3.4.2简单线性规划课件ppt(2013-2014年北师大版必修五)
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高中数学 3.4.2 简单线性规划同步课件 北师大版必修5
最小值为( )
x y 2 0
，则z=x-2y的
（A）4
（B）-3
（C）-2
（D）1
第四十二页，共49页。
【解析】选B.画出可行域（如图）.由图可知(kě zhī)，当直线l 经 过点A（-1，1）时，z最小，且最小值为zmin=-1-2×1=-3.
第四十三页，共49页。
4.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x-y的最大值是______. 【解析】由不等式组画出可行 域如图.当直线x-y-z=0过点 A(1,0)时，z=x-y取得(qǔdé)最大值， zmax=1-0=1. 答案：1
第一页，共49页。
第二页，共49页。
1.了解线性规划的有关概念.(重点) 2.求线性目标函数的最大值、最小值.(重点) 3.图解法解决线性规划问题的过程(guòchéng)及其应用.(难点、易错 点)
第三页，共49页。
一、线性规划(xiàn xìnɡ ɡuī huá)中的基本概念
第四页，共49页。
第四十四页，共49页。
5.如图，点（x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动(yùndòng)，那 么2x-y的最小值为______.
第四十五页，共49页。
【解析】令l :2x-y=0,
kAB= 2 ,1kDC= ,所1以l 平移(pínɡ yí)过A（1，1）时在y轴上截 距最大，3即 1x=1，y=1时5 ,21x-y有最小值为2×1-1=1.
结合图形求a的取值范围(fànwéi).
第三十三页，共49页。
【规范(guīfàn)解答】选C.作出平面区域M，
第三十四页，共49页。
求直线AC，AB，BC交点，得A(2,10)，C(3,8)，B(1,9). 由图可知，欲满足条件必有a>1且图像(tú xiànɡ)在过B、C 两点的图像(tú xiànɡ)之间. 当图像(tú xiànɡ)过B时，a1=9，∴a=9. 当图像(tú xiànɡ)过C时，a3=8，∴a=2. 故a的取值范围为［2,9］.故选C.
高中数学北师大版必修五3.4《简单线性规划》ppt参考课件2
例1画出直线2x＋ｙ－６＜0 表示的平面区域。
解：先画直线2x+y –6 =0（画成虚线）
Y
取原点（0，0）代入2x+y- 6
6
∵2×0+ 0 – 6= - 6＜0 ∴原点在2x+y –6 ＜0 表示
O
3X
平面区域 内
小结：以直线定出界，再以特殊点定出区域。
③巩固：
画出下列不等式表示的平面区域：
因为点Ｐ（ｘ０，ｙ０）是直线ｘ＋ｙ－ １＝０上任意点，所以对于直线ｘ＋ｙ
－１＝０右上方的任意点（ｘ，ｙ），
Y （x，y）
⊕⊕ P1
O1
X
ｘ＋ｙ－１＞０都成立
同理，对于直线ｘ＋ｙ－１＝0左下方的任意点（ｘ， ｙ），ｘ＋ｙ－１＜０都成立。
所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式ｘ＋ｙ－1＞0
的解为坐标的点的集合是在直线ｘ＋ｙ－1＝0右上方的平面
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
4
x
-2
Y
3
O 23
X
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
高中数学必修五北师大版 简单线性规划的应用 课件(42张)
例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的
运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎
样编制调动方案，才能使总运费最小？
②产品安排问题
例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品
需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额
例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品 .已知生产甲产品 1桶需耗A原料1千
克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产
品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的
计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，
从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2
某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、
B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元 / 辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21辆，且B型车不多于A型车7 辆，则租金最少为多少？
解析答案
题型三 实际问题中的整数解问题
模型建立方法.
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可
行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的
方案.
