统计学4.总体分布、参数估计
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
统计学教程(含spss)四参数估计
从一批灌装产品中，随机抽取20灌，得样本方差为0.0025。试以95%的置 信度，估计总体方差的存在区间。
n 1 s2 2 n 1 s2
2 2
2 1 2
n 1 s2
2 0.025
2
n 1 s2
2 0.975
19 0.0025 2 19 0.0025
32.8523
8.90655
自正态总体抽样时，总体均值与总体中位数相同，而中位数的 标准误差大约比均值的标准误差大25%。因此，样本均值更有效。
x 的抽样分布
M e的抽样分布
____
X
有效性
一致性
如果 lim
P
1(为任意小数，n
为样本容量）
n
则称 为的满足一致性标准的点估计量
ˆ1的抽样分布 ˆ2的抽样分布
x s 2 p 均为一致性估计量
X～N， 2
x__
～
N
， 2 n
__
Z x ～N 0,1
n
P Z
Z Z
1
2
2
P Z
2
__
x n
Z
1
2
显著性水平
22
2
Z 2
置信度
1
0
P_x_ Z
2
n
__
x Z 2
1
n
2
Z 2
显著性水平α下，μ在1- α置信水平下的置信区间：
__
x
Z
2
__
n , x Z 2
f x
x
n
x 2
f x
1
e 2 2 x
2
x
抽样分布
E(x)
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
参数估计在数理统计学中总体的分布是未知的包括两种情形
第七章 参数估计
1、 矩估计法原理： 以样本矩作为相应地总体矩的估计量; 以样本矩的连续函数作为相应地总体矩的连续函数 的估计量.
设总体 X的 l阶矩 : l E ( X )(l 1,2, , k )存在时 ,
l
由辛钦大数定理知:
1 n l Al X i n i 1
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的体重 估计废品率 估计湖中鱼数 在参数估计问题 中，假定总体分 估计降雨量 布形式已知，未 … 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
第 2页
第七章 参数估计
参数估计方法:
(1)根据抽自总体的样本 X 1 , X 2 , , X n 去确定参数 空间 中的一点作为 的值
l x p( x;1 ,, k ), l 1,2,, k.
第14页
第七章 参数估计
这是包含 k个未知参数 1， ， k 的联立方程组，
1 1 1 ， 2 ， ， k ， ， ， 2 2 1 2 k k k 1 ， 2 ， ， k
其中 1 , , k 是待估参数 , X 1 , , X n为来自 X的样本 .
1) 求总体 X 的 l 阶矩 :
l E ( X ) x f ( x;1 ,, k )dx, l 1,2,, k .
l l
或 l E ( X l )
xR X
------点估计
(2)确定中的某一小部分作为 的取值的范围
------区间估计
第 3页
第七章 参数估计 §1 点估计 §3 估计量的评选标准 §4 区间估计 §5 正态总体均值与方差的区间估计 §6 (0-1)分布参数的区间估计 §7 单侧置信区间
(04)第4章 参数估计
（2）99%的置信区间是多少？
（3）若样本容量为40，而观测的数据不变，则 95%的置信区间又是多少？
5 - 31
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
12, s 4.1
解:(1)已知n=15, 1- = 95%， =0.05 ，x
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
统计学
STATISTICS
大样本的估计方法
不论总体是不是服从正态分布，在大样本 （n 30）时，样本均值均服从正态分布。 若已知 2 x
x ~ N ( ,
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
n
)
z
n
~ N (0,1)
z 2
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量， 有更小标准差的估计量更有效
