Ch7-1 homework 参数估计
《CH参数估计》PPT课件
§7.1 参数的点估计概念 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 参数的区间估计
1
§7.1 参数的点估计概念
定义 设总体X的分布函数的形式已知，它的一个或多个参数未知，根据 总体X的一个样本X1,X2,…, Xn来估计总体未知参数的真值称为参数的点 估计。
定义 设总体X 的分布函数F(x, )中含有未知参数，X1,X2,…, Xn为总体X
X
2A1
12(A2
3 n
n i 1
(Xi
A12 )
X )2
b A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
6
一般地, 不论总体服从什么分布，若总体的期望与方差 2 均存在, 则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
样本均值
ˆ 2
1 n
n i1
(Xi
X )2
§7.3 参数的区间估计
上一节中，我们讨论了参数的点估计，它是由样本算得的一个值去估 计未知参数。但是，即使是无偏估计量也会由于样本的随机性使得估计值 带有偏差，所以点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出近 似值的误差范围，而有时我们又需要对此偏差作出衡量，知道近似值的精 确程度。
本节的区间估计正好弥补了点估计的缺陷，它是通过寻找一个区间， 并利用此区间包含未知参数真值的可信程度来估计未知参数的方法。
i1
X
i
)2
)
2
(
n)
2
2 1 2
(
n)
-2
•
(n) 2 2
4
1
2
•
6
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结在统计学中，参数估计是一项重要的任务，它帮助我们通过样本数据来推断总体的特征。
这一过程对于做出合理的决策、进行科学研究以及解决实际问题都具有关键意义。
接下来，让我们深入探讨参数估计的方法，并通过实例例题来加深理解，同时对相关知识点进行总结。
一、参数估计的基本概念参数估计，简单来说，就是根据样本数据对总体参数进行推测和估计。
总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。
而我们通过抽样得到的样本数据则是进行参数估计的基础。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计是用一个数值来估计总体参数。
常见的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法。
矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
例如，对于正态分布，我们可以用样本均值来估计总体均值，用样本二阶中心矩来估计总体方差。
极大似然估计法则是基于这样的思想：在给定样本观测值的情况下，找到使样本出现的概率最大的总体参数值。
（二）区间估计区间估计是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。
常用的区间估计有置信区间。
置信区间的构建基于样本统计量的分布，以及给定的置信水平。
例如，对于总体均值的估计，我们可以构建一个置信水平为 95%的置信区间。
三、实例例题假设我们对某工厂生产的灯泡寿命进行抽样调查。
抽取了 50 个灯泡，其寿命的样本均值为 1000 小时，样本标准差为 100 小时。
（一）点估计我们可以用样本均值 1000 小时作为总体均值的点估计值。
（二）区间估计若要构建 95%的置信区间，由于样本量较大，我们可以使用正态分布近似。
标准正态分布的 95%置信区间对应的 z 值约为 196。
则总体均值的 95%置信区间为：＼＼begin{align}＆1000 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼＼＆1000 ＋ 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼end{align}＼计算可得置信区间约为（9608，10392）。
Ch7 参数估计(精)
iid
^
试求 ˆ L和
2 ˆ L.
