近世代数复习
近世代数(复习duo)
6、等价关系，举例说明。
【定义】设 R 是某个集合上的一个二元关系。若满足以下条件： （1）自反性： ∀x ∈ A ， xRx ； （2）对称性： ∀x, y ∈ A ， xRy ⇒ yRx ；
〖例子〗
G 是全体整数的集合， G 对于普通加法来说作成一个群。 G 是所有不等于零的整数的集合， G 对于普通乘法来说不作成一个群。（不满足 4） G 是全体不等于零的有理数的集合，那么 G 对于普通乘法来说作成一个群。 G 是全体整数的集合， G 对于普通减法来说不作成一个群。（不满足 2） 4、什么是一个群 G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。 【定义】若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘法，我们就把 G 叫做循环群；我们也说， G 是由 a 所生成的，并且用符号 G = (a) 表示。 a 叫做 G 的一个生成元。 【定义】一个群 G 的一个子集 H 叫做 G 的一个子群，假如对于 G 的乘法来说做成一个群。一个群 G 的一 个不空子集 H 做成 G 的一个子集的充分必要条件是： （1） a,b ∈ H ⇒ ab ∈ H ； （2） a ∈ H ⇒ a−1 ∈ H ； （3） a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H 。
【定义】一个集合 A 的代数运算 适合结合律，假如对于 A 的任何三个元 a, b, c 来说，都有：
(a b) c = a (b c) 。
〖例子〗
（1） A = {所有不等于零的实数} ， 是普通除法，a b = a / b ，这个运算 不适合结合律。(4 / 2) / 2
(完整版)近世代数复习知识点
一、二、(45分)
单项选择题和填空题的知识点:
1.
任何有限群G 的子群H 的阶数是G 阶数的因子 2.
任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群 3.
群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。
4.
什么是一个群G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群。
5. 什么叫做结合律？给出一个集合和集合上的运算，会判断该运算是不是可结合的。
6. 已知群G 的元素a 的阶是n, 那么m a 的阶是(,)
n n m 。
7. 环、整环、除环、域的定义。
8. 什么是单位元，什么是一个元的逆元素，单位元和一个元素的逆元素唯一吗？
9. 什么叫做一个群的左、右陪集， 有限群的左、右陪集的个数是什么关系？
10. 环无零因子是什么意思？
11. 无零因子的特征是什么意思？
12. 有限群G 的任何元素的阶数都是G 阶数的因子。
13. 集合的直积是怎么定义的。
14. 循环群的子群是循环群吗？
15. 一个集合可以和其真子集建立一一对应吗?
三、问答题知识点（25分）
1. 正规子群,举例说明
2. 循环群, 举例说明
3. 有限域,举例说明
5 . 群的左、右陪集，举例说明
6. 原根，举例说明
7. 等价关系，举例说明
8. 系统同态，举例说明
9. 检错和纠错
10.理想和商环
四、证明题知识点（30分）
1. lagrange 定理。
P .69
2. 例1. P .94
3. 定理1 p.72
4. 定理 p.88。
近世代数复习题及答案
近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。
答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。
2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。
判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。
3. 什么是正规子群？请给出一个例子。
答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。
例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。
4. 什么是群的同态？请给出一个例子。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。
5. 什么是群的同构？请给出一个例子。
答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。
这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。
例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。
6. 什么是环？请给出一个例子。
答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。
例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。
7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。
判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。
8. 什么是环的同态？请给出一个例子。
答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
