江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题25Word版含答案
江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题54Word版含答案
指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -（ ）A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21xx R -∈ D.()210x x ->【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解.【解析】选A.由)11(log 2xy +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()f x =的定义域为（ ）A.(-3，0]B.(-3，1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( )A ． ·log log log a c c b a b = B. b a b c c a log log log =⋅ C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式:abb y x xyc c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: bab a b bc c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。
江西省南昌市高三数学第二次模拟考试试题(扫描版)理
江西省南昌市2015届高三数学第二次模拟考试试题（扫描版）理2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13．214．13π 15．1316． 2212x y -=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=---4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<， (11)分所以当3A π=时，a b +最大，最大值是．………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分 （Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分 所以随机变量ξ的分布列是：……………………10分随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113． (12)分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D -,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则00n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分而二面角D —GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为5-． (12)分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB最小，因为||2OD ==，所以2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =， 又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分（Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S = 当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =， (6)分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k =--，圆心O到直线m 的距离为：d=，所以||PQ ==8分将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN = 所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈， 综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x -+=+-=(0)x >，记2()221g x x a x =-+………1分（一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈，所以函数()f x在区间(,)22a a +上单调递减，在区间)+∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增，所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-，对任意的(1a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln ()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a a ma m a =+-++，则(1)0h =， 1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a ->，当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=， (3)分,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F AC AF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE AD AD FC AE BC ∴=-，解得8AE =。
江西2015届高中数学二轮复习高效专项检测题36Word版含答案
双曲线一、选择题1.（2013²湖北高考文科²Ｔ2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等【解题指南】分别表示出双曲线1C 和2C 的实轴，虚轴，离心率和焦距，最后比较即可.【解析】选 D. 双曲线1C 的实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2=，离心率为1sin θ；双曲线2C 的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2=，离心率为1cos θ，故只有焦距相等.故答案为D.2.（2013²福建高考理科²Ｔ3）双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（ ） A.52 B.54C. 552 D.554【解题指南】先求顶点，后求渐近线方程，再用距离公式求解.【解析】选 C.双曲线的右顶点为(20)，,渐近线方程为20x y -=,则顶点到渐近线的距离为= 3.(2013²福建高考文科²T4)双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )A ．12B ．2C ．1D ．【解题指南】先求顶点,后求渐近线方程,再用距离公式. 【解析】选B.顶点错误！未找到引用源。
到渐近线y=x 的距离为错误！未找到引用源。
.4. （2013²新课标Ⅰ高考文科²Ｔ4）与（2013²新课标Ⅰ高考理科²Ｔ4）相同已知双曲线C ：12222=-by a x 错误！未找到引用源。
= 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为( ) A.y=±错误！未找到引用源。
x B.y=±错误！未找到引用源。
x C.y=±错误！未找到引用源。
x D.y=±x 【解题指南】 根据题目中给出离心率确定a 与c 之间的关系，再利用222b a c +=确定a 与b 之间的关系，即可求出渐近线方程.【解析】选C.因为25==a c e ，所以4522=a c ，又因为222b a c +=，所以45222=+a b a ，得=22a b 41，所以渐近线方程为x y 21±= 5.(2013²天津高考理科²T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线y 2=2p x(p >0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 的面积为错误！未找到引用源。
2015届高考江西九校联合体数学(理)参考答案
