基本不等式求最值的策略
基本不等式求最值的题型及解题策略
ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式求最值的八种思维方法
ʏ尹丹青利用基本不等式求最值是高考的常考点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维方法㊂方法一: 定和 与 拼凑定和 求积的最值例1 已知x >0,y >0,且x +y =7,则(1+x )(2+y )的最大值为㊂解:由x +y =7,可拼凑(x +1)+(y +2)=10,利用基本不等式求最值㊂易得(x +1)+(y +2)=10,所以(1+x )(2+y )ɤ(1+x )+(2+y )22=25,当且仅当1+x =2+y ,即x =4,y =3时等号成立㊂故(1+x )㊃(2+y )的最大值为25㊂解后反思:利用基本不等式求最值时,必须同时满足: 一正 二定 三相等㊂方法二: 定积 与 拼凑定积 求和的最值例2 若a >-3,则a 2+6a +13a +3的最小值为㊂解:对a 2+6a +13a +3变形拼凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >-3,所以a +3>0,4a +3>0㊂由基本不等式得a 2+6a +13a +3=(a +3)2+4a +3=(a +3)+4a +3ȡ2(a +3)㊃4a +3=4,当且仅当a +3=4a +3即a =-1时等号成立㊂故a 2+6a +13a +3的最小值为4㊂解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 和定积动,积定和动 来求解㊂方法三: 和积化归 构建不等式求最值例3 已知x >0,y >0,且x +y +x y =3,若不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:由基本不等式得(x +y )m i n =2,构建m 2-m ɤ(x +y )m i n ,再解不等式即可㊂由3-(x +y )=x y ɤ(x +y )24,当且仅当x =y =1时等号成立,解得x +y ȡ2或x +y ɤ-6(舍去),则(x +y )m i n =2㊂因为不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,所以m 2-m ɤ(x +y )m i n ,即m 2-m ɤ2,解得-1ɤm ɤ2㊂解后反思:根据和与积的关系式,结合基本不等式可以求出积或和的最值,这就是 和积化归法㊂方法四: 化1 与 拼凑化1 求最值例4 已知a ,b 均为正数,且1a +1+2b -2=12,则2a +b 的最小值为㊂解:确定b >2,由题设变换得2a +b =2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2,展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂当b ɪ(0,2)时,2b -2<-1,而1a +1<1,则1a +1+2b -2<0,不符合题意,故b >2㊂2a +b =2(a +1)+(b -2)=2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2=8㊃a +1b -2+2㊃b -2a +1+8ȡ216㊃a +1b -2㊃b -2a +1+8=16,当且仅当8㊃a +1b -2=2㊃b -2a +1,即a =3,b =10时等号成立㊂故2a +b 的最小值为16㊂解后反思: 化1 或 拼凑化1 求最值的关键是基本不等式的灵活应用㊂方法五:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)的合理应用例5 已知a >0,b >0,若a +b =4,51知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则( )㊂A .a 2+b 2有最小值4B .a b 有最大值2C .1a +1b 有最大值1D .1a +b 有最小值24解:已知a >0,b >0,则21a +1b ɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b22,当且仅当a =b 时取等号㊂a 2+b 2ȡ(a +b )22=8,A 错误㊂由4=a +b ȡ2a b ,可得a b ɤ4,B 错误㊂1a +1b ȡ4a +b =1,C 错误㊂1a +b ȡ12a +b 2=122=24,当且仅当a =b =2时取等号,D 正确㊂应选D ㊂解后反思:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)分别为调和平均数㊁几何平均数㊁代数平均数㊁平方平均数㊂方法六:复杂分式构造法凑定值例6 已知a >b ,不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,且∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,则a 2+b2a -b的最小值为㊂解:由不等式恒成立和∃x 0ɪR 使得方程成立可得a b =1,将a 2+b2a -b化成a -b +2a -b 求最值㊂因为不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,所以a >0,4-4a b ɤ0㊂因为∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,所以4-4a b ȡ0㊂据上可得,4-4a b =0,所以a >0,b >0,a b =1㊂故a 2+b 2a -b =(a -b )2+2a ba -b=a -b +2a -b ȡ22,当且仅当a -b =2a -b 时取等号㊂故所求的最小值为22㊂解后反思:复杂分式构造法凑定值,其目的是构造和式的积为定值,再利用基本不等式求最值㊂方法七:反解代入消元法凑积为定值例7 设b >0,a b +b =1,则a 2b 的最小值为㊂解:已知等式转化为b =1a +1,再通过常数分离得到a b 2=(a +1)+1a +1-2求最值㊂已知b >0,a b +b =1,所以b =1a +1,a +1>0,所以a 2b =a 2a +1=(a +1-1)2a +1=a +1+1a +1-2ȡ2(a +1)㊃1a +1-2=0,当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立㊂故a 2b 的最小值为0㊂解后反思:借助反解代入消元,重新构造积为定值,这是求解最值的通法㊂方法八:两次使用基本不等式求最值例8 已知x ,y 都为正实数,则4(x y +1)x +x 2y的最小值为㊂解:4(x y +1)x +x 2y=4y +4x +x 2y ㊂因为x ,y 都为正实数,所以4y +x 2yȡ24x 2=4x ,当且仅当4y 2=x 2,即2y =x 时等号成立㊂所以4y +4x +x 2yȡ4x +4x ȡ216=8,当且仅当4x =4x,即x =1时等号成立㊂综上所述,当x =1,y =12时,4(x y +1)x +x 2y取得最小值为8㊂解后反思:两次使用不等式求最值,既要注意多次取等号时成立的条件,也要注意两次使用不等式后能 约分凑出定值㊂作者单位:江苏省丹阳高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基本不等式求最值的思维方法
ʏ吴春艳从近几年高考试题看,基本不等式主要应用在求最值及证明方面㊂下面将对基本不等式求最值的思维方法进行归纳提炼,期望大家通过练习㊁感悟,提升对基本不等式的应用能力㊂方法1: 拼凑法凑积或和为定值 用基本不等式求最值例1 (1)若实数x ,y 满足2x 2+x y -y 2=1,则5x 2-2x y +2y 2的最小值为㊂(2)已知0<x <1,则x (4-3x )取得最大值时x 的值为㊂解:(1)拼凑积为定值,运用a 2+b 2ȡ2a b(a ,b ɪR )求最值㊂由2x 2+x y -y 2=1,可得(2x -y )(x +y )=1,则5x 2-2x y +2y 2=4x 2-4x y +y 2+x 2+2x y +y 2=(2x -y )2+(x +y )2ȡ2(2x -y )(x +y )=2,当且仅当x =23,y =13时等号成立㊂故5x 2-2x y +2y 2的最小值为2㊂(2)拼凑和为定值,运用a +b ȡ2a b(a ,b ɪR +)求最值㊂x (4-3x )=13(3x )(4-3x )ɤ133x +4-3x 2()2=43,当且仅当3x =4-3x ,即x =23时取等号㊂故所求x 的值为23㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数㊁凑常数是求解的关键㊂方法2: 常数代换法凑积为定值 用基本不等式求最值例2 (1)已知x ,y 均为正数,若2x+6y=1,则当3x +y 取得最小值时,x +y 的值为( )㊂A.16 B .4C .24D .12(2)若a >b >0,a +b =4,则4a +4b+12a -b的最小值为( )㊂A.14B .34C .18D .38解:(1)由 1的整体代入展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为2x +6y=1,所以3x +y =(3x +y )2x +6y()=6+18x y +2y x +6ȡ12+218x y ㊃2y x =24,当且仅当18x y =2y x ,即y =3x 时取等号㊂又因为2x +6y=1,所以x =4,y =12,这时x +y =16㊂应选A ㊂(2)由(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,整体代换展开凑定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >b >0,a +b =4,所以(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,a +4b >0,2a -b >0,所以4a +4b +12a -b =112ˑ4a +4b +12a -b ()[(a +4b )+(2a -b )]=112ˑ4+4(2a -b )a +4b +a +4b 2a -b +1[]ȡ112(5+4)=34,当且仅当a =2b =83时取等号㊂故4a +4b +12a -b 的最小值为34㊂应选B ㊂81 知识结构与拓展 高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.