高一数学两角的余弦公式
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
高中数学必修一课件：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)
两角和与差的正弦、余弦公式的特征是什么？
答：两角和(差)的余弦：余余、正正、符号异(即公式右端分别是α与β的余
弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反)；两角和(差)的正弦：正余、 余正、符号同．
课时学案
题型一 正弦、余弦公式的基本应用
例 1 (1)求 cos 165°＋sin 255°的值．
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时) 两角和与差的正弦、余弦公式
要点 1 两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
要点 2 两角和与差的正弦公式
(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
π 12－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3 sin
π 12－sin
π 3 cos
π 12
＝－2sinπ3 －π 12
π ＝－2sin 4 ＝－ 2.
(3)cos 15°＋sin 15°
＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝ 2cos(45°－15°)
＝
2×
23＝
(2)化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A．2 2cosπ6 －x
B．2 2cosπ3 －x
C．2 2cosπ6 ＋x
D．2 2cosπ3 ＋x
【解析】
原式＝2
212cos
x－
3 2 sin
x
＝2 2cos－π3 cos x＋sin－π3 sin x
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))(2)公式变形①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式①sin 2α＝2sin_αcos_α，②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(2)公式变形①cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(πα±.3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参数的角化简函数或求值[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (0000- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－cos 2β·)2cos 21(sin 2αα+＝1＋cos 2β2－cos 2β·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝12.[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.2．在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．解析：因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝tan )22(C A +)2tan 2tan 1(CA -＋3tan A 2tan C 2 ＝3)2tan 2tan1(CA -＋3tan A 2tan C 2＝ 3. 考点二 三角函数式的给值求值[例2] (1)(2016·高考全国丙卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C.15 D.45解析：法一：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.故选D. 法二：由tan θ＝－13，可得sin θ＝±110，因而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝45.答案：D(2)已知tan )4(πα+＝12，且－π2＜α＜0，则)4cos(2sin sin 22πααα-+等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255 解析：由tan )4(πα+＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故)4cos(2sin sin 22πααα-+＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：A(3)已知α∈)2,0(π，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝________.解析：2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， 由于α∈)2,0(π，sin α＋cos α≠0， 则2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴12cos 2sin )4sin(+++ααπα＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268[方法引航] 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.(3)已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.1．在本例(1)中，已知条件不变，求tan )6(θπ+的值．解：tan )6(θπ+＝tan π6＋tan θ1－tan π6tan θ＝33－131＋33×13＝53－613.2．在本例(1)中，已知条件不变，求2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θ的值． 解：原式＝2sin 2θ－sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan 2θ－tan θ－3tan 2θ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋13－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1＝－115.3．已知cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，则cos )32(πα+＝________.解析：由cos )2(απ-＋sin )32(απ-＝235，得sin α＋sin 2π3cos α－cos 23πsin α＝235∴32sin α＋32cos α＝235， 即3sin )6(πα+＝235，∴sin )6(πα+＝25，因此cos )32(πα+＝1－2sin 2)6(πα+＝1－2×2)52(＝1725.答案：1725考点三 已知三角函数式的值求角[例3] (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 解析：∵cos α＝17，0＜α＜π2.∴sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.∴0＜α－β＜π2，则sin(α－β)＝3314. 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，由于0＜β＜π2，所以β＝π3.答案：π3(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2)31(1312-⨯＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－34π. 答案：－34π[方法引航] 1.解决给值求角问题应遵循的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是)2,0(π，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是)2,2(ππ-，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4 解析：选C.∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈)2,23(ππ，∴α＋β＝7π4. 2．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈)2,0(π，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈),2(ππ，β∈)2,0(π，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.[方法探究]三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[典例] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (Ⅰ)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (Ⅱ)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)若cos )4(απ-＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725解析：选D.因为cos )4(απ-＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D. 2．(2016·高考全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 解析：选A.法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：选D.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设α∈)2,0(π，β∈)2,0(π，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：选 B.由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin )2(απ-，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.5．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－16．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos )82(π⨯＝22.答案：22课时规范训练 A 组 基础演练1．tan 15°＋1tan 15°＝( )A ．2B ．2＋3C ．4 D.433 解析：选C.