ˆL . 例 设X 1 , , X n ~ U (a , b ), 试求a ˆ L和 b
iid
Stop
极大似然估计有性质： ˆ 1 ,, ˆ m )是(1 ,, m )的极大似然估计 , 若( 而 g(1 ,, m )具有单值反函数 . 则 ˆ 1 , , ˆ m )是g (1 ,, m )的极大似然估计 , g( ˆ 1 , , ˆm). ˆg ˆ (1 ,, m ) g ( 即
(1) 1， 2未知
令 F
2 S1 2 S2 2 1 2 2
~ F (n1 1, n2 1)
n1 n2 1 1 2 2 2 2 其中S1 ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 n1 1 i 1 n2 1 i 1 i
可得
2 1
2 2 2 S2 S1 S2 ( , ) F / 2 ( n1 1, n2 1） F1-/2 ( n1 1, n2 1)
ˆ 1 ,, ˆ m ) max L(1 , , m ). L( L L
j
L
Stop
例 设X 1 , , X n ~ P ( ), 0,试求 L 例 设X 1 , , X n ~ N ( , 2 ), , 0,
Stop
2. 单正态总体方差的置信区间
设X 1， ， X n ~ N (， 2 ) ，给定x1， ， xn， 2 求出（或 ）的置信区间。 (1) 未知 2 ( n 1) S 2 2 令 ~ ( n 1) 2 即得 2的置信度为1- 的置信区间为
iid
( n - 1)s ( 2 , /2 ( n 1)
心理与教育统计学课件张厚粲版ch7参数估计
2
X X
2
2
nS 2
由公式8 4，我们可利用理论 2值与样本方差来 确定总体方差的置信区 间 : nS 2
6
n
。
第二节 总体平均数的估计
一、总体平均数估计的计算步骤： ⒈利用抽样的方法抽取样本，计算出样本的平均 值 X 和标准差S。 ⒉计算样本平均数的标准误 SEX ： ①当总体方差已知时，样本平均数的标准误的计 算为：
SEX
n
②当总体方差未知时，样本平均数的标准误的计 算为： Sn SEX n 1
因此, 的95%的置信区间为 : 115.8 2.042 0.81 115.8 2.042 0.81 即114.15 117.45
的99%的置信区间为 : 115.8 2.75 0.81 115.8 2.75 0.81 即113.57 118.03
15
三、总体方差未知，对总体平均数的估计
⒉当总体为非正态分布时（只有当样本容量n>30 时，此时样本抽样分布服从自由度为n-1的t分 布，这时可依t 分布对总体平均数进行估计， 否则不能对总体 平均数进行估计。） 例6 某校进行一次数学考试，从中抽取40名考生， 经计算，这40 名考生的平均成绩为82分，标准 差为7 分，试求全体考生平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2 已知某市6岁正常男童体重的总体方差为6.55公斤，从该
市随机抽取40 名6岁男童，其平均体重为20.4公斤，试求该 市6 岁男童平均体重的95%和99%的置信区间。
9
例1的计算
SE X
• 解： n 95%的置信区间的显著性水平α=0.05， Z 2 1.96 因此，μ的95%的置信区间为:
概率论与数理统计 第七章2
P{θ1 ≤ θ ≤ θ 2 } ≥ 1 − α , (0 < α < 1)
称区间(θ1，θ 2 )为θ的置信水平为1 − α 该区间的置信区间 。
区间（θ1，θ2）是一个随机区间； α给出该区间含真 1− 值θ的可靠程度。α表示该区间不包含真值θ的可能性。
ch7-1 2
上海理工大学
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( X −u1−α
σ
2
n
,
X + u1−α
σ
2
n
)
可得所求的置信区间为
2 (12.35 ± 1.96 × ) = (12.35 ± 1.307) = (11.043,13.657) 9
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上海理工大学
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College of Science
理学院
概率论与数理统计
区 间 估 计
ch7-1
1
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1001，1004，1003，997，999，1000， ， ， ， ， ， ， 1004，1000，996， 1002，998，999. ， ， ， ， ，
求σ2的置信水平为 的置信水平为0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 −α的置信区间如 解:本例中 µ未知， σ2的置信水平为 −α的置信区间如 本例中 未知， 的置信水平为1−α的置信区间如. (n −1)S2 (n −1)S2 2 , 2 χ1−α (n −1) χα (n −1) 其中n=12,计算得：(n−1)s2=11×6.932=76.25.又 计算得： − 其中 计算得 × 又 查自由度为11的 分布分位数表,得 α=1− 0.95=0.05, 查自由度为 的 χ 2分布分位数表 得 −
ch7参数估计
问题是:
使用什么样的统计量去估计 µ ？
可以用样本均值;
可以用别的统计量 .
二、寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 最大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 ……
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦定理 ,
( ) μ2 = E = X 2 D( X ) + [E( X )]2
(b − a)2 =
+ (a + b)2
12
4
即
a + b =2μ1
b= − a
12( μ2 − μ12 )
解得
a = μ1 − 3( μ2 − μ12 ) b = μ1 + 3( μ2 − μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
而全部信息就由这100个数组成 .
据此,我们应如何估计 µ 和 σ 呢 ?
为估计µ :
我们需要构造出适当的样本的函数 T(X1,X2,…Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来
作为 µ 的估计值 .
T(X1,X2,…Xn) 称为参数 µ 的点估计量， 把样本值代入T(X1,X2,…Xn) 中，得到 µ 的一个点
基本思想:最大似然原理
若一试验有若干个可能结果， 现做一试验, 若事件A 发生了,而导致A发生的原因很多，在 分析导致结果A的原因时，使结果A发生的概率最 大的原因，推断为导致结果A发生的真实原因。
最大似然估计 就是在一次抽样中,若得到观测值
则选取 使得当
作为 的估计值， 时,样本出现的概率最大。
解：设
x(1)
m= in( x1 ,, xn ), x(n)
CH71矩估计
即X EX , n .