感悟:灵活运用 1的整体代换是解答本题的关键㊂当条件等式和所求式子之间变量系数 不一致 时,可直观凑配或者分母换元化归 1 的整体代换,如本题(2)中依据目标4a +4b +12a -b 对条件变形为(a +4b )+(2a -b )=3(a +b )=12,利用整体代入展开凑积为定值,再求最小值㊂方法3: 反解代入消元法凑积为定值 用基本不等式求最值例3 (1)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3x y +4y 2-z =0,则当z x y 取得最大值时,x +2y -z 的最大值为( )㊂A.0 B .98C .2D .94(2)已知正数a ,b 满足1a +1b=2,则3b +1-a 的最大值为㊂解:条件和结论之间无法沟通时,采用反解代入法凑积为定值,再求最大值㊂(1)因为z x y =x 2-3x y +4y 2x y =xy+4y x -3ɤ2x y ㊃4y x-3=1,当且仅当x =2y时取等号,所以z =4y 2-6y 2+4y 2=2y 2,所以x +2y -z =4y -2y 2=-2(y -1)2+2ɤ2㊂应选C ㊂(2)由1a +1b =2,可得b =a2a -1㊂由a >0,b >0,可得a >12㊂所以3b +1-a =3a2a -1+1-a =3(2a -1)3a -1-a =2-13a -1+3a -13()-13=53-13a -1+3a -13()㊂而13a -1+3a -13ȡ213a -1㊃3a -13=233,当且仅当13a -1=3a -13,即a =1+33时取等号,所以53-13a -1+3a -13()ɤ53-233=5-233,所以3b +1-a 的最大值为5-233㊂感悟:多元满足的条件等式和所求等式之间互化难以实现时,可以借助反解代入消元,再重新构造结构式凑积为定值,然后求最值,这是求解最值的通法㊂方法4: 利用不等式构建不等式 求最值例4 (1)已知正实数x ,y 满足(x +4)㊃(y +1)=9,则x y 的最大值等于()㊂A.0B .5C .1D .2(2)已知a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=4,则a 的最大值为( )㊂A.1 B .223C .233D .263解:注意题设中两变量的和与积的形式,借助基本不等式构建不等式求最值㊂(1)正实数x ,y 满足(x +4)(y +1)=9,即x y +x +4y =5,所以5=x y +x +4y ȡx y +2x ㊃4y =x y +4x y ,所以x y +4x y ɤ5(当且仅当x =4y 时取等号),所以-5ɤx y ɤ1,即0ɤx y ɤ1㊂故x y 的最大值为1㊂应选C ㊂(2)由a +b +c =0,a 2+b 2+c 2=4,可得b +c =-a ,b 2+c 2=4-a 2㊂因为b 2+c 22ȡb +c 2()2,所以4-a 22ȡ-a 2()2,解得-263ɤa ɤ263,即a 的最大值为263㊂应选D ㊂感悟:灵活借助基本不等式a 2+b 2ȡ2a b(a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),a 2+b 22ȡa +b2()2(a ,b ɪR ),构造不等式求解,这是求解最值的一条简捷的途径㊂作者单位:河南省商丘市回民中学(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基本不等式求最值的策略
2x + 3 - 2x ⎫ ∈ 0, ⎪ 时等号成立.例谈用基本不等式求最值的四大策略摘要基本不等式 a + b 2≥ ab （ a > 0, b > 0 当且仅当 a = b 时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。
从本质上 看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、 和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题 的强有力工具。
本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略一、基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果 a > 0, b > 0 ，则 a + b 2≥ ab ，当且仅当 a = b 时等号成立。
在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”： a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和 a + b 是定值时，积 ab 有最大值；当两正数的积 ab 是 定值时，和 a + b 有最小值。
“三相等”： a = b 是 a + b 2= ab 的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。
二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的 式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一 配凑系数例 1 设 0 < x < 3 2 ，求函数 y = 4x (3 - 2x ) 的最大值。
分析：因为 4x + (3 - 2x ) = 3 + 2x 不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。
但凑系数将 4 x 拆为 2 ⋅ 2x 后可得到和 2x + (3 - 2x ) = 3 为定值，从而可 利用基本不等式求其最大值。
解：因为 0 < x < 3 2，所以 3 - 2x > 0故 y = 4x (3 - 2x ) = 2 ⋅ 2x (3 - 2x ) ≤ 2⎛ ⎝2 ⎭ 2⎪ =9 2当且仅当 2x = 3 - 2x , 即 x =3 4⎝ 2 ⎭所以原式的最大值为9.2= - 5 - 4x + ⎪ + 3 ≤ -2 + 3 = 1a 2+ +b (a 2 - ab ) ⋅ 2 - a 2 + + a 2- ab + ab + +题型二 配凑项1 配凑常数项例 2 已知 x < 5 4 ，求函数 y = 4x - 2 + 1 4x - 5 的最大值。
