2019中考数学第二部分专题综合强化专题三圆的相关证明与计算针对训练

第二部分 专题三类型1 与圆有关的角平分线问题1．(2018·衡阳)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝4，CE ＝2，求BD ︵的长度．(结果保留π) (1)证明：如答图，连接OD ，答图∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ． ∵AD 平分∠EAF ， ∴∠DAE ＝∠DAO ， ∴∠DAE ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE .∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF ， ∴EF 是⊙O 的切线．(2)解：如答图，作OG ⊥AE 于点G ，则AG ＝CG ＝12AC ＝2，∠OGE ＝∠E ＝∠ODE ＝90°，∴四边形ODEG 是矩形，∴OA ＝OD ＝GE ＝CG ＋CE ＝2＋2＝4，∠DOG ＝90°， 在Rt △AOG 中，∵OA ＝2AG ， ∴∠AOG ＝30°，∴∠BOD ＝60°， 则BD ︵的长度为60·π·4180＝4π3.2．(2018·赤峰)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O在AB 上，⊙O 经过A ，D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径是2 cm ，E 是AD ︵的中点，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号) (1)证明：如答图，连接OD ，答图∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ． ∵AD 平分∠BAC ，∠OAD ＝∠DAC ， ∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°， ∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线． (2)解：连接OE ，OE 交AD 于K ， ∵AE ︵＝DE ︵，∴OE ⊥AD ．∵∠OAK ＝∠EAK ，AK ＝AK ，∠AKO ＝∠AKE ＝90°， ∴△AKO ≌△AKE (ASA)，∴AO ＝AE ＝OE ， ∴△AOE 是等边三角形，∴∠AOE ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形OAE －S △AOE ＝60·π·22360－34×22＝2π3－ 3.3．(2018·咸宁)如图，以△ABC 的边AC 为直径的⊙O 恰为△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝25，BC ＝5，求DE 的长． (1)证明：如答图，连接OD ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.答图∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝45°，∴∠AOD ＝90°. ∵DE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠AOD ＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝25，BC ＝5， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴OD ＝52.∵DE ∥AC ，∴∠CEG ＝∠ACB ， ∴tan ∠CEG ＝tan ∠ACB ，∴CG GE ＝AB BC ，即2.5GE ＝255， 解得GE ＝54，∴DE ＝DG ＋GE ＝154.4．(2018·莱芜)如图，已知A ，B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点C ，CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)E 为AB ︵ 的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交AB 于G ，若tan ∠AFE ＝34，BE ＝BG ，EG ＝310，求⊙O 的半径．(1)证明：连接OC ，如答图，答图∵BC 平分∠OBD ，∴∠OBC ＝∠CBD ．∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ， ∴∠OCB ＝∠CBD ，∴OC ∥AD ， 而CD ⊥AB ，∴OC ⊥CD ， ∴CD 是⊙O 的切线．(2)解：连接OE 交AB 于H ，如答图， ∵E 为AB ︵的中点，∴OE ⊥AB ． ∵∠ABE ＝∠AFE ，∴tan ∠ABE ＝tan ∠AFE ＝34，∴在Rt △BEH 中，tan ∠HBE ＝EH BH ＝34，∴设EH ＝3x ，BH ＝4x ，∴BE ＝5x . ∵BG ＝BE ＝5x ，∴GH ＝x ，在Rt △EHG 中，x 2＋(3x )2＝(310)2，解得x ＝3， ∴EH ＝9，BH ＝12，设⊙O 的半径为r ，则OH ＝r －9，在Rt △OHB 中，(r －9)2＋122＝r 2，解得r ＝252，即⊙O 的半径为252.类型2 与圆有关的双切线问题1．(2018·北京)如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ，CD ．(1)求证：OP ⊥CD ；(2)连接AD ，BC ，若∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，OA ＝2，求OP 的长． (1)证明：如答图，设PO 与DC 交于点Q ， ∵PC ，PD 与⊙O 相切于C ，D ， ∴PC ＝PD ，OP 平分∠CPD ，在等腰△PCD 中，PC ＝PD ，PQ 平分∠CPD ， ∴PQ ⊥CD 于Q ，即OP ⊥CD ．