江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考数学（理）答案一、选择题：1-5: C D DAB 6-10：BACDC 11-12: DA 二、填空题：13．160- 14．2- 15. π5 16. 6 三、解答题：17.解：由题意可得1)62sin(2)(+-=πx x f（1）226222πππππ+≤-≤-k x k所以增区间为： ]3,6[ππππ+-k k Z k ∈.………………………………………6分（2）由511)122(=+πA f 得53sin =A ；………………………………………7分1323)32(=+πB f 得1312sin ,135cos ==B B ；………………………………………8分 由于，＜simB simA 131253==则54,=ℑ⇒∠A CO b a ……………………………10分所以6563)sin(sin =+=B A C .……………………………………………………12分 18.解：（1）取AC 中点O ，连结BO PO ,， PC PA =，BC AB =，∴AC OB AC OP ⊥⊥,，又 平面⊥APC 平面ABC ，∴ABC OP 面⊥………2分，OB OP ⊥，∴222PB OB OP =+，即1641622=-+-OC OC ，得2=OC ，则14,2,2===OP OB OA ，22=AC ，………4分∴22222121=⋅⋅=⋅⋅=∆OB AC S ABC . ∴31421423131=⋅⋅=⋅⋅=∆-OP S V ABC ABC P .……………………6分 （2）方法一 ：分别以OP OC OB 、、为z y x 、、得)14,0,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(P C B A O -，………8分∴)0,2,2(-=，)14,0,2(-=，设平面PBC 的法向量),,(z y x =.由0,0=⋅=⋅得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-0142022z x y x ，取1=z ，得)1,7,7(=.10分)0,2,2(=AB ，∴15210152142||||,cos ==⋅>=<n AB n AB . 故直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210.……………………12分 方法二 ：设点A 到平面PBC 的距离为d ，作H BC BC PH 于点交⊥， 则15142222=-=-=HC PC PH ，151522121=⨯⨯=⋅=∆PH BC S PBC ∴151423142153131=⇒=⋅⋅=⋅⋅⇒=∆--d d d S V V PBC PBC A ABC P ∴直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为15210152142==AB d . 19.解：(1)4086531811325==C C C P …………………………5分 (2)X 可能的取值为0、1、2、3408143)0(318313===C C X P 408195)1(31821315===C C C X P 40865)2(31811325===C C C X P 4085)3(31835===C C X P………10分65=EX ……………………………………………………12分20.解：(1)连接QF ，∵|QE |＋|QF |=|QE |＋|QP |=|PE |=4>|EF |=32， ∴动点Q 的轨迹是以)0,3(-E 、)0,3(F 为焦点，长轴长42=a 的椭圆，即动点Q 的轨迹方程为:1422=+y x ；…………………4分(2)依题结合图形知直线l 的斜率不为零，所以设直线l 的方程为n my x +=(R m ∈)． ∵直线l 即0=--n my x 与圆O :122=+y x 相切，∴11||2=+m n 得122+=m n ．(5分) 又∵点B A ,的坐标),(),,(2211y x y x 满足：⎩⎨⎧=-++=04422y x n my x ， 消去x 整理得042)4(222=-+++n mny y m ，由韦达定理得42221+-=+m mny y ，442221+-=m n y y ．…………………6分又 ||1||212y y m AB -⋅+=，点O 到直线l 的距离11||2=+=mn d ，∴||||21||121||2121212y y n y y m AB d S AOB -⋅=-⋅+⋅=⋅=∆ 222222)4(132)4(32++⋅=+⋅=m m m n………8分∵21212121))((y y n my n my y y x x OB OA +++=+=⋅=λ414445)()1(22222221212++=+--=++++=m m m m n n y y mn y y m ． ∵3221≤≤λ，令12+=m t ，则]6,3[]32,21[3∈⇒∈+=t t t λ ∴69326932)3(32)4(13222222++=++⋅=+⋅=++⋅=∆tt tt t t t m m S AOB，…………………10分 ∵]121,272[691]227,12[69]227,12[69]215,6[9∈++⇒∈++⇒∈++⇒∈+tt t t t t t t ∴]1,322[∈∆AOB S ，∴AOB S ∆的取值范围为：]1,322[.…………………12分21.解：(1)x ae x f -=1)('，由题意知01)0('=-=a f 1=∴a .…………3分(2)由题意知：11x ae x = ① 22x ae x = ② 不妨设21x x <①-②得 )(2121x x e ea x x -=- 2121x x ee x x a --=∴ ③ …………5分 又)(2121x x e ea x x +=+，欲证221>+x x 只需证2)(21>+x x e e a ④联立③④得2))((212121>--+x x x x e e x x e e…………7分 即21))(1(212121>--+--x x x x e x x e ，令21x x t -= （0<t ） 则上式等价于21)1(>-+tt e te ，即02)2(>++-t t e t ⑤…………9分 令2)2()(++-=t t e t tϕ （0<t ） 1)1()('+-=t e t t ϕ，0)(''<=t te t ϕ )('t ϕ∴在)0,(-∞上单调递减，从而0)0(')('=>ϕϕt )(t ϕ∴在)0,(-∞上单调递增，从而0)0()(=<ϕϕt即⑤式成立，221>+∴x x ……………………………………………………12分 22.解：(1)证明：连接OA ， OB OA =，∴OBA OAB ∠=∠. PA 与圆O 相切于点A ，∴ 90=∠OAP . ∴OAB PAC ∠-=∠ 90. OP OB ⊥， ∴OBA BCO ∠-=∠ 90. ∴PAC BCO ∠=∠.又PCABCO ∠=∠，∴PCA PAC ∠=∠.∴PC PA =.…………………5分(2)假设PO 与圆O 相交于点M ，延长PO 交圆O 于点N .PA 与圆O 相切于点A ，PMN 是圆O 的割线， ∴)()(2ON PO OM PO PN PM PA +⋅-=⋅=．5=PO ，3==ON OM ，∴16)35()35(2=+⨯-=PA . ∴4=PA .∴由(1)知4==PA PC . ∴1=OC .在OAP Rt ∆中，53cos ==∠OP OA AOP . NC ABPMO∴5325313219cos 2222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅⋅-+=AOP OC OA OC OA AC . ∴5104532==AC .…………………10分 23.解：(1)由θρcos 10=得01022=-+x y x ，即25)5(22=+-y x .…………4分(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t . 即020292=++t t ，…………6分由于082204)29(2>=⨯-=∆，可设21,t t 是上述方程的两个实根.所以⎩⎨⎧=⋅-=+20292121t t t t ，又直线l 过点)6,2(P ，可得：29)()()(||||||||212121=+-=-+-=+=+t t t t t t PB PA .…………10分 24．解：(1)原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x …………………5分 (2)4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a > …………………10分。
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题02
