湖北省孝感市重点高中协作体2019届高三上学期期中联考考试数学(理科)试题 含答案
2019-2020学年湖北省部分重点高中高三(上)期中数学试卷(理科)试题及答案(解析版)
2019-2020学年湖北省部分重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<，若A B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．12a -<…B ．2a >C ．1a -…D ．1a >-2．定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i z zi-=+的复数z 为( ) A ．3i -B ．13i +C ．3i +D ．13i -3．已知1e ，2e 是不共线向量，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于( )A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34(,)55B -，则cos (α= )A B ． C D ．5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，( ) A ．若1n n a a n +-=，则{}n a 是等差数列B ．若212n n n a a a ++=，则{}n a 是等比数列C ．若1()2n n n a a S +=，则{}n a 是等差数列 D ．若(0n n S q q =>且1)q ≠，则{}n a 是等比数列 7．下列四个命题中真命题是( ) 11123:(0,1),log log P x x x ∀∈<2121:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…31311:(0,),()log 32x P x x ∃∈…411:(0,),()()23x x P x ∃∈+∞…A ．2P ，3PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．1P ，4P8．函数133(1)()(1)x x f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．9．已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．函()f x 最小值为34C ．2π是函()f x 的一个周期D ．函()f x 在(0,)2π内是减函数10．定义在[0，)+∞上的函数()f x 满足：当02x <…时，2()2f x x x =-：当2x …时，()3(2)f x f x =-．记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯，并记相应的极大值为1b ，2b ，⋯，n b ，⋯，则11222020a b a b a b ++⋯+的值为( ) A ．201931⨯+B ．191931⨯+C ．192031⨯+D ．202031⨯+11．设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62ππα∈--，在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为( ) A ．6πB ．2πC ．76πD ．π12．函数1()|21|x x f x e e b x -=---在(0,1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．((1,)e e -B ．(1e -，0)(0⋃，1)e -C ．(10)(0,1)e - D ．(1,(,1)e e e ---二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答題卡对应題号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = ． 14．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S = ．15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点1P ，2P ，310P P ⋯，则12310()AF APAP AP AP +++⋯+= ．16．已知函数2()cos2xf x x π=，数列{}n a 中，*()(1)()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = ．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考试必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)nn n n n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1|1|2019n T +<，求正整数n 的最小值．18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上160BAC CAA ∠=∠=︒，且12AB AC AA ===． ()I 求证：11B C A B ⊥；（Ⅱ）求二面角1A B C B --的余弦值．19．如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠=（常数为锐角）拟用长度为(l l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =．（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用θ，l 表示）； （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB ∆面积的最小值．21．已知函数()mxf x lnx=，曲线()y f x =在点2(e ，2())f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数2()()1kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t tt tx e e y e e --⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数）在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数2()1f x x x =-+，且a ，b ，c R ∈．（Ⅰ）若1a b c ++=，求f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值； （Ⅱ）若||1x a -<，求证：|()f x f -（a ）|2(||1)a <+．