(2)解：如答图，连接OC ，OD ，答图∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ＝50°， ∴∠AOD ＝180°－∠OAD －∠ODA ＝ 80°.同理：∠BOC ＝40°，∴∠COD ＝180°－∠AOD －∠BOC ＝60°， 在等腰△COD 中，OC ＝OD ，OQ ⊥CD ， ∴∠DOQ ＝12∠COD ＝30°.∵PD 与⊙O 相切于D ，∴OD ⊥DP ， ∴∠ODP ＝90°，在Rt △ODP 中，∠ODP ＝90°，∠POD ＝30°， ∴OP ＝ODcos ∠POD ＝OA cos30°＝232＝433.2．(2018·黔西南)如图，CE 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点C ，连接OB ，作ED ∥OB 交⊙O 于点D，BD 的延长线与CE 的延长线交于点A ．(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为1，tan ∠DEO ＝2，tan ∠A ＝14，求AE的长．(1)证明：连接OD ，如答图，答图∵ED ∥OB ，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3， ∵OD ＝OE ，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.在△DOB 与△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC ，∠1＝∠2，OB ＝OB ，∴△DOB ≌△COB (SAS)， ∴∠ODB ＝∠OCB ．∵BC 切⊙O 于点C ，∴∠OCB ＝90°， ∴∠ODB ＝90°，∴AB 是⊙O 的切线． (2)解：∵∠DEO ＝∠2. ∴tan ∠DEO ＝tan ∠2＝ 2.∵⊙O 的半径为1，∴OC ＝1，∴BC ＝ 2.∵tan ∠A ＝BC AC ＝14，∴AC ＝4BC ＝42，∴AE ＝AC －CE ＝42－2.3．(2018·武汉)如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接PB ，PC ，PC 交AB 于点E ，且PA ＝PB ．(1)求证：PB 是⊙O 的切线； (2)若∠APC ＝3∠BPC ，求PE CE的值． (1)证明：如答图，连接OP ，OB ．答图∵PA 是⊙O 的切线， ∴PA ⊥OA ，∴∠PAO ＝90°.在△PAO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB ，PO ＝PO ，OA ＝OB ，∴△PAO ≌△PBO (SSS)． ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°， ∴PB ⊥OB ，∴PB 是⊙O 的切线． (2)解：设OP 交AB 于K . ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ． ∵PA ，PB 都是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO . ∵OA ＝OB ，∴OP 垂直平分线段AB ， ∴OK ∥BC ．∵AO ＝OC ，∴AK ＝BK ，∴BC ＝2OK ，设OK ＝a ，则BC ＝2a . ∵∠APC ＝3∠BPC ，∠APO ＝∠OPB ， ∴∠OPC ＝∠BPC ＝∠PCB ， ∴BC ＝PB ＝PA ＝2a .∵△PAK ∽△POA ，∴PA 2＝PK ·PO ，设PK ＝x ， 则有x 2＋ax －4a 2＝0， 解得x ＝17－12a (负根舍去)， ∴PK ＝17－12a . ∵PK ∥BC ，∴PE EC ＝PK BC ＝17－14.4．(2018·襄阳)如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，E 为⊙O 上一点，过点E 作直线DC 分别交AM ，BN 于点D ，C ，且CB ＝CE .(1)求证：DA ＝DE ；(2)若AB ＝6，CD ＝43，求图中阴影部分的面积． (1)证明：如答图，连接OE ，OC ，BE . ∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ． ∵BC ＝EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ， ∴∠OBC ＝∠OEC ．∵BC 为⊙O 的切线，∴∠OEC ＝∠OBC ＝90°. ∵OE 为⊙O 的半径，∴CD 为⊙O 的切线． ∵AD 切⊙O 于点A ，∴DA ＝DE .(2)解：如答图，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则四边形ABFD 是矩形，答图∴AD ＝BF ，DF ＝AB ＝6， ∴DC ＝BC ＋AD ＝4 3. ∵FC ＝DC 2－DF 2＝23，∴BC ＋AD ＝BF ＋FC ＋AD ＝AD ＋FC ＋AD ＝2AD ＋23＝43，∴AD ＝3， ∴BC ＝BF ＋FC ＝AD ＋FC ＝3＋23＝33， 在Rt △OBC 中，tan ∠BOC ＝BC BO ＝333＝3， ∴∠BOC ＝60°，在△OEC 和△OBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OB ，OC ＝OC ，CE ＝CB ，∴△OEC ≌△OBC (SSS)， ∴∠BOE ＝2∠BOC ＝120°，∴S 阴影＝S 四边形BCEO －S 扇形OBE ＝2×12BC ·OB －120·π·OB2360＝93－3π.5．(2018·新疆)如图，PA 与⊙O 相切于点A ，过点A 作AB ⊥OP ，垂足为C ，交⊙O 于点B ．