坐标平面上的直线的知识点及拓展

坐标平面上的直线的知识点及拓展1、已知直线1l ：0111=++c y b x a ；直线2l ：0222=++c y b x a（1）如何判定两条直线位置关系？ 判定方程组⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 解的情况 （2）1l //2l ⇔ 1221b a b a =，12211221c b c b c a c a ≠≠或（3）求1l 与2l 的夹角α的公式：222221212121cos b a b a b b a a+++=α；角α的范围： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （4）⇔⊥21l l 02121=+b b a a2、已知直线l ：0=++c by ax ，点()00,y x P 是直线l 外一点，则点P 到直线l3、已知直线1l ：01=++c by ax ；直线2l ：02=++c by ax ，则1l // 或重合2l ，且1l 与2l 之间的距离公式为2221b a c c d +-=第2部分：拓展知识1．直线方程的应用例1 已知等腰直角ABC ∆的斜边AB 所在的直线为350x y -+=，直角顶点为(4,1)C -，求两条直角边所在的直线方程。

270260x y x y +-=--=或分析：作出示意草图，知两条直角边所在的直线的斜率存在，并且与斜边AB 所在直线的夹角为4π。

例2求过点(0,1)-，且被两条平行直线260x y +-=和4250x y +-=截得长为72的线段的直线l 的方程。

34400x y x ++==或分析：作出示意草图，由两平行线之间的距离72d =<知，问题应有两解例3 已知直线l 经过点(2,3)P -，依下列条件求直线l 的方程。

（1）直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等；3201050x y x y x y +=+-=-+=或或（2）直线l 在x 轴、y 轴上解得的线段分别为OA 、OB 且||||OA OB =。

32010x y x y +=+-=或例4在正方形ABCO 中，O 坐标原点，向量(3,4)OA =，求正方形ABCO 各边所在的直线方程。

OA 430x y -=； OC ：340x y +=； CB ：43250x y -+=；AB 34250x y +-=。

2．直线的倾斜角和斜率例5直线sin 3y x θ=+的倾斜角的范围是 α∈3[0,][,)44πππ⋃- 例6 已知直线l 方程为0ax by c ++=，若0ac <，0bc >，则此直线l 不经过 （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限。

B 。

例7已知直线l 经过(0,0)P 和(cos ,sin )Q θθ(θ∈([.0))2π-两点，求直线l 的斜率和倾斜角。

例8 研究直线l 的斜率k (0)k ≠的几何意义。

例9已知直线l ：1y kx =+与两点(1,5)A -、(4,2)B -，若直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围。

3(,4][,)4k ∈-∞-⋃-+∞；3[0,)(,arctan 4][arctan ,)224ππαπππ∈⋃-⋃-。

3．对称问题（1）中心对称：设点00(,)P x y ，点(,)M m n ，由中点坐标公式可得，点P 关于M 点的对称点(,)P x y ' 的坐标公式为：0022x m x y n y =-⎧⎨=-⎩，即(2,2)P m x n y '--。

例10 求直线1l30y ++=关于点(5,4)M --的对称直线2l50y ++=。

例11 已知直线l 经过点(0,1)P ，若直线l 被直线1l ：3100x y -+=和直线2l ：280x y +-=截得的线段AB 的中点恰为点P ，求直线l 的方程。

440x y +-=。

（2）轴对称：已知直线l ：0ax by c ++=（a 、b 不同时为零）和点00(,)P x y ，则点P 关于直线l 的对称点(,)P x y '的坐标计算公式为： 00022000222()2()a ax by c x x a b b ax by c y y a b ++⎧=-⎪⎪+⎨++⎪=-⎪+⎩。

例12光线从点(4,1)A 射出，经x 轴反射后再经y 轴反射，最后到达点(1,6)B ，求光线经过的路程。

解：点(4,1)A 关于x 轴的对称点为(4,1)A '-，(1,6)B 关于y 轴的对称点为(1,6)B '-。

作出大致草图可知，光线经过的路程为线段A B ''的长，即||A B ''= 例13 已知点(4,1)A 和直线l ：210x y --=，动点P 在直线l 上运动。

