概率论与数理统计

⋅
1 非负性 2 规范性
P(A) ≥ 0 P(S)= 1
3 可列可加性 若事件 A1 , A2 ,… 两两互不相容，则有 两两互不相容，
P(A U A UL = P(A ) + P(A ) +L ) 1 2 1 2
三、概率的性质
质 性 1 P(∅) =0
质 , 性 2 若 1 , A2 ,L An 是 两 不 容 件 两 互 相 事 ,则 A
40 频率的稳定性 抛硬币试验， 抛硬币试验，n=500时 时 nH 251 249 256 253
nA f n ( A) = n
251 246 244 0.488
fn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492
实验者 德•摩根 摩根 蒲 丰
n 2048 4040
注：相同试验由于试验目的不同，其样本空间可能 相同试验由于试验目的不同， 不同. 不同.
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察每次正、反面出现 将一枚硬币抛掷三次，观察每次正、
的情况. 的情况. S={ HHH ,HHT ,HTH ,THH, HTT , THT ,TTH ,TTT }
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数. 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数. S={ 0, 1, 2, 3 }
请回答: 请回答: 2. 随机现象有没有规律可言? 随机现象有没有规律可言? 有！
例如： 例如： 1.抛硬币，一次试验不知道正面和反面，
抛很多次，正面和反面一样多。 2.学习好和学习差的学生的考试成绩。
在一定条件下对随机现象进行大量 在一定条件下对随机现象进行大量 观测会发现某种规律性. 观测会发现某种规律性
二、概率的定义
是随机试验， 是它的样本空间 对于S中 是它的样本空间， 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于 中 是随机试验 的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为 的每一个事件 ，赋予一个实数，记为 事件A的概率 的概率， 事件 的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公 理:
第一章 随机事件的概率
§1 随机事件 一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 四、随机事件 五、事件的关系与运算
一、随机现象
现实生活中存在两种现象： 现实生活中存在两种现象：
1.确定性现象 1.确定性现象 确定性
举例
向上抛出物体， 落到地面 烧水，标准大气压100度， 水沸腾 磁铁的N、S极 抛硬币 买彩票 吸引 H or T朝上 中奖 or not
掌握随机现象的规律很重要！ 掌握随机现象的规律很重要！ 例如： 例如： 经营一家商店， 经营一家商店，某种产品的月销售额 为多少是随机现象，应该掌握其规律， 为多少是随机现象，应该掌握其规律， 用以确定进货量。 用以确定进货量。
概率论与数理统计的研究内容
随机现象的统计规律性
二、随机试验
在概率论中, 把具有以下三个特征的试验称 定义 在概率论中, 把具有以下三个特征的试验称 三个特征 随机试验 为随机试验. 1. 可以在相同的条件下重复地进行; . 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个, 并且能 . 每次试验的可能结果不止一个 不止一个, 事先明确试验的所有可能结果; 事先明确试验的所有可能结果 不能确定哪一个结果 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 . 进行一次试验之前不能确定 会出现. 会出现 随机试验通常用E 来表示. 随机试验通常用 来表示
必然事件： 必然事件： 样本空间 S 本身 不可能事件: 不可能事件: 空集∅ 空集∅
五、事件间的关系与运算
10 包含关系
A⊂ B
A
B S
事件B发生 事件 发生
事件A发生 事件 发生
实例 掷骰子试验中 “出现偶数点” 包含“出现 点”. 出现偶数点”包含“出现2点 出现偶数点
10* 相等关系 若A ⊂ B且B ⊂ A,
40 差事件
A − B = {x x ∈ A且x ∉ B}
A− B
A
B
A− B
A B
A发生且 发生且B不发生 A − B 发生 ⇔ 发生且 不发生 “长度合格但直径不合格” 是 “长度合格”与 长度合格但直径不合格” 长度合格” 长度合格但直径不合格 直径合格” “直径合格” 的差 直径合格 的差.
P( A U A ULU A ) 1 2 n
= P( A ) + P( A ) +L+ P( A ) 1 2 n
有限可加性
性质3 对任一事件 ，有 对任一事件A 性质 P(A) =1− P(A) 证明 因为 AU A = S A与 互不 容 A 相
(4)
P(S) =P(A) + P(A)=1
(3)分配律 分配律
(4)德.摩根律 德
A U B = A I B;
AI B = A U B.