法一：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15° ＝1cos 15°sin 15°＝2sin 30°＝4.法二：tan 15°＋1tan 15°＝1－cos 30°sin 30°＋1sin 30°1＋cos 30°＝1－cos 30°sin 30°＋1＋cos 30°sin 30°＝2sin 30°＝4.2.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3 D. 2解析：选C.原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3．已知θ∈(0，π)，且sin )4(πθ-＝210，则tan 2θ＝( ) A.43 B.34 C ．－247 D.247解析：选C.由sin )4(πθ-＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ－cos θ＝15sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝45cos θ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 4．若θ∈]2,4[ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34解析：选D.由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝2)473(+，又θ∈]2,4[ππ，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.5．已知sin 2(α＋γ)＝n sin 2β，则tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)的值为( ) A.n －1n ＋1 B.n n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n －1解析：选D.由已知可得sin[(α＋β＋γ)＋(α－β＋γ)]＝n sin[(α＋β＋γ)－(α－β＋γ)]，则sin(α＋β＋γ)·cos(α－β＋γ)＋cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝n [sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)－cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)]，即(n ＋1)cos(α＋β＋γ)sin(α－β＋γ)＝(n －1)sin(α＋β＋γ)cos(α－β＋γ)，所以tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)＝n ＋1n －1，故选D. 6．若sin )2(θπ+＝35，则cos 2θ＝________. 解析：∵sin )2(θπ+＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×2)53(－1＝－725. 答案：－7257．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.解析：∵点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上∴sin α＝－2cos α，于是sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：－28．设sin 2α＝－sin α，α∈),2(ππ，则tan 2α的值是________． 解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈),2(ππ，sin α≠0，∴cos α＝－12.又∵α∈),2(ππ，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan )3(ππ+＝tan π3＝ 3. 答案： 39．化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)． 解：由θ∈(0，π)，得0＜θ2＜π2，∴cos θ2＞0， ∴2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ))2cos 2(sin θθ-＝)2cos 2)(sin 2cos 22cos 2sin 2(2θθθθθ-+ ＝2cos θ2)2cos 2(sin 22θθ- ＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cos θ2＝－cos θ. 10．已知α∈),2(ππ，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈),2(ππ，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×)53(-＝－43＋310. B 组 能力突破 1．已知sin α＋cos α＝22，则1－2sin 2)4(απ-＝( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32解析：选C.由sin α＋cos α＝22，得1＋2sin αcos α＝12，∴sin 2α＝－12.因此1－2sin 2)4(απ-＝cos2)4(απ-＝sin 2α＝－12. 2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f )12(π的值为( )A ．43 B.833 C ．4 D ．8解析：选D.∵f (x )＝2)sin cos cos sin (2)sin cos (tan xx x x x x x +⨯=+＝2×1cos x ·sin x ＝4sin 2x ， ∴f )12(π＝4sin π6＝8. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×)1010(-＝22. ∴β＝π4.4．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________．解析：tan α＋tan β＝lg(10a )＋lg 1a ＝lg 10＝1，∵α＋β＝π4，所以tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝11－tan αtan β， ∴tan αtan β＝0，则有tan α＝lg(10a )＝0或tan β＝lg 1a ＝0.所以10a ＝1或1a ＝1，即a ＝110或1.答案：110或15．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝ααααπ2sincos10cos4)2(2sin22-+-＝sin 2α＋4cos2α10cos2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos2α10cos2α－2sin αcos α＝2cosα(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎪⎫－13＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.。
高中数学-两角和与差的正弦余弦和正切公式
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝；tan α－tan β1＋tan αtan β(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.a 2＋b 2ba 2＋b 2aa 2＋b 2知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－＝－1.tan α＋tan βtan (α＋β)tan α－tan βtan (α－β)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任tan α＋tan β1－tan αtan β意角α，β都成立．( × )(4)sin α＋cos α＝sin .( × )3212(α＋π3)教材改编题1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于( )45(α＋π4)A ．－B.210210C ．－ D.72107210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，1－cos2α35∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.(α＋π4)π4π43522(－45)2272102．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .答案 12解析 原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.123．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝.1312答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝＝.12－131＋12×1317题型一 两角和与差的三角函数公式例1 (1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ＝1，则cos 等于( )(α－π3)(α－π6)A. B.1312C. D.2233答案 D解析 ∵cos α＋cos＝1，(α－π3)∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α12323232＝3(32cos α＋12sin α)＝cos＝1，3(α－π6)∴cos＝.(α－π6)33(2)化简：①sin x ＋cos x ＝.3答案 2sin(x ＋π3)解析 sin x ＋cos x ＝23(12sin x ＋32cos x)＝2sin.(x ＋π3)②sin ＋cos ＝.24(π4－x )64(π4－x )答案 sin 22(7π12－x )解析 原式＝22[12sin (π4－x )＋32cos (π4－x)]＝sin 22(π4－x ＋π3)＝sin .22(7π12－x)教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ＝1，则sin 等于( )(θ＋π3)(θ＋π6)A. B. C. D.12332322答案 B解析 因为sin θ＋sin(θ＋π3)＝sin ＋sin (θ＋π6－π6)(θ＋π6＋π6)＝sincos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin (θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6(θ＋π6)π6＝2sincos ＝sin ＝1.(θ＋π6)π63(θ＋π6)所以sin＝.(θ＋π6)332．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )35(π2，π)12A ．－ B. C. D ．