高一数学必修4同步练习：2-2-1向量加法运算及其几何意义
高中数学必修四课时作业1：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、基础过关1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km[答案] A2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → [答案] C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 [答案] A 4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → [答案] C[解析] BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.5．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → [答案] A[解析] OB →＋OC →＝2OD →， ∴2OA →＋2OD →＝0.∴AO →＝OD →.6．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________. [答案] 0[解析] 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0.7．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明 如图，AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →， 又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝DC 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 二、能力提升8．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC → [答案] C[解析] 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________． [答案] 20,4[解析] 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4.已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC→＝___________________________. [答案] 0[解析]如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则GB→＋GC→＝GD→，GD→＋GA→＝0，→＋GB→＋GC→＝0.∴GA11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．解如图所示，OA→表示水流速度，OB→表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC→表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|OB→|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12.如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形． 证明 AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→＝DC→，因为FD＝BE，且FD→与BE→的方向相同，所以FD→＝BE→，所以AE→＝FC→，即AE与FC平行且相等，所以四边形AECF是平行四边形．三、探究与拓展在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．解如图所示，设AB→、BC→分别是直升飞机两次位移，则AC→表示两次位移的合位移，即AC→＝AB→＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ， 在Rt △ACD 中， |AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。
2019学年高一数学人教A版必修4同步练习：2.2.1～2.2.2 向量加法、减法运算及其几何意义(含解析)
第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算2．2.1～2.2.2 向量加法、减法运算及其几何意义1．理解向量的和，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法的运算律及向量减法的三角形法则．2．理解向量模的性质．基础梳理一、向量加法运算1．向量加法的定义：我们把求两个向量a ，b 和的运算，叫做向量的加法，记作：a ＋b .(1)两个向量的和仍然是一个向量； (2)零向量与任一向量a 有a ＋0＝0＋a ＝a .2．向量加法的三角形法则：向量AB→与BC →相加时，AB →的终点作为BC →的起点，这时起点A 到终点C 的向量AC →就是这两个向量的和向量，即AB→＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法叫三角形法则． 向量加法的三角形法则：“首尾相接，首尾相连” . 3．向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)： 以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC→就是向量的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图：特殊情况：4．运算律．(1)向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．练习：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量a ，b 求和都适用？答案：三角形法则适合所有向量，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．思考应用1．由物理上学习的位移的合成，你能否把三角形法则推广到n 多边形的情况？解析：三角形法则能够推广到n 个向量相加的情况：AB →＋BC →＋CD →＋DE→＝AE →(注意字母必须首尾顺次连接首尾)，位移的合成能够看成是向量加法三角形法则的物理模型．