立体几何之垂直问题知识点及题型总结 拔高教师版
目录立体几何之垂直问题 (2)模块一：垂直的判定与性质 (2)考点1：线面垂直的判定、性质及证明 (2)考点2：面面垂直的判定、性质及证明 (7)课后作业： (12)立体几何之垂直问题模块一：垂直的判定与性质考点1：线面垂直的判定、性质及证明例1.（1）（2019春•秦淮区期末）已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出(l β⊥ )A ．αβ⊥，n αβ=I ，1n ⊥B ．αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C ．m α⊥，m β⊥，l α⊥D ．αγ⊥，l αγ=I ，βγ⊥【解答】解：对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 对于C ，可确定//αβ，则l β⊥，故正确；对于D ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 故选：C ．线面垂直与面面垂直线面垂直：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．点面距离：如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推 论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直面面垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平 面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 线面垂直面面垂直定义定理定理定义（2）（2019春•漳州期中）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是( )A ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【解答】解：对于A ，若m α⊥，n α⊂，根据线面垂直的性质可得m n ⊥；故正确； 对于B ，若//m α，//n α，则m 与n 可能相交、平行或者异面；故错误； 对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故错误；对于D ，若//m α，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故错误． 故选：A ．例2.（1）（2018秋•唐山期末）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误； 在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误； 在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确． 故选：B ．（2）（2019春•浉河区校级月考）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===若11AC BC ⊥，则1(BC = )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，连结1AC ，1AC AA =Q ， ∴直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 为正方形，11AC AC ∴⊥，11AC BC ⊥Q ，111AC BC C =I ， 1A C ∴⊥平面1ABC ，1AC AB ∴⊥， 1AB AA ⊥Q ，111A C AA A =I ，AB ∴⊥侧面11ACC A ，1AB AC ∴⊥，故选：C ．（3）（2018秋•兴庆区校级期末）如图，AB 是O e 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】证明：AB Q 是圆O 的直径90ACB ∴∠=︒即BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形又PA ⊥Q 圆O 所在平面，PAC ∴∆，PAB ∆是直角三角形．且BC 在这个平面内，PA BC ∴⊥ 因此BC 垂直于平面PAC 中两条相交直线，BC ∴⊥平面PAC ， PBC ∴∆是直角三角形．从而PAB ∆，PAC ∆，ABC ∆，PBC ∆中，直角三角形的个数是：4． 故选：A ．（4）（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．例3.（2019春•攀枝花期末）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，//DE AF ，//AD BC ，AB CD =，60ABC ∠=︒，22BC AD ==． （Ⅰ）请在图中作出平面DEG ，使得//BF 平面DEG ，并说明理由； （Ⅱ）证明：AC ⊥平面ABF ．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC 中点G ，连接DG ，EG ，则平面DEG 即为所求．22BC AD ==Q ，//AD BC ， //AD BG ∴且AD BG =．∴四边形ABGD 是平行四边形，则//AB DG ．AB ⊂/Q 平面DEG ，DG ⊂平面DEG ． //AB ∴平面DEG ．//AF DE Q ，AF ⊂/平面DEG ，DE ⊂平面DEG ，//AF ∴平面DEG ．AF ⊂Q 平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，且AB AF A =I ．∴平面//ABF 平面DEG ．BF ⊂Q 平面ABF ，//BF ∴平面DEG ．（Ⅱ）由（Ⅰ）四边形ABGD 是平行四边形，则AB DG =，60DGC ABC ∠=∠=︒AB CD =Q ，CDG ∴∆是边长为1的正三角形． 1AD =Q ，120ADC ∠=︒，30ACD CAD ACB ∴∠=∠=∠=︒． 90BAC ∴∠=︒，即AC AB ⊥．AF ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ． AC AF ∴⊥AF ⊂Q 平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，AB AF A =I ． AC ∴⊥平面ABF ．考点2：面面垂直的判定、性质及证明例4.