近世代数考试复习
V近世代数复习题>一、定义描述（8'1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a, b, c都有（a b）c = a （be）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。
12、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa =N，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）e = a（be）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+e）= ab + ae，（b+e）a = ba + ea .其中a，b，e为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N M R如果除R和N夕卜，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1 ）有一个从K的非零元集K -{ 0}到非负整数集的映射“存在；（2）这个2对K中任意元素a及b M 0,在K中有元素q, r使a=bq + r, r=0 或“ （r）< 2 （b）,则称R关于”作成一个欧氏环。
-------------------------------7、素理想：设R是一个交换环，P ? R •如果ab€ P => a€ P或b€ P,其中a, b € R,则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。
【VIP专享】近世代数复习
【VIP专享】近世代数复习（⼀）群在集合上的作⽤群在集合上的作⽤主要掌握如何求轨道、稳定⼦、不动元．下⾯分别对这三个概念简要介绍．设群G 作⽤在集合X 上，x X ∈．(1) 称{|}x O gx g G =∈为x 在G 下的轨道．该定义的含义是：对于固定的x X ∈，x 所在的轨道是⽤x 去乘G 中的每个元素，将结果记⼊x O 内．(2) 称{|()}x S g G g x x =∈=为x 在G 中的稳定⼦．该定义的含义是：对于固定的x X ∈，将群G 中的元素ig 依次作⽤于这个x 上，若作⽤结果仍为x ，将该i g 记⼊x S 内．(3) 称{|()}g F x X g x x =∈=为x 在G 中的稳定⼦(集)．该定义的含义是：对于固定的g G ∈，将g 依次作⽤于i x X ∈上，若作⽤结果仍为i x ，将该i x 记⼊g F 内．⽤⼀个例⼦来说明这三者的求法．已知{1,2,3,4,5,6}X =，{(1),(12),(356),(365),(12)(356),(12)(365)}G =．(1) 轨道．固定1x X =∈，11{1,2}i O g =?=，i g G ∈．固定3x X =∈，33{3,5,6}i O g =?=，i g G ∈．固定4x X =∈，44{4}i O g =?=，i g G ∈．由此可以看到，在某轨道出现过的值不需要再次进⾏计算，,x y X ?∈，,x y O O 或者完全相同，或者完全不同，且x x X O =，这种算法类似于陪集的算法．(2) 稳定⼦．固定1x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤1，结果仍为1的只有1{(1),(356),(365)}S =．固定3x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤3，结果仍为3 的只有3{(1),(12)}S =．固定4x X =∈，G 中的每个元素分别去作⽤4，结果仍为4 的有4S G =．由此可以看到，同⼀轨道元素在G 中的稳定⼦相同，所以x 的取法和计算轨道时x 选取相同．(3) 不动元素．固定(1)G ∈，⽤(1)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(1)F X =．固定(356)G ∈，⽤(356)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(356){1,2,4}F =．固定(12)G ∈，⽤(12)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(12){3,4,5,6}F =．固定(12)(356)G ∈，⽤(1 2)(3 5 6)去与X 中每个元素作⽤，作⽤后元素值不变的是(12)(356){4}F =．（⼆） Burnside 引理的应⽤(以P103的例12为例)例：今有红(r)、黄(y)、蓝(b)三种颜⾊的⼩珠⼦各2颗．问：⽤他们可以串成多少种不同的⼿链？【解答】(1) ⾸先要认识到，对于这样的问题，共有2264C C 种排列⽅法(在6个位置中先选取2个位置放⼀种颜⾊，再从剩下的4个位置中选取2个放另外⼀种颜⾊)．所以集合X 的元素个数为90．(2) 我们需要知道群G 中有哪些变换．第⼀类：i τ为绕中⼼按逆时针⽅向旋转3i π．第⼆类：i η为沿着对边中线的反射，如右图．第三类：i σ为沿着对⾓线的反射，如右图．综上，{(1),(1,2,3,4,5),(1,2,3),(1,2,3)}i i i G i i i τησ====．(3) 下⾯来求不动元素数．因为当对⾓颜⾊相同时，旋转180?情况不变，其余旋转均会改变颜⾊的分布情况．另外，当对称两个⽅向的颜⾊相同时，翻折并不会使颜⾊分布发⽣变化．可得数P103表2.5.1．