返回
题型探究
重点突破
题型一
与最大值有关的实际问题
例1
某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书
橱出售.已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板2 m2，生产每个
高中数学必修五北师大版 简单线性规划课件(36张)
[分析]
由题目可获取以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；
1 － y － 2y＋1 2 ②求 z＝ ＝2· 的取值范围． x＋1 x－－1
解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何 知识求最值．
[解析]
解析：由于 z＝ y＋1 y－－1 ＝ ，所以 z 的几何意义是点(x，y)与点 x＋1 x－－1
是多少？
当 x，y 取何值时，z＝3x－2y 取最值，其值
解析：本题是求目标函数 z＝3x－2y 的最值问题，应先画出可行域， 再将目标函数化成直线方程的斜截式，将问题转化为求这条直线经过可 行域时的纵截距的最大值、最小值问题． 3 z 3 作出可行域如图所示． 将目标函数改写成 y＝2x－2， 它表示斜率为2， z 纵截距为－2的平行直线系． 其中过 E 点的那条纵截距最小(这时 z 最大)， 过 B 点的那条纵截距最大(这时 z 最小)，
x＋y－6＝0， 24 6 由 得 E 5 ，5. 2x－3y－6＝0，
24 6 又 B(0,3)，因此当 x＝ 5 ，y＝5时，zmax＝12；当 x＝0，y＝3 时，zmin ＝－6.
求非线性目标函数最值
x－y＋2≥0， [例 2] 已知x＋y－4≥0， 求： 2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围． x＋1
M(1,1)，则 x＋y 的最小值为 2.
答案：C
x＋y≥0， 3．若 x，y 满足约束条件x－y＋3≥0， 则 z＝2x－y 的最大值为 0≤x≤3， ________．
解析：作出可行域，如图阴影部分所示．作出直线l0：2x－y＝0， 将l0平移至过点A时，函数z＝2x－y有最大值9.
高中数学第三章不等式3.4.2.1简单线性规划课件北师大版必修5
线性目标函数
关于 x，y 的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题
|化解疑难|
求解线性规划问题的注意事项 (1)线性约束条件是指一组对变量 x，y 的限制条件，它可以是 一组关于变量 x，y 的一次不等式，也可以是一次方程． (2)有时可将目标函数 z＝ax＋by 改写成 y＝mx＋nz 的形式．将 nz 看作直线 y＝mx＋nz 在 y 轴上的截距来处理． (3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的某一约 束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无数个． (4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解 是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可 行域的顶点上．
【课标要求】 1.理解约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解的概念. 2.会用图解法解决有关最优解问题．
自主学习 基础认识
线性规划的基本概念
名称
意义
约束条件
关于变量 x，y 的不等式(或方程)组
线性约束条件
关于 x，y 的一次不等式(或方程)组成的
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量 x，y 的函数解析式
A．－15 B．－9
C．1
D．9
【解析】 本题考查简单的线性规划问题． 根据线性约束条件画出可行域，如图． 作出直线 l0：y＝－2x.平移直线 l0，当经过点 A 时，目标函数 取得最小值．
由2y＋x－33＝y＋0 3＝0， 得点 A 的坐标为(－6，－3)． ∴zmin＝2×(－6)＋(－3)＝－15. 故选 A. 【答案】 A
《4.2 简单线性规划》课件2-优质公开课-北师大必修5精品
x－4y＋3＝0， 解方程组 得 3x＋5y－25＝0 x＝1， 解方程组 得 x－4y＋3＝0
A 点坐标为(5，2)，
B 点坐标为(1，1)，
所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
1 ．将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过 的顶点便是最优解． 2．当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时， 最优解可能有无数个．
1．在平面区域中，点 A、B、C 的坐标分别是什么？
x－y＋5＝0 由 x＋y＋1＝0
【提示】 得
x－y＋5＝0 B(－3，2)；由 得 x＝3
A(3，8)；
x＝3 由 得 x＋y＋1＝0
C(3，－4)．
2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、 C 三点时，z 的值分别为多少？
2
1 y＋ 2y＋1 2 (2)z＝ ＝2 × 可以看作可行域内的点(x，y)与点 x＋1 x＋1 1 Q(－1，－ )连线斜率 k 的 2 倍，其范围是 kQB≤k≤kQA， 2 1 3 1－（－ ） 2 2 3 而 kQB＝ ＝ ＝ ， 3－（－1） 4 8 1 7 3－（－ ） 2 2 7 kQA＝ ＝ ＝ . 1－（－1） 2 4 3 7 故 z＝2k∈[ ， ]． 4 2
求非线性目标函数的最值
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0， 求： 2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围． x＋1
【思路探究】 (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的几何意义是什 么？如何求 z 的最小值？ 2y＋1 (2)z＝ 的几何意义是什么？如何求 z 的范围？ x＋1
《4.2 简单线性规划》课件2
高中数学北师大版必修五3.4.2【教学课件】《简单线性规划 》
z 取得最小值，即 zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－1
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例2
x y 0 已知 x，y 满足约束条件 x y 2 若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则 a＝( y 0
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自主检测：
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值。( (2)线性目标函数的最优解是唯一的。( ) )
(3)目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中， z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴 上的截距。( )
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探索新知
1．线性规划中的基本概念