ˆ P( )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
5 - 11
ˆ ˆ1 是比 2 更有效，是一个更好的估计量
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
x1 x2 x3 样本均值 x 3 x1 2 x2 3x3 和 x1 6
统计学
STATISTICS
第 4 章 参数估计
4.1 参数估计的基本原理 4.2 一个总体参数的区间估计 4.4 样本容量的确定
5-1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题
4.1.1 估计量与估计值 4.1.2 点估计与区间估计 4.1.3 评价估计量的标准
参数分布估计
参数分布估计
参数分布估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到从样本数据中推断出总体参数的分布情况。
在参数分布估计中，常见的方法包括点估计和区间估计。
1. 点估计：
点估计是通过样本数据直接计算得到总体参数的估计值。
最常见的点估计方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE），它通过寻找最大化似然函数的参数值来估计总体参数。
另外，还有最小二乘估计、矩估计等方法。
点估计提供了一个具体的数值作为总体参数的估计结果，但并不提供参数分布的信息。
2. 区间估计：
区间估计是通过样本数据计算得到总体参数的一个区间范围，用于表达对参数估计的不确定性。
常见的区间估计方法包括置信区间（Confidence Interval，简称CI）和可信区间（Credible Interval）。
置信区间用于频率派统计学，它表示在一定置信水平下，参数真值落在估计区间内的概率。
可信区间用于贝叶斯统计学，它表示在给定观测数据下，参数的概率分布范围。
区间估计提供了对参数估计的不确定性的度量，可以更全面地描述总体参数的分布情况。
在参数分布估计中，需要注意的是样本的大小、总体分布的假设以及估计方法的选择等因素，它们都会对估计结果产生影响。
此外，还需要注意参数估计的精度和置信水平的选择，以便得到合理可靠的估计结果。
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六,任意分布的随机样本均值函数的均值与方差 服从任何均值为 标准差为σ 的分布, 设:随机变量 X 服从任何均值为,标准差为σ 的分布, X是随机样本 1,X2,, Xn的均值函数.记随机变量 是随机样本X 的均值函数. 是随机样本 X的分布函数的均值为X,标准差为σX ,则有如下结 的分布函数的均值为 标准差为σ 则有如下结 的分布函数的均值为 论成立: 论成立: (1) X = ; (2) σX = σ / √ n 或 σ2X = σ2 / √ n 一个应用广泛的样本均值函数的均值和方差: 注: 一个应用广泛的样本均值函数的均值和方差 0-1分布 分布 的样本均值函数均值和方差. 的样本均值函数均值和方差. 反映总体中某类个体的比例的随机变量X, 反映总体中某类个体的比例的随机变量 可以简单地 分布B(1, p)表示 E(X)= p, D(X)= p(1-p). p 是总体中 表示. 用0-1分布 分布 表示 某类个体的比例. 某类个体的比例 由样本X 产生均值函数X的均值 由样本 1,X2,, Xn产生均值函数 的均值 X = p,
2 σX = 方差
所以, 来估计p 所以 常用 x 来估计 .
p(1 p) , X 的均值也是总体中某类个体的比例 p . n
七,大样本均值函数的分布:中心极限定理 大样本均值函数的分布: 服从任何均值为 标准差为σ 的分布, 设:随机变量 X 服从任何均值为,标准差为σ 的分布, X是随机样本 1,X2,, Xn的均值函数. 是随机样本X 的均值函数. 是随机样本 中心极限定理: 充分大时, 近似地服从均值为 中心极限定理:当 n 充分大时,X 近似地服从均值为, 标准差为σ 的正态分布. 标准差为σ / √ n的正态分布. 的正态分布 实际问题中n多大 多大? 在 实际问题中 多大?但一般 n ≥ 30. .