(4) 从⽽由Burnside 引理11||(90020266363)11||12g g G n F G ∈==+?+?++?+?=∑ 可以算得有11种不同的⼿链．（三）西罗定理(Sylow Theorem)的应⽤例1：证明：56阶群G 不是单群．【证明】(不失⼀般性)由西罗第三定理，35627=?．设P 为G 的Sylow 7⼦群，则||7P =．设7r 为G 的Sylow 7⼦群的个数，则7|[:]8r G P =，71(mod7)r ≡．则有71r =或8．(1) 若71r =，则P 为G 的正规⼦群，与G 是单群⽭盾．(2) 78r =，则G 有8个Sylow 7⼦群18,,P P ，它们互相共轭，由于j P 是素数阶的循环群，{}i j P P e =，因此G 中有8648?=个7阶元，1个单位元．设Q 为G 的Sylow 2⼦群，则Q 中有8个元素(其中⼀个是单位)．但G 不能⾃由⼀个Sylow 2⼦群，不然Q 为G 的正规⼦群，与G 是单群⽭盾．所以G 不是单群．例2：证明：85阶的群G 是循环群．【证明】(不失⼀般性)对85进⾏素因数分解，85517=?．由西罗第⼀定理，G 有Sylow 5⼦群和Sylow 17⼦群．由西罗第三定理，Sylow 5⼦群的个数5|17n 且51(mod5)n ≡，则有551|17k n +=． Sylow 17⼦群的个数17|5n 且171(mod17)n ≡，则有17171|5t n +=．从上式可以解到：51n =，171n =，说明只有1个Sylow 5⼦群和1个Sylow 17⼦群．由性质：若群||G pq =，其中p q 、为素数，若G 中只有唯⼀p 阶⼦群和q 阶⼦群，则G 为循环群．由此，证毕．例3：试求：4A 的Sylow 2⼦群．【解答】(不失⼀般性)先求：44||4!||1222S A ===，2123432=?=?，所以由西罗第三定理，4A 有唯⼀的Sylow 2⼦群．4A 的Sylow 2⼦群即为4A 的4阶⼦群(同理，4S 的Sylow 2⼦群即为4S 的8阶⼦群)．则4A 的Sylow 2⼦群为{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}K =，K 也是4A 的正规⼦群．例4：设G 是⼀个21阶的⾮循环群，求G 中Sylow 3⼦群的个数．【解答】(不失⼀般性)21的标准素因数分解为2137=?，则331n k =+|7，则有31n =或7，由条件G 是⾮循环群，则37n =，即G 中有7个Sylow 3⼦群．例5：设G 是⼀个36阶的群，求G 中Sylow 3⼦群的个数．【解答】(不失⼀般性)36的标准素因数分解为223623=?，则2331|2n k =+，则有31n =或4(1) 若G 是循环群，则31n =，即G 中有1个Sylow 3⼦群，G 为正规⼦群．(2) 若G 是不循环群，则34n =，即G 中有4个Sylow 3⼦群．（四）关于求⾼斯整环的理想的显然形式及其商环的⼀般解法：1．⾼斯整环的显然形式分两种情况：(a) 理想形如i I a =<+>⾸先，(i)(i)(i)N a a a I +=+-∈，所以对任意的z ∈Z ，(i)N a z I +?∈．对于i 前系数为1的情况，i x y +以y 优先凑y 的表达式i ()(i)x y x ay a y +=-++．因为(i)a I +∈，所以只要x ay I -∈，则i x y I +∈．则可以得到其显然表达式为i {i |mod((i))}a x y x ay N a <+>=+≡+．若mod((i))x ay N a ≡+/，则i x y I +?，若不然，1I ∈，则有[i]I =Z ，⽭盾．(b) 理想形如1i I b =<+>同样，(1i)(1i)(1i)N b b b I +=+-∈，所以对任意的z ∈Z ，(1i)N b z I +?∈．对于i 前系数为b 的情况，i x y +以x 优先凑x 的表达式i (1i)()i x y b x y bx +=++-．因为(1i)b I +∈，所以只要y bx I -∈，则i x y I +∈．则可以得到其显然表达式为1i {i |mod((1i))}b x y y bx N b <+>=+≡+．若mod((1i))y bx N b ≡+/，则i x y I +?，若不然，1I ∈，则有[i]I =Z ，⽭盾．2．⾼斯整环的商环当理想的⽣成元的范围为素数时，即若(i)N a b +为素数，(i)[i]/i N a b a b +<+>?Z Z ．(a) 理想形如i I a =<+>的显然表达式为i {i |mod((i))}a x y x ay N a <+>=+≡+．当mod((i))x ay N a ≡+时，i x y a +∈+，i 0x y +=；当mod((i))x ay N a ≡+时，i i x y m a +∈+<+>，其中(i)N a m +∈Z ，则i 1,2,,(i)1x y N a +=+-．由此得[i]/i {0,1,2,,(i)1}a N a <+>=+-Z ，并且当(i)N a +为素数时，这是⼀个极⼤理想，当然也是⼀个素理想．(b) 理想形如1i I b =<+>的显然表达式为1i {i |mod((1i))}b x y y bx N b <+>=+≡+．当mod((1i))y bx N b ≡+时，i 1i x y b +∈<+>，i 0x y +=；当mod((1i))y bx N b ≡+时，i 1i x y m b +∈+<+>，其中(1i)N b m+∈Z ，则i 1,2,,(1i)1x y N b +=+-．由此得[i]/1i {0,1,2,,(1i)1}b N b <+>=+-Z ，并且当(1i)N b +为素数时，这是⼀个极⼤理想，当然也是⼀个素理想．