（1）（2019•衡阳三模）如图，在四面体ABCD 中，AD BD ⊥，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( ) A ．平面BDC ⊥平面ADC B ．//AC 平面PQMN C ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDC【解答】解：由//PQ MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊂/平面ADC ，得//PQ 平面ADC ， 又PQ ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面ADC AC =，//PQ AC ∴，同理，//QM BD ，//PQ AC ，//QM BD ，PQ OM ⊥，AC BD ∴⊥，又BD AD ⊥，BD ∴⊥平面ADC ，∴平面BDC ⊥平面ADC ，平面ABD ⊥平面ADC ，A ∴和C 选项均正确； 由//PQ AC ，得//AC 平面PQMN ，B ∴选项正确；Q 不能得到AD DC ⊥或AD BC ⊥，∴不能得到AD ⊥平面BDC ，故选项D 不一定正确．故选：D ．（2）（2018秋•潍坊期末）四面体PABC 中，PA PB PC ==，底面ABC ∆为等腰直角三角形，AC BC =，O 为AB 中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面 ．（只填序号） ①平面PAB ②平面ABC ③平面PAC ④平面PBC ⑤平面POC【解答】解：Q 四面体PABC 中，PA PB PC ==， 底面ABC ∆为等腰直角三角形，AC BC =，O 为AB 中点，CO AB ∴⊥，PO AB ⊥，CO PO O =I ，AB ∴⊥平面POC ， AB ⊂Q 平面ABC ，∴平面POC ⊥平面ABC ， ∴两个相互垂直的平面为②⑤．故答案为：②⑤．（3）（2019春•雁峰区校级期末）如图，在三棱锥DABC 中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的有 （写出全部正确命题的序号）． ①平面ABC ⊥平面ABD ； ②平面ABD ⊥平面BCD ；③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE ．【解答】解：因为AB CB =，且E 是AC 的中点，所以BE AC ⊥，同理有DE AC ⊥，于是AC ⊥平面BDE ．因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE ．又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，故答案为③．例5.（2019春•海安县校级期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为11A B ，11B C 的中点，点F 在侧棱1BB 上，且BD AF ⊥，AC AB ⊥．求证：（1）直线//DE 平面ACF ； （2）平面BDE ⊥平面ACF ．【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 在三角形111A B C 中，D ，E 分别为1A 1B ，11B C 的中点，所以11//DE AC ，于是//DE AC ，又因为DE ⊂/平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， 所以直线//DE 平面ACF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，又因为AC AB ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AB AA A =I ， 所以AC ⊥平面11ABB A ．因为BD ⊂平面11ABB A ，所以AC BD ⊥．又因为BD AF ⊥，AC ⊂平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A =I ， 所以BD ⊥平面ACF ．因为直线BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACF ．例6.（2019春•普宁市期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：（1）//PA 平面BEF ； （2）平面BEF ⊥平面PCD ．【解答】证明：（1）连接AC ，交BE 于H ，可得四边形ABCE 为平行四边形， 且H 为AC 的中点，可得FH 为PAC ∆的中位线，可得//PA FH ，PA ⊂/平面BFE ，FH ⊂面BFE ，可得//PA 面BFE ；（2）平面PAD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，可得AB ⊥平面PAD ， 即有AB PD ⊥，//AB CD ，可得CD PD ⊥， 由//EF PD ，由AB AD ⊥，2CD AB =，可得四边形ABED 为矩形，即有CD BE ⊥， 又CD PD ⊥，//FE PD ，可得CD FE ⊥，即有CD ⊥平面BFE ， 而CD ⊂平面PCD ，则平面BEF ⊥平面PCD ．例7.（2019春•宣城期末）如图，矩形ABCD 中，2AB BC =，以BD 为折痕把BDC ∆折起，使点C 到达点P 的位置．（1）若1BC =，求三棱锥P ABD -体积的最大值； （2）若PA PB ⊥，证明：平面PAB ⊥平面ABD ；【解答】解：（1）过P 作PO BD ⊥于O ，则PO BD PB PD =g g ，当PO ⊥平面ABD 时，三棱锥P ABD -体积最大， ∴三棱锥P ABD -体积的最大值为：（2）在PBD ∆中，PD PB ⊥， 又PA PB ⊥，PA PB P =I ，PA ，PD ⊂平面PAD ， PB ∴⊥平面PAD ，PB AD ⊥Q ，又AB AD ⊥，AB PB B =I ， AD ∴⊥平面PAB ，又AD ⊂平面ABD ，∴平面PAB ⊥平面ABD ．例8.（2019春•禅城区校级月考）如图，在三棱锥中，点E 、F 分别为AC 、AD 的中点． （1）求证：//EF 平面BCD ； （2）求证：平面EFB ⊥平面ABD ．【解答】证明：（1）在ACD ∆中，A Q ，F 是AC ，AD 的中点，//EF CD ∴，EF ⊂/Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， //EF ∴平面BCD ．