九年级数学下册第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质第3课时二次函数y=ax2bxc的图像和性质学案冀教版
2024年九年级数学下册第30章二次函数30.2二次函数的图像与性质2二次函数y=ax2
感悟新知
x … -3 -2 -1 y=x2+1 … 10 5 2 y=x2-1 … 8 3 0
01 12 -1 0
23… 5 10 … 3 8…
在同一直角坐标系中， 画出二次函数y=x2+1 和y=x2 －1的图像
知1－讲
感悟新知
解: 列表； 虚线为y＝x2 描点； 的图像 连线.
10 y
9 8 7 6 5 4
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图像可由y=ax2的图像通过 上下平移|c|个单位得到.
c＞0 图像
c＜0
开口方向 顶点坐标
向上 (0，c)
向下 (0，c)
感悟新知
续表：
知2－讲
函数
y＝ax2＋c(a＞0)
y＝ax2＋c(a＜0)
对称轴 增减性
最值
y轴(或直线x＝0)
y轴(或直线x＝0)
当x＜0时，y随x的增大 而减小；当x＞0时，y随
x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而 增大；当x＞0时，y随 x的增大而减小
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2
导引：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2的图
象向下平移1个单位，则平移后的图像对应的二
次函数的表达式为y＝x2－1.
感悟新知
总结
知3－讲
平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加 或减的数值．
感悟新知
知3－练
例4 抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－5x2的形状相同，开 口方向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的 函数表达式是什么？它是由抛物线y＝－5x2怎样平 移得到的？
九年级数学下册第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质二次函数y=ax2的图像和性质学案
二次函数y ax2的图像和性质一、明确学习目标1、会用描点法画出二次函数y ax 2 的图像，掌握二次函数y ax2性质。
2、经历研究二次函数yax2 的图像与性质的过程，能运用二次函数y ax 2 的图像及性质解决简单的实际问题，掌握数形联合的数学思想方法。
3、经过数学学习活动，领会数学与实质生活的联系，感觉数学的实质意义，激发学习兴趣。
二、自主预习预习教材，填表绘图，并初步达成自主预习区。
三、合作研究活动 1 研究yax 2 ( a 0) 的图像1、用描点法画yx2 的图像。
（1）用描点法绘图像往常有哪些步骤？（2）列表时，应注意什么问题？x 3 21 01 2 3y x2（3）描点时应以哪些数值作为点的坐标？（4）连线时应注意什么？2、思虑与概括让学生察看师生所画的图像，给出抛物线的观点。
并说明：二次函数y x 2的图像是一条抛物线，实质上，二次函数的图像都是抛物线。
思虑：（1）思虑表格中的数据能否反应了一种规律？（2）察看图像，这条抛物线有什么特点？请把你的发现说出来。
教师指引：任取一个x 的值，计算出相应y 的值，考证一下这个点对于y 轴的对称点能否也在这条抛物线上，进而给出抛物线的对称轴、极点等观点。
学生察看、研究、沟通、总结。
活动 2y 1 x 2，y2x2y x2在同一坐标系中画出函数 2 的图像与的图像对比，有什么共同点和不一样点，学生议论后回答，教师点拨。
猜想：二次函数的张口方向是由什么决定的？张口大小的程度又是由谁决定的？，y1 2活动 3 研究：在同一坐标系中画出函数yx 2 2x和y2x 2 的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不一样点。
活动 4 进一步研究，抛物线y x 2 与yx 2 有什么关系？由此猜想y ax 2 与yax 2 的关系。
活动 5 小组议论例 1 填空：①函数y (2x) 2 的图像是 _________，极点坐标是 _______，对称轴是 __________，张口方向__________ 。
九年级数学下册第三十章二次函数30.2《二次函数的图像和性质(3)》教学课件(新版)冀教版
y x2 2x 1 2 -1 -2 -1 2
2. 描点 3.连线
2
1
0
-3 -2 -1
12
-1
-2
-3
x -2 -1 0 1 2 y 10 5 2 1 2
小惠：我也是任 意取一些x的值惊 醒列表描点，描 出的点也不理想
小亮：把原函数的右边配 方，转化成 y=（x-1）2+1 的形式，结合上节课的知 识，我就可以选取合适的
x 的值并列表描点了
2、谁描出的点能更好地反映图像的对称性？
我们发现小亮的做法正确，描出的点具有 对称性。
b2
.
y ax2 bx c
a0
a0
开口方向 增减性
最值
向上
向下
若
x
b 2a
，y随x的增大
而减小；
若 x b ，y随x的增大
而增大. 2a
若
x
b 2a
，y随x的增大
而增大；
若 x b ，y随x的增大
而减小. 2a
当
x
b 2a
时，有最小值，当
x
b 2a
时，有最大值，
y最小
4ac 4a
b2
y最大
4ac b2 4a
例题探究
例2： 求抛物线 y x2 2x 1的对称轴和顶点坐标， 并画出这个二次函数的图像.
