2.4.2《导数的乘法与除法法则》课件(北师大版选修2-2)
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北师版数学高二选修2-2课件 导数的乘法与除法法则
b x
(a，b为常数)过Байду номын сангаасP(2，－5)，
且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是_－__3__.
解析 y＝ax2＋bx的导数为 y′＝2ax－xb2，
直线 7x＋2y＋3＝0 的斜率为－72.
由题意得44aa－＋b2b4＝ ＝－ －725，，
解得ab＝ ＝－ －12， ，
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？ 答案 不成立.因为[f(x)g(x)]′＝(x5)′＝5x4， 而f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x， 所以f′(x)g′(x)＝6x3， 所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).
答案
思考2
[f(x)g(x)]′与f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)有什么关系？ 答案 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x).
第二章 §4 导数的四则运算法则
4.2 导数的乘法与除法法则
学习目标
1.理解并掌握导数的乘法与除法法则. 2.掌握导数的运算法则. 3.能运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 导数的乘法与除法法则
已知f(x)＝x3，g(x)＝x2.
思考1
2.积、商的求导法则 (1)若c为常数，则[c·f(x)]′＝c·f′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， [gfxx]′＝f′xgxg－2xfxg′x； (3)当 f(x)＝1 时，有[g1x]′＝－gg′2xx.
本课结束
解答
类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式 例2 设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得 f′(x)＝xcos x，并求出f(x)的解析式.
高中数学选修2-2 北师大版 2.4 导数的四则运算法则 课件(20张)
做一做 1
曲线 y=x3-2x 在(1,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-2=0 D.x+y+2=0 解析:由点(1,-1)在曲线 y=x3-2x 上,所以 x=1 时切线的斜率 k=1,则切线 方程为 x-y-2=0,故选 A. 答案:A
-3-
§4
1
-2-
§4
1
导数的四则运算法则
2
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
1.导数的加法与减法法则 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x),[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x).
导数的四则运算法则
2
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2.导数的乘法与除法法则 一般地,若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f'(x)和 g'(x),则有 [f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
=tan x+x
1 cos2 ������
=
-7-
§4
导数的四则运算法则
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北师大版高中数学选修2-2导数的乘法与除法法则
解：
（1）可设 f (x) = x2 , g(x) = ln x + sin x
则有：f (x) = 2x, g(x) = 1 + cos x x
根据导数的乘法法则，得：
[ ] x2(ln x + sin x)
= 2x(ln x + sin x) + x2 ( 1 + cos x) x
= x + 2x ln x + 2x sin x + x2 cos x
f (x0 + x) x
f (x0 ) + (x0 + x)2 - x02 x
f (x0 )
由于
lim (
0
x0
+
x)2
=
x
2 0
lim
x 0
f ( x0
+ x) x
f ( x0 )
=
f ( x0 )
lim ( x0
x 0
+
x)2
-
x
2 0
x
= 2x0
=
g ( x0 )
f (x)
g(
x)
=
f (x)g(x) - f (x)g(x) g 2 ( x)
解：
（1）设 f (x) = x2 , g(x) = ex，可知 f (x) = 2x, g(x) = ex
由导数的乘法法则：
[ f (x)g(x) ] = f (x)g(x) + f (x)g(x)
设 y = f (x) 在 x0处的导数为 f (x) ，g(x) = x2，求 y = f (x)g(x) = x2 f (x)在 x0处的导数。
【步步高】高中数学 第2章 4.2导数的乘法与除法法则课件 北师大版选修2-2
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′ －x2－6x＋3 (2)y′＝ ＝ . x2＋32 x2＋32 2 2sin x (3)y′＝(xsin x)′－(cos x)′＝sin x＋xcos x－ cos2x .