2019-2020学年湖北省部分重点高中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<，若A B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．12a -<…B ．2a >C ．1a -…D ．1a >-【解答】解：AB ≠∅，A ∴，B 有公共元素集合{|12}A x x =-<…，{|}B x x a =<， 1a ∴>-故选：D ． 2．定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i z zi-=+的复数z 为( ) A ．3i -B ．13i +C ．3i +D ．13i -【解答】解：根据定义，可知1(1)42zi z i ⨯--⨯=+，即(1)42z i i +=+，42(42)(1)6231(1)(1)2i i i i z i i i i ++--∴====-++-． 故选：A ．3．已知1e ，2e 是不共线向量，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：A ，B ，D 三点共线，∴AB BD β=，(β为实数）， 122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-， ∴12(1)2BD BC CD e e λ=+=-+， ∴12122(1)2e e e e βλβ+=-+，解得12β=，5λ=． 故选：C ．4．如图，点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34(,)55B -，则cos (α= )A B ． C D ．【解答】解：点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34(,)55B -，(cos3A π∴，sin )3π，即1(2A ，且3cos()35πα+=-，4sin()35πα+=．则314343cos cos[()]cos()cos sin()sin 333333525ππππππαααα=+-=+++=-+=， 故选：A ．5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由1112440(2)n --=⨯，解得7n =，频率为的音名是(#)d ， 故选：D ．6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，( ) A ．若1n n a a n +-=，则{}n a 是等差数列B ．若212n n n a a a ++=，则{}n a 是等比数列C ．若1()2n n n a a S +=，则{}n a 是等差数列 D ．若(0n n S q q =>且1)q ≠，则{}n a 是等比数列 【解答】解：利用排除法：对于A ：若1n n a a t +-=（常数），则{}n a 是等差数列， 故错误．对于B ：当120n n n a a a ++===，即使212n n n a a a ++=，则{}n a 不是等比数列．对于D ：当1(0n n S q q =->且1)q ≠，则{}n a 是等比数列． 故错误． 故选：C ．7．下列四个命题中真命题是( ) 11123:(0,1),log log P x x x ∀∈<2121:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…31311:(0,),()log 32x P x x ∃∈…411:(0,),()()23x x P x ∃∈+∞…A ．2P ，3PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．1P ，4P【解答】解：在同一个坐标系中画出13y log x =，12y log x =，1()2x y =，1()3x y =的图象，由图象可知：11123:(0,1),log log P x x x ∀∈<，不正确；2121:(0,),()log 2x P x x ∃∈+∞…，正确；31311:(0,),()log 32x P x x ∃∈…，不正确；411:(0,),()()23x x P x ∃∈+∞…，正确；故选：B ．8．函数133(1)()(1)x x f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：123,1(),1x x f x log x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则(1)y f x =-的图象是由()y f x =的图象，沿y 轴对折，得到()y f x =-的图象，再向右平移一个单位得到的， 故选：C ．9．已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．函()f x 最小值为34C ．2π是函()f x 的一个周期D ．函()f x 在(0,)2π内是减函数【解答】解：对于A ，函数42()cos sin f x x x =+，其定义域为R ， 对任意的x R ∈，有4242()cos ()sin ()cos sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；对于B ，422213()cos cos 1()24f x x x cos x =-+=-+，当cos x =时()f x 取得最小值34，故B 正确； 对于C ，2213()()24f x cos x =-+21cos 213()224x +=-+2cos 2344x =+1cos 4384x +=+cos 4788x =+， 它的最小正周期为242T ππ==，故C 正确； 对于D ，17()cos 488f x x =+，当(0,)2x π∈时，4(0,2)x π∈，()f x 先单调递减后单调递增，故D 错误．故选：D ．10．定义在[0，)+∞上的函数()f x 满足：当02x <…时，2()2f x x x =-：当2x …时，()3(2)f x f x =-．记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a ，2a ，⋯，n a ，⋯，并记相应的极大值为1b ，2b ，⋯，n b ，⋯，则11222020a b a b a b ++⋯+的值为( ) A ．201931⨯+B ．191931⨯+C ．192031⨯+D ．202031⨯+【解答】解：当02x <…时，22()21(1)f x x x x =-=--， 可得()f x 的极大值点11a =，11b =，当24x <…，即有022x -<…，可得2()3(2)3[1(3)]f x f x x =-=--， 可得23a =，23b =，当46x <…，即有042x -<…，可得2()9(4)9[1(5)]f x f x x =-=--， 可得35a =，39b =， ⋯即有2039a =，1933b =，则192011222020113359393S a b a b a b =++⋯+=+++⋯+，202031339527393S =+++⋯+，相减可得192020212(39273)393S -=++++⋯+-19203(13)1239313-=+--，化简可得20201193S =+， 故选：A ．