解： Q b 2 1,
2a 21
4ac b2 41 1 22 2
4a
41
∴抛物线的对称轴是x=-1， 顶点坐标是（-1，-2），
画图
1. 列表：
x
-3 -2 -1 0 1
画一般的二次函数的图像通常是先将函 数表达式的右边配方，确定抛物线的顶点 和对称轴，再像小亮那样合理选取x的值并 列表描点.
九年级数学下册第三十章二次函数30
二次函数cbxaxy++=2的图像和性质一、明确学习目标1、会用描点法画二次函数)0(2≠++=acbxaxy图像；会用配方法将二次函数cbxaxy++=2的解析式写成khxay+-=2)(的形式；通过图像能娴熟地驾驭二次函数cbxaxy++=2的性质.2、经验探究cbxaxy++=2与khxay+-=2)(的图像及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图像和性质解决简洁的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.3、通过合作沟通，激发学习数学的爱好，感受数学的价值.二、自主预习预习教材，自学“思索”，驾驭将一般式化成顶点式的方法，完成自主预习区。
三、合作探究（1）提出问题你能作出216212+-=xxy的图像吗？学生独立完成.老师点拨：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图像时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能精确反映这个抛物线的特征.自主归纳：填空①二次函数khxay+-=2)(的顶点坐标是_______，对称轴是________，当a_______时，开口向上，此时二次函数有最________，当x______时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小；当a_______时，开口向下，此时二次函数有最______值，当x________时，y随x的增大而增大，当x________时，y 随x的增大而减小.②用配方法将cbxaxy++=2化成khxay+-=2)(的形式，则h=______, k=_______，则二次函数cbxaxy++=2的图像的顶点坐标是___________，对称轴是_____________，当x=_______时，二次函数cbxaxy++=2有最大（最小）值，当a_________时，函数y有最______值，当a_______时，函数y有最_______值.（2）小组探讨合作沟通例1 将下列二次函数写成顶点式khxay+-=2)(的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.①;216212+-=xxy②;221222---=xxy学生独立解答后，小组间沟通.老师点拨：第②小题留意h的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，娴熟驾驭；抛物线的顶点坐标也可以依据公式干脆求解.四、当堂检测（1）基础练习（2）提升练习用总长为60的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长L的改变而改变，L是多少时，场地的面积S最大？[提示：①S与L有何函数关系.②举一例说明S随L的改变而改变；③怎样求S的最大值呢？]老师点拨：二次函数在几何方面的应用特殊广泛，要留意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图像只能是抛物线的一部分.五、拓展提升如图，已知二次函数L1：342+-=xxy与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），点y轴交于点C.（1）写出二次函数L1的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）探讨二次函数L2：)0(342≠+-=kkkxkxy.①写出二次函数L2与二次函数L1有关图像的两条相同的性质；②若直线ky8=与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生改变？假如不会，恳求出EF的长度；假如会，请说明理由.六、课后作业一、选择题1、抛物线c bx x y ++=2的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像的函数解析式为4)1(2--=x y ，则b 、c 的值为（ ）A 、b=2, c=－6B 、b=2, c=0C 、b=－6, c=8D 、b=－6, c=22、已知抛物线)0(2<++=a c bx ax y 过A （－2，0），O （0，0），B （－3，y1），C （3，y2）四点，则y1与y2大小关系是（ ）A 、21y y >B 、21y y =C 、21y y <D 、不能确定3、已知0<b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列四个图像之一，试依据图像分析a 的值应等于（ ）A 、－2B 、－1C 、1D 、2二、填空题4、点A （2，y1）、B （3，y2）是二次函数122+-=x x y 的图像上两点，则y1与y2大小关系为y1______ y2（填“＞”“＜”“＝”）5、如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴相交于点A （－1，0）和B （3，0），顶点坐标是（1，－2），视察图像回答下列各题：（1）AB=_________；（2）当x=________时，y的值最小，最小值是________；（3）当x＜_______或x＞________时，y＞0；（4）当x________时，y随x的增大而减小；（5）该抛物线的解析式为________________.三、解答题6、已知二次函数图像的顶点坐标为（1，－1），且经过原点（0，0），求该函数的析式.7、如图，已知二次函数cbxxy++=221的图像经过A（2，0）、B（0，－6）两点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
【点拨】y＝(x－1)2＋2的图像开口向上，对称轴是直 线x＝1，顶点坐标是(1，2)，与x轴没有交点，故选C.
【答案】C
5．【中考·益阳】若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在 第一象限，则m的取值范围为( ) B
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
6．下列二次函数中，图像以直线x＝2为对称轴，且经过 点(0，1)的是( ) C
(2)求tan∠ABC.