江西省2015年高考数学二轮复习 小题精做系列专题02一、选择题 1．已知命题R p ∈∃ϕ:，使)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数；命题x x R x q sin 42cos ,:+∈∀03＜-，则下列命题中为真命题的是（ ）A.q p ∧B.()q p ∨⌝C.()q p ⌝∨D.()()q p ⌝∨⌝ 【答案】C 【解析】2．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是A. (－∞，－2]B. [2,+∞)C. (－∞，－2)D. (2,+∞) 【答案】A 【解析】3．已知01a <<，则2a 、2a、2log a 的大小关系是（ ）A ．2a >2a >2log aB ．2a>2a >2log a C ．2log a >2a >2a D ．2a>2log a >2a【答案】B 【解析】试题分析：因为 01a <<，所以，201a <<，122a <<，2log 0a <，即2a >2a >2log a ，选B .【考点定位】幂函数、指数函数、对数函数的性质. 4．已知x ，y∈R，i 为虚数单位．若1xi+＝1－yi ，则x ＋yi ＝( )A ．2＋iB ．1＋2iC ．1－2iD ．2－i 【答案】A 【解析】由1x i +＝1－yi ，得2x －2x i ＝1－yi ，所以x ＝2，y ＝2x＝1，x ＋yi ＝2＋i. 【考点定位】复数的基本计算.5．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()ac bd 的最小值为（ ）（A ）2 （B ） 2 （C ）22 （D ）8 【答案】D 【解析】6．右图可能是下列哪个函数的图象（ ）A.y=2x－x 2－1 B. 14sin 2+=x x x y C.y=(x 2－2x)e xD.x x y ln =【答案】C 【解析】7．已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围（ ）A.(20，32)B.(9,21)C.(8,24)D.(15，25) 【答案】B 【解析】8．设0a >且1a ≠.若log sin 2a x x >对(0,)4x π∈恒成立,则a 的取值范围是（ ）A.(0,)4πB.(0,]4πC.(,1)(1,)42ππ⋃D.[,1)4π9．已知22sin 1)(xx f +=，若)5(lg f a =，)2.0(lg f b =则下列正确的是（ ） A ．0=+b a B ．0=-b a C ．1=+b a D ．1=-b a 【答案】C11()()022f x f x -+--=也就是()()1f x f x +-=，而12lg 0.2lg lg5lg510-===-，所以(lg5)(lg5)1f f +-=即1a b +=，选C.【考点定位】1.正弦函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.10．函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为（ ）． A ．2πB ．4πC ．8πD ．π【答案】A 【解析】11．已知x ，y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则46--+x y x 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 【答案】C 【解析】12．某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）【答案】C 【解析】13．设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上是增函数的概率为 ( )A.13 B. 23 C. 14 D. 12【答案】A【考点定位】1.线性规划问题.2.函数的单调性.3.几何概型问题.14．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．322B ．2C ．233D ．2【答案】D 【解析】15．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,,A B 为期左右顶点,点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点,点O 为坐标原点,若,,PA PB PO 的斜率为123,,k k k ,则123m k k k =的取值范围为( )A.()0,33 B.()0,3 C.30,9⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.()0,816．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）A.1B.1-C.1±D.22sin 0,sin 0,d d ==因为02d π<<，所以.d π=公比1111cos()cos()1.cos cos a d a q a a π++===-【考点定位】等比数列17．执行如图所示的程序框图，输入的N ＝2014，则输出的S ＝（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【答案】C 【解析】二、填空题18．已知()20OB =，,()22OC =， ,(2cos 2sin )CA αα=， ,则OA 与OB 的夹角的取值范围是______________. 【答案】]125,12[ππ【解析】法二、因为(22)CA αα=，，所以22(2cos )(2sin )2CA αα=+=，所以点A 在以C 2为半径的圆上. 作出图形如下图所示，从图可知OA 与OB 的夹角的取值范围是]125,12[ππ.【考点定位】向量. 三、解答题19．已知函数()ln ,()xf x ax xg x e =+=.(1)当0a ≤时，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()x mg x x-<有解，求实数m 的取值菹围； （3）证明：当a=0时，()()2f x g x ->. 【答案】(1)参考解析；（2）0m <；（3）参考解析 【解析】试题分析：(1)由于()ln f x ax x =+，(0,)x ∈+∞.需求()f x 的单调区间，通过对函数()f x 求导，在讨论a 的范围即可得函数()f x 的单调区间.增.当1(,)x a∈-+∞时，'()0f x <，所以()f x 单调递减.综上所述：当0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞单调递减.【考点定位】1.函数的单调性.2.含不等式的证明.3.构建新的函数问题.4.运算能力.5.数学知识综合应用.20．已知函数),0,(ln )1(2)(2>∈∈--=*a R a N k x a x x f k 且 （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014=k 时，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值； （3）当2013=k 时，证明: 对一切),0(+∞∈x ，都有)21(2)(2exe a x xf x ->-成立． 【答案】详见解析 【解析】当k 是奇数时，()0f x '>，则f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当k 是偶数时，则2()()2()2x a x a a f x x xx+-'=-=．所以当x ∈()0,a 时，()0f x '<，当x ∈),(+∞a 时，()0f x '>． 故当k 是偶数时，f (x)在()0,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数． 4分另解:()2f x ax =即22ln 2x a x ax -=有唯一解,所以:22ln x a x x =+,令()2ln x p x x x=+,则()()()22ln 1ln x x x p x x x +-'=+,设()2ln 1+h x x x =-，显然()h x 是增函数且()10h =，所以当01x <<时【考点定位】1.导数的运用；2.方程及不等式. 21．已知函数1()f x x x=-，()ln ()g x a x a R =∈.(1)a≥－2时,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)设h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有两个极值点为12,x x ,其中11(0,]2x ∈,求12()()h x h x -的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）5ln23-. 【解析】试题解析：（1）由题意x a xx x F ln 1)(--=，其定义域为()∞+，0，则221)(x ax x x F +-='，2分对于1)(2+-=ax x x m ，有42-=∆a .