（2）在ACD ∆中，AD CD ⊥，//EF CD ，EF AD ∴⊥，Q 在ABD ∆中，BA BD =，F 为AD 的中点，BF AD ∴⊥，EF ⊂Q 平面EFB ，BF ⊂平面EFB ，且EF BF F =I ， AD ∴⊥平面EFB ，AD ⊂Q 平面ABD ，∴平面EFB ⊥平面ABD ．课后作业：1.（2019春•秦淮区期末）已知α，β，γ为平面，l ，m ，n 为直线，则下列哪个条件能推出(l β⊥ )A ．αβ⊥，n αβ=I ，1n ⊥B ．αγ⊥，βγ⊥，l α⊥C ．m α⊥，m β⊥，l α⊥D ．αγ⊥，l αγ=I ，βγ⊥【解答】解：对于A ，未说明l α⊂，故错误；对于B ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 对于C ，可确定//αβ，则l β⊥，故正确；对于D ，垂直同一平面的各平面的位置关系不确定，故错误； 故选：C ．2.（2018秋•唐山期末）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误； 在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误； 在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确． 故选：B ．3.（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．4.（2019春•南昌期中）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( )A ．AG EFH ⊥∆所在平面B ．AH EFH ⊥∆ 所在平面C ．HF AEF ⊥∆所在平面D ．HG AEF ⊥∆所在平面【解答】解：根据折叠前、后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，B 正确； Q 过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，A ∴不正确；AG EF ⊥Q ，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG AEF ⊥，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内， C ∴不正确；HG Q 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确．故选：B ．5.（2019春•海安县校级期中）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为11A B ，11B C 的中点，点F 在侧棱1BB 上，且BD AF ⊥，AC AB ⊥．求证：（1）直线//DE 平面ACF ； （2）平面BDE ⊥平面ACF ．【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 在三角形111A B C 中，D ，E 分别为1A 1B ，11B C 的中点，所以11//DE AC ，于是//DE AC ，又因为DE ⊂/平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， 所以直线//DE 平面ACF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，又因为AC AB ⊥，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AB AA A =I ， 所以AC ⊥平面11ABB A ．因为BD ⊂平面11ABB A ，所以AC BD ⊥．又因为BD AF ⊥，AC ⊂平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，AC AF A =I ， 所以BD ⊥平面ACF ．因为直线BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ACF ．。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结
系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线
线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得
2021到/10/1哪0 个结论，就必须满足什么条件等．
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【变式练习1】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角 边 AC 和 斜 边 AB 的 中 点 ， 沿 EF 将 △ AEF 折 起 到 △ A1EF 的 位 置 ， 连 结 A1B ， A1C. 求 证 ： (1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC.
所 以 A B C 是 等 边 三 角 形 ， B O＝ D O＝ 3，
在
矩
形
D1D
B
B
中
1
，
有
D1D DO
6 3
2，O B ＝ BP
3 ＝ 2， 6
2 所 以 D 1D O ∽ O B P， 所 以 D 1O D ＋ P O B＝ 9 0 ， 所 以 2021/10/10 P O D 1O ， 又 D 1O A C ＝ O ， 所 以 P O 平 面 D 1 A C1.2
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【解析】①中n可能在α内；②n与m可以垂 直；由线面垂直与面面垂直知③④是正确 的. 答案：③④ 选题感悟：本题呈现的是空间中的线线、 线面、面面之间的位置关系，能有效的考 查考生的空间想象能力和推理能力．
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3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝ ∠ ACD ＝ 90° ， ∠ BAC ＝ ∠ CAD ＝ 60° ， PA⊥ 平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2. (1)求四棱锥P－ABCD的体积V； (2)若F为PC的中点， 求证：PC⊥平面AEF； (3)求证：CE∥平面PAB.
