21，夹角为θ=3π.13.已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.（1）求证：（a-b ）⊥c;(2)若|ka+b+c|＞1(k ∈R),求k 的取值范围.（1）证明：（a-b ）·c=a ·c-b ·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=0,∴(a-b)⊥c.(2)解析：|ka+b+c|＞1⇔|ka+b+c|2＞1⇔k 2a 2+b 2+c 2+2ka ·b+2ka ·c+2b ·c ＞1. ∵|a|=|b|=|c|=1,且a ，b ，c 夹角均为120°，∴a 2=b 2=c 2=1,a ·b=b ·c=a ·c=-21.∴k 2-2k ＞0,k ＞2或k ＜0.14.设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R.(1)若OA =a ，OB =tb,OC =31(a+b),则当t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？（2）若|a|=|b|，且a 与b 的夹角为60°，则t 为何值时，|a-tb|的值最小？ 解析：(1)∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB =λAC .∴tb-a=λ［31(a+b)-a ］=31λb-32λa ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,31λλt ∴λ=23,t=21.(2)∵a ·b=|a||b|cos60°=21|a|2,∴|a-tb|2=|a|2-2t(a ·b)+t 2|b|2=|a|2-t|a|2+t 2|a|2=|a|2［(t-21)2+43］.∴当t=21时，|a-tb|有最小值23|a|.。
高考数学复习重点：用好八个技巧 轻松突破0分-
高考数学复习重点：用好八个技巧轻松突破120分1.认真研究《高考考试说明》《高考考纲》《高考考试说明》和《高考考纲》是每位考生必须熟悉的最权威最准确的高考信息，通过研究应明确“考什么”、“考多难”、“怎样考”这三个问题。
命题通常注意试题背景，强调数学思想，注重数学应用；试题强调问题性、启发性，突出基础性；重视通性通法，淡化特殊技巧，凸显数学的问题思考；强化主干知识；关注知识点的衔接，考察创新意识。
《高考考纲》明确指出“创新意识是理性思维的高层次表现”。
因此试题都比较新颖，活泼。
所以复习中你就要加强对新题型的练习，揭示问题的本质，创造性地解决问题。
2.多从思维的高度审视知识结构高考数学试题一直注重对思维方法的考查，数学思维和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括。
知识是思维能力的载体，因此通过对知识的考察达到考察数学思维的目的。
你要建立各部分内容的知识网络；全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆；加强对易错、易混知识的梳理；要多角度、多方位地去理解问题的实质；体会数学思想和解题的方法。
3.换个方式看例题拓展思维空间那些看课本和课本例题一看就懂，一做题就懵的高三学生一定要看这条！不少高三学生看书和看例题，往往看一下就过去了，因为看时往往觉得什么都懂，其实自己并没有理解透彻。
所以，高分高考提醒各位高三学生，在看例题时，把解答盖住，自己去做，做完或做不出时再去看，这时要想一想，自己做的哪里与解答不同，哪里没想到，该注意什么，哪一种方法更好，还有没有另外的解法。
经过上面的训练，自己的思维空间扩展了，看问题也全面了。
如果把题目的来源搞清了，在题后加上几个批注，说明此题的“题眼”及巧妙之处，收益将更大。
4.精做试题探究出题的目的数学能力的提高离不开做题，“熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。
但做题不是搞题海战术，要通过一题联想到很多题。
你要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径，在分析解决问题的过程中既构建知识的横向联系又养成多角度思考问题的习惯。
理科数学高考真题2013年2014年
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2014·新课标Ⅰ卷 第1页1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)2.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i3．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.786．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )7．执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.1588．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π29．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 32014·新课标Ⅰ卷 第2页10.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52C ．3D ．2 11．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；2014·新课标Ⅰ卷 第3页(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．18．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.2014·新课标Ⅰ卷 第4页若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． 2014·新课标Ⅰ卷 第5页(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f(x)>1.2014·新课标Ⅰ卷第6页请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程2014·新课标Ⅰ卷 第7页已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．2014·新课标Ⅰ卷第8页2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)2014·新课标Ⅱ卷 第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i3．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．54．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.456．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.137．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．39．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．210．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.9411．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.222014·新课标Ⅱ卷 第2页12.设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)14．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．15．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．16．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.2014·新课标Ⅱ卷第3页18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．19．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：2014·新课标Ⅱ卷 第4页(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑n i ＝1 (t i －t －)(y i －y －)∑n i ＝1(t i －t －)2，a ^＝y －－b ^t －.20.(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；2014·新课标Ⅱ卷 第5页(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．