研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 导数的应用
例2 (1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 求下列函数的导数： x＋3 2 (1)y＝x· tan x；(2)y＝ 2 ；(3)y＝xsin x－ . cos x x ＋3 xsin x 解 (1)y′＝(x· tan x)′＝( )′ cos x
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x sin xcos x＋x ＝ ＝ cos2x cos2x
t－1 t 1 1 1 2 2 解 ∵s(t)＝ t2 ＋2t ＝t2－t2＋2t ＝ t －t2＋2t2， 1 1 ∴s′(t)＝－t2＋2· t3＋4t， 1 2 323 ∴s′(3)＝－9＋27＋12＝ 27 ， 323 即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 27 m/s.
研一研·问题探究、课堂更高效
f′xgx－fxg′x fx 2 g x . gx′＝
特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝ kf′(x) ．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
导数的运算法则
问题1 设函数y＝f(x)在x0处的导数为f′(x0)，g(x)＝x2，用导数 定义求y＝f(x)g(x)＝x2f(x)在x0处的导数．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 应用导数公式和四则运算法则求导有哪些注意点？
研一研·问题探究、课堂更高效 探究点二 导数的应用
例2 (1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 求下列函数的导数： x＋3 2 (1)y＝x· tan x；(2)y＝ 2 ；(3)y＝xsin x－ . cos x x ＋3 xsin x 解 (1)y′＝(x· tan x)′＝( )′ cos x
xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x sin x＋xcos xcos x＋xsin2x sin xcos x＋x ＝ ＝ cos2x cos2x
t－1 t 1 1 1 2 2 解 ∵s(t)＝ t2 ＋2t ＝t2－t2＋2t ＝ t －t2＋2t2， 1 1 ∴s′(t)＝－t2＋2· t3＋4t， 1 2 323 ∴s′(3)＝－9＋27＋12＝ 27 ， 323 即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 27 m/s.
研一研·问题探究、课堂更高效
f′xgx－fxg′x fx 2 g x . gx′＝
特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝ kf′(x) ．
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探究点一
导数的运算法则
问题1 设函数y＝f(x)在x0处的导数为f′(x0)，g(x)＝x2，用导数 定义求y＝f(x)g(x)＝x2f(x)在x0处的导数．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 应用导数公式和四则运算法则求导有哪些注意点？
高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则2.4.2导数的乘法与除法法则课件北师大版选修2_2
������(������) ������(������)
'=������'(������)������(������������2)-(������������()������)������'(������).
【做一做1】 函数y=(x-a)(x-b)的导数是( )
A.y'=ab B.y'=-a(x-b)
=- ������sin������������+c2os������������=-cos���2���+������2������������sin������.
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
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3
4
5
.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
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5曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程
【做一做 2】 函数 f(x)=e������������的导数为 f'(x)=
.
解析:f'(x)=
e������ ������
'=������e������������2-e������ = e������(���������2���-1).
答案:e������(���������2���-1)
高中高中数学北师大版选修2-2练习课件2.4.2 导数的乘法与除法法则精选ppt课件
解析：由导数的四则运算法则以及基本初 等函数的导数公式易得．
答案：B
2． 已知函数 f(x)＝1＋x x2，则 f′(－1)＝(
)
A．－1
B．0
C．12
D．1
解析：∵f′(x)＝x′1＋x12＋－xx212 ＋x2′＝11＋－xx222，∴
f′(－1)＝0.
答案：B
知识点二
导数运算法则的综合应用
答案：D
4． [2013·课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝x2＋ ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝ g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x ＋2，求a，b，c，d的值．
解：f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)． 由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0) ＝4， 所以f(0)＝b＝2，g(0)＝d＝2，f′(0)＝a＝4， g′(0)＝c＋d＝4， 解得a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
课后提升训练
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再见
3. 若函数f(x)＝excosx，则此函数图像在点(1， f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B．锐角
C．直角 D．钝角
ห้องสมุดไป่ตู้
解析：∵f′(x)＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－ exsinx＝ex(cosx－sinx)．
∴切线斜率为f′(1)＝ex(cos1－sin1)<0.故切线 的倾斜角为钝角．
选修2-2 章 变化§率4 与导导数数的四则运算法则
课时作业12 导数的乘法与除法法则
[目标导航] 1． 了解函数的乘、除的导数公式的推导． 2． 掌握两个函数的乘、除的求导法则，并 能解决某些函数的导数问题．
【数学】2.4.2 导数的乘法与除法法则 课件(北师大版选修2-2)
2 x0 f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ).