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立体几何垂直方法
立体几何垂直方法立体几何是几何学的一个分支，主要研究三维空间中的图形及其性质。
垂直是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个线段、两个向量、两个平面、两个直线或两个图形之间的关系。
下面我将从不同的角度介绍立体几何中的垂直方法。
1. 垂直线段的判定方法：两个线段如果互相垂直，那么它们的斜率之积为-1。
假设线段AB的斜率为k1，线段CD的斜率为k2，如果k1 * k2 = -1，则线段AB与线段CD垂直。
这个方法非常直观，即两个线段互相正交的关系。
2. 垂直向量的判定方法：向量A与向量B垂直的条件是A·B = 0，其中·表示向量的点积。
点积等于0表示两个向量夹角为90，即互相垂直。
3. 垂直平面的判定方法：如果一个平面的法向量与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面互相垂直。
法向量可以通过平面的法线方程得到，只要两个平面的法向量的点积等于0，即可判断它们垂直。
4. 垂直直线的判定方法：两个直线如果互相垂直，那么它们的斜率之积为-1。
与线段的判定方法类似，通过两条直线的斜率之积为-1，可以判断它们互相垂直。
5. 垂直图形的判定方法：对于二维图形，垂直一般指两条线段、两条直线或直线与线段之间的关系。
通过计算斜率之积可以判断它们是否互相垂直。
而对于立体几何中的三维图形，垂直的概念更加复杂，无法简单地通过斜率之积来判断，需要利用向量、平面等概念来进行分析。
总结起来，立体几何中的垂直方法主要通过斜率之积、点积、法向量等概念来进行判定。
需要根据具体的情况选择合适的方法，以确保判断的准确性。
同时，垂直是立体几何中一个基础而重要的概念，掌握好垂直方法对于解决立体几何问题至关重要。
专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
立体几何中的垂直关系
§1立体几何中的垂直关系一知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义一般地，如果直线l 与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α.直线l 称为平面α的垂线，平面α称为直线l 的垂面，它们唯一的公共点称为垂足.注意：过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.(2)判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.(3)性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.2.直线与平面所成的角一条直线l 与一个平面α相交，但是不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P 向平面α引垂线P O ，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线与这个平面所成的角.APlαO 3.半平面一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.4.二面角(1)定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.(2)表示如图1，棱为AB ，面分别为α，β的二面角记作二面角α−AB −β.有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P ，Q ，将这个二面角记作二面角P −AB−Q .图1ABOl βα图2(3)平面角如图2，在二面角α−l −β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.二面角的平面角θ的取值范围是0◦⩽θ⩽180◦.平面角是直角的二面角叫做直二面角.5.平面与平面垂直(1)定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判断定理如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么两个平面互相垂直.(3)性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.二例题精讲考点一线面垂直与面面垂直的判定定理例1.下列命题中，正确的序号是.若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； 若直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； 若直线l 不垂直于平面α，则α内没有与l 垂直的直线； 若直线l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直； 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．例2.如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：β∩γ=l ，l α，m ⊆α和m ⊥γ，那么必有()A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且mβC.mβ且l ⊥mD.αβ且α⊥γ例3.若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC例4.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中.(1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ；(2)求证：BD 1⊥平面ACB 1.AA 1D 1DB 1C 1BC例5.如图，在三棱锥P −ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC =90◦.求证：BC ⊥平面P AC .PBCA 例6.如图，在三棱锥P −ABC 中，P A =PB ，△ABC 是等边三角形，O 是AB 中点.求证：AB ⊥平面P OC .PBCA O例7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP =AB =2，BC =2√2，E ，F 分别是AD ，P C 的中点．证明：P C ⊥平面BEF.例8.如图所示，在四棱锥S −ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD.B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90◦，AC=例9.如图，三棱柱ABC−A1AA1，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC.2方法总结使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．证明线线垂直常见的方法(1)线面垂直的定义.(2)几何体本身的垂直关系.(3)等腰三角形的三线合一.(4)勾股定理逆定理.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．练1.如果一条直线垂直于一个平面内的： 三角形的两边； 梯形的两边； 圆的两条直径； 正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是.练2.如图，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面P AC.练3.如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.练4.如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．求证：平面EF C⊥平面BCD.考点二线面垂直与面面垂直的性质定理例1.给出下列说法：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3例2.已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β.有下列四个说法：αβ⇒l⊥m；α⊥β⇒l m；l m⇒α⊥β；l⊥m⇒αβ.其中正确的说法是()A. B. C. D.B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF例3.如图所示，在正方体ABCD−ABD1.例4.如图，在三棱锥P−ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面P BC.求证：BC⊥AB.例5.