－211211112112答案 A解析 ∵α∈，(π2，π)∴cos α＝－，tan α＝－，4534又tan(π－β)＝，12∴tan β＝－，12∴tan(α－β)＝＝＝－.tan α－tan β1＋tan α·tan β－34＋121＋(－34)×(－12)211思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1 (1)函数y ＝sin ＋sin 的最小值为( )(2x ＋π4)(2x －π4)A. B ．－22C ．－ D.23答案 C解析 y ＝sin＋sin(2x ＋π4)(2x －π4)＝sin 2x cos ＋cos 2x sin ＋sin 2x cos －cos 2x sin ＝sin 2x .π4π4π4π42∴y 的最小值为－.2(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝.(α＋π6)333答案 －33解析 因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，(α＋π6)3212333所以tan(α＋β)＝＝tan α＋tan β1－tan αtan β－3＋331＋3×33＝＝－.－233233题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法(0，π2)正确的是( )A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案 AD解析 由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝，即选项A 正确，B 错误；12∵γ∈，(0，π2)∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，(0，π2)∴0<β－α<，π2∴β－α＝，π3即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( )233A. B.1413C. D.1253答案 B解析 ∵C ＝120°，∴tan C ＝－.3∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝，3tan A ＋tan B ＝(1－tan A tan B )，3又∵tan A ＋tan B ＝，233∴tan A tan B ＝.13延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于( )A ．45° B ．135°C ．150° D ．30°答案 A解析 在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，所以tan(A ＋B )＝＝－1＝－tan C ，tan A ＋tan B1－tan A tan B 所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .3π4答案 2解析 tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，(－3π4)tan α＋tan β1－tan αtan β所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝.答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，12∴sin(α＋β)＝－.12思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2 (1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝(sin 56°－cos 56°)，c ＝22，则a ，b ，c 的大小关系是( )1－tan239°1＋tan239°A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b答案 D解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝(sin 56°－cos 56°)22＝sin 56°－cos 56°2222＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈上单调递增，[0，π2]所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案 4解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三 角的变换问题例3 (1)已知α，β∈，若sin＝，cos ＝，则sin(α－β)的值为( )(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513A. B.16653365C. D.56656365答案 A解析 由题意可得α＋∈，π6(π2，π)β－∈，5π6(－π2，0)所以cos ＝－，(α＋π6)35sin＝－，(β－5π6)1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－×＋×45513(－35)(－1213)＝.1665(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝，tan α＝.答案 －1 12解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3)＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.－1－(－3)1＋(－1)×(－3)12教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.4355(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝，43tan α＝，sin αcos α所以sin α＝cos α.43因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，925因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－.725(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，55所以sin(α＋β)＝＝，1－cos2(α＋β)255因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，43所以tan 2α＝＝－，2tan α1－tan2α247因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－.211思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－α＋β2α－β2π4π2等．(π4－α)跟踪训练3 (1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝.551010答案 π4解析 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.π2π2又sin(α－β)＝－，1010所以cos(α－β)＝.31010又sin α＝，55所以cos α＝，255所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.5531010255(－1010)22所以β＝.π4(2)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos(β－α)＝，则sin α＝，cos β＝.π243210答案 －4522解析 因为0<α<，且tan α＝，π243所以sin α＝，cos α＝，4535由0<α<<β<π，π2则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝，210则sin(β－α)＝，7210所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α＝×－×＝－.2103572104522课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ B ．－2－33C.－2 D ．－33答案 B解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝＝－2－.4＋23－232．已知点P (x ，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos 等于( )213(π6＋α)A ．－B.3＋2263＋226C.D.3－22622－36答案 A解析 因为点P (x ，2)是角α终边上一点，2则有cos α＝＝，xx 2＋(22)2xx 2＋8而cos α＝－，13于是得＝－，解得x ＝－1，xx 2＋813则sin α＝＝，22x 2＋8223因此，cos ＝cos cos α－sin sin α(π6＋α)π6π6＝×－×32(－13)12223＝－，3＋226所以cos ＝－.(π6＋α)3＋2263.等于( )sin 10°1－3tan 10°A ．1 B.14C. D.1232答案 B解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4(12cos 10°－32sin 10°)＝sin 20°4sin (30°－10°)＝.144．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )5531010A. B.或3π4π43π4C. D ．2k π＋(k ∈Z )π4π4答案 C解析 由sin α＝，cos β＝，5531010且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，2551010故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×25531010551010＝，22又0<α＋β<π，故α＋β＝.π45．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析 对于A ，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.322212226＋24方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，A 错误．223222126＋24对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C 正确．12对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D 正确．126．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( )55513A ．sin 2α＝B ．cos(α－β)＝121319565C ．cos αcos β＝D ．