①当22≤≤-a 时，0)(≥'x F ，∴)(x F 的单调增区间为),0(+∞；②当2>a 时，0)(='x F 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x（2）对x a xx x h ln 1)(+-=，其定义域为),0(+∞. 求导得，222111)(xax x x a x x h ++=++='， 由题0)(='x h 两根分别为1x ，2x ，则有122=⋅x x ，a x x -=+21， 8分 ∴121x x =，从而有111x x a --=22．已知函数()sin 2f x m x x =+,(0)m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0,π上的值域； (2)已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求ba 11+的值． 【答案】(1)[]2,2-;(2)2.【解析】而0m >，于是2m =，π()2sin()4f x x =+． 4分23．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且241b ac =． （1）当45=p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．【答案】(1)⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,26p ． 【解析】又41=ac ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.1,41c a （5分）（少一组解扣1分）【考点定位】（1）正弦定理；（2）余弦定理及三角函数值的范围. 24．设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，122+=n n a a ． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，求{n b }的前n 项和T n ； （3）是否存在实数K ，使得T n K ≥恒成立.若有，求出K 的最大值，若没有，说明理由. 【答案】（1）a n =2n ﹣1，n ∈N *；（2）2332n nn T +=-；（3）12K ≤. 【解析】试题分析：（1）由于{a n }是等差数列，故只需求出其首项a 1和公差d 即可得其通项公式.由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1得方程组：11114684(21)22(1)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，这个方程组中，看起来有3个未知数，但n 抵消了(如果11114684(21)22(1)1a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩， 解得a 1=1，d =2．∴a n =2n ﹣1，n ∈N *．（2）由已知*31212311,2n n n b b b b n N a a a a ++++=-∈，得： 当n =1时，1112b a =，所以12K ≤. 【考点定位】1、等差数列与等比数列；2、数列的和；3、数列与不等式. 25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++，111111111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T <【答案】（1）13n na =；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）又等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.可得到两个等式，解方程组可得结论.（2）由（1）可得数列{}n b 的通项，即可计算n S ,由于n T 是一个复合的形式，所以先计算通项式1111111[(1)(1)(1)][(1)]21222n n n++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+ .所以2014111111[2014(1)]1007(1)222014222014T =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+即等价于证明1111222014++⋅⋅⋅+<.1010111111124(234)1122014242++⋅⋅⋅+<+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-<.所以20141013.T <【考点定位】1.等差数列、等比数列的性质.2.数列的求和.3.数列与不等式的知识交汇.4.归纳递推的思想.26．如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：AM ∥平面BEC ; （2）求证：BDE BC 平面⊥; （3）求点D 到平面BEC 的距离. 【答案】（1）见解析（2）见解析(3)63【解析】试题解析：（1）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,． 在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =． 3分所以四边形ABNM 为平行四边形． 所以BN ∥AM ． 4分又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ， 所以AM ∥平面BEC ． 5分（2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ． 所以ED BC ⊥． 7分在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ， 2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+． 所以BC BD ⊥． 8分.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE 12分又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆，所以36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. 14分 【考点定位】勾股定理线面平行,线面垂直等体积法27．如图：已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，高122AA =，P 为1CC 的中点，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：BD ⊥平面11AAC C ；（2）求证：1AC ∥平面PBD ；（3）求三棱锥1A BOP -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.【解析】11ACC A ，即BO ⊥平面1A OP ，因此以1A OP 为底，BO 就是高，体积可得.试题解析：（1）底面ABCD 是边长为正方形，∴AC BD ⊥1A A ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴1A A ⊥BD 3分1A A AC A =，∴BD ⊥平面11A ACC 5分【考点定位】（1）线面垂直；（2）线面平行；（3）几何体的体积.28．已知抛物线24x y =，直线:2l y x =-，F 是抛物线的焦点.（1）在抛物线上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小；(2)如图，过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点.①若直线AB 的倾斜角为135，求弦AB 的长度；②若直线AO 、BO 分别交直线l 于,M N 两点,求||MN 的最小值.【答案】（1）(2,1)P ；(2)①AB ||8=；②||MN 的最小值是825. 【解析】试题分析：（1）数形结合，找出与:2l y x =-与平行的切线的切点即为P.(2)易得直线方程1y x =-+，与抛物线联立，利用弦长公式，可求AB ；②设221212(,),(,)44x x A x B x ,可得AO ，BO 方程，与抛物线联立试题解析：解:(1)设(,)P x y ，21,'42x y y x =∴=， 由题可知：11,2,12x x y =∴==同理由228442N x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩9分 所以21288||11|2|44M N MN x x x x =+-=---12121282|164()x x x x x x -=-++① 10分 设:1AB y kx =+,由2214404y kx x kx x y=+⎧⎪∴--=⎨=⎪⎩,所以此时||MN 的最小值是825,此时253t =-,43k =-; 13分 综上:||MN 的最小值是825。