2014·新课标Ⅱ卷第6页请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD ·DE ＝2PB 2.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；2014·新课标Ⅱ卷 第7页(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；2014·新课标Ⅱ卷第8页(2)若f(3)<5，求a的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．参考公式如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；如果事件A ，B 独立，那么P (AB )＝P (A )·P (B )．第Ⅰ卷(选择题 共50分)2014·山东卷 第1页一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i2．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)3．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 36．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．47．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．188．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．22014·山东卷 第2页10.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．12．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________． 13．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 14．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 15．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. 2014·山东卷 第3页(1)求m ，n 的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．17．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；2014·山东卷第4页(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．18．(本小题满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分，对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响，求：2014·山东卷 第5页(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；2014·山东卷第6页(2)令b n＝(－1)n－14na n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.20.(本小题满分13分)设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．2014·山东卷 第7页21.(本小题满分14分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．2014·山东卷第8页(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．参考公式如果事件A 与B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；如果事件A 与B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )．第Ⅰ卷(选择题 共50分)2014·安徽卷 第1页一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z －＝( ) A ．－2 B ．－2iC ．2D ．2i2．“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．34B ．55C ．78D ．894．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214C. 2 D ．2 2 5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 6．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－127．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．188．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对2014·安徽卷 第2页9.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．12．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.13．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.14．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．15．已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成，记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值；②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关；③若a ∥b ，则S min 与|b |无关；④若|b |>4|a |，则S min >0；⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π4. 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .2014·安徽卷 第3页(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．17.(本小题满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率2014·安徽卷 第4页为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．18.(本小题满分12分)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；2014·安徽卷第5页(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．19.(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．2014·安徽卷 第6页(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2.(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．20.(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.2014·安徽卷第7页(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．21.(本小题满分13分)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *.(1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px .2014·安徽卷第8页(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n . 证明：a n >a n ＋1>c 1p .2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共40分)2014·北京卷 第1页一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上4．当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．7B ．42C ．210D ．8405．