二、向量减法运算1．减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA→＝a －b . 即a －b 能够表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 向量减法的三角形法则：“起点相同，指向被减向量”．2．|a ＋b |、|a －b |、|a |＋|b |、|a |－|b |之间的关系．对于任意的两个向量a 与b ，有||||a －||b ≤||a ±b ≤||a ＋||b ． 注意：当a ，b 共线时(包括同向和反向)上式等号成立．思考应用2．前面讨论的是向量运算，我们还学过那些运算？体会它们的异同．解析：我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数间的运算，今天又学到了向量间的运算．对于两个向量，通过三角形法则或平行四边形法则，有唯一的和向量与之对应．一般的，对于两个对象，通过一个法则都有唯一确定的对象与之对应，这就是运算．运算能够协助我们解决很多的问题．自测自评1．下列等式准确的个数是(C )①a ＋0＝a ； ②b ＋a ＝a ＋b ； ③－(－a )＝a ； ④a ＋(－a )＝0； ⑤a ＋(－b )＝a －b .A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如右图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是(C )A.AB→＝DC → B.AD→＋AB →＝AC → C.BA→＋BC →＝AC → D.AD→＋CB →＝0 解析：∵BA→＋BC →＝BD →， ∴C 中的结论错误．故选C .3．化简OP→－QP →＋PS →＋SP →的结果等于(B ) A .QP→ B .OQ → C .SP → D .SQ → 4．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则(A ) A ．a 与b 方向相同 B ．a ＝b C ．a ＝－b D ．a 与b 方向相反基础提升1．化简PM→－PN →＋MN →所得结果是(C ) A.MP→ B.NP → C ．0 D .MN → 2．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →的坐标是(D )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：AB→＝MB →－MA →＝(2，6)－(－2，4)＝(4，2)， ∴12AB →＝(2，1)．故选D . 3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向(A ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反4．若O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0.则O 是△ABC 的(B )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解析：OA→＋OB →＋OC →＝0，∵OA →＋OB →是以OA →，OB →为邻边作平行四边形的对角线且过AB 的中点，设点D ，则OA→＋OB →＝2OD →，∴2OD→＋OC →＝0.∵D 为AB 的中点，同理E ，F 为AC ，BC 中点，∴满足条件的点O 为△ABC 三边中线交点，故为重心．5．向量(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于(C ) A .BC→ B .AB → C .AC → D .AM → 解析：(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(MB →＋BO →)＋OM→＝AC →＋MO →＋OM →＝AC →.故选C . 巩固提高6．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________．答案：37．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，求OD →.解析：∵BA→＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →， ∴OD→－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， ∴OD→＝a －b ＋c . 8．若在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则FA→＋AB →＋2BO →＋ED→等于(B ) A.FE→ B.AC → C.DC → D.FC → 解析：FA→＋AB →＋2BO →＋ED →＝FE →＋ED →＝FD →＝AC →. 9．已知：△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．求证：DE 綊12BC .证明：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，故AD →＝12AB →，AE→＝12AC →.DE →＝AE→－AD →＝12(AC →－AB →)＝12BC →.所以DE 綊12BC .掌握两个向量的减法运算能够转化为加法来实行．1．记住常用关系、常用数据：如△ABC 中AB→＋BC →＋CA →＝0；以向量a ，b 为邻边的平行四边形中，a ±b 表示的是两条对角线所在的向量．2．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．。
高一数学必修4同步练习：2-2-1向量加法运算及其几何意义
与 a、b 的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量 a 与 b 反向且|a|<|b| 时，a＋b 的方向与 b 的方向相同(与 a 方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|. → → → 10． (09· 山东文)设 P 是△ABC 所在平面内的一点， BC＋BA＝2BP， 则( ) → → A.PA＋PB＝0 → → C.PC＋PA＝0 [答案] C → → → [解析] ∵BC＋BA＝2BP， ∴由平行四边形法则，点 P 为线段 AC 的中点， → → ∴PC＋PA＝0.故选 C. 二、填空题 → → 11．已知|OA |＝|a|＝3，|OB |＝|b|＝3，∠AOB＝90° ，则|a＋b|＝ ________. [答案] 3 2 → → → → [解析] ∵|OA|＝|OB|且∠AOB＝90° ，∴|a＋b|为以OA、OB为两 邻边的矩形的对角线的长， ∴|a＋b|＝3 2. → → → → 12．设 P 为▱ABCD 所在平面内一点，则①PA＋PB＝PC＋PD； → → → → → → → → ② PA ＋ PC ＝ PB ＋ PD ； ③ PA ＋ PD ＝ PB ＋ PC 中 成 立 的 序 号 为 ________． → → B.PB＋PC＝0 → → → D.PA＋PB＋PC＝0