第一章§2 随机事件的概 率
一、频率 二、概率的定义 三、概率的性质
一、频率
在相同的条件下，进行了n 次试验， 定义 在相同的条件下，进行了 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 次试验中， 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 发生的频数。 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。 发生的频率， 即
请回答: 请回答: 3. "天有不测风云"和"天气可以预报"有 天有不测风云" 天气可以预报" . "天有不测风云 矛盾吗? 矛盾吗? 无! “天有不测风云”指的是对随机现象 天有不测风云” 一次观察. 的一次观察. “天气可以预报”指的是研究者从大 天气可以预报” 量的气象资料来探索随机现象的规律性 随机现象的规律性. 量的气象资料来探索随机现象的规律性.
E4:掷一颗骰子，观察出现的点数。 掷一颗骰子， 掷一颗骰子 观察出现的点数。
， ， ， ， ， 样本空间 S = {1，2，3，4，5，6}
E5: 测试某灯泡的寿命： 测试某灯泡的寿命： 样本空间
｝ S = {t ：t ≥0｝
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. . 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到 件正品,记录生产产品的 . 生产产品直到得到10件正品 件正品, 总件数. 总件数
nH 1061 2048 6019
fn(H) 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005
K •皮尔逊 12000 皮尔逊
K •皮尔逊 24000 12012 皮尔逊
这n次试验中 次试验中 事件发生的频 事件发生的频 繁程度 频 率 频率的性质
定量地刻画了一次 定量地刻画了一次 试验中事件发生的 试验中事件发生的 可能性 稳 定值 概率 概率的公理化定义
B ={1,3,5｝ 是随机事件。 ｝ 是随机事件。
B={掷出奇数点 掷出奇数点} 掷出奇数点 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含 随机事件发生当且仅当它所 的某一个样本点在试验中出现 在试验中出现． 的某一个样本点在试验中出现
三个特殊的事件
基本事件: 基本事件 由一个样本点组成的单点集
“出现花面” 与 “出现字面”是对立的两 出现花面” 出现字面” 对立的两 出现花面 个事件. 个事件
事件间的运算规律 设 A, B , C 为事件, 则有 (1)交换律 交换律 (2)结合律 结合律
A U B = B U A; A I B = B I A.
A U ( B U C ) = ( A U B) U C; A I ( B I C ) = ( A I B) I C . A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ); A I ( B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ).
nA f n ( A) = n
频率的性质: 频率的性质
nA f n ( A) = n
1o 0 ≤ f n( A) ≤ 1
2o
f n(S) =1
o 若 , A2 ,L Ak 是 两 不 容 件 , 两 互 相 事 ,则 3 A 1
U k f n ( A U A UL A ) 1 2 = f n( A ) + f n( A ) +L+ f n( A ) 1 2 k
在一定条件下必然发生。 在一定条件下必然发生。
2.随机现象 2.随机现象
举例
在一定条件下， 在一定条件下，出现的 可能结果不止一个，事先不能够知道确切的结果。 可能结果不止一个，事先不能够知道确切的结果。
请回答: 请回答: 1.下面的现象哪些是随机现象？ 下面的现象哪些是随机现象？ 下面的现象哪些是随机现象 A. 太阳从东方升起； 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重 新生婴儿的体重.
例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直 产品不合格” 径是否合格所决定, 径是否合格所决定 因此 “产品不合格”是“长 度 不合格” 径不合格” 和事件. 不合格”与“直径不合格”的并或和事件 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径 是否合格所决定, 因此“产品合格” 长度合格” 是否合格所决定 因此“产品合格”是“长度合格” 直径合格” 积事件. 与“直径合格”的交或积事件
四、随机事件
定义 称样本空间S的子集为随机事件. 称样本空间S的子集为随机事件 随机事件 常用大写字母A,B,C表示。 常用大写字母A,B,C表示。 A,B,C表示 例如，掷一颗骰子，观察出现的点数. 例如，掷一颗骰子，观察出现的点数 样本空间： S = { 1,2,3,4,5,6｝ 样本空间： ｝
50 互不相容
60 对立事件