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C.12 D ．－127．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)，若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D -ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 18．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 2014·北京卷 第2页10.已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.11．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．12．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．13．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD，AC的长．2014·北京卷第3页16.(本小题满分13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下((1)的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；2014·北京卷第4页(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX与x的大小．(只需写出结论)17.(本小题满分14分)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；2014·北京卷第5页(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．18.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 2014·北京卷 第6页(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x<b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．19.(本小题满分14分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；2014·北京卷第7页(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA ⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．20.(本小题满分13分)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；2014·北京卷第8页(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)。
2014年高考押题精粹(数学理)答案及解析
2014年金太阳高考押题精粹(数学理课标版)（30道选择题+20道非选择题）【参考答案及点评】二．选择题（30道）1. 【答案】B2. 【答案】A【点评】:集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的子，交，并，补相结合，侧重考查简单的不等式的有关知识。
3. 【答案】C4. 【答案】A【点评】:3、4题考查的是复数有关知识。
复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面、复数概念等，理科一般都只考简单的复数乘除法运算，且比较常规化。
5. 【答案】C 6. 【答案】B【点评】:上面5、6题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。
作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。
单独考查简易逻辑相关的概念不多见，按照近几年高考真题的特点来讲，结合其他知识点一同考查是总趋势，如5题。
一般和不等式相结合的也时有出现，如6题。
7. 【答案】B 8. 【答案】B【点评】:7,8题考查的内容是程序框图。
程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题7；一种是根据题意补全程序框图，如题8.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。
9. 【答案】D【解析】根据sin(π+α）=αsin -可知“若函数的图像)3x sin()(πω+=x f 向右平移3π个单位后与原函数的图像关于x轴对称”则至少变为）ππω-+=3sin()(x x g ，于是.3333x 的最小正值是则ωππωππω-+→+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 10. 【答案】A 11. 【答案】A【解析】.6,0232cos ,3sin 3sin sin sin 222222A C C ab c b a C ab c b a B a C c B b A a ，选故，又所以即ππ=<<=-+==-+=-+ 【点评】:三角函数内容在新课标全国高考试卷中，一般考察三角函数图象的平移，函数单调性，依据函数图象确定相关系数等问题，另外三角函数在解三角形中的应用也不容忽视。
13 14年上海高考理科数学试卷及答案
2013年上海高考理科数学考生注意：1. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号、，并将核对后的条形码贴在制定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。
2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题1．计算：20lim______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =3．若2211x x x y y y =--，则______x y += 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =6．方程1313313x x -+=-的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}gI y y gx x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x = 二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28(C)48(D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.(A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.D 1C 1B 1A 1D C BA20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________．2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=_________．3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_________．4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________．6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是_________．8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________．10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________．12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=_________．13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________．14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为_________．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1B．2C．3D．417．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）（2014•上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．。
【轻松突破120分】2014高考数学精炼22 文