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=√2，等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.例6.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60◦且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥P B；(2)若E为边BC的中点，能否在棱P C上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论方法总结证明线线平行时，可以利用线面垂直的性质定理.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：练1.若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线α垂直于平面a内的一条直线b，则()A.直线α必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直练2.如图，α∩β=l，P A⊥α，P B⊥β垂足分别为A，B，a⊆α，a⊥AB.求证：a l.练3.如图，四棱锥的底面是矩形，侧面V AB⊥底面ABCD，且V B⊥平面V AD.求证：平面V BC⊥平面V AC.考点三线面角与二面角例1.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，直线AC1与平面ABB1A1所成角的正切值等于.例2.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90◦，∠BCCD=90◦，且AB=AD，则AC与平面BCD所成角的等于.例3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，求二面角B−A1C1−B1的正切值．例4.已知D，E分别是正三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.方法总结求线与面的夹角时，关键是找出或作出它们的夹角，再在三角形中进行计算.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角，证明，计算．练1.已知正四棱锥的高为3，底面对角线的长为2√6，求侧面与底面所成的二面角.练2.在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =1，AC =2，AA 1=3，∠BAC =60◦，则直线B 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为.三课后作业1.过两点与一个已知平面垂直的平面()A.有且只有一个B.有无数个C.有且只有一个或无数个D.可能不存在2.对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A.m ⊥n ，m α，nβB.m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊆αC.mn ，n ⊥β，m ⊆αD.mn ，m ⊥α，n ⊥β3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点P ∈l 给出下面四个结论：过P 与l 垂直的直线在α内； 过P 与β垂直的直线在α内； 过P 与l 垂直的直线必与α垂直； 过P 与β垂直的平面必与l 垂直.其中正确的命题是()A.B.C.D.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A.若m⊥n，nα，则m⊥αB.若mβ，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α5.在三棱锥P−ABC中，已知P C⊥BC，pc⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A.平面EF G平面P BCB.平面EF G平面ABCC.∠BP C是直线EF与直线P C所成的角D.∠F EG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角6.如图所示，在三棱锥P−AB C中，P A⊥平面ABC，∠BAC=90◦，则二面角B−P A−C的大小为.7.如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有.8.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是.9.如图，在三棱锥P−ABC中，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC=90◦，P A=1，AB=1，则P B=.10.已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB=4cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC=3cm，BD=12cm，则CD的长为.11.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，P C⊥平面ABCD，E是P A的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.12.如图，在四棱锥P−ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60◦且P A=AB=BC，E是P C的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)P D⊥平面ABE.。
高考立体几何垂直问题~概念集锦
垂直问题
线面垂直的判定方法
(1)定义——如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
(2)判定——如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
※(3)判定定理——如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。
线面垂直的性质
(1)定义——如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
(2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。
三垂线定理(逆)
作用：1证明线线垂直；
2作二面角的平面角。
面面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
常用结论：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直
常用结论：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线l 垂直于另一个平面。
立体几何平行和垂直归纳总结
立体几何平行和垂直归纳总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊立体几何里的平行和垂直，这可真是超级重要啊！比如说，那直直的电线杆和地面，不就是垂直的例子嘛！你想想，要是电线杆不垂直地面，那还不得歪歪扭扭的，多吓人呀！
先说平行。
啥叫平行呀？就好像两条永远不会相交的铁轨，它们一直延伸，就是碰不到一块儿。
像教室里的那两排日光灯，它们互相之间不就是平行的嘛！这平行关系可有意思了，它们稳定又和谐。
“哎，那垂直呢？”有人可能会问。
嘿，垂直那可就像是一个人站直了，和地面成了直角！就好比高楼大厦的墙壁和地面，那绝对是垂直的呀！你能想象一个房子的墙壁歪七扭八的吗？那多奇怪呀！垂直给人一种坚定、稳固的感觉。
再想想，要是平行和垂直凑到一块儿会咋样？哎呀呀，那肯定很精彩呀！就像盖房子，柱子得垂直于地面，而那些梁呢，可能就是平行的，这两者结合起来，房子才能稳稳当当的呀！
平行和垂直并不是孤立存在的呀！它们在我们的生活中无处不在。
你看马路上的交通标线，那些平行线让车辆行驶有序；而那些高架桥的支柱和桥面，不就是垂直与平行的完美结合嘛！
咱学习立体几何，就得把平行和垂直弄明白，这可关系到我们将来盖房子、造大桥呢！大家可别小瞧了它们，它们就像几何世界里的两架马车，拉着我们在知识的道路上飞奔！所以呀，一定要好好掌握平行和垂直呀，它们真的太重要啦！。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结
【 证 明 】(1) 在 四 棱 锥 P—ABCD 中 ， 因 为 PA⊥ 底 面 ABCD ， CD 平 面 ABCD ， 故 PA⊥CD. 又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平 面PAC. 而AE 平面PAC，所以CD⊥AE. (2) 由 PA ＝ AB ＝ BC ， ∠ ABC ＝ 60° ， 得 △ABC是等边三角形，故AC＝PA.