运用基本不等式求最值需注意的两个问题
基本不等式a +b 2≥ab (a ,b ∈R +)是高中数学中的重点知识，其应用范围较广,尤其在求最值时,运用基本不等式能使问题快速获解.而在运用基本不等式求最值时，我们需要注意以下两个问题.一、把握应用基本不等式的条件运用基本不等式求最值需把握三个条件：一正、二定、三相等.“一正”是指两个数或两个式子都是大于0的；“二定”是指两个数或两个式子的积或和为定值；“三相等”指在两个数或两个式子相等时不等式可取等号.运用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.例1.求函数y =x 2+1x 2+2的最值.解析：很多同学在解题时会直接利用基本不等式进行求解：y =x 2+2+1x 2+2-2≥2-2=0.出错的原因在于，忽略了“三相等”这一条件，很显然x 2+2≠1x 2+2，导致得到错误的答案.解答本题，我们需通过换元，令t =x 2+2(t ≥2),则y =t +1t-2,根据对勾函数y =t +1t -2在[2,+∞)上为增函数，得出y =x 2+1x 2+2的值域为[12,+∞).很多同学在运用基本不等式时往往会注意到“一正”“二定”两个条件，却忽略“三相等”这个条件.大家在解题时要警惕，避免出现这样的错误.二、灵活运用配凑技巧运用基本不等式求最值，关键是配凑出两式的和或积的定值.如何配凑呢？常见的配凑技巧有拆项、裂项、添项等，下面我们结合实例来说明.1.拆项在拆项时，我们要学会将某些项拆为两项之和、差、积的形式，以便配凑出两式的和或积.常见的拆项形式有：a +b =a 2+a 2+b 、x 2+m x =x +m x 等.例2.当x >0时，试求y =16x +9x2的最小值.分析：可将目标式中的16x 拆为8x +8x ，这样便构造出三项8x 、8x 、9x2积的定值，便可利用基本不等式求得最值.解:因为x >0,所以y =8x +8x +9x 2≥=1293,当且仅当8x =9x 2，即x =时，y 的最小值为1293.2.裂项裂项是指将某一项分裂为两项、三项之和或者差的形式，然后将各式重新组合，配凑出两式的和或积，运用基本不等式求得最值.裂项常用于求分式的最值.例3.已知x >-1,求函数y =x 2+7x +10x +1的最小值.分析：要运用基本不等式求得y 的最小值，需先将函数式中的分式裂项，配凑出分母x +1，才可利用基本不等式求得最值.解：∵x >-1,∴y =x 2+7x +10x +1=[]()x +1+4[]()x +1+1x +1=()x +1+4x +1+5≥+5=9,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时，等号成立,∴y 的最小值为9.3.添项添项，即通过恒等变换，在代数式中添加某些项，从而配凑出两式的和或者积.常见的添项形式有：a +1a +m =()a +m +1a +m-m 、a =a -b +b 等.例4.已知a >1,b >1,且ab -()a +b =1，求a +b 的最小值.分析：因为ab -()a +b =1，所以()a -1()b -1=2，将其与目标式对比可发现，只需通过添项，构造出a -1、b -1，便可运用基本不等式求得问题的答案.解:a +b =()a -1+()b -1+2≥2()a -1()b -1+2=22+2，当且仅当a -1=b -1，即a =b =1+2时，等号成立，因此a +b 的最小值为22+2.虽然，基本不等式法是一种常用的解题方法，也是大家比较熟悉的方法，但是同学们在解题时一定要注意这两个问题，只有把握了应用基本不等式的条件，学会灵活运用配凑的技巧，才能顺利求得问题的答案.（作者单位：江苏省海门证大中学）思路探寻49。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧在运用基本不等式ab b a 222≥+与2ba ab +≤或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数【例1】已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 【分析】按照“和定积最大”的思路，由于)23(x x -+不是定值，所以应把x 配出系数2成为x 2，使得3)23(2=-+x x 为定值.【解】由于230<<x ，所以023>-x ,从而 89)2232(21)]23(2[21)23(2=-+⨯≤-=-=x x x x x x y ，当且仅当)23(2x x -=即43=x 时，89max =y .说明:这里运用了2)2(b a ab +≤.2:添加项 【例2】已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，由于322-⨯x x 不是定值，所以应把x 变凑成23)32(21+-x ,使得1322)32(21=-⨯-x x 为定值. 【解】由于23>x ,所以032>-x ,于是2723322)32(21223322)32(21322=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y ,当且仅当322)32(21-=-x x 即25=x 时，27min =y . 3:分拆项【例3】已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值.【分析】按照“积定和最小”的思路，必须把2632-+-=x x x y 分拆成两项,再配凑适当的系数,使得其积为定值.