立体几何知识点总结(全)

必修2 第一章 空间几何体知识点总结
一.空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450
（或1350
）
③画对应图形
在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘
轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘
轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：4
2S ⋅=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 h S V ⋅=柱体h S V ⋅=3
1锥体
()
1
3
V h S S S S =+⋅+下下
台体上上
球的表面积和体积 3
2
3
44R V R S ππ=
=球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
一. 平面基本性质即三条公理
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字
语言
如果一条直线上的两点在
一个平面内，那么这条直线
在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号
语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭
,,,,A B C A B C α
⇒不共线确定平面
,l
P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩
作用 判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二．直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

（既不平行，也不相交） 三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号： ////a b a a b ααα⊄⎫
⎪⊂⇒⎬⎪⎭
2．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行，则线线平行.
符号: a a a b b α
βαβ⊂⇒=⎫
⎪⎬⎪⎭
3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

简记为：线线垂直，则线面垂直.
符号：,,m n m n A l l m l n αα⊂⎫⎪
=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭
4.直线与平面垂直
性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号： a a b b αα⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
符号：l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
符号语言：a ∥b, a ⊥α，⇒b ⊥α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点： 符号 α∥β 相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a 1．平面与平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行，则面面平行.
符号：,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫
⎪=⇒⎬⎪⎭
2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简记为：面面平行，则线线平行.
符号：a a b b αβ
αγβγ=⇒=⎫
⎪
⎬⎪⎭
补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
3．平面与平面垂直的判定
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：
l l βαβα⊥⇒⊥⊂⎫
⎬⎭
推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。

4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

简记为：面面垂直，则线面垂直.
证明线线平行的方法
①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性 ⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行； 证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质 ③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； 五：三种成角 1.异面直线成角
步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解
注意：取值范围：（0。

,90。

].
2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。

,90。

].
如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形 取值范围：（0。

,180。

）
六.点到平面的距离：定义法和等体积法
----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，的平面角。

且则为二面角
空间向量与立体几何知识点总结
一．向量基本运算：设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =
1．12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++= 2.121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔=== 3.21a a a x =
⋅=+21
cos ,x a b a b a b
x ⋅〈〉=
=
+
一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 1.若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．
2.若两平面α、β的法向量分别是
1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．
3.若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v 二、空间角的计算
1.两条异面直线所成角的求法
设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有 cos |cos |a b a b
θϕ⋅==
⋅
2.直线和平面所成角的求法
设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有
sin |cos |cos sin a u a u
θϕθϕ
⋅==
=⋅或
3.二面角的求法
设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二
面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212
cos n n n n θ⋅=．
三． 点P 到平面α的距离
如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α的距离为
AB n BO n
⋅=。

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