m=100,n=20
m=15,n=20
密度函数形式为: 密度函数形式为:
m+ n m m+n 1 Γ( 2 ) m m 2 m ( )( x) (1+ x) 2 , x ≥ 0 f ( x) = n Γ(m / 2)Γ(n / 2) n n 0 x<0
重要性质: 重要性质:
1 F1α ( m , n ) = Fα ( n , m )
第四章 总体分布, 总体分布, 样本分布与参数估计
§ 4.1 总体分布与样本分布
反映总体特征的随机变量的取值的全体. 一,总体(母体):反映总体特征的随机变量的取值的全体. 总体(母体) 反映总体特征的随机变量的取值的全体 总体分布(母体分布):反映总体特征的随机变量的概率分 总体分布(母体分布):反映总体特征的随机变量的概率分 ): 布. 从无限次随机抽取(然后放回)的角度看, 从无限次随机抽取(然后放回)的角度看,表征一个总体 特征的变量(指标),都可以视为随机变量. ),都可以视为随机变量 特征的变量(指标),都可以视为随机变量. 有限总体的概率分布,就是有限总体中不同个体的比率( 有限总体的概率分布,就是有限总体中不同个体的比率( 频率)分布. 频率)分布. 二,随机样本与样本观测值(样本数据) 随机样本与样本观测值(样本数据) 1,随机样本 , 表征n次抽取个体的随机抽样的一组随机变量 表征 次抽取个体的随机抽样的一组随机变量X1,X2,, 次抽取个体的随机抽样的一组随机变量 , Xn .
2,样本观测值 , n次随机抽样的结果:x1,x2,,xn (称为随机样本 1, 次随机抽样的结果: 称为随机样本X 次随机抽样的结果 , X2,, Xn 的样本观测值). 的样本观测值). , n称为随机样本向量( X1,X2,, Xn )的维度,即自由 称为随机样本向量( 的维度, 称为随机样本向量 , 度. 3,样本(累积)分布函数 ,样本(累积) 设样本观测值x 为小于x 设样本观测值 1 ≤ x2 ≤ ,, ≤ xn ki为小于 i+1的样本值出 现的累积频次, 为样本容量 为样本容量, 现的累积频次 n为样本容量 则可得样本累积频率分布函数 0 当 x < x1 如下: 如下 F n ( x ) = k i / n 当 x i ≤ x < x i+1 1 当 xn ≤ x 样本累积频率分布函数,又称样本 累积)分布函数 样本(累积 又称样本(累积 分布函数.样本 累积) 样本累积频率分布函数 又称样本 累积 分布函数 样本 累积 分布函数F 是对总体的累积分布函数F(x)的近似 n越大 的近似, 越大, 分布函数 n(x)是对总体的累积分布函数 是对总体的累积分布函数 的近似 越大 Fn(x)对F(x)的近似越好 的近似越好. 对 的近似越好
k
( k = 1 , 2 , , 400 ) 记
第 k 个学生来参加会议的家 长数 ,
Xk 则 X k 的分布律为 pk
0 1 2 0.05 0.8 0.15
易知 E ( X k ) = 1.1, D( X k ) = 0.19, ( k = 1,2,,400)
根据中心极限定理 而 X = ∑ X k , 根据中心极限定理
P{Y ≤ 340}
340 400 × 0.8 Y 400 × 0.8 = P ≤ 400 × 0.8 × 0.2 400 × 0.8 × 0.2 Y 400 × 0.8 = P ≤ 2.5 ≈ Φ ( 2.5) = 0.9938 . 400 × 0.8 × 0.2
样本分布与总体分布
格利文科 ( Glivenko )定理 (样本分布与总体分布的关系 样本分布与总体分布的关系) 定理 样本分布与总体分布的关系 定理: 当样本容量 n 趋于无穷大时, Fn(x)以概率 关于 x )均匀 定理 趋于无穷大时 以概率1(关于 均匀 以概率 地收敛于F(x). 地收敛于 该定理是运用样本推断总体的理论依据 该定理是运用样本推断总体的理论依据. 运用样本推断总体的理论依据 定理的数学表达为: 定理的数学表达为
n=1 n=4 n=10 χ2(n)分布图 )
χ2(n)密度函数: )密度函数:
n x 1 1 x2 e 2,x ≥ 0 n fn ( x) = 2 2 Γ( n ) 2 0 ,x < 0
其中, 为自由度 为自由度. 其中,n为自由度.Γ(n/2)为珈玛函数,是一个含参数 )为珈玛函数, n/2的积分,为: 的积分, 的积分 +∞
P ( lim
n → ∞ ∞ < x < +∞
sup
Fn ( x ) F ( x ) = 0 ) = 1
随机样本的均值函数和方差函数都是一个随机变量. 随机样本的均值函数和方差函数都是一个随机变量 的观测值; 样本数据的样本均值 x 是随机变量 X 的观测值;样本数据 的观测值. 的样本方差 s2 是随机变量 S2 的观测值 随机样本的均值函数: 随机样本的均值函数:
服从N( , ). 服从 (0,1).