【解】由于2>x ,所以,3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-⨯-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当242-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+⨯≥++=+⨯+=+xy y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即21,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac ydx c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求zy x 941++的最小值. 【解】注意到yz z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++⨯++=++ 36492924214=⨯+⨯+⨯+≥yzz y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即21,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x .5:换元【例6】已知c b a >>,求cb ca b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x y y x =即b c a 2=+时，cb ca b a c a w --+--=取到最小值是4.说明:换元的目的是为了简单化与熟悉化,如果利用整体思想也可以不换元. 【例7】已知1->x ,求8512+++=x x x y 的最大值. 【解】设t x =+1,则0>t ,7134213418)1(5)1(2=+≤++=+-+-=tt t t ty ,当且仅当t t 4=即1,2==x t 时，71max =y . 说明:这里如果不换元,则运算不是很方便. 6:利用对称性【例8】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值. 【分析】由于条件式1=++z y x 与结论式121212+++++z y x 都是关于正数z y x ,,轮换对称的,故最大值必然是当31===z y x 时取到,这时35121212=+=+=+z y x ,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式b a ab +≤2得351235)12(2++≤⨯+x x , 351235)12(2++≤⨯+y y ,351235)12(2++≤⨯+z z ,以上三式同向相加得1053)(235)121212(2=++++≤+++++z y x z y x ,所以化简得15121212≤+++++z y x ,所以当且仅当31===z y x 时121212+++++z y x 取到最大值15.一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路. 7:直接运用化为其它【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围. 【分析】由于条件式3++=b a ab 含有b a ab +,,它们都在2ba ab +≤式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.【解】利用基本不等式b a ab +≤2得323+≥++=ab b a ab ,令ab t =,则得0322≥--t t ,所以0)1)(3(≥+-t t ,由于0>t ,所以3≥t 即9≥ab ,故ab 的取值范围是),9[+∞.。
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基本不等式求最值的策略
例谈用基本不等式求最值的四大策略
摘要
基本不等式-__b v^ab ( a 0,b 0当且仅当a b 时等号成立)是高中必
2
修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。
从本质上 看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、 和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题 的强有力工具。
本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
关键字：基本不等式求和与积的最值策略
基本不等式的基础知识[1] 基本不等式：
如果a 0,b
0，则，当且仅当a b 时等号成立。
2
在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：
“一正”：a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和a b 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定 值时，和a b 有最小值。
“三相等” ：a b 是U VOb 的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要
2
注意等号成立的条件是否一致。
二、 利用基本不等式求最值的四大策略
策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构
通过简单的配凑(凑系数或凑项)后，使原本与基本不等式结构不一致的 式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一配凑系数
3
例1设0 x —,求函数y
2
3
0,-时等号成立.