因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ( x) ( x 2 ) f ( x).
一般地, 若两个函数f( x)和g ( x)的导数分别 f(( x)我们有 f ( x) g ( x), g ( x) 是f ( x)和g x), :
如果有函数y f ( x) g ( x) x f ( x),
2
如何来求它的导数呢?
分析推导 按照求函数导数的步骤:
首先给定自变量x0的一个改变量x, 可以得到函数值的改变量
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ),
相应的平均变化率可以写成
x2 ( 2)函数y 是函数f ( x ) x 2和函数 ln x g ( x ) ln x之商, 根据导数公式表分别得出 : 1 f ( x ) 2 x, g ( x ) , x 由求导的除法法则得 : 2 x ln x x 2 1 x2 x x ( 2 ln x 1) . ln x (ln x ) 2 ln 2 x
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ) x x 2 ( x0 x) 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 f ( x0 ) x 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 ( x0 x) 2 f ( x0 ), x x
2 令x 0,由于 lim ( x0 x) 2 x0 , x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为
因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ( x) ( x 2 ) f ( x).
一般地, 若两个函数f( x)和g ( x)的导数分别 f(( x)我们有 f ( x) g ( x), g ( x) 是f ( x)和g x), :
如果有函数y f ( x) g ( x) x f ( x),
2
如何来求它的导数呢?
分析推导 按照求函数导数的步骤:
首先给定自变量x0的一个改变量x, 可以得到函数值的改变量
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ),
相应的平均变化率可以写成
x2 ( 2)函数y 是函数f ( x ) x 2和函数 ln x g ( x ) ln x之商, 根据导数公式表分别得出 : 1 f ( x ) 2 x, g ( x ) , x 由求导的除法法则得 : 2 x ln x x 2 1 x2 x x ( 2 ln x 1) . ln x (ln x ) 2 ln 2 x
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ) x x 2 ( x0 x) 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 f ( x0 ) x 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 ( x0 x) 2 f ( x0 ), x x
2 令x 0,由于 lim ( x0 x) 2 x0 , x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 4.2 导数的乘法与除法法则
(cos)'
sin
(sin)'
提示: cos '≠(cos)'.
sin
1
(sin)'
cos
1
'=(tan x)'= 2 ,而
=
=.
cos
(cos)'
tan
cos
-sin
2.[f(x)g(x)]'=f'(x)g'(x)成立吗?(利用f(x)=x2,g(x)=x3验证)
提示:不成立.验证过程略.
(cos)'-cos·'
提示:f'(x)=
'=
.
2
(cos)'-cos·' -sin-cos
-πsin π-cos π
1
正解:∵f'(x)=
=
,∴f'(π)=
= 2.
2
2
2
π
π
在应用法则求导时,应先明确要使用的法则,再运算求解.
【变式训练】 函数
等于(
1
A.-e
ln
f(x)= 的图象在点(x0,f(x0))处的切线平行于
).
1
B.e
1
C.e 2
D.e2
1·-ln
1-ln
解析:与 x 轴平行的切线,其斜率为 0,又 f'(x)= 2 = 2 ,所以
1-ln 0
1
f'(x0)= 2 =0,故 x0=e,故 f(x0)= .
e
0
答案:B
x 轴,则 f(x0)
.
sin
(sin)'
提示: cos '≠(cos)'.
sin
1
(sin)'
cos
1
'=(tan x)'= 2 ,而
=
=.
cos
(cos)'
tan
cos
-sin
2.[f(x)g(x)]'=f'(x)g'(x)成立吗?(利用f(x)=x2,g(x)=x3验证)
提示:不成立.验证过程略.