11．设函数()sin()6f x x π=-，若对于任意5[,]62ππα∈--，在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为( ) A ．6πB ．2πC ．76πD ．π【解答】解：因为()sin()6f x x π=-，5[6x π∈-，]2π-，所以2[,]63x πππ-∈--，所以()[f x ∈，0]，即()[f α∈，0]， 由在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则在区间[0，]m 上总存在唯一确定的β，使得()[0f β∈，由函数()f x 在[0，2]3π为增函数，值域为：1[2-，1]，又()sin 23f ππ==即2m π…，故m 的最小值为：2π，故选：B ．12．函数1()|21|x x f x e e b x -=---在(0,1)内有两个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．((1,)e e -B ．(1e -，0)(0⋃，1)e -C ．(10)(0,1)e - D ．(1,(,1)e e e ---【解答】解：11()2||2x x f x e e b x -=---， 设12t x =-，则12x t =+， 01x <<，1122t ∴-<<， 则函数()f x 等价为11222||t t y e eb t +-=--，即等价为11222||t t y e eb t +-=--在1122t -<<上有两个零点，即11222||t t eeb t +--=有两个根， 设1122()t t h t ee+-=-，则11112222()()()t t t t h t e eeeh t -++--=-=--=-，即函数()h t 是奇函数，则1122()0t t h t ee+-'=+>，即函数()h t 在1122t-剟上是增函数， (0)0h =，1()12h e =-，1()12h e -=-，当102t剟， 若0b =，则函数()f x 只有一个零点，不满足条件． 若0b >，则()2g t bx =，设过原点的直线()g t 与()h t 相切，切点为1122(,)a a a ee+--，1122()t t h t ee+-'=+，即h '（a ）1122a a ee+-=+， 则切线方程为11112222()()()a a a a y e eeex a +-+---=+-，切线过原点， 则11112222()()a a a a e e a e e+-+---=-+，即11112222a a a a eeaeae+-+--+=--，则1122(1)(1)a a a ea e -++=-+，得0a =，即切点为(0,0)，此时切线斜率111222(0)2k h e e e ='=+=若1222e b =，则12b e ==，此时切线y =与()h t 相切，只有一个交点，不满足条件． 当直线过点1(2，1)e -时，1122e b b -=⨯=，此时直线()2(1)g t e x =-，要使()g t 与()h t 1b e <<-， 当0b <时，0t <时，()2g t bx =-， 由1222b e -=得b =，当直线过点1(2-，1)e -时，112()2e b b -=--=，要使()g t 与()h t 有两个交点，则1e b -<<，综上1e b -<<1b e <<-，即实数b 的取值范围是(1,(,1)e e e ---，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答題卡对应題号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = 3．【解答】解：函数2()(1)(23)2(32)3f x x x a x a x a =++=+++ 函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，222(32)32(32)3x a x a x a x a ∴-++=+++320a ∴+=23a ∴=-，故答案为：23a =-14．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =【解答】解：ABC ∆中，11cos 14A =，可得：sin A ==，∴由正弦定理可得：sin 7sin a B b A ===， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：249255c c =+-，解得：8c =或3-（舍去），11sin 5822ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=．故答案为：．15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点1P ，2P ，310P P ⋯，则12310()AF APAP AP AP +++⋯+= 180．【解答】解法一：特殊位置法．令这10个点是DG 的等分点，且M 为DG 中点， 则1231010AP AP AP AP AM +++⋯+=， 以A 为原点，AD 方向为x 轴建立坐标系，故F，11(2MAF =，11(2AM =∴原式10180AF AM ==故答案为：180． 解法二：（几何法）由图知，AFC ∆中，60ACF ∠=︒，2AC FC ==， 知，AFC ∆为以90AFC ∠=︒的直角三角形． AF FC ∴⊥，30FAC ∠=︒．又//GD FC ，AF GD ∴⊥． 又 点1P ，2P ，10P ⋯在线段GD 上， (1i AF DP i ∴⊥=，2，3，⋯，10) ∴原式110()AF AD DP AD DP =++⋯++1210(10)AF AD DP DP DP =+++⋯+ 11010AF AD AF DP AF DP =++⋯+ 10AF AD =106cos30=⨯⨯︒ 180=．故答案为：180． 16．已知函数2()cos2xf x x π=，数列{}n a 中，*()(1)()n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = 10200 ． 【解答】解：2()cos2xf x x π=，22(1)()(1)cos (1)cos22n n n a f n f n n n ππ+∴=++=++， 222434342(43)cos(42)cos (42)22n n n a n n n ππ---=-+-=--， 同理可得：242(42)n a n -=--，241(4)n a n -=，24(4)n a n =．2243424142(42)2(4)8(41)n n n n a a a a n n n ---∴+++=--+=-．∴数列{}n a 的前100项之和1008(3799)10200S =⨯++⋯+=．故答案为：10200．