tan αtan β＝8565118答案 AC解析 因为cos(α＋β)＝－，55cos 2α＝－，其中α，β为锐角，513所以sin 2α＝＝，故A 正确；1－cos22α1213因为sin(α＋β)＝，255所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝，(－513)(－55)121325529565故B 错误；cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]12＝＝，12(－55＋29565)8565故C 正确；sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]12＝＝，12[29565－(－55)]21565所以tan αtan β＝，故D 错误．2187．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ＝，则cos ＝.(3π4，π)35(β－π4)1213(α＋π4)答案 －5665解析 因为α，β∈，(3π4，π)所以<α＋β<2π，3π2<β－<，π2π43π4因为sin(α＋β)＝－，35sin＝，(β－π4)1213所以cos(α＋β)＝，45cos＝－，(β－π4)513所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin (β－π4)(β－π4)＝×＋×45(－513)(－35)1213＝－.56659．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin ＝，求cos(α＋β)的值．π2(α－β2)19(α2－β)23解 ∵0＜β＜＜α＜π，π2∴－＜－β＜，π4α2π2＜α－＜π，π4β2∴cos ＝＝，(α2－β)1－sin2(α2－β)53sin＝＝，(α－β2)1－cos2(α－β2)459∴cos ＝cosα＋β2[(α－β2)－(α2－β)]＝cos cos ＋sin sin(α－β2)(α2－β)(α－β2)(α2－β)＝×＋×(－19)5345923＝，7527∴cos(α＋β)＝2cos 2－1＝2×－1＝－.α＋β249×572923972910．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.3513(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解 (1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.(0，π2)π2π2又∵tan(α－β)＝－＜0，13∴－＜α－β＜0.π2∴sin(α－β)＝－.1010(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.31010∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.3545∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.453101035(－1010)9105011．已知cos ＝2cos(π－α)，则tan 等于( )(π2－α)(π4＋α)A ．－3B.13C ．－D ．313答案 C解析 由cos ＝2cos(π－α)得(π2－α)sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ＝(π4＋α)tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝＝－.1－21－1×(－2)1312．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．3sin x ＋3cos x ＝3sin1555(x ＋π6)C ．f (x )＝sin ＋cos 的最大值为2x2x2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案 AD解析 对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，3sin x ＋3cos x ＝61555(32sin x ＋12cos x)＝6sin，故B 错误；5(x ＋π6)对于C ，f (x )＝sin ＋cos ＝sin ，x2x22(x 2＋π4)所以f (x )的最大值为，故C 错误；2对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则(－π2，π2)α＋β＝ .答案 －3π4解析 依题意有Error!所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝＝1.－3a 1－(3a ＋1)又Error!所以tan α<0且tan β<0，所以－<α<0且－<β<0，π2π2即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.3π414．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．答案 [－1，1]解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝，π2∴Error!即≤α≤π，π2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)(2α－α＋π2)＝cos α＋sin α＝sin .2(α＋π4)∵≤α≤π，π2∴≤α＋≤，3π4π45π4∴－1≤sin≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．2(α＋π4)15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( )(0，π2)A. B. C. D.π3π6π4π8答案 B解析 由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y1＋tan x tan y＝＝≤，2tan y1＋3tan2y 21tan y＋3tan y33当且仅当tan y ＝时等号成立，33由于f (x )＝tan x 在x ∈上单调递增，(0，π2)又x ，y ∈，(0，π2)则x －y 的最大值为.π616.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM ＝，点B 的纵坐标是.55210(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解 (1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝|OA |·|OM |sin α＝，1255所以sin α＝，255又α为锐角，所以cos α＝.55因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是，210所以sin β＝，cos β＝－，2107210所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.55(－7210)2552101010(2)因为sin α＝，cos α＝，25555cos(α－β)＝－，1010sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，255(－7210)5521031010所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，22因为α为锐角，sin α＝>，25522所以α∈，所以2α∈，(π4，π2)(π2，π)又β∈，(π2，π)所以2α－β∈，(－π2，π2)所以2α－β＝－.π4。
人教版高一数学必修四最全三角函数公式含正弦余弦正切
三角函数诱导公式设α为任意角，满足以下公式：公式一：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα公式二：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα公式三：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα公式四：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα公式五：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα公式六：sin（π/2＋α）＝cosαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαcos（π/2－α）＝sinα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：奇变偶不变，符号看象限两角和与差的三角函数sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) ·三角形中三角函数基本定理【正弦定理】式中R为ABC的外接圆半径【余弦定理】【勾股定理】在直角三角形(C为直角)中，勾方加股方等于弦方(图1.4)，即勾股定理也称商高定理，外国书刊中称毕达哥拉斯定理.【正切定理】或【半角与边长的关系公式】式中，r为ABC的内切圆半径，且式中S为ABC的面积. 三角函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解25---两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考点梳理】考点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βα，β∈R考点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βα，β∈R考点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β) ＝T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2tan α＋tan β1－tan αtan β(k ∈Z )两角差的正切tan(α－β) ＝tan α－tan β1＋tan αtan βT (α－β)α，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z )考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式【题型归纳】题型一：两角和与差的余弦公式 一：用和差余弦公式进行化简求值1．（2021·全国·高一课时练习）cos 20︒=（ ） A ．cos30cos10sin30sin10︒︒-︒︒B ．cos30cos10sin30sin10︒︒+︒︒ C ．sin30cos10sin10cos30︒︒-︒︒D ．cos30cos10sin30cos10︒︒-︒︒2．（2021·全国·高一课时练习）已知,αβ均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则t a n α=（ ）A ．0B ．3C ．12D ．13．（2021·江苏如皋·高一月考）已知α，β均为锐角，满足5sin 5α=，10sin 10β=，则αβ+=（ ） A ．6πB ．34πC ．3πD ．4π二：逆用和差余弦公式进行化简求值 4．（2021·全国·高一课时练习）13cos15sin1522+︒︒的值是（ ） A ．22B ．