人教A版高中数学必修四课后训练{2.2.1向量加法运算及其几何意义}.docx
课后训练1．已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b ＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为()A．5 B．4C．3 D．22．下列说法：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中正确说法的个数为()A．0 B．1C．2 D．33．如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0 B．BE C．AD D．CF4．a，b为非零向量，|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是方向相反的向量C．a＝－bD．a，b无论什么关系均可5．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，有下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|．其中，正确的结论为()A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤6．在平行四边形ABCD中，若|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则四边形ABCD是__________．7．根据图示填空．(1)AB＋OA＝__________；(2)BO＋OD＋DO＝__________；(3)AO＋BO＋2OD＝__________．8．在正方形ABCD中，边长为1，AB＝a，BC＝b，则|a＋b|＝__________．答案：2解析：a＋b＝AB＋BC＝AC，∴|a＋b|＝|AC|＝2．9．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．10．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点．求证：AD＋BE ＋CF＝0．参考答案1答案：A 解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a ＋b ＋c ．2答案：B 解析：①错，若a ＋b ＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A ，B ，C 三点共线时也满足；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |．3答案：D 解析：CD ＝AF ，EF ＝CB ．则BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋CB ＝CB ＋BA ＋AF ＝CA ＋AF ＝CF ． 4答案：A 解析：由三角形法则，考虑特殊情况即可．5 C 解析：()()()()AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA =+++=+++=+=0a ，从而易知①③⑤正确。
高中数学必修四课时作业4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
必修四第二章 平面向量2．2．1 向量的加法1. 向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM →2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 3.【题目】已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ， a r 与b r 的夹角为60°，则a b -=r r4.【题目】对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ）A ．若=0g a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若g g a b =a c ，则b =c 5.【题目】对于向量a b c r r r 、、和实数λ，下列命题中真命题是A.若·000a b a b ==r r r r r r ＝，则或 B.若则λ＝0或0a =r r C.若22,a b a b a b ===-r r r r r r 则或 D.若·a b a c b c -==r r r r r ，则 6.【题目】已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b rA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向7.【题目】在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则λ=（ ）A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 8.已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r （ ） （A ）垂直 （B ）不垂直也不平行（C ）平行且同向 （D ）平行且反向9.【题目】若向量a r 、b r 满足|a r |=|b r |=1，a r 与b r 的夹角为60︒，则a a r r g +a b =r r g（ ）A ．12B ．32C. 1+ D ．2 10.【题目】已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B C ．2 D ．4参考[答案]：1. (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(BO →＋OM →＋MB →)＝AC →＋0＝AC →【[答案]】C 2.1322-=a b (12).