江西2015届高考数学二轮专题复习之专项检测46Word版含答案
46 不等式选讲1．(2014·重庆改编)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]． 2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，∴原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋1－a ⎝⎛⎭⎫x <－a 2a ＋1 ⎝⎛⎭⎫－a 2≤x <124x ＋a －1 ⎝⎛⎭⎫x ≥12当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 3．(2013·福建)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ， (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解 (1)因为32∈A ，且12∉A ， 所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3.4．(2014·课标全国Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2， 且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}． 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 6．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值．解 由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，①得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425. 不等式①中当且仅当x 3＝y 4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，解得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825. 因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425. 7．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.8．(2014·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明 由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥ ⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a， 由f (3)<5，得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a， 由f (3)<5，得1＋52<a ≤3. 综上，a 的取值范围是(1＋52，5＋212)． 9．已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围．解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2]≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6，∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2，∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立．∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5.∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}．10．(2014·福建)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.11．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4；当x >1时，由2x <4，得1<x <2.∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2,2)．(2)证明 ∵a ，b ∈M ，即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.12．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，并说明等号成立的条件．解 因为a ，b ，c 均为正实数，所以12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b， 当且仅当a ＝b 时等号成立；12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c， 当且仅当b ＝c 时等号成立；12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a， 当且仅当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加，得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。
江西省六校2015届高三第二次联考数学答案(理)
六校联考数学卷（理）参考答案与评分标准一、 选择题1~6 BADBDB 7~12 BCCCBA二、 填空题13、1 14、-8 15、C 16、64π三、 解答题17、解:（1）当n=1时11122a S a ==-，12a =，当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 得12n n a a -=∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{n a }的通项公式为2nn a =． ……3分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， 解得0d =（舍去）或3d =∴数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． ……6分 （2……8分……10分 ……12分18、解：（1）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， 解得0.03a =； ……2分 又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克， ……4分 而50个样本小球重量的平均值为：故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克； ……6分 （2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则1(3,)5X B ~.X 的取值为0、1、2、3，……10分 X ∴的分布列为：……12分 19、解：（1）证明：⊥PC Θ平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2=AB ，1==CD AD ，222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴又C PC BC =I ，⊥∴AC 平面PBC ，∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC ……6分（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1， 设P （0，0，a ）（0>a ）， )0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，取m =（1，－1，0） ……8分B则0=⋅=⋅CA m CP m ，∴m u r为面PAC 的法向量设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅CE n CA n ，即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，，则2=a 于是)2,2,2(--=n 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为……12分（或设CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴，请酌情给分）20、解：（1）由题意得121221PF F S c b b ∆=⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是 ……4分 （2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点. 