2. 在 正 方体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 棱 长为2，M是AD1上任意一点，M到平 面BCB1的距离是_2______.
3.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE，
SF及EF把这个正方形折成
一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥
所以DC / /EB. 又 因 为 DC 平 面 ABE， EB 平 面 ABE， 所以DC / /平面ABE.
2因为DC 平面ABC，所以DC AF .
又 因 为 BAC＝ ， 且 AB＝ AC， 所 以 AF BC .
2 而 BC DC＝ C， 所 以 AF 平 面 BCDE.
直
四
棱
柱
A
B
C
D
－
A1
B1C
1
D
中
1
，
侧
棱
A
A1＝
6，
底 面 A B C D 是 菱 形 ， A B＝ 2 ， A B C＝ 6 0 ， P为 侧 棱
人教A版2021届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(拔高)：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直
第一章空间直线、平面平行垂直一、考纲解读1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.二、命题趋势探究有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.三、知识点精讲(一).直线和平面平行1．定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面α平行，记作l∥α2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）表8-93.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10） 表8-10(二).两个平面平行 1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面α和β,若αβφ=,则α∥β2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11） 表8-113.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12） 表8-12b γ⎪=⎭线面平行”）面//面⇒线⊥面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//llαββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭(三).线面垂直1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）表1文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直αββαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥babba,a ba llb la b Pαα⊂⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪=⎭__a平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥aa//平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥baba//3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）表2文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行babaa////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥aa_α_b_aα_b_a_(四).斜线在平面内的射影 1.斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足. 2.射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.00,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦PA αA PO αO AO PA αPAO ∠PA α(五).平面与平面垂直 1.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，l αβ--l O O αβl OA OB OA OB AOB ∠[]0,πCD αβ=CD γ⊥AB αγ=BE βγ=，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥bb4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直αββαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥babbaAB BE⊥αβ⊥___a四、思路小结(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.（1） 证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2） 证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3） 证明线线平行的常用方法：○1利用直线和平面平行的判定定理；○2利用平行公理； 性质 性质性质 判定判定判定 线∥面 线∥线面∥面图 0(二).证明空间中直线、平面的垂直关系线线线面面面 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.⊥−−−−→←−−−−判定定理性质定理⊥−−−−→←−−−−判定定理性质定理⊥,a b a b αα⊥⊂⇒⊥,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b b c P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥,a a βααβ⊥⊂⇒⊥性质性质性质性质性质 判定判定 判定 判定 判定线∥面 线∥线面∥面线⊥面 线⊥线面⊥面图 3空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图3所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置. 五、解答题题型总结 核心考点一：平行证明【例1】 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ？证明你的结论．原图：【解析】 在棱11C D 上存在点F ，使1B F ∥平面1A BE ．且F 为11C D 的中点． 法一：分别取11C D 和CD 的中点F ，G ，连结EG ，BG ，1CD ，FG ． 由四边形11A BCD 是平行四边形，有11D C A B ∥．又E ，G 分别为1D D ，CD 的中点，有1EG D C ∥，∴1EG A B ∥． 