三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考试必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，11a =，12n n S na +=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)nn n n n a b a a ++=-，数列{}n b 的前n 项和n T ，若1|1|2019n T +<，求正整数n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为12n n S na +=⋯⋯①， 所以12(1)n n S n a -=-⋯⋯②，②-①得：12(1)n n n a na n a +=--，2n …， 所以11n n a a n n +=+，则{}n an为常数列， 又2122a S ==， ∴212n a a n ==， ∴(2)n a n n =…当1n =时也满足，所以n a n =，n N ∈ （Ⅱ）2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++， 当n 为偶数时，1111111(1)()()()2233411n nT n n n =-+++-++⋯++=-++， 当n 为奇数时，11111112(1)()()()2233411n n T n n n +=-+++-++⋯-+=-++， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则11|1|1201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018n ∴>，n 的最小值为2019．18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上160BAC CAA ∠=∠=︒，且12AB AC AA ===． ()I 求证：11B C A B ⊥；（Ⅱ）求二面角1A B C B --的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD 、1AB ， 1A D AC ⊥，160CAA ∠=︒，1AC AA =，D ∴是AC 的中点，又AB AC =，60BAC ∠=︒，BD AC ∴⊥， 1A DBD D =，AC ∴⊥平面1A BD ，1AC A B ∴⊥，又11AA B B 是平行四边形，1AB AA =，11AB A B ∴⊥， 1ACA B A =，1A B ∴⊥平面1AB C ，11B C A B ∴⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC 、DB 、1DA 两两垂直，故以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，(0A ，1-，0)，B 0，0)，(0C ，1，0)，1(0A ，0，∴1(0AA =，1，设10(B x ，0y ，0)z ，则1000(,)BB x y z =，11AA BB =，∴0000,1,x y z -===1B ∴1，∴1(3AB =，2，(0AC =，2，0)，设平面1AB C 的一个法向量(m x =，y ，)z ，则132020m AB x y m AC y ⎧=++=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1m =1)-，10cos ,||||5m n m n m n ∴<>==，∴二面角1A B C B --．19．如图，一个角形海湾AOB ，2AOB θ∠=（常数为锐角）拟用长度为(l l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =．（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用θ，l 表示）； （3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由． 【解答】解：（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=， 2lr θ∴=． 211224l l S l θθ∴=⨯⨯=．（2）设OC x =，OD y =，则2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+--…， 可得：224l xy sin θ…，当且仅当x y =时取等号．∴养殖区的最大面积22221sin 2244tan l l S sin θθθ=⨯⨯=；（3）12tan S S θθ=， 令()tan f θθθ=-，则22()sec 1tan 0f θθθ'=-=>，()f θ∴在(0,)2π上单调递增．(0)0f =． 12S S ∴>．当(0,)2πθ∈时，选取方案一．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB ∆面积的最小值．【解答】解：（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2p y =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3⋯分 （2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-． 令0y =，则2t x =，即点(,0)2tP ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为3d ==5⋯分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为△2242(216)464(4)0t t t =+-=+>，所以1y =2y =，所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7⋯分 所以EAB ∆的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为(0,x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0,上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x =324)()min g x ==．所以EAB ∆的面积的最小值为．10⋯分． 21．已知函数()mxf x lnx=，曲线()y f x =在点2(e ，2())f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数2()()1kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．．【解答】解：（Ⅰ）函数()mxf x lnx =的导数为2(1)()()m lnx f x lnx -'=，又由题意有：2121()2242m f e m '=⇒=⇒=， 故2()xf x lnx=． 