当直线l 斜率不存在时以线段PQ 为直径的圆的方程为：223xy +=……5分当直线l 斜率存在时 设(1)(0)y k x k =-≠得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有……7分又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为直线BM 的方程为……8分 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． ……9分故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点 ……12分 （或设1x my =+请酌情给分）21、解：（Ⅰ）由得切线的斜率(2)31,2,k f a a '==-=-∴=，故2()2ln 2f x x x x =-+， …… 2分 由()2f x x m ≥+得22ln m x x ≤-∵不等式()2f x x m ≥+2max (2ln )m x x ≤- ……4分令2()2ln g x x x =-，故()0g x '=时，1x =．当时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<．(1)1g =-，所以1m ≤- ……6分（Ⅱ）因为()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0A x B x所以方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12,x x ，则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得……8分*）120,01,x x t <<∴<<Q 即证明在01t <<上恒成立 …10分 又01t <<，所以()0u t '> 所以，()u t 在()0,1上是增函数，则()()10u t u <=，从而知………12分22、解: （1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ ………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分 23、解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax = 直线的普通方程为20x y --= ---------4分 (Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=, 1212,328t t t t a ∴+=+=+， ------------6分又|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===, 由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-, 代入得1=a ---------10分 24、解:(Ⅰ)当x 4≥时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 得x >-5，所以x 4≥成立 当421<≤-x 时,f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0 得x >1,所以1<x <4成立 当21-<x 时f (x )=-x -5>0得x <-5所以x <-5成立， 综上,原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} ------------5分 （Ⅱ）f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立421≤≤-x所以m≤9 ------------10分。
江西2015年高考文科数学二轮专项训练之数列、数学归纳法与极限1Word版含答案
一．基础题组1. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】221lim 2n n n n→∞+- ＝__________.2. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .（用数字作答）【答案】63 【解析】试题分析：要求数列的前n 项的和，一般先确定下这个数列是不是等差数列或者等比数列，或者是否能转4. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】在等差数列{}n a 中，中若01<a ，n S 为前n 项之和，且177S S =，则n S 为最小时的n 的值为 .5. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】计算：21lim 1n n n n →∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=_________．6. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】计算：210lim323x n n →∞++= .7. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】如果()1111112312n f n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项.8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a .10. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++，则当n =____时，n B 取得最大值.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.13. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】函数xa y =（0>a ,1≠a ）的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛41,2P ，则=+++∞→)(lim 2n n a a a ______．14. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}na 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则na=________.15. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．16. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________．考点：等比数列的前n 项和．17. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】计算：=+∞→133lim nnn ．二．能力题组1. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则()()()11112(2013)2014232013f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L 12014f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013213. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}na 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.4. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a. 换n 得12121111...2(1)5222n n a a a n --+++=-+（2n ≥），两式相减得122n n a =，12n n a +=，又1172a =，即114a =，故n a =⎩⎨⎧≥=+.2,21,141n n n . 考点：数列的通项公式.5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a ,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.6. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．7. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在nn n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π8. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a ．9. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】若函数2cos1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12n n a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）11. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a 满足142a =-,()()*+∈=-+N n n a a n n n ,11，则数列{}na 的前2013项的和2013S 的值是___________．三．拔高题组1. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1rs <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.2. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】已知数列{}n a 具有性质：①1a 为正数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，21n n a a =+；当n a 为奇数时，211-=+n n a a （1）若641=a ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若321,,a a a 成等差数列，求1a 的值；(3)设)3(321N m m a m ∈≥-=且，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：521--≤+m S m n又01210m a +=-=，20m a +=，…3. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】设项数均为k （*2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U .已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合12{,,,,,,k k a a a b b b ={2,4,6,,42,4}k k -. （1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ；（3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对.1212{42,42,,42,42,42,,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-4. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（文科）】已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，其中A 、B 、C 是常数.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若1A =，12B =，116C =，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.5. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为()2,3,4,n n =阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.（1）若数列{}n a 的通项公式是， 试判断数列{}n a 是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；（2）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；（3）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】设二次函数)()4()(2R k kxx k x f ∈+-=，对任意实数x ，有26)(+≤x x f 恒成立；数列}{n a 满足)(1n n a f a =+.（1）求函数)(x f 的解析式和值域；（2）证明：当)21,0(∈n a 时，数列}{n a 在该区间上是递增数列；（3）已知311=a ，是否存在非零整数λ，使得对任意n N *∈，都有 ()12333312111log log log 12log 1111222n n n a a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+>-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 2)1(31n n +-+-λ 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.试题解析：（1）由 26)(+≤x x f 恒成立等价于02)6()4(2≤--+-x k x k 恒成立，从而得：⎩⎨⎧≤-+-<-0)4(8)6(042k k k ，化简得⎩⎨⎧≤-<0)2(42k k ，从而得2=k ，所以x x x f 22)(2+-=， …………3分 其值域为]21,(-∞. …………4分（2）解： 81)41(222)(221+--=-+-=-=-+n n n nn n n n a a a a a a f a a …………6分7. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．8. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】设函数n nnn x x x x f 2222)(22++++-= ． （1）求函数)(2x f 在]2,1[上的值域；（2）证明对于每一个*∈N n ，在[1,2]上存在唯一的n x ，使得0)(=n n x f ；（3）求)()()(21a f a f a f n +++ 的值．9. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a ，满足62=a ，n a a a a n n n n 11111=-++-++()*∈N n ， （1）求5431,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明；（3）己知02lim =∞→n n n ，设()*∈⋅=N n n a b n nn 2，记n n b b b b s ++++= 321，求n n S lim ∞→．21(1)(1)(21)k k a k k k +⇒-=+--1(1)(1)(1)(21)k k a k k k +⇒-=+-+.10. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】已知数列}{n a 满足121++=+n a a n n （*N ∈n ）．（1）若数列}{n a 是等差数列，求它的首项和公差；（2）证明：数列}{n a 不可能是等比数列；（3）若11-=a ，b kn a c n n ++=（*N ∈n ），试求实数k 和b 的值，使得数列}{n c 为等比数列；并求此时数列}{n a 的通项公式．11. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．试题分析：(1)只求2a ，只要在2321++=+n S S n n 中令1n =民，则有2121131233S a a S a =+=++=+，。
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直接证明与间接证明
1.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n ．
(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；
(2)设d 为非负整数，证明：d n =－d (n =1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列；
(3)证明：若a 1=2，d n =1(n =1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1
【解题指南】(1)根据{d n }的定义求.