（五）素理想、极⼤理想之间的关系在素理想、极⼤理想这⼀块我们主要研究四类环：Z 、[i]Z 、p Z 、2()M R ．⾸先来观察前三类，它们是性质⾮常好的两类环，体现在：Z 是欧⼏⾥得整环、主理想整环、也是唯⼀分解整环(4.4)．[i]Z 是欧⼏⾥得整环、主理想整环、也是唯⼀分解整环(4.4)．1. 书本在3.5节给出两个等价命题：n 为Z 的素理想?n 为素数； m 为Z 的极⼤理想?m 为素数；这个命题同样可以类⽐到p Z 中，证明⽅式相同，即：n 为p Z 的素理想?n 为素数且|n p ；m 为p Z 的极⼤理想?m 为素数且|m p ．⼀般地，在p Z 中，p a ?∈Z ，1212S l l l s a q q q =为标准素因数分解，则12s q q q 、、、均为素理想，且它们是全部的极⼤理想．2. 证明⼀个理想I 是素理想的⼀般⽅法：法⼀：先证明I 是⼀个极⼤理想，则在有单位元的交换环中，I 是素理想．法⼆：从定义出发，证明任取,a b I ∈，由ab I ∈可以推得a I ∈或b I ∈．法三：在满⾜条件的情况下，证明/R I 是⼀个整环．3. 证明⼀个理想I 是极⼤理想的⼀般⽅法：法⼀：从定义出发，选取⼀个理想J ，使得I J R ??，选取元素a J ∈，a I ?，推出1J ∈由1J ∈⽴得J R =，证毕．注：(1) 这个“1”是凑出来的，且在矩阵中，1应该对应变为为1001?? ???，在不同的环中，1代表不同的含义，应该把1理解为单位元．(2) 要得到1，不仅可以⽤加减法得到，也可以由乘法得到(在矩阵中)．法⼆：在满⾜条件的情况下，证明/R I 是⼀个域．结合书P153例10、书P154习题10、习题11，可以直接写出这个商环的元素再证明它是⼀个域(其中元素可逆)．4. 关于p q ⊕Z Z 的极⼤理想：特别注意：p Z 的极⼤理想和q Z 的极⼤理想的直和不是p q ⊕Z Z 的极⼤理想．（六）关于判断p 在[i]Z 、Z (整环)中是否为素元和不可约元的⼀般解法：1. 先判断p 是否为素元(1) 若p ∈Z 且3(mod 4)p ≡，则p 为素元，这在[i]Z 、Z 中均成⽴．(2) *若p ∈Z 且1(mod 4)p ≡，则存在a b ∈Z 、，使得22p a b =+，且i a b ±都是[i]Z 的素元．(3) 若p 不是整数且()N p 为素数，则p 必为素元：(法⼀)：⽤书本P174的⽅法验证．注：在[i]Z 中，若题⽬中的i 前系数不为1，则要设⼀个i a b +，使得其乘积中i 前系数为1，这个由待定系数法很容易做到，则此时|p αβ应变为(i)|(i)(i)p a b a b a b αβ?++?+．(法⼆)：以[i]Z 为例，Z 同理．设i,i [i]a b x y αβ+=+∈Z =，且有|p αβ．取范数得()|()()N p N N αβ，因为()N p 为素数，则由数论知识，()|()N p N α或()|()N p N β，则有|p α或|p β，则p 为素元．(4) 若p 不是整数且()N p 为合数 (以[i]Z 为例，Z 同理) ：取i [i]a b α+∈Z =，求⽅程：22()()N a b N p α=+=的整数解．若⽅程⽆整数解，则p 只能写成1p ?的形式，显然p 是素元．若⽅程有整数解，则令i a b α=+，i a b β=-，此时|()p N p αβ=，但|p α/，|p β/，则p 不是素元．2. 再判断p 是否为不可约元(1) 若()N p 为素数(或p 为素元)，则p 为不可约元；(2) 若()N p 为合数，则令p αβ=，其中[i](αβ∈Z Z 、，取范数()()()N p N N αβ=．下以[i]Z 为例，Z 同理：取i,i [i]a b x y αβ+=+∈Z =，设()N p 可以分解为12q q ?(12q q 、均不为单位)，那么分别验证是否存在a b x y ∈Z 、、、，使得12(),()N p N p αβ==．若存在，则说明存在不为单位的αβ、分解p ，则p 不是不可约元；若不存在，则说明()()N N αβ、中必有⼀个值为1，即αβ、必有⼀个为单位，则p 是不可约元．。
近世代数复习
第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k n|k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
近世代数复习提纲
近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==；（4）ab ac b c =⇒=；（5）1ax b x a b -=⇒=；1ya b y ba -=⇒=。
3、元素的阶使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。
（1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=∀∈=。
（2）若m a e =，则 ①||a m ≤；②||a m =⇔由n a e =可得|m n 。
（3）当群G 是有限群时，a G ∀∈，有||a <∞且||||a G 。
（4）||||r na n a d=⇒=，其中(,)d r n =。
证明 设|||r a k =。
因为()()n r r n dda a e ==，所以n kd。
另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而n r k d d ，又(,)1r nd d=，所以n k d ，故nk d=。
注：1 ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。