这说明1A 、B 、G 、E 共面，所以BG ⊂平面1A BE ．BACD A 1B 1D 1C 1E E C 1D 1B 1A 1DCAB G F因四边形11C CDD 与11B BCC 皆为正方形，F ，G 分别为11C D 和CD 的中点， 所以11FG C C B B ∥∥，且11FG C C B B ==， ∴四边形1B BGF 是平行四边形，所以1B F BG ∥． 而1B F ⊄ 平面1A BE ，BG ⊂平面1A BE ，故1B F ∥平面1A BE ．法二：连结1C D ，EF ，1AB ，且1AB 与1A B 交于点K ，连结EK ， （要证线面平行转化为线线平行即1B F EK ∥） 由平行四边形11B C DA 有11B A C D ∥， 又,F E 为棱中点，有1EF C D ∥， ∴1EF B A ∥，∴1EF B K ∥，且1EF B K =． ∴1B F EK ∥，且1B F ⊄面1A BE ，EK ⊂面1A BE ， ∴棱11C D 上存在中点F ，使得1B F ∥面1A BE ．【例2】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，在棱1DD 上是否存在一点K ，使得AK ∥平面1EFD ？证明你的结论．原图：法一： K F ED 1C 1B 1A 1DCBAKFE DCBAD 1C 1B 1A 1EB延长AK 交11A D 于S ，连接CS 、AC ．∴1CS D F ∥．另外，由E 、F 分别为AB 、BC 的中点，知EF AC ∥． ∵CSAC C =，∴面ACS ∥面1EFD∵AK ⊂面ACS ，∴AK ∥面1EFD． 法二：连接FQ ，平面1EFD 与面11BB C C 的交线即为FQ ，要想AK ∥面1EFD ，则只需AK FQ ∥即【例3】 如图，已知四棱锥B ACDE -的底面为直角梯形ACDE ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．在直线BC 上是否存在一点P ，使得DP ∥平面EAB ？请证明你的结论．原图：线段BC 的中点就是满足条件的点P ． 证明如下：取AC 的中点M ，连结EM 、EC ，∵AE AC =且60EAC∠=︒，∴EAC △是正三角形，∴EM AC ⊥． 又∵ED AC ∥，∴ED FP ∥且ED FP =，四边形EFPD 是平行四边形． ∴DP EF ∥，而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， ∴DP ∥平面EAB ． 核心考点 ：垂直证明【例1】在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ，证明：平面SAC ⊥平面AMN ．BA CDEM NDCBA SMF PBA CDE● ∵SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥；又∵CD AD ⊥，SA ⊂平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，SA AD A =， ∴CD ⊥平面SAD ．AM ⊂平面SAD ，∴CD AM ⊥．又∵SA AD AB ==，M 是SD 的中点， ∴AM SD ⊥；SD ⊂平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，SD CD D =，∴AM ⊥平面SCD ．SC ⊂平面SCD ，∴AM SC ⊥．又∵AN SC ⊥，AM 、AN ⊂平面AMN ，AM AN A =，∴SC ⊥平面AMN ，又∵SC ⊂平面SAC ， ∴平面SAC ⊥平面AMN ．【例2】如图，已知BCD △中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=︒，E 、F分别是AC 、AD 上的动点，且()01AE AFAC ADλλ==<<． ⑴ 求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；⑵ 当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？● ⑴ ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB CD ⊥．∵CD BC ⊥，且AB BC B =，∴CD ⊥平面ABC ．FEDCBA∴EF ⊥平面ABC ．又∵EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ． ⑵ 由⑴知，BE EF ⊥，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE AC ⊥． ∵90BCD ∠=︒，1BC CD ==，60ADB ∠=︒【例3】在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ，证明：平面SAC ⊥平面AMN ．【解析】∵SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴SA CD ⊥；又∵CD AD ⊥，SA ⊂平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，SA AD A =，M NDCBA S∴CD ⊥平面SAD ．AM ⊂平面SAD ，∴CD AM ⊥．又∵SA AD AB ==，M 是SD 的中点， ∴AM SD ⊥；SD ⊂平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，SD CD D =，∴AM ⊥平面SCD ．SC ⊂平面SCD ，∴AM SC ⊥．又∵AN SC ⊥，AM 、AN ⊂平面AMN ，AM AN A =，∴SC ⊥平面AMN ，又∵SC ⊂平面SAC ， ∴平面SAC ⊥平面AMN ．【例4】如图，已知BCD △中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=︒，E 、F分别是AC 、AD 上的动点，且()01AE AFAC ADλλ==<<． ⑴ 求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； ⑵ 当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？⑴ ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB CD ⊥．∵CD BC ⊥，且AB BC B =，∴CD ⊥平面ABC． ∴EF ⊥平面ABC ．又∵EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ．FEDCBA⑵由⑴知，BE EF⊥，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE AC⊥．∵90==，60∠=︒ADBBC CDBCD∠=︒，1。
高中数学空间中的垂直关系考点及例题讲解