解：令 x＝0，则 y＝13(0－4)2－3＝73，则 OC＝73. ∵二次函数图像的顶点坐标为(4，－3)， ∴点 B 与点 A 关于直线 x＝4 对称． ∴B 点坐标为(7，0)．∴OB＝7.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图像先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图像．
11．【中考·泰州】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次 函数图像的顶点坐标为(4，－3)，该图像与x轴相交于 点A、B，与y轴相交于点C， 其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
解：由题意可设二次函数的表达式为 y＝a(x－4)2－ 3(a≠0)． 把 A(1，0)的坐标代入，得 0＝a(1－4)2－3，解得 a＝13. ∴该二次函数的表达式为 y＝13(x－4)2－3.
JJ版九年级下
第三十章二次函数
30．2 二次函数的图像和性质
第4课时 二次函数y＝ a(x－h)2＋k的图像和性质
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1D
2C
3A
4C
5B
答案显示
6C
7C
8D
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冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图像
和性质
1D 2A 3B 4C 5C
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6D 7 见习题 8C 9B 10 D
答案显示
11 D 12 B 13 B 14 h≥1 15 见习题
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16 见习题
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有 最大值．
8．【易错：混淆左右平移后表达式的特点而致错】将函数y＝x2 的图像向
左平移2个单位长度后，得到的新图像的表达式是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2
C
D．y＝(x－2)2
9．【2020·浙江衢州改编】二次函数y＝x2的图像平移后经过点(2，0)，则下
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC .
解：过点C作CD⊥x轴于D. 将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，即点C的坐标为(－ 3，－4)，∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ ×3×(1＋4)－ ×4×(3－1)－
×1×1＝3.
1
1
1
2
2
2
17．已知抛物线y＝x2如图所示． (1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
解：由题意得，平移后得到的抛物线表 达式为y＝ (x－m)2. 把点A(0，3)的坐标
1 代入上式，得3＝ (0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3. 3 ∵m>0，∴m＝3.
1 3
(2)画出(1)中平移后的图像； 解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在 新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐 标．
九年级数学下册 第三十章 二次函数 二次函数的图像和性质二次函数yaxbxc的图像和性质教学
2
2
数具有哪些性质.
解: 函数 y 1x2 x5通过配方可得 y1(x1)2 2，
先列表：
2
2
2
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
第十一页，共三十一页。
然后描点、连线，得到(dé dào)图像如下图.
y -4 -2
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x21化成y=a(x-h)2+k的形式？ 2
第五页，共三十一页。
配方(pèi y fāng)可得 1 x2 6x21 2
1(x2 12x42) 2
1(x212x626242) 2
1[(x212x62)6242] 2
1[(x6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分，x=-1是对称轴
，有下列(xiàliè)判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a
；④若（-3，y1）,（
正确的是（
）
，y2）是抛物线3 上两点，则y1>y2.其中 2
B
y
A．①②③
C．①②④
B．①③④ D．②③④
(3)
y
2
x
1 2
x
2 ; 直线x=1.25
( 4 ) y x 1 2 x . 直线x= 0.5
5 4
,
9 8
1 2
,
9 4
第二十九页，共三十一页。
课堂(kètáng)小结
配方法
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般(yībān)式)
九年级数学下册第三十章二次函数30.2二次函数的图像和性质教学课件新版冀教版
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数y=ax2
的图像及性质
图像 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
开口方向及大小
重点关注 4个方面
对称轴 顶点坐标
增减性
第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质
学习目标
1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像的
它们的对称轴，
∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于 右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8
＝16.
方法总结
二次函数y＝ax2的图像关于y轴对称，因此左右
两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们 根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中 (全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比 较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法， 将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到
y = x2 的图像．
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,
y轴（直线x=0） （0,c）
函数的增减性 最值
当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时，y 随x增大而增大.
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二、围标群学：
（一）问题：（1）你能说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解： 的顶点坐标是_______，对称轴是________.
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用____的方法转化为_____式从而直接得到它的图像性质.
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
学习目标
能通过配方法把二次函数 化为 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标.熟记二次函数 的顶点坐标公式；会画二次函数一般式 的图像
教学重点
的顶点坐标公式
教学难点
的顶点坐标公式
教学方法
导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.抛物线 的顶点坐标是_____；对称轴是直线_____；当 =_____时 有最____值是______；当 ______时， 随 的增大而增大；当 _______时， 随 的增大而减小.
达标测评
已知二次函数 的图像过点（1，2），则m的值为 .
2.一个二次函数的图像过（0，1）、（1，0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式.
五、课后反思
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
（3）描点，并连线：
…
…
…
（4）观察：①图像有最____点，即 =_____时， 有最____值是______；
② ______时， 随 的增大而增大； _______时 随 的增大而减小.
③该抛物线与 轴交于点______.
④该抛物线与 轴有_______个交点.
三三、扣标展示
求出 顶点的横坐标 后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① ②
归纳：二次函数的一般式 可以用配方法转化成顶点式：____________，
因此抛物线 的顶点坐标是___________；对称轴是_____________，
（二）用描点法画出 的ຫໍສະໝຸດ 像.（1）顶点坐标为__________；
（2）列表：顶点坐标填在______；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）