（1）若点B 的坐标为(1,2)-，求||||PA PB +的最小值；min (||||)||PA PB AB '+=（2）若点B 的坐标为(1,2)--，求||||PA PB -的最大值。

max(||||)||PA PB B A '-= 例14 ABC ∆中顶点A 的坐标为(4,3)A 。

AC 边上的中线所在直线的方程为：413100x y +-=，ABC ∠的平分线所在直线的方程为250x y +-=。

求AC 边所在直线的方程 8200x y -+=。

（3）几个特殊的对称：设直线l 的方程为(,)0f x y =，则（ⅰ）直线l 关于直线x a =对称的直线方程为l '：(2,)0f a x y -=； （ⅱ）直线l 关于直线y b =对称的直线方程为l '：(,2)0f x b y -=；（ⅲ）直线l 关于直线y x =对称的直线方程为1l ：(,)0f y x =；（ⅳ）直线l 关于直线y x =-对称的直线方程为2l ：(,)0f y x --=；（ⅴ）直线l 关于直线y x b =+对称的直线方程为3l ：(,)0f y b x b -+=；（ⅵ）直线l 关于直线y x b =-+对称的直线方程为4l ：(,)0f b y b x --=。

例15 （1）直线1l ：210x y --=关于直线l ：2x =-对称的直线2l 的方程是 290x y ++=（2）直线1l ：210x y --=关于直线l ：y x =-对称的直线2l 的方程是 ；210x y --=（3）直线1l ：210x y --=关于直线l ：10x y -+=对称的直线2l 的方程是 240x y -+= 例16 函数sin cos y a x b x =-图像的一条对称轴方程是4x π=，则直线0ax by c -+=的倾斜角为（A ）45︒； （B ）135︒； （C ）60︒； （D ）120︒ B 。

4．直线系例 17两条平行直线之间的距离是2，其中一条直线是3450x y -+=，则另一条直线的方程是 。

345034150x y x y --=-+=或例18 对于直线l 上任一点(,)P x y ，点(42,3)Q x y x y ++仍在此直线上，则直线l 的方程是020x y x y +=-=或例19 已知直线1l 和直线2l 的方程分别为1l ：1(,)0f x y =，2l ：2(,)0f x y =，若直线1l 和直线2l 有交点00(,)P x y ，求证：直线l ：12(,)(,)0f x y f x y λ+=必过交点00(,)P x y 。

例20 当a 取不同实数时，直线(1)210a x y a --++=恒过一定点，则这个定点是 (2,3)- 例21根据下列条件，写出直线的一般式方程：（1）经过直线1l ：210x y -+=与2l ：2210x y +-=的交点且与直线3l ：50x y -=垂直；630190x y +-=（2）经过直线1l ：10x y -+=与2l ：220x y -+=的交点且与直线3l ：34120x y +-=平行。

3430x y ++=。

第3部分：基础训练1、已知ABC ∆中， 90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为()2,4，()8,2，向量()2,3=→d 且→d 与AC 边平行，求ABC ∆的两条直角边所在直线的方程。

（分别用点方向式、点法向式、点斜式、一般式表示） 02032:=+-y x l AC ；01623:=-+y x l AB ；2、若直线的倾斜角α满足1tan ≤α，求α的取值范围；⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 3、讨论：直线1l ：()02=++-m y x m ；直线2l ：063=+++m my x 的位置关系；3≠m 且1-≠m 时，相交；1-=m 时，平行；3=m 时，重合；4、已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()3,1A 、()1,3B 、()0,1-C ，求ABC S ∆； 55、直线l 过点()3,2-P 且与直线1l ：023=+-y x 的夹角为3π，求直线l 的方程；02=+x 或013=-+y x 第4部分：高考模拟1．(黄浦2011年4月理科)直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ．6p 2．(上海十校2011年第二学期高三第二次联考理科)平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为 ．{}0,1,2--3．(闵行2011届文科)经过点(1,0)A 且法向量为(2,1)d =-的直线l 的方程为 . 220x y --=4、(徐汇2011年4月)已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为 1。

5、(徐汇2011年4月文科)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点。

定义11(,)P x y 、22(,)Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-。

已知(1,0)B ，点M 为直线20x y -+=上的动点，则(,)d B M 的最小值为3 。