22-C ．62D ．62-5．（2021·全国·高一课时练习）sin347cos148sin77cos58︒+︒︒︒=（ ） A ．2B ．22C ．12D ．326．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）sin 74sin 46sin16sin 44-=（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-题型二：两角和与差的正弦公式 一：用和差正弦公式进行化简求值7．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）sin22cos82cos22sin82-︒︒︒︒的值是（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-8．（2021·河南·郑州四中高一月考）若sin 3cos 2θθ+=，()0,θπ∈，则sin θ为（ ） A ．12-B ．12C ．32D ．32-9．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知,αβ都是锐角，3sin =5a ，()12cos 13αβ+=-，则sin =β（ ） A ．1B ．1514+C ．1665-D ．1665二：逆用和差正弦公式进行化简求值10．（2021·全国·高一课时练习）化简sin 200cos140cos160sin 40︒︒-︒︒，得（ ） A ．32B ．sin 20︒C ．cos 20︒D ．12 11．（2021·北京市昌平区实验学校高一期中）sin 70cos25sin 20sin 25︒⋅︒-︒⋅︒=（ ） A ．22B ．32C ．12D ．22-12．（2021·江苏·高一月考）sin15cos45cos15sin135+=（ ） A ．12-B ．12 C ．32-D ．32题型三：两角和与差的正切公式 一：用和差正切公式进行化简求值13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈，则2αβ-=（ ） A ．34π-B ．4π-C ．4πD ．54π14．（2021·全国·高一课时练习）计算tan82tan 221tan82tan 22︒︒︒︒-=+（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．3-15．（2021·全国·高一课时练习）若tan 34πα⎛⎫⎪⎝⎭-=，则tan α的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2二：逆用和差正切公式进行化简求值 16．（2021·陕西阎良·高一期末）tan10tan 201tan10tan 20︒+︒=-︒︒（ ）A ．3-B ．33C ．3D ．33- 17．（2021·全国·高一单元测试）3tan1813tan18︒︒-+的值等于（ ）A ．tan 42°B ．tan 3°C．1D ．tan 24°18．（2021·河南商丘·高一月考）3tan 48tan 60tan18tan 48tan18--°°°°°=（ ） A ．1B ．3C ．2D ．3题型四：两角和与差的三角函数综合应用 19．（2021·全国·高一课时练习）求值：sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒．20．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值： （1）sin 20sin 40cos 20cos 40︒-︒︒-︒；（2）sin 20sin 40cos10︒+-︒︒．21．（2021·全国·高一课时练习）化简： （1）tan 58tan 921tan 58tan88︒+︒+︒︒；（2）tan 2tan 1tan 2tan θθθθ-+；（3）tan83tan373tan83tan37+-︒︒︒︒；（4）cos15sin15cos15sin15︒-︒︒+︒.题型五：二倍角公式的运用22．（2021·河南·高一期末）已知角α的终边过点()3,4-，则s i n22c o s 1αα-+的值为（ ）A ．2-B ．25-C ．2925-D ．1 23．（2021·河北张家口·高一期末）若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为（ ）A ．23-B ．23C ．43-D ．4324．（2021·全国·高一课时练习）44cos sin 22αα-的化简结果为（ ）A ．cos 2αB ．cos αC ．cos 2αD ．cos 4α【双基达标】一、单选题25．（2022·全国·高三专题练习）已知cos α＝－45，α∈3(,)2ππ，则sin ()4a π+等于（ ） A ．－210B ．210C ．－7210D ．721026．（2022·全国·高三专题练习）已知tan ()4a π+＝2，则tan α＝（ ）A ．13B ．－13C ．43D ．－4327．（2021·全国·高一课时练习）化简sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒，得（ ）A ．32B ．12C ．sin 4︒D ．cos 4︒ 28．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，射线OA与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()βα-的值是（ ）A ．2425-B ．2425C ．725D ．725-29．（2021·全国·高一课时练习）若角α满足1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2tan 1tan aa +＝（ ）A ．79B ．724C ．718D ．71230．（2021·全国·高一单元测试）已知3(0,),(0,)42ππαβ∈∈，3sin()43πα+=，53cos()29βα+=-，则cos()42πβ-＝（ ）A ．429B ．429-C ．223D ．223-31．（2021·江西·九江一中高一月考）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、AC ，已知以直角边AC 、AB 为直径的半圆的面积之比为14，记∠ABC ＝α，则4cos 2α+sin2α＝（ ）A ．4B ．2C ．32D ．5232．（2021·全国·高一课时练习）已知()1cos 180904θθ=--︒<<-︒，则cos 2θ=（ ） A ．64-B ．64C ．38-D ．3833．（2021·四川·仁寿一中高一开学考试）已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1c o s t a n s i n βαβ+=，则（ ）A ．3παβ-=B ．3παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=34．（2021·河北·张家口市第一中学高一月考）设α，β均为锐角，且()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，则2tan 1sin βα+的最大值是（ ）A ．2B ．22C ．2D ．22【高分突破】一：单选题35．（2021·江苏·常熟市中学高一月考）已知cos sin 06παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．336．（2021·江苏·盐城中学高一月考）化简2sin()sin()63ππαα++可得（ ） A ．1cos(232)πα-+B ．1sin(232)πα--C ．1cos(223)πα-D ．1sin(223)πα+37．（2021·浙江·乐清市知临中学高一期末）对于任意的αβR ∈，，则有（ ）A ．()()22sin sin sin sin αβαβαβ-=+-B ．()()22cos cos cos cos αβαβαβ-=+-C ．()()22sin sin sin sin αβαβαβ+=+-D ．()()22cos cos cos cos αβαβαβ+=+-38．（2021·江苏·金陵中学高一月考）3tan123tan18tan12tan18︒+︒+︒⋅︒的值是（ ） A ．3B ．32C ．0D ．1 39．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）已知22()2cos sin 2x f x x =+，则()f x 的最大值为（ ） A ．3B ．94C ．2D ．2340．（2021·江苏省外国语学校高一期中）ABC 中，3tan 4A =，5cos 5B =，则()t a n 22A B +=（ ） A ．112-B ．87-C ．44117D ．-11二、多选题41．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一月考）下列式子结果为3的是（ ） ①tan 25tan353tan 25tan35++︒︒︒︒； ②()2sin35cos 25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④1tan151tan15-︒+︒．A ．①B．②C．③D．④42．（2021·江苏淮安·高一月考）下列各式中，值为12的是（ ）A ．2tan 22.51tan 22.5︒︒-B ．2tan15cos 15⋅ C ．33cos 212π－33sin 212πD ．cos76°cos16°+cos14°sin16° 43．（2021·江苏江宁·高一期中）下列格式中，值等于32的是（ ） A ．2tan151tan 15︒-︒B ．cos47sin 73cos73sin133︒︒+︒︒C ．22cos sin 1212ππ-D ．cos66cos36sin 66sin36︒︒-︒︒44．（2021·江苏鼓楼·高一期中）在下列选项中，正确的是（ ） A ．3sin17cos13cos17sin132︒︒+︒︒=B ．1cos75cos15sin75sin152︒︒+︒︒=C ．存在角α，β，使得sin （α+β）<sin α+sin β成立D ．对于任意角α，β，式子cos （α+β）<cos α+cos β都成立45．（2021·重庆市第二十九中学校高一期中）下列各式中，值为12的是（ ） A ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒B ．2tan15cos 15︒⋅︒C ．2233cos sin312312ππ-D ．1316sin 5016cos50+︒︒三、填空题46．（2021·河北衡水中学高一期末）已知(,)2παπ∈-，且3c o s 28s i n 50αα++=，则t a n α=__．47．（2021·全国·高一课时练习）化简sin(α＋60°)＋2sin(α－60°)－3cos(120°－α)的结果是______.48．（2021·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________． 49．（2021·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π），sin α＝7210，co s β＝255-，则α+2β的值为______ 50．