2 q
所以原式的最大值为-
2
4x(3 2x)的最大值。
分析：因为4x (3 2x) 3 2x 不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式
求解。
但凑系数将4x 拆为2
2x 后可得到和2x (3
2x) 3为定值，从而可利用
基本不等式求其最大值。
3
3
，所以3 2
解：因为0 x 2x
故 y 4x(3
2x) 2 2x(3 2x)
2
2x 3 2x 2 -
当且仅当2x 3 2x,即x
ab-— = \, a(a-b)-— ----- = 1 即(/一亦)• ab a(a-b) _ab
两项°
所以ab > 0, — > 0,故血+丄
cib ab
而 a(a-b)>09
题型二配凑项 1配凑常数项
已知V ，求函数尸4-2 +去的最大值。
[2] 分析: 因心V 。
，所以首先要“调整”符号。
另外，尸（42）占又不是 所以对4—2要进行拆、凑项。
解：因为x< —,所以5 — 4x > 0 4 常数, 所以(5-4x) + —!—>2 5-4x 1
所以尹=4x - 2 + ----- = - 5 — 4x +
4x-5
5 — 4兀丿
+ 3<-2 + 3 =
1 当且仅当5-4x = —即*1时，上式等号成立，故当x = l 时，y 取最大值
5 — 4兀 1. 2配凑一般项
例3 （2010年高考四川文科卷第11题）设a>b>0,则八舟+詁刁 的最
小值是（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
分析：如果要利用基本不等式来求和的最小值,
就必须出现积的定值。
考虑到
1
= 1 ,所以配凑ab^-ab 这
解:因为ci > b > 0,
=2
当且仅当ab= 1, a(a — b) = 1时等号成立, 取得最小值4. 故选择答案D
策略二遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式
题型一：配凑分子，分离分式
对于分子次数比分母高的分式不等式，可尝试先对分子进行配凑，使之出 现与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构。
x 2 2x 2
例4 求y ---------- -(X 1)的最小值。
[2]
X 1
分析：可先将分子配凑出含有X-1的项，再将其分离。
解：因为X 1,所以X 1 0
所以 X
2 2X 2
(X
1)2 1
X 1 丄 2
X 1
X 1
X 1
1
当且仅当X 1 --- 时，也就是X 2时取等号. X 1
所以y 的最小值为2.
题型二：同除分子，分离分母
对于分母次数比分子高的分式不等式， 可尝试上下同除以分子，使分母出现 互倒的结构，再用基本不等式求最值。
例5 求y
的值域.
X 9
分析：题目没有交代X 的取值范围，此题需要分类讨论。
解：当X 0时，分子分母同除以X,则
1
9 X —
X
(1)
当 X 0时，有 X 9 2、|'x 9 6
，
X If X
=ab
ab
a(a b)
a(a b)
> 2+ 2= 4
如取 a=、2 , b=
2
, 2
所以y 丄，当且仅当X 3时，等号成立
6
9 6,所以x -
x
(2)当x 0时，有 x 2j( x)—
* x
1 1
故y —- -，当且仅当x 3时，等号成立
9 6
x
x
当 X 0时，y x一 =0
X29
综上可知，y的取值范围是-,
6 6
策略三遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式
. ___ . ______ 1 5
例6求函数y先2x 1 2x(- x -)的最大值.
分析：观察式子的结构，可以看到(2x 1) (5 2x) 4是个定值，所以将式子平
方后，便可构造出可用基本不等式的结构。
解：将两y v'2x 1 <5 2x边平方，得
y2 (J2x 1 J5 2x)2 4 2j(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8
又因为y>0,所以0 y 2迈
当且仅当2x 1 5 2x，即x -时，取等号.
2
所以y的最大值是V2 .
策略四利用1的性质，合理代换后再用基本不等式
“ 1”是一个特殊的数，任何式子乘以1,式子仍不变。
所以如果题目条件给出某个式子的值为1,则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用基本不等式的形式。
例7 设xy 分析：由于
0，且1 - 1，求x y的最小值.
故可用基本不等x y
x y 2
y x
x y
1 1
x y
1 1
1，所以 x y= - 1
x y
式求最值.
解：由于1-1 ，所以 x y= 1— x y 2 _y x x y x y x y
又由于xy 0 所以x和y同号，故—
和y0，故工主
2严2 y x x y V x y
所以x y = 2 ^^ 2 2 4，
x y
当且仅当△ X，即x y 1或1时，取等号.
y x
所以，原式的最小值为2.
总结
以上四种策略，是用基本不等式解决最值问题的常用方法。
无论是配凑系数与项、分离分子与分母、平方去根号，还是利用“1”整体代换，其目的只有
一个，那就是构造出和为定值或者是积为定值的两项，然后才可用基本不等式。
构造可用基本不等式的结构，是解决此类最值问题的根本所在。
参考文献
[1]人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5A版2004.5第一
版第五章
[2]童其林；毛金才;应用基本不等式求最值的八种变换技巧[J];新高考（语文数学英语）；2010年02期
[3]段军长;均值不等式的应用[J];数理化解题研究；2012年第5期。