近世代数复习

一、选择题(每题2分,共16分)

1.若(),G a ord

a n ==,（）则下列说法正确的是 2.假定φ是A 与()A A A =Φ间的一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为

3.若G 是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a =

4.指出下列那些运算是二元运算

5.设12,,,n A A A 和D 都是非空集合,而f 是12n A A A ⨯⨯⨯到D 的一个映射,那么

6.设是正整数集合N +上的二元运算,其中max(,)a b a b =,那么在Z 中

7.在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为

8.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH .如果[:]6G H =,那么G =

9.设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有

（ ）个元素。

10.设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的

11.设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。

12、G 是12阶的有限群，H 是G 的子群，则H 的阶可能是

13、下面的集合与运算构成群的是

14、关于整环的叙述，下列正确的是

15、关于理想的叙述，下列不正确的是

16.整数环Z 中，可逆元的个数是

17. 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域⎭⎬⎫

按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是

18. 设Z 是整数集，σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时

当a ,2

1a a ,2a ，Z a ∈，则σ是R 的 19、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的

同态满射的是( ).

20、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者），那么

在Z 中（ ）

21.设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换

的元的个数是( )

22、设(),G 为群，其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。

那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）

23、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。如果H =6,那么G 的阶G =

16.整数环Z 中，可逆元的个数是( ).

24、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为（ ）

25. 设A={所有非零实数x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A

的同态满射的是( ).

26. 在3次对称群S 3中，阶为3的元有( ).

27．剩余类环Z 6的子环有( ).

28、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）

二、填空题(每题2分,共22分）

1.设,A B 是集合,2,3A B ==,则可共定义 个从A 到B 的映射,其中有 个单射,有 个满射,

有 个双射.

2.设群G ,12,G =若存在,a G ∈()6,ord a =则2()ord a = ,子群3()H a =在G 中的指数是 .

3.设()G a =且11G =,则群G 的非平凡子群的个数为 .

4.在模9的剩余类环9{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}Z =中,9[5][8]=+ ,9[5][8]= ,

方程2[1]x =的所有根的集合为 .

5.环12{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}Z =，，

的全部零因子为 . 6.在5次对称群5S 中,(14)(135)= ,1(12345)-= ,(352)ord = .

7.整数加群Z 是一个循环群,它的生成元为 .

8.设集合{1,0,1},{,}A B a b =-=,则=⨯A B .

9.如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .

10.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .

11.一个有限非交换群至少含有 个元素.

12.如果

是集合A 的元间的一个等价关系,[][],a b 是两个等价类,则[][]a b =的充要条件

是 .

11.设G 是p 阶循环群(p 是素数),则G 的生成元有 个.

12.群G 的元a 的阶是n ,若d 是正整数r 和n 的最大公因子,则r a 的阶是 .

13.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab ,那么必有 .

14.某个非空集合上具有对称性、传递性和 的一个二元关系是等价关系．

15.设5-循环置换(31425),π=那么1π-= .

16.设群G 中元素a 的阶为m ,如果n a e =,那么m 与n 之间存在的关系为 .

17.设集合{,,},{1,2}A a b c B ==,则有B A ⨯= .

18.设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 是A 的两个类,如果i j A A ≠,那么i j A A = .

19.环12{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}Z =，，的全部零因子为 .