空间中的垂直关系考纲解读 1.以立体几何的定义、公理、定理为出发点，判定空间中的垂直关系；2.以常见几何体为模型，进行空间中垂直关系的转化与探索．[基础梳理]1．直线与平面垂直(1)定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直 (2)判定定理与性质定理：2.(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2 . 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念：①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[三基自测]1．下列命题中不正确的是()A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交答案：C3．(必修2·习题2.3A组改编) 如图，在三棱锥V ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案：44．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N、Q分别是AB、AD、AA1的中点，则AC1与面MNQ的关系为________．(垂直、不垂直)答案：垂直考点一线面垂直的判定与性质|方法突破[例1]如图，三棱锥P ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F.(1)求证：AP ⊥FB ；(2)求多面体PFBCE 的体积．[解析] (1)证明：由题意得BE ⊥AC ，又PC ⊥平面ABC ， ∴PC ⊥BE .又AC ∩PC ＝C ，∴BE ⊥面P AC . ∴BE ⊥AP .又EF ⊥AP ，EF ∩BE ＝E ，∴AP ⊥面BEF . ∴AP ⊥FB .(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，E 为AC 中点， ∴AE ＝1，BE ＝ 3.在△PCA 中，∠PCA ＝90°，AC ＝PC ＝2，∴∠P AC ＝45°. 又EF ⊥P A ，∴EF ＝AF ＝22，S △AEF ＝12EF ·AF ＝14.易知，BE ⊥平面AFE .∴V A BEF ＝V BAFE＝13BE ·S △AEF ＝312， 又V PABC ＝13PC ·S △ABC ＝233， ∴多面体PFBCE 的体积为V P ABC －V ABEF ＝7312. [方法提升]证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线． [跟踪训练]∠ACB ＝90°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ，D 为P A 的中点，求证：P A ⊥面BDC .证明：∵PC ⊥面ABC ，∴BC ⊥PC ，又BC ⊥AC ，AC ∩PC ＝C . ∴BC ⊥面P AC ，∴BC ⊥P A .由AC ＝PC ，D 为P A 的中点，∴CD ⊥P A ，CD ∩BC ＝C ， ∴P A ⊥面BCD .考点二 平面与平面垂直的判定与性质|思维突破[例2] (2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．[解析] (1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)如图所示，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.[思维升华]应用线面垂直的判定与性质定理的思维(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．[跟踪训练]如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD，P A∩DA＝A.所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.考点三空间垂直关系的探索与转化|思维突破[例3]如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．(1)求证：CD⊥平面SAD；(2)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．[解析](1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.(2)存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.证明：连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.[思维升华]探索垂直关系，常采用逆向思维一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：(1)等腰三角形的高、中线与底边的垂直．(2)矩形的相邻边垂直．(3)直径所对的圆周角的两边垂直．(4)菱形的对角线垂直．(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．[跟踪训练](2018·安阳模拟)如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，AC ＝BC ，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ＝12AE ，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．(1)求证：OD ∥平面ABC .(2)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．解析：(1)证明：取AC 中点F ，连接OF ，FB . ∵F 为AC 中点，O 为CE 中点， ∴OF ∥EA 且OF ＝12EA .又BD ∥AE 且BD ＝12AE ，∴OF ∥DB ，OF ＝DB ， ∴四边形BDOF 是平行四边形， ∴OD ∥FB .∵FB ⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC ， ∴OD ∥平面ABC .(2)当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE . 取EM 中点N ，连接ON ，CM .∵AC ＝BC ，M 为AB 中点，∴CM ⊥AB .又∵平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，CM ⊂平面ABC ， ∴CM ⊥平面ABDE .∵N 是EM 中点，O 为CE 中点， ∴ON ∥CM ，∴ON ⊥平面ABDE .1.[考点一、二](2014·高考浙江卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α解析：对于选项A 、B 、D ，均能举出m ∥α的反例；对于选项C ，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，又n ⊥α，∴m ⊥α，故选C.答案：C2.[考点三](2017·高考全国卷Ⅲ )如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．解析：(1)证明：取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 又DO ∩BO ＝O ，从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD . (2)连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.。