①。线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、 y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故 又称线性约束条件 ② 线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大 值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数。
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（5）获得结果：
2 z x 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M（ 4，2） 3 3 z 14 时，截距 的值最大，最大值为 ，这时 2x+3y=14 。所以，每天生产甲产品 4 件，乙产 3 3
由上图可以看出，当实现 y 品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元。
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③线性规划问题： 一般地， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题， 统称为线性规划问题。
④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解。 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
高中数学 4.2 简单线性规划多媒体教学优质课件 北师大版必修5
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人(wénrén)，总比 生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大. ——郁达夫
第三十六页，共36页。
x
y
1.
y
l0
x y 1
B A
o
x
C
x 2
x2y 4
得到顶点 A 的坐标为 2,1 ,代入目标函数，即可得最大值
zmax 3 2 1 5.
第二十一页，共36页。
目标函数的最大值和最小值总是在区域边界交点（顶点）处取得. 求解实际应用问题时，只需求出区域边界的交点，再比较目标函数 在交点处的函数值大小，根据问题需求选择所需结论.
第三十页，共36页。
易知可行域内各点均在直线(zhíxiàn)x＋2y－4＝0的上方， 故x＋2y－4>0，将C(7,9)代入z得最大值为21.
第三十一页，共36页。
3.已知 x，y 满足x3－ x＋4y5≤ y≤－253， ， x≥1.
设 z＝ax＋
y(a>0)，若当 z 取最大值时对应的点有无数多个，
最大值为 1，故选 A.
答案(dá àn)： A
第二十八页，共36页。
2． 已知xx－ ＋yy＋ －24≥ ≥00， ， 2x－y－5≤0.
求 z＝x＋2y－4 的最大值；
第二十九页，共36页。
解析：作出可行域如下图所示，并求出顶点(dǐngdiǎn)的坐 标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
4.2 简单(jiǎndān)线性规划
第一页，共36页。
1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标(mùbiāo)函数、 可行解、可行域、最优解等基本概念； 2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单 的实际问题.
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名师点睛
求解线性规划问题的注意事项 1． (1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以 是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程． (2)有时可将目标函数z＝ax＋by改写成y＝mx＋nz的形 式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理． (3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的 某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无 数个． (4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求 最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时， 常把视线落在可行域的顶点上．
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题型一
求目标函数的最大值或最小值
则 z＝x
y≤1， 【例1】 若变量 x，y 满足约束条件x＋y≥0， x－y－2≤0， －2y 的最大值为
A．4 B．3 C．2 D．1 [思路探索] 先根据约束条件作出可行域，再平移直线x －2y＝0找到最大值点，代入z＝x－2y可求出最大值．
52 y＝－2x＋10，x∈[2,4]，∴w＝xy＝x(10－2x)＝－2x－ ＋ 2
25 5 ，x∈[2,4]，故当 x＝ ，y＝5 时，w 取到最大值． 2 2
答案
5 ，5 2
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方法点评 本题把w＝xy转化为相应的矩形的面积是解题 的关键，即把数的问题转化为形的问题来解决．实质上， 整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现．
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解
x z 作出可行域如图所示，把 z＝x－2y 变形为 y＝ － ，得 2 2
1 z 到斜率为 ，在 y 轴上的截距为－ ，随 z 变化的一组平行直 2 2 x z z 线．由图可知，当直线 y＝ － 经过点 A 时，－ 最小，即 z 2 2 2
x＋y＝0， 最大，解方程组 x－y－2＝0，
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自学导引
线性规划中的基本概念
名称
约束条件 线性约 束条件 目标函数
意义
变量x，y满足的一组条件 一次 由x，y的二元_____不等式(或方程)组成的不 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解 析式
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名称
线性目 标函数 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题
求 z＝2x－y，求 z 的最
解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意 义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y轴 上分别取得最小和最大截距的时候． 作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经 上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点 A(5,2)时，zmax＝2×5－2＝8.当l移动到 l2，即过点C(1,4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝ －2.4.