-， 【[答案]】D3.考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-=r u u u r r u u u r r r u u u r u u u r u u u r ，由余弦定理得：a b -=r r【[答案]】a b -=r r4.【[答案]】B5.a ⊥b 时也有a·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a·b=a·c 得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时【[答案]】B6.已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ⋅=-+=r r 则a r 与b r 垂直【[答案]】A7.【[答案]】A8.【[答案]】A9.a ﹒a+ a ﹒b=12+1×1×21=23 【[答案]】B 10.(1)(1)a n b n ==-r r ，，， 2(3,)a b n ⇒-r r =2a b -r r 与b r 垂直22(2)0303a b b n n ⇒-⋅=⇒-+=⇒=r r r2a ∴===r【[答案]】C。
2020年高中数学 必修4 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 基础训练(人教A版)
2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义基础训练1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.任意四边形B.矩形C.正方形D.平行四边形答案:D2.如图,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC ,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.CD ⃗⃗⃗⃗⃗B.OC ⃗⃗⃗⃗⃗C.DA ⃗⃗⃗⃗⃗D.CO ⃗⃗⃗⃗⃗解析:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .答案:B3.如图,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .答案:A4.在平行四边形ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是() A .菱形 B .矩形 C .正方形 D .不确定解析:由题意知|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.又|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴四边形ABCD 是矩形.答案:B5.如图所示的方格中有定点O ,P ,Q ,E ,F ,G ,H ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.OG ⃗⃗⃗⃗⃗C.FO ⃗⃗⃗⃗⃗D.EO⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:设a =OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,以OP ,OQ 为邻边作平行四边形,则夹在OP ,OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a 与FO ⃗⃗⃗⃗⃗ 长度相等,方向相同,所以a =FO⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:C6.若向量a 与b 共线,且|a |=|b |=1,则|a +b |= .解析:a 与b 同向时,|a +b |=|a |+|b |=2;a 与b 反向时,|a +b |=||a |-|b ||=0.答案:0或27.若向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平分∠AOB ,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是 . 解析:以OA 与OB 为邻边作▱OACB ,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .又OC 平分∠AOB ,所以▱OACB 是菱形, 即|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |. 答案:|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 8.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .解析:由题意,得OA⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 9.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a |=3,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b |=3,∠AOB=60°,求|a +b |.解:如图,∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴四边形OACB 为菱形.连接OC ,AB ,则OC ⊥AB ,设垂足为D.∵∠AOB=60°,∴AB=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴在Rt △BDC 中,CD=3√32, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a +b |=3√32×2=3√3.10.如图,两个力F 1和F 2同时作用在一个质点O 上,且F 1的大小为3 N,F 2的大小为4 N,且∠AOB=90°,试作出F 1和F 2的合力,并求出合力的大小.分析:由于力是向量,按平行四边形法则作出合力,再利用勾股定理求出合力的大小.解:如图,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示力F 1,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 表示力F 2,以OA ,OB 为邻边作▱OACB ,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是力F 1和F 2的合力. 在△OAC 中,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,且OA ⊥AC ,则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=5,即合力的大小为5 N .。