P
依概率收敛
辛钦大数定律
定理2
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立 , 服从同 一分布 , 且具有数学期望 E ( X k ) ( k 1 , 2 , ) ,
则X EX , n .
P
说明: 与定理1相比, 不要求方差存在;
E ( X ) p( x; ) ( ),
(X为离散型)
或 E ( X ) xf ( x; )dx ( ) (X为连续型)
从方程 =( ) ,
解出 = （）
用X 近似 ,
根据矩估计法,
ˆ （X）为所求 的估计量.
解
1 E ( X ) a b ,
2
2 2
2
a b 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )]
12
ab 1 n 令 A1 X i , 2 n i 1 1 n 2 (a b)2 (a b)2 A2 X i , n i 1 12 4
ˆ X. 所以 的估计量为 ˆ x. 的估计值为
例2 设总体 X 在[0, ]上服从均匀分布, 其中 ( 0)
未知 , X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本 , 求 的估计 量.
解 本题只有一个参数
因为 E ( X ) ,
解得 2,
伯努利大数定律
定理3
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次 数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率, 则有 nA P p n
证明 引入随机变量
0, 若在第k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第k 次试验中 A 发生, k 1, 2,.
python 参数估计 假设检验
python 参数估计假设检验参数估计和假设检验是统计学中常用的两种方法，用于推断总体参数和进行统计推断。
本文将分别介绍参数估计和假设检验的相关内容。
1. 参数估计（Parameter Estimation）参数估计是利用样本数据对总体参数进行估计的一种方法。
常见的参数估计方法有点估计和区间估计。
1.1 点估计（Point Estimation）点估计是使用样本数据得到一个具体的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心是通过样本数据对总体分布函数进行逼近，从而得到参数的估计值。
点估计的核心是选择合适的估计量，常见的估计量包括样本均值、样本比例、样本方差等。
例如，样本均值可以作为总体均值的点估计。
1.2 区间估计（Interval Estimation）区间估计是利用样本数据得到参数值的一个范围，称为置信区间。
置信区间可以提供关于总体参数的不确定性程度的信息。
常见的区间估计方法有基于正态分布的区间估计和基于自由度的区间估计。
例如，对于总体均值的区间估计，可以使用样本均值加减一个标准误差来构建置信区间。
2. 假设检验（Hypothesis Testing）假设检验是用于对总体参数的某个假设进行推断的一种方法。
假设检验通常包括建立原假设（null hypothesis）和备择假设（alternative hypothesis），根据样本数据对两个假设进行推断并做出决策。
2.1 原假设（Null Hypothesis）原假设是关于总体参数的一个假设，通常表示没有发生某种变化或效应。
原假设是需要被推翻的假设，常用符号H0表示。
例如，对于总体均值的原假设可以是总体均值等于某个特定值。
2.2 备择假设（Alternative Hypothesis）备择假设是与原假设相对立的假设，通常表示发生了某种变化或效应。
备择假设是需要被验证的假设，常用符号H1或Ha表示。
例如，对于总体均值的备择假设可以是总体均值不等于某个特定值。
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第七章第一次 补充作业题
1、设总体X 的分布律为
,,2,1,)1()(1 =-==-k p p k X P k 其中p 为未知参数，X 1，…，X n 为取自总体X 的样本，试求p 的矩估计和最大似然估计。
2、设X 1，X 2是数学期望为θ的指数分布总体X 的容量为2的简单
随机样本。
设Y =4Y π
是θ的无偏估计量。
3、设总体X 具有概率密度
/21,0,()0,0,x xe x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。
其中θ >0为未知参数，X 1, …, X n 是来自X 的样本，x 1, …, x n 是相应的样本观察值。
（1） 求θ的最大似然估计量。
（2） 求θ的矩估计量。
（3） 问求得的估计量是否是无偏估计量。
4、设分别来自总体N (μ1, σ2 )和N (μ2, σ2 )中抽取容量为n 1, n 2的两独
立样本。
其样本方差分别为21S ，22S 。
证明，对于任意的常数a ，b (a +b =1)，2212Z aS bS =+都是σ2的无偏估计，并确定常数a ，b
使D (Z )最小。