此时22(1)()()lnx f x lnx -'=，由()001f x x '⇒<<…或1x e <…，所以函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1，]e ． （Ⅱ）22()()()()11kx kx g x f x g x x x lnx x =-⇒=---，且定义域为(0，1)(1⋃，)+∞， 要函数()g x 无零点，即要21kx lnx x =-在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内无解， 亦即要2(1)0x klnx x--=在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内无解． 构造函数22(1)2()()x kx h x klnx h x x x --'=-⇒=． ①当0k …时，()0h x '<在(0x ∈，1)(1⋃，)+∞内恒成立，所以函数()h x 在(0,1)内单调递减，()h x 在(1,)+∞内也单调递减．又h （1）0=，所以在(0,1)内无零点，在(1,)+∞内也无零点，故满足条件；②当0k >时，222()2()()k x kx k h x h x x x--''=⇒=， （1）若02k <<，则函数()h x 在(0,1)内单调递减， 在2(1,)k 内也单调递减，在2(,)k+∞内单调递增． 又h （1）0=，所以在(0,1)内无零点； 易知2()0h k <，而2222()20k kh e k k e =-+>， 故在2(,)k+∞内有一个零点，所以不满足条件； （2）若2k =，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增．又h （1）0=，所以(0x ∈，1)(1⋃，)+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件；（3）若2k >，则函数()h x 在2(0,)k 内单调递减，在2(,1)k内单调递增， 在(1,)+∞内也单调递增．又h （1）0=，所以在2(,1)k及(1,)+∞内均无零点． 又易知2()0h k<，而2()()2222k k k h e k k e e k -=--+=--， 又易证当2k >时，()0k h e ->，所以函数()h x 在2(0,)k内有一零点，故不满足条件． 综上可得：k 的取值范围为：0k …或2k =．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t tt t x e e y e e --⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数）在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-= （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为t tt t x e e y e e --⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数），∴曲线C 的直角坐标方程为224x y -=，(2)x …， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入224x y -=，得2cos 2ρθ=曲线C 的直角坐标方程为224x y -=，(2)x …，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入224x y -=，得222(cos sin )4ρθθ-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 24()4πρθ=-． （Ⅱ）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ，得222(cos sin )2cos 2ρθθθ-=，22223cos sin 2(cos sin )θθθθ∴-+=-，cos 0θ≠，23tan 10θ∴-+=，∴方程的解为tan θ=6πθ=，代入sin()3πρθ-=ρ=∴直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标为，)6π． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数2()1f x x x =-+，且a ，b ，c R ∈．（Ⅰ）若1a b c ++=，求f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值；（Ⅱ）若||1x a -<，求证：|()f x f -（a ）|2(||1)a <+．【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式可得2222222()(111)()1a b c a b c ++++++=…，当且仅当13a b c ===时取等号， 即22213a b c ++…； f ∴（a ）f +（b ）f +（c ）22217()()31233a b c a b c =++-+++-+=…， 即f （a ）f +（b ）f +（c ）的最小值为73．证明：（Ⅱ）||1x a -<，|()f x f ∴-（a ）22||()()||||1||1|x a x a x a x a x a =---=-+-<+-|()(21)||||21|1(2||1)2(||1)x a a x a a a a =-+--+-<++=+…，故结论成立。
湖北黄冈中学、孝感高中2019高三上联考试题-数学理(带解析)
湖北黄冈中学、孝感高中2019高三上联考试题-数学理（带解析）理科数学150分【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、设为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，那么z 等于〔〕 A 、2i - B 、2i -- C 、12i + D 、12i -2、设集合{(,)|,},{(,)|20},{(,)|0}U x y x y A x y x y m B x y x y n =∈∈=-+>=+-≤R R ，那么点(2,3)()UP A B ∈ð的充要条件是〔〕A 、1m >-且5n <B 、1m <-且5n <C 、1m >-且5n >D 、1m <-且5n >3、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中随机地取一点P ，那么点P 与正方体各表面的距离都大于3a 的概率为〔〕A 、127B 、116C 、19D 、134、设曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭区域的面积为S ，那么以下等式成立的是() A 、120()d S x x x=-⎰ B 、120()d S x x x=-⎰C 、12()d S y y y=-⎰D、1(S y y=⎰5、函数()2lg(1)2x f x x =++-的零点的个数为〔〕 A 、0 B 、1C 、2D 、36、某程序框图如下图，该程序运行后输出的结果 是〔〕A 、12B 、23C 、34D 、457、设函数()y f x =在定义域内的导函数为()y f x '=，假设()y f x =的图象如图1所示，那么()y f x '=的图象可能为〔〕8、两不共线向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，那么以下说法不．