2||,||G a G a <∞⇒∀∈<∞；但,||||a G a G ∀∈<∞⇒<∞/。
例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈∃∈∍=，则G 关于普通乘法作成群。
显然，1是G 的单位元，所以a G ∀∈，有||a <∞，但||G =∞。
二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。
2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。
3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。
《近世代数》复习
《近世代数》复习一、群论：基本结构有循环群，对称群与商群。
基本内容有：元素的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态（映射），同构（映射），群的类方程，Lagrange定理。
基本技术：o(a)=|<a>|;o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=[o(a), o(b)]; 置换的周期=非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; |G/N|=|G|/|N|; 所有不同的共轭类做成G的一个划分,故有类方程|G|=Σ[G:C(a)](其中a取自不同的共轭类)=|C(G)| +Σ[G:C(a)](其中a取自不同的非中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)| |G|;若H≤G,则|H| | |G|; 对称群S n中奇偶置换各占一半即n!/2; 所有偶置换组成交错群A n且是S n的非平凡的最大的正规子群; S n中的n-轮换σ的中心化子(即能与σ交换的所有元素构成的子群)就是它生成的循环子群,由此可知与其共轭的元素共有(n-1)!个.二、环论：基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环，唯一分解环，多项式环，域与商环。
基本内容有：理想，环同态（映射），环同构（映射），不可约元，整环中的因子分解，多项式环中的因子分解，多项式的根，孙子定理（中国剩余定理），同余方程。
基本技术: 特征; 在有单位元的交换环R中, 主理想(a)=aR, (a)(b)=(ab); 设R是主理想整环, 则a是不可约元⇔a是素元⇔(a)是极大的理想⇔R/(a)是域; 主理想整环是唯一分解环;欧氏环是主理想环; 环同态,商环与理想分别一一对应,即f:R→S 是环同态, 则kerf是R的理想且商环R/kerf≅Imf, 故若f还是满射,则R/kerf≅S; 多项式的欧几里德算法; 二多项式的最大公因式;不可约多项式及其判别(Eisenstein判别法); 多项式的根的判别: α是多项式f(x)的根⇔(x-α)|f(x);α是重根⇔(x-α)|f '(x); 整环上的n次多项式的根的个数不超过n;整系数多项式的有理数根的求法;域上的不可约多项式f(x)有重根⇔f '(x)=0; 域上的(一元)多项式环是欧氏环(从而是主理想环);整数环上的多项式环是唯一分解环(但非主理想环).三、域论：基本结构有素域，分裂域与有限域。
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一、选择题(每题2分,共16分)1.若(),G a orda n ==,（）则下列说法正确的是 2.假定φ是A 与()A A A =Φ间的一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为3.若G 是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a =4.指出下列那些运算是二元运算5.设12,,,n A A A 和D 都是非空集合,而f 是12n A A A ⨯⨯⨯到D 的一个映射,那么6.设是正整数集合N +上的二元运算,其中max(,)a b a b =,那么在Z 中7.在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为8.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH .如果[:]6G H =,那么G =9.设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
10.设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的11.设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
12、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是13、下面的集合与运算构成群的是14、关于整环的叙述，下列正确的是15、关于理想的叙述，下列不正确的是16.整数环Z 中，可逆元的个数是17. 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是18. 设Z 是整数集，σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a ，Z a ∈，则σ是R 的 19、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的同态满射的是( ).20、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者），那么在Z 中（ ）21.设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )22、设(),G 为群，其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。