(cos)'-cos·'
提示:f'(x)=
'=
.
2
(cos)'-cos·' -sin-cos
-πsin π-cos π
1
正解:∵f'(x)=
=
,∴f'(π)=
= 2.
2
2
2
π
π
在应用法则求导时,应先明确要使用的法则,再运算求解.
【变式训练】 函数
等于(
1
A.-e
ln
f(x)= 的图象在点(x0,f(x0))处的切线平行于
).
1
B.e
1
C.e 2
D.e2
1·-ln
1-ln
解析:与 x 轴平行的切线,其斜率为 0,又 f'(x)= 2 = 2 ,所以
1-ln 0
1
f'(x0)= 2 =0,故 x0=e,故 f(x0)= .
e
0
答案:B
x 轴,则 f(x0)
.
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(A)(x+ 1 )′=1+ 1 x2 x (C)(3x)′=3x·logae 【解析】选B.A中（x+
）
(B)(log 2x)′=
1 xln2
(D)(x2·cosx)′=-2xsinx
1 1 ）′=1- 2 , C中(3x)′=3x·ln3, x x
D中（x2·cosx）′=2x·cosx-x2sinx.
思路点拨：（1）利用切线斜率k=f′(2)和点（2，f(2))在直 线7x-4y-12=0上确定f(x)解析式. (2)设出切点坐标，求切线斜率及方程，然后表示三角形面积，
并证明面积为定值.
知能巩固提高
【解析】
2.(2010·新课标全国高考）曲线y= 的切线方程为（ (A)y=2x+1 (C)y=-2x-3 ）
1.（5分）已知函数f(x)=(x+2a)(x-a)2,则f′(x)=（ (A)2(x2-a2) (C)3(x2-a2) (B)3(x2+a2) (D)2(x2+a2)
）
【解析】选C.f(x)=(x+2a)(x-a)2=(x+2a)(x2-2ax+a2) =x3-3a2x+2a3,∴f′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2).
7.（2010·陕西高考改编）已知函数f(x)= x, g(x)=alnx, a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的 切线，求a的值及该切线的方程. 【解题提示】曲线y=f(x)与y=g(x)在交点处有相同的切线 交点坐标 a的值及该切线的方程.
【解析】
x 在点（-1，-1）处 x+2
(B)y=2x-1 (D)y=-2x-2
2 , 所以，在点（-1，-1）处的 2 (x+2) 2 切线斜率k=y′｜x=-1= , =2,所以，切线方程为 2 (-1+2)
【解析】选A.因为y′=
y+1=2(x+1),即y=2x+1,故Βιβλιοθήκη A.3.下列求导运算正确的是（
=(x2)′+［2x·f′(1)］′ =2x+2f′(1) 令x=1得f′(1)=2+2f′(1) ∴f′(1)=-2.
∴f′(0)=2·0+2f′(1)=2·(-2)=-4.
答案：-4
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的导数： (1)y=sinx+ 1 ; x (3)y=x·e-x; (2)y=(x2+2)(3x-1); (4)y= 1 sin2x. 2
可得x= ∈［0,π］, 2 所以存在实数x= ∈［0,π］,使得f(x)+f′(x)=0. 2
二、填空题（每题5分，共10分） 4.已知曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则
a=________.
【解析】f′(1)=2a×1=2 a=1. 答案：1
5.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=_____.
【解析】f′(x)=［x2+2xf′(1)］′
【解题提示】本题是导数与三角知识的综合，首先应熟练 运用导数公式，其次要综合运用三角知识，特别应注意角的范 围对三角函数值的影响.
【解析】
答案：
【解析】
答案：
【解析】
=sinx+cosx.
令f(x)+f′(x)=0即
f(x)+f′(x)=sinx+cosx+cosx-sinx
=2cosx=0,
1 【解析】(1)y′=(sinx+ 1 )′=(sinx)′+( )′ x x 1 =cosx- 2 . x
(2)方法一：∵y=(x2+2)(3x-1)=3x3-x2+6x-2, ∴y′=(3x3-x2+6x-2)′=9x2-2x+6. 方法二：y′=［(x2+2)(3x-1)］′ =(x2+2)′(3x-1)+(x2+2)(3x-1)′ =2x(3x-1)+3(x2+2)=9x2-2x+6.