2014高考数学（文）轻松突破120分22一、选择题1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝－x ＋ 2C ．y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2D ．x ＝1或y ＝x ＋ 2解析： 在y 轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y ＝kx＋2，则|2|k 2＋1＝1，∴k ＝±1， 故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2.选C.答案： C2．过点(0，－1)作直线l 与圆x 2＋y 2－2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y ＋4＝0B ．3x －4y －4＝0C ．3x ＋4y ＋4＝0或y ＋1＝0D ．3x －4y －4＝0或y ＋1＝0解析： 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.圆心为(1,2)，半径r ＝5，又|AB |＝8，从而圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x ＋4y ＋4＝0或y ＋1＝0.答案： C3．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当k ＝1时，圆心到直线的距离d ＝|k |2＝22<1， 此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d ＝|k |2<1，|k |<2，不一定k ＝1，所以必要性不成立．答案： A4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0 解析： 设圆心为(a,0)，且a >0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为：(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0. 答案： D5．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝( )A.33B.33或－33C.3D.3或－ 3解析： ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝± 3. 答案： D6．过x 轴上一点P 向圆C ：x 2＋(y －2)2＝1作切线，切点分别为A 、B ，则△PAB 面积的最小值是( )A.334B.332C.3D ．3 3解析： (特殊位置法)若点P 在坐标原点O ，则△PAB 是边长为3的等边三角形(如图)，此时，S △PAB ＝34×(3)2＝334， 而334是四个选项中的最小者，故选A. 答案： A二、填空题7．(2009·某某卷)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析： 由题意得OA ⊥O 1A ，∴在Rt △OO 1A 中，|AB |2＝2，∴|AB |＝4. 答案： 48．(2009·全国卷Ⅱ)已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析： 因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5， 故S △＝12×52×5＝254. 答案： 2549．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l 的方程为________．解析： 设圆心为N ，点N 的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l 与MN 垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.答案： x －2y ＋3＝0三、解答题10．(2011·某某模拟)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.求：直线PQ 与圆C 的方程．解析： 直线PQ 的方程为y －3＝3＋2－1－4×(x ＋1)， 即x ＋y －2＝0，方法一：由题意圆心C 在PQ 的中垂线y －3－22＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4－12，即y ＝x －1上， 设C (n ，n －1)，则r 2＝|CQ |2＝(n ＋1)2＋(n －4)2，由题意，有r 2＝(23)2＋|n |2，∴n 2＋12＝2n 2－6n ＋17，解得n ＝1或5，∴r 2＝13或37(舍)，∴圆C 为：(x －1)2＋y 2＝13.方法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20D －3E －F ＝10，E 2－4F ＝48解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10E ＝－8.F ＝4 当⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12时，r ＝13<5； 当⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4时，r ＝37>5(舍)．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.11．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点M (4，－8)．(1)过M 作圆的割线交圆于A 、B 两点，若|AB |＝4，求直线AB 的方程；(2)过M 作圆的切线，切点为C 、D ，求切线长及CD 所在直线的方程.【解析方法代码108001108】解析： (1)圆即(x －2)2＋(y ＋1)2＝8，圆心为P (2，－1)，半径r ＝2 2.①若割线斜率存在，设AB ：y ＋8＝k (k －4)，即kx －y －4k －8＝0，设AB 的中点为N ，则|PN |＝|2k ＋1－4k －8|k 2＋1＝|2k ＋7|k 2＋1， 由|PN |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，得k ＝－4528， AB 的直线方程为45x ＋28y ＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB ：x ＝4，代入圆方程得y 2＋2y －3＝0，y 1＝1，y 2＝－3符合题意，综上，直线AB 的方程为45x ＋28y ＋44＝0或x ＝4.(2)切线长为|PM |2－r 2＝4＋49－8＝3 5.以PM 为直径的圆的方程为(x －2)(x －4)＋(y ＋1)(y ＋8)＝0，即x 2＋y 2－6x ＋9y ＋16＝0.又已知圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0，两式相减，得2x －7y －19＝0，所以直线CD 的方程为2x －7y －19＝0.12．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，相互垂直的两条直线l 1、l 2都过点A (a,0)．(1)若l 1、l 2都和圆C 相切，求直线l 1、l 2的方程；(2)当a ＝2时，若圆心为M (1，m )的圆和圆C 外切且与直线l 1、l 2都相切，求圆M 的方程； (3)当a ＝－1时，求l 1、l 2被圆C 所截得弦长之和的最大值．【解析方法代码108001109】解析： (1)显然，l 1、l 2的斜率都是存在的，设l 1：y ＝k (x －a )，则l 2：y ＝－1k(x －a )， 则由题意，得|2k ＋ak |k 2＋1＝2，|2＋a |k 2＋1＝2， 解得|k |＝1且|a ＋2|＝22，即k ＝±1且a ＝－2±2 2. ∴l 1、l 2的方程分别为l 1：y ＝x －22＋2与l 2：y ＝－x ＋22－2或l 1：y ＝x ＋22＋2与l 2：y ＝－x －22－2.(2)设圆M 的半径为r ，易知圆心M (1，m )到点A (2,0)的距离为2r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－22＋m 2＝2r 2，1＋22＋m 2＝2＋r 2. 解得r ＝2且m ＝±7，∴圆M 的方程为(x －1)2＋(y ±7)2＝4.(3)当a ＝－1时，设圆C 的圆心为C ，l 1、l 2被圆C 所截得弦的中点分别为E 、F ，弦长分别为d 1、d 2，因为四边形AECF 是矩形，所以CE 2＋CF 2＝AC 2＝1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫d 122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫d 222＝1，化简得d 21＋d 22＝28. 从而d 1＋d 2≤2·d 21＋d 22＝214，即l 1、l 2被圆C 所截得弦长之和的最大值为214.。