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题型二 非线性目标函数的最值问题
x－y＋2≥0， 【例2】 已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围 x＋1
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解 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、 C(7,9)．
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x＋2y－3≤0， 【训练3】 已知变量 x，y 满足的约束条件为x＋3y－3≥0， y－1≤0.
若
目标函数 z＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求 a 的取值范围．
解 依据约束条件，画出可行域．
1 ∵直线 x＋2y－3＝0 的斜率 k1＝－ ， 目 2 标函数 z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率 k2 1 ＝－a，若符合题意，则须 k1＞k2.即－ ＞ 2 1 －a，得 a＞ . 2
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方法技巧
数形结合思想
数形结合的主要解题策略是：数⇒形⇒问题的解 决；或：形⇒数⇒问题的解决．数与形结合的基本思路 是：根据数的结构特征构造出与之相对应的几何图形， 并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的 问题转化为数量关系去解决．本节中利用线性规划解决 实际问题是典型的数形结合问题．
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【示例】 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 (0,1)，(4,2)，(2,6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含 边界)上的点，那么当w＝xy取到最大值时，点P的坐标是 ________． [思路分析]
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解 点A、B、C围成的区域(含边界)如图所示：因为w＝ xy表示矩形OP1PP2的面积，∴只要点P向右方或者向上方 移动，矩形OP1PP2的面积就变大．由图可看出，只有点P 在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使w＝xy 最大，点P一定在线段BC上，∵B(4,2)，C(2,6)，∴线段 BC的方程为
得 A 点坐标为(1，－1)，所以
zmax＝1－2×(－1)＝3.
答案
B
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规律方法 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域， 正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一 般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最 大值点或最小值点．
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x－4y≤－3， 【训练1】 已知 x，y 满足3x＋5y≤25， x≥1， 大值和最小值．
4.2 简单线性规划
【课标要求】 1．了解线性规划的意义． 2．了解线性规划问题中有关术语的含义． 3．会求一些简单的线性规划问题． 【核心扫描】 1．求目标函数的最值．(重点、难点) 2．本节与直线的截距和斜率，与点到直线的距离，以及方程 等知识联系密切． 3．目标函数的最大值和最小值与其对应直线截距的关系．(易 错点)
∴点
3 P ＋1，3到原点距离最大．(10 分) a
3 2 ∴ ＋1 ＋9＝34，解得 a
3 a＝ .(12 分) 4
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【题后反思】 随着对线性规划问题研究的不断深入，出 现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值， 求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决 这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数 的几何意义，看最值在什么位置取得．
意义 二元一次 目标函数是关于x，y的_________解析式
解(x，y) 满足线性约束条件的____
可行解 使目标函数取得最大值或最小值的_______ 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大 值或最小值问题
想一想：在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示 不一定，可能有一个或多个．
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① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离； x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离． y－b y ② 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率； 表示点(x，y)与 x x－a 点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
1 －1，－ 连 Q 2
3 7 7 3 线的斜率的两倍，因为 kQA＝ ，kQB＝ ，故 z 的范围为 ， . 4 8 4 2
规律方法 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几 何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已 知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事 半功倍的效果． (2)常见代数式的几何意义主要有：
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x， y)到定点 M(0,5)的距 离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值是|MN| ＝ . 2
2
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(2)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点 x－－1