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
【例3】设函数f(x)=ax - b , 曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线 x 方程为7x-4y-12=0 (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所 围成的三角形面积为定值，并求此定值.
）
(B)(log 2x)′=
1 xln2
(D)(x2·cosx)′=-2xsinx
1 1 ）′=1- 2 , C中(3x)′=3x·ln3, x x
D中（x2·cosx）′=2x·cosx-x2sinx.
思路点拨：（1）利用切线斜率k=f′(2)和点（2，f(2))在直 线7x-4y-12=0上确定f(x)解析式. (2)设出切点坐标，求切线斜率及方程，然后表示三角形面积，
并证明面积为定值.
知能巩固提高
【解析】
2.(2010·新课标全国高考）曲线y= 的切线方程为（ (A)y=2x+1 (C)y=-2x-3 ）
1.（5分）已知函数f(x)=(x+2a)(x-a)2,则f′(x)=（ (A)2(x2-a2) (C)3(x2-a2) (B)3(x2+a2) (D)2(x2+a2)
）
【解析】选C.f(x)=(x+2a)(x-a)2=(x+2a)(x2-2ax+a2) =x3-3a2x+2a3,∴f′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2).
7.（2010·陕西高考改编）已知函数f(x)= x, g(x)=alnx, a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的 切线，求a的值及该切线的方程. 【解题提示】曲线y=f(x)与y=g(x)在交点处有相同的切线 交点坐标 a的值及该切线的方程.
【解析】
x 在点（-1，-1）处 x+2
(B)y=2x-1 (D)y=-2x-2
2 , 所以，在点（-1，-1）处的 2 (x+2) 2 切线斜率k=y′｜x=-1= , =2,所以，切线方程为 2 (-1+2)
【解析】选A.因为y′=
y+1=2(x+1),即y=2x+1,故Βιβλιοθήκη A.3.下列求导运算正确的是（
=(x2)′+［2x·f′(1)］′ =2x+2f′(1) 令x=1得f′(1)=2+2f′(1) ∴f′(1)=-2.
∴f′(0)=2·0+2f′(1)=2·(-2)=-4.
答案：-4
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的导数： (1)y=sinx+ 1 ; x (3)y=x·e-x; (2)y=(x2+2)(3x-1); (4)y= 1 sin2x. 2
可得x= ∈［0,π］, 2 所以存在实数x= ∈［0,π］,使得f(x)+f′(x)=0. 2
二、填空题（每题5分，共10分） 4.已知曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则
a=________.
【解析】f′(1)=2a×1=2 a=1. 答案：1
5.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=_____.
【解析】f′(x)=［x2+2xf′(1)］′
【解题提示】本题是导数与三角知识的综合，首先应熟练 运用导数公式，其次要综合运用三角知识，特别应注意角的范 围对三角函数值的影响.
【解析】
答案：
【解析】
答案：
【解析】
=sinx+cosx.
令f(x)+f′(x)=0即
f(x)+f′(x)=sinx+cosx+cosx-sinx
=2cosx=0,
1 【解析】(1)y′=(sinx+ 1 )′=(sinx)′+( )′ x x 1 =cosx- 2 . x
(2)方法一：∵y=(x2+2)(3x-1)=3x3-x2+6x-2, ∴y′=(3x3-x2+6x-2)′=9x2-2x+6. 方法二：y′=［(x2+2)(3x-1)］′ =(x2+2)′(3x-1)+(x2+2)(3x-1)′ =2x(3x-1)+3(x2+2)=9x2-2x+6.
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
【例3】设函数f(x)=ax - b , 曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线 x 方程为7x-4y-12=0 (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所 围成的三角形面积为定值，并求此定值.