人教版数学高一必修4练习册2-2-1向量加法运算及其几何意义
1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( )A ．ABCD 一定是矩形B ．ABCD 一定是菱形C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形 解析：由AC →＝AB →＋AD →知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．答案：D2．下列等式不成立的是( )A ．0＋a ＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA →D.AB →＋BC →＝AC →解析：对于C ，∵AB →与BA →是相反向量，∴AB →＋BA →＝0.答案：C3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是________．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．答案：8 2 km 东北方向5．在水流速度为4 3 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向．解：设AB →表示水流的速度，AC →表示船的实际航行速度，如图，作出AB →，AC →，连接BC ，作AD 綊BC ，连接DC ，则AD →为所求船的静水航速，且AD →＋AB→＝AC →.∵|AB →|＝43，|AC →|＝12，tan ∠ACB ＝4312＝33.∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ，|AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流速度成120°角．。
高中数学必修4单元配套练习试题2.2.1 向量加法运算及其几何意义及参考答案解析
2.2.1 向量加法运算及其几何意义姓名:___________班级:______________________1.P 为四边形ABCD 所在平面上一点,=PA PB PC PD AB CD ++++,则P 为( )A.四边形ABCD 对角线交点B.AC 的中点C.BD 的中点D.CD 边上一点2.若0a b c ++=,则,,a b c ( )A.一定可以构成三角形B.都是非零向量时可以构成一个三角形C.一定不可以构成一个三角形D.都是非零向量时也可能无法构成三角形3.下列各式不恒成立的是( )A.a b b a +=+B.0a a +=C.AC CB AB +=D.a b a b +=+4.已知D ,E ,F 分别是△ABC 三边AB ,BC ,CA 的中点,则下列等式不成立的是( )A.FD DA FA +=B.0FD DE EF ++=C.DE DA EC +=D.DA DE DF +=5.AB+BC +CD+DE +EF +FA =( )A.0B.0C.2ADD.2AD -6.向量a 、b 均为非零向量,则下列说法不正确的是( ) A.若向量a 与b 反向,且>a b ,则向量+a b 与a 的方向相同 B.若向量a 与b 反向,且<a b ,则向量+a b 与a 的方向相同C.若向量a 与b 同向,则向量+a b 与a 的方向相同D.若向量a 与b 的方向相同或相反,则+a b 的方向必与a 、b 之一的方向相同7.已知a ,b ,c 是非零向量,则()++a c b ,()++b a c ,()++b c a ,()++c a b ,()++c b a 中,与向量++a b c 相等的个数为( )A.5B.4C.3D.28.已知=10AB ,=7BC ,则AC 的取值范围是( )A.[]3,17B.[)3,17C.[]3,10D.(]3,109.若向量a ,b 满足8=a ,2=1b ,则+a b 的最小值是__________.10.如图,已知△ABC 是直角三角形且90A ∠=︒,则下列结论中正确的是________.①AB AC BC +=;②AB BC CA +=;③AB CA BC +=;④222AB AC BC +=.11.已知点G 是△ABC 的重心,则GA GB GC ++=________.12.求证:三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形.13.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,船实际航行方向与水流方向成30︒角,求水流速度和船实际速度.14.点D ,E ,F 分别是△ABC 的三边AB ,BC ,CA 的中点,求证:(1)AB BE AC CE +=+;(2)0EA FB DC ++=.参考答案1.B【解析】∵=AB AP PB +,=CD CP PD +,=PA PB PC PD AB CD ++++,∴PA PC AP CP +=+,∴0PA PC +=.∴点P 为线段AC 的中点.故选B.考点:向量的加法及其几何意义.2.D【解析】0a b c ++=,则,,a b c 都是非零向量且不共线时可以构成一个三角形,而共线时不能构成三角形,故选D.考点:向量的加法及其几何意义.3.D【解析】由向量的运算法则可知:a b b a +=+正确;0a a +=正确;AC CB AB +=正确;a b a b +=+只有a 、b 同向时成立,所以D 不恒成立.故选D.考点:向量的加法及其几何意义.4.B【解析】由加法的三角形法则可得,FD DA FA +=,0FD DE EF ++=,DE DA EC +=,DA DE DF +=,故选B.考点:向量的加法及其几何意义.5.B【解析】由向量加法的运算法则可知0AB+BC +CD+DE +EF +FA =.考点:向量的加法及其几何意义.6.B【解析】对于B,向量+a b 与b 的方向相同,故选B.考点:向量的加法及其几何意义.【答案】 A【解析】依据向量加法的交换律及结合律可知,每个向量式均与++a b c 相等,故选A. 考点:向量的加法及其几何意义.8.A【解析】∵AC =AB+BC ,∴==17AC AB+BC AB BC ≤+,==3AC AB+BC AB BC ≥-,∴317AC ≤≤.考点:向量的加法及其几何意义.9.4 【解析】-≤+≤+a b a b a b ,a ,b 异向共线时,+a b 取最小值为4.