（2021·全国·高一课时练习）已知12cos ,0,4134ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2sin 4απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________．四、解答题51．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）（1）已知tan 3α=，求()2sin cos αα+；（2）计算：()sin 40tan103-.52．（2021·全国·高一课时练习）已知α是第一象限角，且5cos 13α=，求()πsin 4cos 24παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值．53．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值： （1）cos40cos60cos140+︒+︒︒；（2）sin 20sin 40sin60sin80︒︒︒︒． 54．（2021·全国·高一课时练习）把下列各式化为和或差的形式： （1）sin 2sin x x ；（2）()()cos cos αβαβ+-；（3）()()sin 1353cos 45x x ︒-︒+；（4）ππ2sin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．55．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知4cos 5α=，求44sin cos αα+的值； （2）已知1sin cos 2αα+=，求sin 2α的值.（3）已知3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，化简1sin 1sin αα-++； （4）已知1tan 22βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1tan 23αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()tan αβ+的值.【答案详解】1．B解：()cos 20cos 3010cos30cos10sin30sin10︒=-=+ 故选：B2．D 【详解】cos()sin()αβαβ+=-，cos cos sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ∴-=-，即()()cos sin cos sin sin cos 0βααβαα-+-=， 所以()()cos sin sin cos 0ββαα+-=， 因为,αβ均为锐角，所以cos sin 0ββ+>， 所以sin cos 0αα-=， 所以tan 1α=， 故选：D 3．D 【详解】依题意α，β均为锐角，2525sin cos 1sin 55ααα=⇒=-=，210310sin cos 1sin 1010βββ=⇒=-=， 所以()253105102cos 5105102αβ+=⨯-⨯=， 而0αβ<+<π，所以4παβ+=.故选：D 4．A 【详解】原式()2cos60cos15sin 60sin15cos 6015cos 452=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=. 故选：A 5．B解：()()sin347cos148sin 77cos58sin13sin58cos13cos58︒+=-︒-︒+︒︒︒︒︒()2cos13cos58sin13sin 58cos 5813cos 452=︒︒+︒︒=︒-︒=︒=. 故选：B. 6．A 【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos602-=-== 故选：A 7．D 【详解】由题意，()()3sin 22cos82cos 22sin82sin 2282sin 602︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=- 故选：D 8．B 解：sin 3cos 2θθ+=，2sin()23πθ∴+=，即sin()13πθ+=，(0,)θπ∈，6πθ∴=，1sin 2θ∴=． 故选：B ． 9．D 【详解】由于0,022ππαβ<<<<，所以0αβ<+<π，所以()()2245cos 1sin ,sin 1cos 513αααβαβ=-=+=-+=， 所以()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αβααβα=+-+541231613513565=⨯+⨯=. 故选：D 10．A 【详解】由cos160cos(360160)cos200︒=︒-︒=︒，sin 40sin(18040)sin140︒=︒-︒=︒，∴sin 200cos140cos160sin 40sin 200cos140cos200sin140︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=sin(200140)︒-︒=3sin 602︒=. 故选：A 11．A 【详解】2sin 70cos 25sin 20sin 25sin 70cos 25cos70sin 25sin 452︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒-︒⋅︒=︒=. 故选：A 12．Dsin15cos45cos15sin135+sin15cos45cos15sin 45=+()3sin 1545sin 602=+==， 故选：D. 13．A 【详解】因为11tan(),tan 27αββ-==-，所以[]()()11tan tan 127tan tan ()0111tan tan 3127αββααββαββ--+=-+===>--⋅+⨯,则π(0,)2α∈,因为1tan 07β=-<,则,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,202ππαβπαβ-<-<--<-<,22122tan α33tan 2α1tan α4113´===-骣-琪琪桫31tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 147αβαβαβ+--===+⋅-⨯， 所以324παβ-=-,14．C 【详解】由题意，tan82tan 22tan(8222)tan 6031tan82tan 22︒︒︒︒︒︒︒-=-==+ 故选：C 15．B 【详解】由题意，44441tan 131tan 1321tan παππαπαα⎛⎫- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎝⎭====- ⎪⎢⎥+⎛⎫----⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭.故选：B. 16．B 【详解】()tan10tan 203tan 1020tan 301tan10tan 203︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒ 故选：B 17．A 【详解】∵tan 60°＝3，∴原式＝tan 60tan181tan 60tan18︒-︒=+︒︒tan(60°－18°)＝tan 42°.故选：A. 18．A 【详解】3tan 48tan 60tan18tan 48tan18--°°°°°()3tan 48tan18tan 48tan18--=°°°°()()1tan 48tan183tan 48tan1ta 188n 48=-⎡⎤⎣⎦+-°°°°°° ()3tan 301tan 48tan18tan 48tan18=+-⎡⎤⎣⎦°°°°°1tan 48tan18tan 48tan181=+-=°°°°．故选：A 19．32+ 解：sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒sin15cos5sin(155)cos15cos5cos(155)︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒ sin15cos5sin15cos5cos15sin5cos15cos5cos15cos5sin15sin5︒︒-︒︒-︒︒=︒︒-︒︒+︒︒ cos15sin 5sin15sin 5-︒︒=︒︒1tan15=-︒， 1tan3013tan15tan(4530)321tan3013-︒-︒=︒-︒===-+︒+，∴原式13232=-=+-，20．（1）()()sin 6040sin 40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 6040cos 40---=---31cos 40sin 40sin 40sin 60cos 40cos60sin 40sin 4022cos60cos 40sin 60sin 40cos 4013cos 40sin 40cos 4022----=+-+-=()()()33cos 40sin 403sin 30403sin 10223sin10sin 403031sin 40cos 4022---====---.（2）()()sin 20sin 40cos10sin 3010sin 3010cos10+-=-++- 11cos c 3310sin1010sin10cos1022os 22-++-= cos10cos100=-=.21． 解：tan 58tan 92tan 58tan881tan 58tan881tan 58tan88︒+︒︒-︒=+︒︒+︒︒()3tan 58883=︒-︒=-； （2） 解：()tan 2tan tan 2tan 1tan 2tan θθθθθθθ-=-=+；（3）解：因为tan83tan37tan120tan(8337)31tan83tan37︒+︒︒=︒+︒==--︒︒，所以tan83tan373(1tan83tan37)︒+︒=--︒︒，所以原式3(1tan83tan37)3tan83tan373=--︒︒-︒︒=-；（4） 解：cos15sin151tan15tan 45tan153tan(4515)tan30cos15sin151tan151tan 45tan153︒-︒-︒︒-︒===︒-︒=︒=︒+︒+︒+︒︒．22．C因为角α的终边过点()3,4-，所以4sin 5α=-，3cos 5α=，所以()3429sin 22cos 12cos sin 112115525αααα⎛⎫-+=-+=⨯⨯--+=- ⎪⎝⎭.故选：C 23．A 【详解】 由题知tan 2θ=-，2222sin 22sin cos 2tan 2cos 1sin 2cos tan 23θθθθθθθθ===-+++.故选：A. 24．B 【详解】442222cos sin cos sin cos sin cos 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：B. 25．C 【详解】 ∵α∈3(,)2ππ，且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin ()4a π+＝－35×22＋4()5-×22＝7210-.故选：C 26．A 【详解】tan ()4a π+＝1tan 1tan αα+-＝2，解得tan α＝13.故选：A 27．