连接PB ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点D ，与PB 的延长线交于点E .(1)求证：PB 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝3，AC ＝4，求sin E 的值． (1)证明：如答图，连接OB ．答图∵PO ⊥AB ，∴AC ＝BC ，∴PA ＝PB ，在△PAO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB ，AO ＝BO ，PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO (SSS)， ∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°， ∴PB 是⊙O 的切线． (2)解：连接BD ， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD ＝90°. ∵∠ACO ＝90°，∴BD ∥PO ，且BD ＝2OC ＝6，在Rt △ACO 中，OC ＝3，AC ＝4，∴AO ＝5， 在Rt △ACO 和Rt △PAO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOP ＝∠AOC ，∠PAO ＝∠ACO ，∴△ACO ∽△PAO ， ∴AO CO ＝PO AO ，AC PA ＝CO AO ，∴PO ＝253，PA ＝203，∴PB ＝PA ＝203，在△EPO 与△EBD 中，∵BD ∥PO ， ∴△EPO ∽△EBD ，∴BD PO ＝EBEP， 解得EB ＝1207，PE ＝50021，∴sin E ＝PA EP ＝725.类型3 与圆有关的弦切角问题1．(2018·金华)如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ．已知∠CAD ＝∠B ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线．(2)若BC ＝8，tan B ＝12，求⊙O 的半径．(1)证明：如答图，连接OD ，答图∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠B ． ∵∠B ＝∠1，∴∠1＝∠3.∵在Rt △ACD 中，∠1＋∠2＝90°，∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，∴OD ⊥AD ， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)解：设⊙O 的半径为r ， 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ·tan B ＝4， 根据勾股定理得AB ＝42＋82＝45， ∴OA ＝45－r .在Rt △ACD 中，∵tan ∠1＝tan B ＝12，∴CD ＝AC ·tan∠1＝2，根据勾股定理得AD 2＝AC 2＋CD 2＝16＋4＝20，在Rt △ADO 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即(45－r )2＝r 2＋20，解得r ＝352.即⊙O 的半径为352.2．(2018·玉林)如图，在△ABC 中，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，∠DAC ＝∠B ．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)点E 是AB 上一点，若∠BCE ＝∠B ，tan ∠B ＝12，⊙O 的半径是4，求EC 的长． (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＋∠BAD ＝90°.∵∠DAC ＝∠B ，∴∠DAC ＋∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝90°，∴BA ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠BCE ＝∠B ，∴EC ＝EB ，设EC ＝EB ＝x ，在Rt △ABC 中，∵tan ∠B ＝AC AB ＝12，AB ＝8，∴AC ＝4. 在Rt △AEC 中，∵EC 2＝AE 2＋AC 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5，∴CE ＝5.3．(2018·齐齐哈尔)如图，以△ABC 的边AB 为直径画⊙O ，交AC 于点D ，半径OE ∥BD ，连接BE ，DE ，BD ，设BE 交AC 于点F ，若∠DEB ＝∠DBC ．(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BF ＝BC ＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°.∵∠A ＝∠DEB ，∠DEB ＝∠DBC ，∴∠A ＝∠DBC ，∴∠DBC ＋∠ABD ＝90°，∴BC 是⊙O 的切线．(2)解：如答图，连接OD ，∵BF ＝BC ＝2，且∠ADB ＝90°，答图∴∠CBD ＝∠FBD ．∵OE ∥BD ，∴∠FBD ＝∠OEB ．∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠OBE ，∴∠CBD ＝∠DBE ＝∠OBE ＝13∠ABC ＝13×90°＝30°，∴∠C ＝60°，∴AB ＝3BC ＝23，∴⊙O 的半径为3，∠BOD ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形DOB －S △DOB ＝16π×3－34×3＝π2－334.。