1 y－－ 2
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题型三
已知目标函数的最值求参数
2x＋y－2≥0， 【例3】 (本题满分 12 分)若实数 x，y 满足y≤3， ax－y－a≤0， ＋y2 的最大值为 34，求正实数 a 的值．
且 x2
审题指导 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或 边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意 边界直线斜率与目标函数斜率关系．
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2．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等 式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后 求出所有区域的交集． (2)令z＝0，作出一次函数ax＋by＝0. (3)求出最终结果．在可行域内平行移动一次函数ax＋by＝ 0，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优 解，或是无最优解．
2x＋y－2＝0， 解方程组 y＝3，
1 得 M 的坐标为 x＝－ ，y＝3. 2
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ax－y－a＝0， 解方程组 y＝3，
3 得 P 的坐标为 x＝ ＋1，y＝3.(8 分) a 又
1 M－ ，3.OM＝ 2
1 9＋ ＜ 34. 4
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[规范解答] 在平面直角坐标系中画出约束 条件所表示的可行域如图(形状不定) (3分) 其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它 经过定点A(1,0)，斜率为a.(6分)
2 2 又由于 x2＋y2＝ x ＋y 2.且 x2＋y2 的最大值等于 34，
所以可行域中的点与原点的最大值距离等于 34.
名师点睛
求解线性规划问题的注意事项 1． (1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以 是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程． (2)有时可将目标函数z＝ax＋by改写成y＝mx＋nz的形 式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理． (3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的 某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无 数个． (4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求 最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时， 常把视线落在可行域的顶点上．
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题型一
求目标函数的最大值或最小值
则 z＝x
y≤1， 【例1】 若变量 x，y 满足约束条件x＋y≥0， x－y－2≤0， －2y 的最大值为
A．4 B．3 C．2 D．1 [思路探索] 先根据约束条件作出可行域，再平移直线x －2y＝0找到最大值点，代入z＝x－2y可求出最大值．
52 y＝－2x＋10，x∈[2,4]，∴w＝xy＝x(10－2x)＝－2x－ ＋ 2
25 5 ，x∈[2,4]，故当 x＝ ，y＝5 时，w 取到最大值． 2 2
答案
5 ，5 2
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方法点评 本题把w＝xy转化为相应的矩形的面积是解题 的关键，即把数的问题转化为形的问题来解决．实质上， 整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现．
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解
x z 作出可行域如图所示，把 z＝x－2y 变形为 y＝ － ，得 2 2
1 z 到斜率为 ，在 y 轴上的截距为－ ，随 z 变化的一组平行直 2 2 x z z 线．由图可知，当直线 y＝ － 经过点 A 时，－ 最小，即 z 2 2 2
x＋y＝0， 最大，解方程组 x－y－2＝0，
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自学导引
线性规划中的基本概念
名称
约束条件 线性约 束条件 目标函数
意义
变量x，y满足的一组条件 一次 由x，y的二元_____不等式(或方程)组成的不 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解 析式
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名称
线性目 标函数 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题
求 z＝2x－y，求 z 的最
解 z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意 义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y轴 上分别取得最小和最大截距的时候． 作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经 上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点 A(5,2)时，zmax＝2×5－2＝8.当l移动到 l2，即过点C(1,4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝ －2.4.
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题型二 非线性目标函数的最值问题
x－y＋2≥0， 【例2】 已知x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围 x＋1
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解 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、 C(7,9)．
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x＋2y－3≤0， 【训练3】 已知变量 x，y 满足的约束条件为x＋3y－3≥0， y－1≤0.