n2
(2) )
n1n2 (n1 + n2 2) T= × 2 2 n1 + n2 (n1 1)S1 + (n2 1)S2
( X Y ) (1 2 )
服从t( 服从 (n1+n2 - 2),( σ1 = σ S 22 σ
k =1 400
随机变量
∑ X k 400 × 1.1 k =1
400 0.19
400
X 400 × 1.1 = 400 0.19
近似服从正态分布 N (0, 1),
( 2) 以 Y 记有一名家长来参加会 议的学生数 ,
中心极限定理可得: 则 Y ~ b(400, 0.8), 中心极限定理可得:
五,由一般正态分布的随机样本所构成的若干重要统计量 的分布 定理: 是正态总体N( 定理:若X1,X2,, Xn 是正态总体 (, σ2)的一个 随机样本,则样本均值函数和样本方差函数, 随机样本,则样本均值函数和样本方差函数,满足如下性 质: (1)X 服从 (, σ2 / n)分布. ) 服从N( )分布. (2) X 与 S2 相互独立. 相互独立. (3) )
Γ (n / 2) =
∫t
0
n t 1 2 2
e
dt
2,t 分布 , 自由度为n的 分布, ),是由 自由度为 的t 分布,记为 t(n),是由 (0,1)分布和 ( ),是由N( , ) χ2(n)分布组成的,其表达式为: )分布组成的,其表达式为:
T = X Y n
其中, ),Y 其中,X 服从 N(0,1), 服从χ2(n)分布,且X与 ( , ), 服从χ )分布, 与 Y相互独立. 相互独立. 相互独立 密度函数为: 密度函数为:
Z = X
σ
服从N( , )分布; 服从 (0, 1)分布;
n
2
(4) )
( n 1) S
σ
2
服从χ 服从χ2(n-1)分布; )分布;
(5) T = )
X S n
n
服从t( 服从 (n -1)分布; )分布;
(6) )
1
σ2
( X i ) 2 服从χ2(n)分布; 服从χ )分布; ∑
1 X = n
∑
n
n
X
i =1
i
随机样本的方差函数: 随机样本的方差函数
S
2
1 = n 1
∑
i =1
( X i X )2
三,统计量与统计量的分布 统计量定义:统计量是不含未知参数的,随机样本 统计量定义:统计量是不含未知参数的,随机样本X1,X2 的函数. ,, Xn的函数.
统计量的值的定义: 统计量的值是不含未知参数的, 统计量的值的定义 统计量的值是不含未知参数的 样本 观测值x 观测值 1,x2,,xn的函数 , 的函数. 四,由标准正态分布 N(0,1)的随机样本所引出的几 ( , ) 个重要统计量分布: 个重要统计量分布:χ2,t 与 F分布 分布 1, χ2(n)分布的构成 , ) 设随机变量 X 服从N(0,1)分布, X1,X2,, Xn 服从 ( , )分布, 样本, 为 X 样本,则 χ2 = ∑ X2i= X21 + X22 + X2n 服从自由度为n的 分布, 服从自由度为 的 χ2 分布,记为 χ2 ~ χ2 (n). ). χ2 (n)分布的均值 E(χ2)= n,方差 D( χ2 )= 2n. ) ( , ( .