考点:向量的加法及其几何意义.10.①②③④【解析】①正确,以AB ,AC 为邻边作ABDC ,又90A ∠=︒,所以ABDC 为矩形,所以AD BC =,所以AB AC AD BC +==;②正确,AB BC AC CA +==;③正确,AB CA CB BC +==;④正确,由勾股定理知222AB AC BC +=.考点:向量的加法及其几何意义.11.0【解析】如图所示,连接AG 并延长交BC 于E 点,则点E 为BC 的中点,延长AE 到D 点,使GE ED ＝,则GB GC GD +=,0GD GA +=,∴0GA GB GC ++=.考点:向量的加法及其几何意义.12.详见解析【解析】证明:要证明三个向量首尾相连构成三角形,只要证明三个向量的和为0即可.如图所示:设△ABC 的三边对应的向量为BC =a ,CA =b ,AB =c ,那么0++=a b c ,设D 、E 、F 分别为三边BC ,CA ,AB 的中点,于是中线对应的向量分别为12AD AB BD =+=+c a , 12BE BC CE =+=+a b ,12CF CA AF =+=+b c ,∴()102AD BE CF ++=+++++=a b c a b c ,∴0AD BE CF ++=, 故结论得证,即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形. 考点:向量的加法及其几何意义.13.水流速度大小为,船实际速度为10 km/h【解析】如图所示,OA 表示水流速度,OB 表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度,OC 表示船实际航行的速度,30AOC ∠=︒, 5 km/h OB =.∵四边形OACB 为矩形,∴)o ta km/h n 30AC OA ==,()o si 10km/h n 30OB OC ==,∴水流速度大小为,船实际速度为10 km/h .考点:向量的加法及其几何意义.14.详见解析【解析】证明:(1)由向量加法的三角形法则得,AB BE AE +=, 同理可得,AC CE AE +=,∴AB BE AC CE +=+.(2)由向量加法的三角形法则得,EA EB BA =+, 同理可得,FB FC CB =+,DC DB BC =+,∴左边EA FB DC EB BA FC CB DB BC =++=+++++,EB BA FC DB =+++, ①∵点D ,E ,F 分别是△ABC 的三边AB ,BC ,CA 的中点,∴FC AF =,代入①得,左边EB BF DB EF DB =++=+,又∵EF BD =,∴左边0==右边,故等式成立.考点:向量的加法及其几何意义.。
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→ → B.PB＋PC＝0 → → → D.PA＋PB＋PC＝0
∴由平行四边形法则，点 P 为线段 AC 的中点， → → ∴PC＋PA＝0.故选 C. 二、填空题 → → 1 ．已知 | OA | ＝ |a| ＝ 3 ， | OB | ＝ |b| ＝ 3 ，∠ AOB ＝ 90° ，则 |a ＋ b| ＝ ________. [答案] 3 2 → → → → [解析] ∵|OA|＝|OB|且∠AOB＝90° ，∴|a＋b|为以OA、OB为两 邻边的矩形的对角线的长，∴|a＋b|＝3 2. 2．已知|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________． [答案] [1,5] [解析 ] b|≤|a|＋|b|， 则有 1≤|a＋b|≤5. |a|－ |b|＝ 3－ 2＝ 1， |a|＋ |b|＝ 3＋ 2＝ 5，又 |a|－ |b|≤|a＋
2-2-1 向量加法运算及其几何意义 一、选择题 1．下列等式中不正确的是( A．a＋0＝a C．|a＋b|＝|a|＋|b| [答案] C [解析] 当 a 与 b 方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|. 2．在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确 的是( ) → → → B.AD＋OD＝DA → → → → D.AB＋BC＋CD＝DA ) B．a＋b＝b＋a → → → → D.AC＝DC＋AB＋BD
→ → → → A.AB＝CD，BC＝AD → → → → C.AO＋OD＝AC＋CD
[答案] C → → → → → → → → → [解析] 因为AO＋OD＝AD，AC＋CD＝AD，所以AO＋OD＝AC → ＋CD. → 3．在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、BC、CA 的中点，则DE＋ → FC等于( )
三、解答题 15．设 a 表示“向西走 2km”，b 表示“向北走 2km”，则 a＋b 表示向哪个方向行走了多少？ [解析] → → 如图，作OA＝a＝“向西走 2km”，AB＝b＝“向北走
→ → → 2km”，则OB＝OA＋AB＝a＋b.
→ ∵△OAB 为 Rt△，∴|OB|＝ 22＋22＝2 2km， 又∠AOB＝45° ，所以 a＋b 表示向西北方向走了 2 2km. 17．在水流速度大小为 10km/h 的河中，如果要使船实际以 10 3 km/h 大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．
→ [解析] 如右图所示，OA 表示水流方向，OB表示垂直于对岸横 → → → → → → 渡的方向，OC表示船行速度的方向，由OB＝OC＋OA易知|BC|＝|OA| ＝10，又∠OBC＝90° ， → ∴|OC|＝20，∴∠BOC＝30° ， ∴∠AOC＝120° ，即船行驶速度为 20km/h，方向与水流方向成 120° 角．
→ A.AB → C.AC [答案] C
→ B.BC → D.AE
[解析] ∵D、E、F 分别为 AB、BC、AC 中点，
∴DE∥AF 且 DE＝AF， → → ∴DE＝AF， → → → → → ∴DE＋FC＝AF＋FC＝AC. → → → → 4．在△ABC 中，|AB|＝|BC|＝|AB＋BC|，则△ABC 是( A．直角三角形 C．钝角三角形 [答案] B → → → → → → [解析] AB＋BC＝AC，则|AB|＝|BC|＝|AC|， 则△ABC 是等边三角形． → → → 5．设 P 是△ABC 所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则( ) B．等边三角形 D．等腰直角三角形 )