B 【详解】1sin13cos17cos13sin17sin(1317)sin 302︒︒+︒︒=︒+︒=︒=. 故选：B 28．D 【详解】由任意角的三角函数的定义可得，3cos 5α=-，4sin 5α=， 因34,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且射线OA 和射线OB 关于x 轴对称，则射线OB 与单位圆的交点为34,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是得3cos 5β=-，4sin 5β=-，因此，33449167cos()cos cos sin sin 5555252525βαβαβα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos()βα-的值是725-. 故选：D 29．C 【详解】因为()21cos cos sin 423πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，可得2cos sin 3αα-=， 两边平方，可得72sin cos 9αα=，所以22sin tan 7cos sin cos 1tan 18sin 1cos αααααααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：C. 30．C 【详解】 ∵3(0,),(0,)42ππαβ∈∈， ∴(,)44ππαπ+∈，(0,)2βαπ+∈．∵32sin()432πα+=<， ∴3(,)44ππαπ+∈，则cos(4απ+)＝63-，∵53cos()29βα+=-， ∴sin(2βα+)＝69． cos()cos[()()]4242πβπβαα-=+-+＝cos(4απ+)cos(2βα+)+sin(4απ+)sin(2βα+)＝539663223933⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭-⨯⨯=． 故选：C ． 31．A 【详解】如图，由题意，以直角边AC 、AB 为直径的半圆的面积之比为14，则半径比为12，所以12AC AB =， 不妨设AC =1，AB =2，易知AB AC ⊥，所以5BC =, 所以12sin ,cos 55AC AB BC BC αα====，则4sin 22sin cos 5ααα==， 于是，2444cos sin 24455αα+=⨯+=. 故选：A. 32．B 【详解】由2cos 2cos 12θθ=-得212cos 124θ-=-，6cos 24θ=±，又18090θ-︒<<-︒，所以90452θ-︒<<-︒，cos02θ>，所以6cos 24θ=．故选：B ． 33．C 【详解】 因为1cos sin tan sin cos βααβα+==， 所以()1cos cos sin sin βααβ+=，即()()cos sin sin cos cos cos cos πααβαβαβαβ=-=-+=-+⎡⎤⎣⎦， 因为α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈，()()π0,παβ-+∈，因为cos y x =在()0,π上单调递减，所以()πααβ=-+， 即2παβ+=， 故选：C. 34．B解：因为α，β均为锐角，()()sin sin sin cos βαβαβα++-=，所以sin 2sin cos ,cos βαβα=即tan 2sin cos βαα=，故222tan 2sin cos 2222sin cos 1sin 2sin cos 222cos sin βααααααααα==≤=+++，当且仅当2sin cos cos sin αααα=，即2ta n 2α=时等号成立， 故选：B. 35．A 【详解】∵ cos sin 06παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴ cos sin cos cos sin066ππααα+-=，∴ 13cos sin 022αα+=， ∴ 3tan 3α=- 故选：A. 36．D【详解】原式1sin()sin()sin()cos()sin(2)6626623ππππππααααα=+++=++=+，故选：D. 37．A解：因为()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+-=+-()()22222222sin cos cos sin sin 1sin 1sin sin αβαβαβαβ=-=---222222sin sin sin sin sin sin ααβββα=--+22sin sin αβ=-，故A 选项正确，C 选项错误；因为()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=-+()()22222222cos cos sin sin cos cos 1cos 1cos αβαβαβαβ=-=---()222222cos cos 1cos cos cos cos αβαβαβ=---+222222cos cos 1cos sin cos sin αβαββα=+-=-=-，故B,D 选项错误. 故选：A 38．D 【详解】3tan123tan18tan12tan18︒+︒+︒⋅︒()3tan12tan18tan12tan18︒︒︒⋅=++︒()tan 1218(1tan12tan183tan12tan1)8︒+︒-︒⋅︒⋅+︒=︒(1tan12tan1833tan12t 8)1an13-︒⋅︒︒⋅=⨯︒=+. 故选：D 39．B 【详解】因为()2222192cos sin 1cos 1cos cos 224x f x x x x x ⎛⎫=+=++-=--+ ⎪⎝⎭，当1cos 2x =时，()f x 有最大值，且()max 94f x =， 故选：B. 40．C 【详解】 在ABC 中，∵5cos 5B =，∴225sin 1cos 5B B =-=，则sin sin 2cos B B B==，又3tan 4A =，∴()32tan tan 114tan 31tan tan 2124A B A B A B +++===---⨯， ∴()()()21122tan 442tan 21211tan 11714A B A B A B ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭+===-+-． 故选：C 41．ABC 【详解】对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-， 所以tan 25tan353tan 25tan35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos65sin 25=，所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==；对于③，因为tan 451=，1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--； 对于④，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+；故选：ABC 42．ACD 【详解】2tan 22.511tan 451tan 22.522︒︒=︒=-；22sin1511tan15cos 15cos 15sin15cos15sin 30cos1524︒=⋅︒=︒⋅︒=︒=︒； 33cos 212π－33sin 212π3331cos 36322π==⨯=； 1cos76cos16cos14sin16sin14cos16cos14sin16sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=． 故选：ACD ． 43．BC 【详解】2tan151tan 15︒-︒13tan 3026=︒=， 3cos 47sin 73cos73sin 47sin(7347)sin1202︒︒+︒︒=︒+︒=︒=， 223cos sin cos121262πππ-==， 3cos66cos36sin 66sin 36cos(6636)cos1022︒︒-︒︒=︒+︒=︒≠． 故选：BC ． 44．BC 【详解】对于A ，()1sin17cos13cos17sin13sin 1713sin302︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，所以A 错误；对于B ，()1cos75cos15sin75sin15cos 7515cos602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，所以B 正确；对于C ，当，,36ππαβ==时()31,sin sin sin 1,sin sin sin sin 13623622πππππαβαβ⎛⎫+=+==+=+=+> ⎪⎝⎭，所以()sin sin αβα+<，所以sin()sin sin αβαβ+<+成立 所以C 正确；对于D ，当,22ππαβ==-时()cos cos 1,cos cos 22ππαβαβ⎛⎫+=-=+= ⎪⎝⎭cos cos 022ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以D 错误； 故选：BC 45．AC 【详解】2tan 22.511tan 451tan 22.522︒=⨯︒=-︒；22sin1511tan15cos 15cos 15sin15cos15sin 30cos1524︒︒⋅︒=⨯︒=︒︒=︒=︒； 2233cos sin312312ππ-223331sin )cos 1233(cos 3223126πππ-==⨯==； 13cos50sin 5013cos503sin 50sin8012216sin 5016cos5016sin 50cos504sin1004sin804︒+︒︒+︒︒+====︒︒︒︒︒︒． 故选：AC ． 46．255-【详解】解：因为23cos28sin 53(12sin )8sin 50αααα++=-++=，整理可得23sin 4sin 40αα--=， 解得2sin 03α=-<，或2（舍去）， 由于(,)2παπ∈-， 可得(2πα∈-，0)， 所以2sin 5cos 13αα=-=，sin 25tan cos 5==-a a a ．故答案为：255-． 47．0解： 原式＝sin(α＋60°)－3cos[180°－(α＋60°)]＋2sin(α－60°) ＝sin(α＋60°)＋3cos(α＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α＋60°＋60°)＋2sin(α－60°) ＝2sin(α－60°＋180°)＋2sin(α－60°) ＝－2sin(α－60°)＋2sin(α－60°) ＝0. 故答案为：0 48．-1()()22224422sin cos sin cos sin cos 1cos 2cos sin ααααααααα-+-==-- 故答案为：-1 49．