2014高考数学(理)二轮专题突破训练第3部分专题1第3讲拉分题——巧妙解,每分都要争Word版含解析
第三讲 拉分题——巧妙解，每分都要争高考是选拔性的考试，必然要具备选拔的功能，试卷中必然要有综合考查数学知识、数学思想的能力型试题，即拉分题(亦即压轴题)．对大部分考生来说，在解决好前两类问题的前提下，如何从拿不下的题目(压轴题)中分段得分，是考生高考数学能否取得圆满成功的重要标志，是考生能否达到“名牌大学任我挑”的关键，对此可采用如下四招达到高分的目的：第一招 缺 步 解 答—————————————————————————————————————— 如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能写几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．如：[例1] (2013·四川高考)(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程． [尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— ——————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ ⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋ ⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝22， 所以a ＝ 2.⇒2分又由已知，c ＝1， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.⇒4分(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355.⇒6分 ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2(1＋k 2)x 2＝1(1＋k 2)x 21＋1(1＋k 2)x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22. ①⇒8分 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0. ②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k2k 2＋1，x 2x 2＝62k 2＋1， 代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3. ③⇒10分 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. ⇒11分 由③及k 2>32，可知0<x 2<32，即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1，又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 所以点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355.⇒13分(1)本题第(1)问为已知椭圆标准方程求椭圆的离心率问题，属于容易题．(2)本题的难点在于第(2)问中确定轨迹方程及方程中各变量的取值范围，本题有一定的难度，要想拿到全分很难，这就应该学会缺步解答．首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，若需要设直线方程，应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l 的斜率不存在时，求出点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355.这是每位考生都应该能做到的．其次，联立直线方程与椭圆方程并设出M ，N ，Q 的坐标，通过2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得到2x 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22，然后由x 1＋x 2及x 1x 2联想一元二次方程根与系数的关系，将问题解决到x 2＝1810k 2－3是完全可以做到的，到此已经可以得到10分． 另外，考虑到点Q 在直线l 上，将点Q 坐标代入所设直线方程就能得到10(y －2)2－3x 2＝18，到此便可以得到11分．到此不能继续往下解时，我们也已经得到绝大部分分数了．第二招 跳 步 解 答——————————————————————————————————————解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答，如：[例2] (2013·湖北高考)(14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x >－1)的最小值； (2)证明：n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1<n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1； (3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，⎣⎡⎦⎤－32＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S ]的值．(参考数据：8043≈344.7,8143≈350.5,12443≈618.3,12643≈631.7) [尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— ——————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)·[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0.⇒2分当－1<x <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数；当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.⇒4分(2)证明：由(1)知，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即(1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故当x >－1且x ≠0时，有(1＋x )r ＋1>1＋(r ＋1)x . ①⇒6分在①中，令x ＝1n (这时x >－1且x ≠0)，则有⎝⎛⎭⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1. ②⇒8分 当n >1时，在①中令x ＝－1n (这时x >－1且x ≠0)，类似可得n r >n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1. ③ 且当n ＝1时，③也成立．综合②③得n r ＋1－(n －1)r ＋1r ＋1<n r <(n ＋1)r ＋1－n r ＋1r ＋1. ④⇒10分 (3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81,82,83，…，125，得34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)， 将以上各式相加，并整理得34(12543－8043)<S <34(12643－8143)．⇒12分 代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2， 34(12643－8143)≈210.9. 由[S ]的定义，得[S ]＝211.⇒14分本题第(2)问难度较大，但我们可以跳过第(2)问，直接求解第(3)问，这就是所谓的跳步解答．而本题在求解第(3)问时利用了第(2)问的结论，虽然没有证出第(2)问，但第(3)问同样可以得到相应的分数．第三招 辅 助 解 答—————————————————————————————————————— 一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．如：[例3] (12分)如图，动圆C1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．[尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— ————————————————————————————————————————————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.