立体几何之垂直问题知识点及题型总结 拔高教师版

目录立体几何之垂直问题 (2)模块一：垂直的判定与性质 (2)考点1：线面垂直的判定、性质及证明 (2)考点2：面面垂直的判定、性质及证明 (7)课后作业： (12)立体几何之垂直问题模块一：垂直的判定与性质考点1：线面垂直的判定、性质及证明例1.（1）（2019春•秦淮区期末）已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出(l β⊥ )A ．αβ⊥，n αβ=I ，1n ⊥B ．αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C ．m α⊥，m β⊥，l α⊥D ．αγ⊥，l αγ=I ，βγ⊥【解答】解：对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 对于C ，可确定//αβ，则l β⊥，故正确；对于D ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 故选：C ．线面垂直与面面垂直线面垂直：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．点面距离：如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推 论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直面面垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平 面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 线面垂直面面垂直定义定理定理定义（2）（2019春•漳州期中）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是( )A ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【解答】解：对于A ，若m α⊥，n α⊂，根据线面垂直的性质可得m n ⊥；故正确； 对于B ，若//m α，//n α，则m 与n 可能相交、平行或者异面；故错误； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故错误；对于D ，若//m α，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故错误． 故选：A ．例2.（1）（2018秋•唐山期末）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误； 在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误； 在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确． 故选：B ．（2）（2019春•浉河区校级月考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===若11AC BC ⊥，则1(BC = )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连结1AC ，1AC AA =Q ， ∴直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 为正方形，11AC AC ∴⊥，11AC BC ⊥Q ，111AC BC C =I ， 1A C ∴⊥平面1ABC ，1AC AB ∴⊥， 1AB AA ⊥Q ，111A C AA A =I ，AB ∴⊥侧面11ACC A ，1AB AC ∴⊥，故选：C ．（3）（2018秋•兴庆区校级期末）如图，AB 是O e 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】证明：AB Q 是圆O 的直径90ACB ∴∠=︒即BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形又PA ⊥Q 圆O 所在平面，PAC ∴∆，PAB ∆是直角三角形．且BC 在这个平面内，PA BC ∴⊥ 因此BC 垂直于平面PAC 中两条相交直线，BC ∴⊥平面PAC ， PBC ∴∆是直角三角形．从而PAB ∆，PAC ∆，ABC ∆，PBC ∆中，直角三角形的个数是：4． 故选：A ．（4）（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．例3.（2019春•攀枝花期末）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，//DE AF ，//AD BC ，AB CD =，60ABC ∠=︒，22BC AD ==． （Ⅰ）请在图中作出平面DEG ，使得//BF 平面DEG ，并说明理由； （Ⅱ）证明：AC ⊥平面ABF ．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC 中点G ，连接DG ，EG ，则平面DEG 即为所求．22BC AD ==Q ，//AD BC ， //AD BG ∴且AD BG =．∴四边形ABGD 是平行四边形，则//AB DG ．AB ⊂/Q 平面DEG ，DG ⊂平面DEG ． //AB ∴平面DEG ．//AF DE Q ，AF ⊂/平面DEG ，DE ⊂平面DEG ，//AF ∴平面DEG ．AF ⊂Q 平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，且AB AF A =I ．∴平面//ABF 平面DEG ．BF ⊂Q 平面ABF ，//BF ∴平面DEG ．（Ⅱ）由（Ⅰ）四边形ABGD 是平行四边形，则AB DG =，60DGC ABC ∠=∠=︒AB CD =Q ，CDG ∴∆是边长为1的正三角形． 1AD =Q ，120ADC ∠=︒，30ACD CAD ACB ∴∠=∠=∠=︒． 90BAC ∴∠=︒，即AC AB ⊥．AF ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ． AC AF ∴⊥AF ⊂Q 平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，AB AF A =I ． AC ∴⊥平面ABF ．考点2：面面垂直的判定、性质及证明例4.（1）（2019•衡阳三模）如图，在四面体ABCD 中，AD BD ⊥，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( ) A ．平面BDC ⊥平面ADC B ．//AC 平面PQMN C ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDC【解答】解：由//PQ MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊂/平面ADC ，得//PQ 平面ADC ， 又PQ ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面ADC AC =，//PQ AC ∴，同理，//QM BD ，//PQ AC ，//QM BD ，PQ OM ⊥，AC BD ∴⊥，又BD AD ⊥，BD ∴⊥平面ADC ，∴平面BDC ⊥平面ADC ，平面ABD ⊥平面ADC ，A ∴和C 选项均正确； 由//PQ AC ，得//AC 平面PQMN ，B ∴选项正确；Q 不能得到AD DC ⊥或AD BC ⊥，∴不能得到AD ⊥平面BDC ，故选项D 不一定正确．故选：D ．（2）（2018秋•潍坊期末）四面体PABC 中，PA PB PC ==，底面ABC ∆为等腰直角三角形，AC BC =，O 为AB 中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面 ．