那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）23、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。
如果H =6,那么G 的阶G =16.整数环Z 中，可逆元的个数是( ).24、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为（ ）25. 设A={所有非零实数x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A的同态满射的是( ).26. 在3次对称群S 3中，阶为3的元有( ).27．剩余类环Z 6的子环有( ).28、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）二、填空题(每题2分,共22分）1.设,A B 是集合,2,3A B ==,则可共定义 个从A 到B 的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射.2.设群G ,12,G =若存在,a G ∈()6,ord a =则2()ord a = ,子群3()H a =在G 中的指数是 .3.设()G a =且11G =,则群G 的非平凡子群的个数为 .4.在模9的剩余类环9{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}Z =中,9[5][8]=+ ,9[5][8]= ,方程2[1]x =的所有根的集合为 .5.环12{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}Z =，，的全部零因子为 . 6.在5次对称群5S 中,(14)(135)= ,1(12345)-= ,(352)ord = .7.整数加群Z 是一个循环群,它的生成元为 .8.设集合{1,0,1},{,}A B a b =-=,则=⨯A B .9.如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .10.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .11.一个有限非交换群至少含有 个元素.12.如果是集合A 的元间的一个等价关系,[][],a b 是两个等价类,则[][]a b =的充要条件是 .11.设G 是p 阶循环群(p 是素数),则G 的生成元有 个.12.群G 的元a 的阶是n ,若d 是正整数r 和n 的最大公因子,则r a 的阶是 .13.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab ,那么必有 .14.某个非空集合上具有对称性、传递性和 的一个二元关系是等价关系．15.设5-循环置换(31425),π=那么1π-= .16.设群G 中元素a 的阶为m ,如果n a e =,那么m 与n 之间存在的关系为 .17.设集合{,,},{1,2}A a b c B ==,则有B A ⨯= .18.设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 是A 的两个类,如果i j A A ≠,那么i j A A = .19.环12{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}Z =，，的全部零因子为 .20.在模9的剩余类环9{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}Z =中,方程2[1]x =的所有根的集合为 .21.一个有限非交换群至少含有 个元素.22.剩余类加群Z 12有_________个生成元.23、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是________.24. 6阶循环群有_________个子群.25、设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =_______________。
26. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个.27. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.28、n 次对称群Sn 的阶是——————。
29、9-置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。
30.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________.31.24中的所有可逆元是：__________________________.32、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。
33. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于__，（2）若a 的阶为n ，则G同构于___。
34. 在整数环中，23+=__________________；35. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。
36、除环的理想共有____________个。
37. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.38、已知1234531254σ⎛⎫= ⎪⎝⎭为5S 上的元素，则1σ-＝_。
31. 每一个有限群都与一个__群同构。
39. 整数加群Z 有__________个生成元.40、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________.41. 设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n -1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n =___.42. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.43、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.三、判断题(每空2分,共12分)1.群中的元的阶都有限的群一定是有限群.2.如果H 是群G 的一个非空子集,则H 是群G 的子群的充分必要条件是,a b H ab H ∈⇒∈.3.设N 是群G 的不变子群,则a G n N an na ∀∈∀∈=,有.4.设H 是有限群G 的子群,则H 的左陪集个数与右陪集个数相等.5.如果一个集合A 的代数运算同时适合结合律和交换律,那么在12n a a a 里,元的次序可以掉换.6.域F 的每一个元素皆有逆元.7.任意集合与其真子集之间皆不能有一一映射存在.8.若12,H H 都是群G 的子群,则12H H 也是群G 的子群.9.整除关系是整环Z 的元素间的一个等价关系. 10. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C S ααα002是()C M 2的子域.. 11.循环群有且仅有一个生成元.12.无限群中存在阶是有限的元素.13.如果非空集合A 的代数运算同时适合结合律和交换律,则在12n a a a 里,元的次序可以掉换.14.设环R 的加群是循环群,那么环R 必是交换环.15.设H 是有限群G 的子群,则H 的左陪集个数与右陪集个数相等.16、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
17、除环中的每一个元都有逆元。
18、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
19、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
20、域是交换的除环。
21、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。
22、设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。
23、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
24、循环群的子群也是循环群。
25、整数环是无零因子环，但它不是除环。
26、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。
27、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
28、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元10≠。
29、指数为2的子群不是不变子群。
（ ）30、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。
31、对于环R,若a 是R 的左零因子,则a 必同时是R 的右零因子.32、剩余类m Z 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数.四、证明题（共20分) 1.设,,,,1a b G a b c d Z ad bc c d ⎧⎫⎛⎫=∈-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,101x H x Z ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,证明: (1)G 对普通乘法做成群.(2)H G ≤,但H 不是G 的正规子群.2.{,,(,)1}22n n mm Z n N m ∈∈=证明:集合关于数的加法运算和乘法运算构成整环3.,,,(,)1,,.G a b G a m b n m n ab ba ab mn ∈=====设是群,,若证明：4.6.证明阶交换群是循环群5.证明4Z 关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.6．在群 中, 对任意 , 方程 与 都有唯一解.7．全体可逆的 阶方阵的集合 ()关于矩阵的乘法构成一个非交换群. 这个群的单位元是单位矩阵 .每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是的逆矩阵 . 8． ，。