若
目标函数 z＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求 a 的取值范围．
解 依据约束条件，画出可行域．
1 ∵直线 x＋2y－3＝0 的斜率 k1＝－ ， 目 2 标函数 z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率 k2 1 ＝－a，若符合题意，则须 k1＞k2.即－ ＞ 2 1 －a，得 a＞ . 2
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方法技巧
数形结合思想
数形结合的主要解题策略是：数⇒形⇒问题的解 决；或：形⇒数⇒问题的解决．数与形结合的基本思路 是：根据数的结构特征构造出与之相对应的几何图形， 并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的 问题转化为数量关系去解决．本节中利用线性规划解决 实际问题是典型的数形结合问题．
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【示例】 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 (0,1)，(4,2)，(2,6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含 边界)上的点，那么当w＝xy取到最大值时，点P的坐标是 ________． [思路分析]
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解 点A、B、C围成的区域(含边界)如图所示：因为w＝ xy表示矩形OP1PP2的面积，∴只要点P向右方或者向上方 移动，矩形OP1PP2的面积就变大．由图可看出，只有点P 在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使w＝xy 最大，点P一定在线段BC上，∵B(4,2)，C(2,6)，∴线段 BC的方程为
得 A 点坐标为(1，－1)，所以
zmax＝1－2×(－1)＝3.
答案
B
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规律方法 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域， 正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一 般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最 大值点或最小值点．
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x－4y≤－3， 【训练1】 已知 x，y 满足3x＋5y≤25， x≥1， 大值和最小值．
4.2 简单线性规划
【课标要求】 1．了解线性规划的意义． 2．了解线性规划问题中有关术语的含义． 3．会求一些简单的线性规划问题． 【核心扫描】 1．求目标函数的最值．(重点、难点) 2．本节与直线的截距和斜率，与点到直线的距离，以及方程 等知识联系密切． 3．目标函数的最大值和最小值与其对应直线截距的关系．(易 错点)
∴点
3 P ＋1，3到原点距离最大．(10 分) a
3 2 ∴ ＋1 ＋9＝34，解得 a
3 a＝ .(12 分) 4
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【题后反思】 随着对线性规划问题研究的不断深入，出 现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值， 求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决 这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数 的几何意义，看最值在什么位置取得．
意义 二元一次 目标函数是关于x，y的_________解析式
解(x，y) 满足线性约束条件的____
可行解 使目标函数取得最大值或最小值的_______ 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大 值或最小值问题
想一想：在线性约束条件下，最优解唯一吗？ 提示 不一定，可能有一个或多个．
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① x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离； x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离． y－b y ② 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率； 表示点(x，y)与 x x－a 点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得 以转化，往往是解决问题的关键．
1 －1，－ 连 Q 2
3 7 7 3 线的斜率的两倍，因为 kQA＝ ，kQB＝ ，故 z 的范围为 ， . 4 8 4 2
规律方法 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几 何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已 知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事 半功倍的效果． (2)常见代数式的几何意义主要有：
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x， y)到定点 M(0,5)的距 离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 9 上，故 z 的最小值是|MN| ＝ . 2
2
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(2)z＝2· 表示可行域内任一点(x，y)与定点 x－－1
1 y－－ 2
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题型三
已知目标函数的最值求参数
2x＋y－2≥0， 【例3】 (本题满分 12 分)若实数 x，y 满足y≤3， ax－y－a≤0， ＋y2 的最大值为 34，求正实数 a 的值．
且 x2
审题指导 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类 问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或 边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意 边界直线斜率与目标函数斜率关系．
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2．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等 式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后 求出所有区域的交集． (2)令z＝0，作出一次函数ax＋by＝0. (3)求出最终结果．在可行域内平行移动一次函数ax＋by＝ 0，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优 解，或是无最优解．
2x＋y－2＝0， 解方程组 y＝3，
1 得 M 的坐标为 x＝－ ，y＝3. 2
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ax－y－a＝0， 解方程组 y＝3，
3 得 P 的坐标为 x＝ ＋1，y＝3.(8 分) a 又
1 M－ ，3.OM＝ 2
1 9＋ ＜ 34. 4
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2 2 又由于 x2＋y2＝ x ＋y 2.且 x2＋y2 的最大值等于 34，
所以可行域中的点与原点的最大值距离等于 34.