（只填序号） ①平面PAB ②平面ABC ③平面PAC ④平面PBC ⑤平面POC【解答】解：Q 四面体PABC 中，PA PB PC ==， 底面ABC ∆为等腰直角三角形，AC BC =，O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，PO AB ⊥，CO PO O =I ，AB ∴⊥平面POC ， AB ⊂Q 平面ABC ，∴平面POC ⊥平面ABC ， ∴两个相互垂直的平面为②⑤．故答案为：②⑤．（3）（2019春•雁峰区校级期末）如图，在三棱锥DABC 中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的有 （写出全部正确命题的序号）． ①平面ABC ⊥平面ABD ； ②平面ABD ⊥平面BCD ；③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE ．【解答】解：因为AB CB =，且E 是AC 的中点，所以BE AC ⊥，同理有DE AC ⊥，于是AC ⊥平面BDE ．因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE ．又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，故答案为③．例5.（2019春•海安县校级期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为11A B ，11B C 的中点，点F 在侧棱1BB 上，且BD AF ⊥，AC AB ⊥．求证：（1）直线//DE 平面ACF ； （2）平面BDE ⊥平面ACF ．【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 在三角形111A B C 中，D ，E 分别为1A 1B ，11B C 的中点，所以11//DE AC ，于是//DE AC ，又因为DE ⊂/平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， 所以直线//DE 平面ACF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，又因为AC AB ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AB AA A =I ， 所以AC ⊥平面11ABB A ．因为BD ⊂平面11ABB A ，所以AC BD ⊥．又因为BD AF ⊥，AC ⊂平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A =I ， 所以BD ⊥平面ACF ．因为直线BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACF ．例6.（2019春•普宁市期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）//PA 平面BEF ； （2）平面BEF ⊥平面PCD ．【解答】证明：（1）连接AC ，交BE 于H ，可得四边形ABCE 为平行四边形， 且H 为AC 的中点，可得FH 为PAC ∆的中位线，可得//PA FH ，PA ⊂/平面BFE ，FH ⊂面BFE ，可得//PA 面BFE ；（2）平面PAD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，可得AB ⊥平面PAD ， 即有AB PD ⊥，//AB CD ，可得CD PD ⊥， 由//EF PD ，由AB AD ⊥，2CD AB =，可得四边形ABED 为矩形，即有CD BE ⊥， 又CD PD ⊥，//FE PD ，可得CD FE ⊥，即有CD ⊥平面BFE ， 而CD ⊂平面PCD ，则平面BEF ⊥平面PCD ．例7.（2019春•宣城期末）如图，矩形ABCD 中，2AB BC =，以BD 为折痕把BDC ∆折起，使点C 到达点P 的位置．（1）若1BC =，求三棱锥P ABD -体积的最大值； （2）若PA PB ⊥，证明：平面PAB ⊥平面ABD ；【解答】解：（1）过P 作PO BD ⊥于O ，则PO BD PB PD =g g ，当PO ⊥平面ABD 时，三棱锥P ABD -体积最大， ∴三棱锥P ABD -体积的最大值为：（2）在PBD ∆中，PD PB ⊥， 又PA PB ⊥，PA PB P =I ，PA ，PD ⊂平面PAD ， PB ∴⊥平面PAD ，PB AD ⊥Q ，又AB AD ⊥，AB PB B =I ， AD ∴⊥平面PAB ，又AD ⊂平面ABD ，∴平面PAB ⊥平面ABD ．例8.（2019春•禅城区校级月考）如图，在三棱锥中，点E 、F 分别为AC 、AD 的中点． （1）求证：//EF 平面BCD ； （2）求证：平面EFB ⊥平面ABD ．【解答】证明：（1）在ACD ∆中，A Q ，F 是AC ，AD 的中点，//EF CD ∴，EF ⊂/Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， //EF ∴平面BCD ．（2）在ACD ∆中，AD CD ⊥，//EF CD ，EF AD ∴⊥，Q 在ABD ∆中，BA BD =，F 为AD 的中点，BF AD ∴⊥，EF ⊂Q 平面EFB ，BF ⊂平面EFB ，且EF BF F =I ， AD ∴⊥平面EFB ，AD ⊂Q 平面ABD ，∴平面EFB ⊥平面ABD ．课后作业：1.（2019春•秦淮区期末）已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出(l β⊥ )A ．αβ⊥，n αβ=I ，1n ⊥B ．αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C ．m α⊥，m β⊥，l α⊥D ．αγ⊥，l αγ=I ，βγ⊥【解答】解：对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 对于C ，可确定//αβ，则l β⊥，故正确；对于D ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 故选：C ．2.（2018秋•唐山期末）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误； 在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误； 在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确． 故选：B ．3.（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．4.（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．5.（2019春•海安县校级期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为11A B ，11B C 的中点，点F 在侧棱1BB 上，且BD AF ⊥，AC AB ⊥．求证：（1）直线//DE 平面ACF ； （2）平面BDE ⊥平面ACF ．【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 在三角形111A B C 中，D ，E 分别为1A 1B ，11B C 的中点，所以11//DE AC ，于是//DE AC ，又因为DE ⊂/平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， 所以直线//DE 平面ACF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，又因为AC AB ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AB AA A =I ， 所以AC ⊥平面11ABB A ．因为BD ⊂平面11ABB A ，所以AC BD ⊥．又因为BD AF ⊥，AC ⊂平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A =I ， 所以BD ⊥平面ACF ．因为直线BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACF ．。