(2)充分性:先证明{a n }是不减数列,再利用定义求d n ; 必要性:先证明{a n }是不减数列,再利用定义证明等差. (3)可通过取特殊值和反证法进行证明.
【解析】（1）111211d A B =-=-=，222211d A B =-=-=，
333413d A B =-=-=，444413d A B =-=-=。
（2） 充分性：
若{}n a 为公差为d 的等差数列，则1(1)n a a n d =+-. 因为d 是非负整数，所以{}n a 是常数列或递增数列.
1(1)n n A a a n d ==+-所以，11n n B a a nd +==+， n n n d A B d =-=-所以(n=1,2,3,…).
必要性：
若(1,2,3,)n d d n =-= ，假设k a 是第一个使得10n n a a --<的项，则
1221k k k a a a a a --≤≤≤≤> ，1,k k k k A a B a -=≤所以，
110k k k k k k k d A B a B a a --=-=-≥->所以，这与0n d d =-≤矛盾.
所以{}n a 是不减数列.
1n n n n n d A B a a d +=-=-=-所以，即1n n a a d +-=， {}n a 所以是公差为d 的等差数列.
（3）①首先{}n a 中的项不能是0，否则1102d a =-=，与已知矛盾. ②{}n a 中的项不能超过2，用反证法证明如下： 若{}n a 中有超过2的项，设k a 是第一个大于2的项，
{}n a 中一定存在项为1，否则与1n d =矛盾.
当n k ≥时，2n a ≥，否则与1k d =矛盾.
因此存在最大的i 在2到k-1之间，使得1i a =， 此时2220i i i i d A B B =-=-≤-=，矛盾. 综上{}n a 中没有超过2的项. 综合①②，{}n a 中的项只能是1或2. 下面证明1有无数个，用反证法证明如下： 若k a 为最后一个1，则220k k k d A B =-=-=，矛盾. 因此1有无数个.
2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）给定数列a 1，a 2，…，a n 。
对i=1，2，…n-l ，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n-i 项a i+1，a i+2，…，a n 的最小值记为B i ，d i =A i -B i .
（1）设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值.
（2）设a 1，a 2，…，a n （n ≥4）是公比大于1的等比数列，且a 1＞0.证明：d 1，d 2，…d n-1是等比数列。
（3）设d 1，d 2，…d n-1是公差大于0的等差数列，且d 1＞0，证明：a 1，a 2，…，a n-1是等差数列。
【解题指南】(1)利用d i 的公式,求d 1,d 2,d 3的值.
(2)先求出{d n }的通项,再利用等比数列的定义证明{d n }是等比数列.
(3)先证明{a n }是单调递增数列,再证明a n 是数列{a n }的最小项,最后证明{a n }是等差数列.
【解析】（1）111312d A B =-=-=，222413d A B =-=-=，333=7-1=6d A B =-。
（2）由12,,,(4)n a a a n ≥ 是公比大于1的等比数列，且a 1＞0，可得{}n a 的通项为11n n a a q -=⋅且为单调递增数列。
于是当2,3,1k n =- 时，
111121
1111k k
k k k k k k k k d a a a q a q q d a a a q a q -+------===--为定值。
因此d 1，d 2，…d n-1构成首项112d a a =-，公比q 的等比数列。
（3）若d 1,d 2,…,d n-1是公差大于0的等差数列,则0<d 1<d 2<…<d n-1, 先证明a 1,a 2,…,a n-1是单调递增数列,否则,设a k 是第一个使得a k ≤a k-1成立的项,则
A k-1=A k ,
B k-1≤B k ,因此d k-1=A k-1-B k-1≥A k -B k =d k ,矛盾. 因此a 1,a 2,…,a n-1是单调递增数列.
再证明a n 为数列{a n }中的最小项,否则设a k <a n (k=1,2,…,n-1), 显然k ≠1,否则d 1=A 1-B 1=a 1-B 1≤a 1-a 1=0,与d i >0矛盾. 因而k ≥2,此时考虑d k-1=A k-1-B k-1=a k-1-a k <0,矛盾.
因此,a n为数列{a n}中的最小项.
综上,d k=A k-B k=a k-a n(k=1,2,…,n-1),于是a k=d k+a n,
从而a1,a2,…,a n-1是等差数列.
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