54π- 【详解】因为α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π），sin α＝7210，co s β＝255-， 所以2982cos 1sin 110010αα=-=-=， 2205sin 1cos 1255ββ=--=--=-， 所以sin sin 1tan 7,tan cos cos 2αβαβαβ====， 所以22tan 14tan 211tan 314βββ===--，所以tan tan 2tan(2)1tan tan 2αβαβαβ++=-47314173+==--⨯因为α∈（0，2π），β∈（﹣π，﹣2π），所以(2)2,2παβπ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，所以524παβ+=-， 故答案为：54π-50．1013【详解】sin 22sin cos cos 2244sin sin sin 444πππααααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2sin 244πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为04πα<<，所以044ππα<-<，又12cos 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2sin 1cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212511313⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以原式51021313=⨯=． 故答案为：1013. 51．（1）85；（2）1-. 【详解】（1）tan 3α=Q ，()222222sin cos 2tan 238sin cos 111sin cos 1tan 135αααααααα⨯∴+=+=+=+=+++； （2）()sin10sin103cos10sin 40tan103sin 403sin 40cos10cos10⎛⎫--=-=⋅⎪⎝⎭()13sin10cos102sin 40sin 1060222sin 40cos10cos10--=⋅=2sin 40sin502sin 40cos40cos10cos10=-=-sin801cos10=-=-. 52．13214-【详解】因为α是第一象限角，且5cos 13α=， 所以212sin 1cos 13αα=-=， 所以()22π222sin sin cos 1324222cos 24πcos sin cos sin 14αααααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭===-+-- 53． （1）12 （2）316（1）原式1cos 40cos60cos 40cos602=+-==. （2） 原式3sin 20sin(6020)sin(6020)2=-︒︒︒+ 223sin 20sin 60cos 206[()(cos sin 20)]02︒︒-︒=223sin 20cos 2031(sin 20)442=︒︒- 222313(sin 233sin 20cos 20sin 20220)(sin 20)444︒︒-=︒-=3233(3sin 20[3s 4sin 20)2sin 20(1cos 20)in 08]28︒-=︒--=33(sin 20(sin 208832sin 20cos 40)sin 60sin 20)16︒-︒+-===54． （1）解：因为()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x ，()cos cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x =-=+，两式相减得：()111sin 2sin cos3cos cos3cos 222x x x x x x =--=-+； （2）因为()()()()()()cos 2cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-⎡⎤⎣⎦，()()()()()()cos 2cos cos cos sin sin βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-⎡⎤⎣⎦，两式相加得：()()()111cos cos cos 2cos 2cos 2cos 2222αβαβαβαβ+-=+=+； （3）因为()()()()()sin 135345sin 1353cos 45cos 1353sin 45x x x x x x ︒-+︒+=︒-︒++︒-︒+，()()()()()sin 135345sin 1353cos 45cos 1353sin 45x x x x x x ︒--︒-=︒-︒+-︒-︒+，两式相加得：()()()()111sin 1353cos 45sin 135345sin 135345sin 2cos 4222x x x x x x x x ︒-︒+=︒-+︒++︒--︒-=+⎡⎤⎣⎦； （4）因为ππππππcos cos cos sin cos 444444x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ππππππcos cos cos sin sin 444444x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：ππ1ππππ2sin sin 2cos cos cos 24424444x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⨯⋅-++----= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．55．（1）337625；（2）34-；（3）2cos 2α-；（4）724【详解】（1）因为4cos 5α=，所以229sin 1cos 25αα=-=， 所以244494337sin cos 255625αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为1sin cos 2αα+=，左右同时平方可得：()21sin cos 4αα+=， 所以221sin cos 2sin cos 4αααα++=，所以3sin 22sin cos 4ααα==- （3）22221sin 1sin sin cos 2sincossin cos 2sincos22222222αααααααααα-++=+-+++sin cos sin cos 2222αααα=-++，因为3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以220sin,1cos 2222αα<<-<<-， 所以sincossincossincossin cos 2cos 222222222ααααααααα⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭； （4）tan tan 2222tan 1tan tan 2tan 7122βααββααβααββαβ⎛⎫+⎡⎤⎛⎫=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22tan 72tan 241tan 2αβαβαβ+⎛⎫⎪⎝⎭+==+⎛⎫- ⎪⎝⎭。
两角和差的余弦公式
两角和差的余弦公式两角和差的余弦公式是数学中常用的一个公式，它可以用来求解两个角的余弦值之和或差。
由于它非常实用，因此被广泛应用于各种理论领域。
本文将介绍两角和差的余弦公式的定义、特点以及应用。
一、两角和差的余弦公式的定义两角和差的余弦公式用来求解两个角的余弦值之和或差，其可以表示为：cos(α+β) = cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β) = cosα·cosβ+sinα·sinβ这里，α和β分别表示两个不同的角，cosα和cosβ表示α和β的余弦值，sinα和sinβ表示α和β的正弦值。
二、两角和差的余弦公式的特点两角和差的余弦公式的最大特点就是可以用来求解两个角的余弦值之和或差。
它可以用来计算任意两个角的余弦值之和或差，而不需要考虑它们之间的关系，这是一种非常方便的计算方法。
此外，两角和差的余弦公式还有一个重要的特点，就是可以用来求解任意三角形的外角和。
根据余弦定理，任意三角形的外角和等于180度。
这时，可以利用两角和差的余弦公式来求解，即：cos(α+β+γ) = cosα·cosβ·cosγ - sinα·sinβ·sinγ这样就可以很容易的求解出任意三角形的外角和。
三、两角和差的余弦公式的应用两角和差的余弦公式非常实用，因此被广泛应用于各种理论领域，如：（1）在几何学中，两角和差的余弦公式可以用来求解任意三角形的外角和，从而求出三角形的三个内角。
（2）在物理学中，两角和差的余弦公式可以用来求解三维空间中物体的运动轨迹，从而获得物体运动的位置、速度等物理量。
（3）在天文学中，两角和差的余弦公式可以用来求解太阳系中行星的运行轨迹，从而得到太阳系中行星的位置、速度等参数。
（4）在通信学中，两角和差的余弦公式可以用来求解信号传播的损耗，从而获得信号传播的距离、信号强度等参数。
四、总结以上就是两角和差的余弦公式的定义、特点以及应用情况。
两角差的余弦公式
两角和与差的余弦公式的应用
三角函数求值
利用两角和与差的余弦公式，可以方便地求出一些比较复杂的三 角函数值
三角恒等式证明
通过两角和与差的余弦公式，可以证明一些三角恒等式
解三角形
在解三角形的过程中，可以利用两角和与差的余弦公式得到一些 关键的信息
两角差的余弦公式在物理中的应用
波动光学
在波动光学中，两角差的余弦公式可以用来描述光波的干涉和衍 射现象
具体证明过程如下
1. 利用三角函数的加法公式，将 $\cos(A-B)$表示为$\cos A \cos B + \sin A \sin B$。
02
两角差的余弦公式的应用
角度测量
航天领域
在航天领域中，两角差的余弦公式被广泛应用于航天器的轨道计算和姿态控制 中。通过测量航天器与地球基准线之间的夹角，可以确定航天器的位置和速度 。
该公式在三角函数的计算、化简和证 明等领域有着广泛的应用。
公式证明
证明两角差的余弦公式的方法有多种， 其中一种是利用三角函数的加法公式和 减法公式进行推导。
3. 将步骤1和步骤2的结果相加，得到两 角差的余弦公式。
2. 利用三角函数的减法公式，将 $\cos(A-B)$表示为$\cos A \cos B \sin A \sin B$。
电磁学
在电磁学中，两角差的余弦公式可以用来描述电磁波的传播和散射 现象
力学
在力学中，两角差的余弦公式可以用来描述物体的运动和相互作用
THANKS
谢谢您的观看
应用举例
三角函数的化简
利用两角差的余弦公式，可以将 复杂的三角函数表达式化简为简 单的形式。
三角函数的求值
已知$\cos A$和$\cos B$的值， 可以利用两角差的余弦公式求出 $\cos(A-B)$或$\cos(A+B)$的值 。
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问
如何用任意角α 与β 的正弦、
题
余弦来表示cos(α -β )？
探 思考：你认为会是 究
cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
OA cosα ,sinα OB cosβ ,sinβ
OA OB OA OB cos( )
cos( )
A
∵ OA OB
不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的 基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和 方法的能力问题，等等.