⇒1分由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209，⇒3分 从而x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎫x 20－922＋94. 当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.⇒5分 从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)设点M (x ，y )，由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①⇒6分 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②⇒7分 由①×②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③⇒9分又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④ 将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．⇒11分 因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．⇒12分第(2)问要求交点M 的轨迹方程，不易求解，考生可以利用图形的对称性设出A 、B 两点的坐标，再由两点式可写出两直线方程．这类根据图形或题意写出一些点的坐标、方程、公式或正确做出图形等的方法，为辅助解答法，像这种情况，阅卷老师一般会酌情给分．第四招 逆 向 解 答—————————————————————————————————————— 对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．如：[例4] (12分)设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n ∈N *)．(1)若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；(2)求证：对k ≥3有0≤a k ＋1≤a k ≤43. [尝试解答] (试一试，看看能得多少分)—————————————————————————————————————— ————————————————————————————————————————————————————————————————————————————[解题规范与评分细则](1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧S 22＝－2a 1a 2，S 2＝a 2S 1＝a 1a 2，得S 22＝－2S 2， 由S 2是等比中项知S 2≠0，因此S 2＝－2.⇒2分由S 2＋a 3＝S 3＝a 3S 2，解得a 3＝S 2S 2－1＝－2－2－1＝23.⇒4分 (2)证明：由题设条件有S n ＋a n ＋1＝a n ＋1S n ，故S n ≠1，a n ＋1≠1且a n ＋1＝S n S n －1，S n ＝a n ＋1a n ＋1－1， 从而对k ≥3，有a k ＝S k －1S k －1－1＝a k －1＋S k －2a k －1＋S k －2－1＝a k －1＋a k －1a k －1－1a k －1＋a k －1a k －1－1－1＝a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1. ① 因a 2k －1－a k －1＋1＝⎝⎛⎭⎫a k －1－122＋34>0且a 2k －1≥0，由①得a k ≥0.⇒7分 要证a k ≤43，由①只要证a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1≤43， 即证3a 2k －1≤4(a 2k －1－a k －1＋1)， 即(a k －1－2)2≥0，此式明显成立，因此a k ≤43(k ≥3)．⇒9分最后证a k ＋1≤a k ，若不然a k ＋1＝a 2k a 2k －a k ＋1>a k ， 又因a k ≥0，故a k a 2k －a k ＋1>1，即(a k －1)2<0，矛盾．因此a k ＋1≤a k (k ≥3)．⇒11分所以，对k ≥3有0≤a k ＋1≤a k ≤43.⇒12分本题对分析问题的能力要求极高，对数学证明的灵活性要求也非常高．本题的一个误区就是试图求出数列的通项公式，在以考查不等式的证明为主的数列试题中，有很多试题是不需要求出其通项公式的(大部分题目也求不出通项公式)，而是根据给出的已知条件直接变换后进行推理论证，在解决与数列有关的不等式问题时，要树立这个思想意识．本题在证明a k ≤43及a k ＋1≤a k 时，直接证明比较困难，但利用反证法，从问题的反面入手就容易多了．。
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2014高考数学（理）轻松突破120分13
【选题明细表】
一、选择题
1.如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是( A )
(A)(cos θ,sin θ) (B)(-cos θ,sin θ)
(C)(sin θ,cos θ) (D)(-sin θ,cos θ)
解析:由三角函数的定义知,选A.
2.已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是( C )
(A)第一或第二象限角
(B)第二或第三象限角
(C)第三或第四象限角
(D)第一或第四象限角
解析:易知sin θ<0,且cos θ≠0,∴θ是第三或第四象限角.故选C.
3.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( C )
(A)1 (B)
(C)或(D)或
解析:因为弦长等于半径,所以此弦所对的圆心角为,所以弦所对的圆周角为或.故选C.
4.若α是第三象限角,则y=+的值为( A )
(A)0 (B)2
(C)-2 (D)2或-2
解析:由于α是第三象限角,所以是第二或第四象限角,
当是第二象限角时,y=+=1-1=0;
当是第四象限角时,y=+=-1+1=0,
故选A.
5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( A )
(A)(-2,3] (B)(-2,3)
(C)[-2,3) (D)[-2,3]
解析:∵cos α≤0,sin α>0,
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴
∴-2<a≤3.故选A.
6.角速度为的质点P,从点(-1,0)出发,逆时针沿单位圆x2+y2=1运动,经过17个时间单位后,点P的坐标是( D )
(A)(B)
(C)(D)
解析:经过17个单位时间,质点运动的弧度是,此时,质点P在角
π+=的终边上,即在的终边上,根据三角函数的定义,此时该点的坐标是,即.故选D.
二、填空题
7.已知角α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,那么sin α+sin β的值为.
解析:由题设条件可求出点P、点Q的坐标分别是(3,2)、(3,-2),由正弦函数的定义得sin α=,sin β=,故sin α+sin β=0.
答案:0
8.设角α是第三象限角,且=-cos,则角是第象限角.
解析:由α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),
kπ+<<kπ+(k∈Z),知是第二或第四象限角,再由=-cos知
cos≤0,所以只能是第二象限角.
答案:二
9.设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式:
①MP<OM<0;
②OM<0<MP;
③OM<MP<0;
④MP<0<OM.
其中正确的是.
解析:sin=MP>0,cos=OM<0.
答案:②
三、解答题
10.一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求扇形的圆心角的弧度数和弦长AB. 解:设圆的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角为α,
则解得
∴圆心角α==2.
弦长AB=2sin ·1=2sin 1(cm).
11.已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cos α=x.求sin α+的值.
解:∵P(x,-)(x≠0),
∴点P到原点的距离r=,
又cos α=x,
∴cos α==x.
∵x≠0,∴x=±,∴r=2.
当x=时,P点坐标为(,-), 由三角函数的定义,有sin α=-,
=-,
∴sin α+=--=-;
当x=-时,
同样可求得sin α+=.。