正确的选项是．．．．．．〔〕 A 、||||1==a bB 、()()+⊥-a b a bC 、a 与b 的夹角等于αβ-D 、a 与b 在+a b 方向上的投影相等9、直线：11110(0)A x B y C C ++=≠与直线2l ：22220(0)A x B y C C ++=≠交于点M ，O 为坐标原点，那么直线OM 的方程为〔〕A 、12121212()()0A A B B x y C C C C -+-= B 、12121212()()0A A B B x y C C C C ---= C 、12121212()()0CC C C x y A A B B -+-=D 、12121212()()0CC C C x y A A B B ---= 10、假设某几何体的三视图是如下图的三个直角三角形，那么该几何体的外接球的表面积为〔〕A 、10πB 、25πC 、50πD 、100π【二】填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分、 〔一〕必考题〔11～14题〕11、为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图〔如右图〕、图中从左到右的前3个小组的频率之比为1﹕2﹕3，第2小组的频数为12，那么被抽查的男生的人数是、12、假设8x π=是函数()sin cos f x a x b x=+〔a 、b 均为常数〕图象的一条对称轴，那么()8f π的值为、13、在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，那么实数a 的值为、 14、假设0,2sin cos ,x x y x π⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩2z x y =+，那么z 的取值范围是、〔二〕选考题〔请考生在15、16两题中任选一题作答、假如全选，那么按第15题作答结果计分〕15、〔选修4－1：几何证明选讲〕如图，在△ABC 中，90B ∠=︒、O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，2,1AD AE ==，那么CD 的长为、16、〔选修4－4：坐标系与参数方程〕在极坐标系中，曲线1:sin )1C ρθθ+=与曲线2:(0)C a a ρ=>的一个交点在极轴上，那么a 的值为、【三】解答题：本大题共6小题，共75分、解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值12分〕函数()|2|f x x =+、〔1〕解关于x 的不等式()|34|1f x x --≤；〔2〕假设()||1f x x a +->恒成立，求实数a 的取值范围、 18、〔本小题总分值12分〕定义域为R 的函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的一段图象如下图、 〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕假设()cos3,()()()g x x h x f x g x ==，求函数()h x 的单调递增区间、19、〔本小题总分值12分〕在公园游园活动中有如此一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，假设摸出的白球许多于2个，那么获奖、〔每次游戏结束后将球放回原箱〕〔1〕在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；〔2〕在两次游戏中，记获奖次数为X ：①求X 的分布列；②求X 的数学期望、20、〔本小题总分值12分〕如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，1,2PM BC ==、又1AC =，120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒、〔1〕求证：PC AC ⊥；〔2〕求二面角M AC B --的余弦值； 〔3〕求点B 到平面MAC 的距离、 21、〔本小题总分值13分〕 斜率为2-的直线与椭圆222:1(0)x C y a a +=>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为11(,)22E 、直线2l 与y 轴交于点(0,)(0)M m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,P Q ，O 为坐标原点，且,4,PM MQ OP OQ OM λλλ=+=∈R 、〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕求λ的值；〔3〕求m 的取值范围、 22、〔本小题总分值14分〕在数列*{}()n a n ∈N 中，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=、〔1〕求{}na 的通项公式；〔2〕假设24()n n a b n=，求数列{(1)}n n b -的前n 项和n T ；〔3〕求证：12121119nna a aa a a +++<、湖北省2018届高三上学期期末联合考试理科数学参考答案1、D解析：∵22i (2i)i 2i 112ii 1i z ++-====--，∴选择“D ”、 2、A解析：∵(2,3)()UP A B ∈ð，∴(2,3)P A ∈，且(2,3)P B ∉，∴2230,230,m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩得1,5.m n >-⎧⎨<⎩应选择A 、3、A解析：符合条件的点P 落在棱长为3a 的正方体内，依照几何概型的概率计算公式得33()1327a P a==、应选A 、 4、B解析：将曲线方程2y x =与直线方程y x =联立方程组，解得0x =或1x =、结合图形可知选项B 正确、5、B解析：方法1：∵(0)10,(1)lg 20f f =-<=>，∴()f x 在(0,1)内必有一个零点、又∵()f x 在(1,)-+∞上为增函数，∴()f x 有且仅有1个零点、方法2：由()0f x =得lg(1)22x x +=-+、作出函数()lg(1)g x x =+与()22x h x =-+的图象，知两函数的图象有且仅有一个交点，即方程()0f x =有且仅有一个根，即函数()f x 有且仅有一个零点、6、C解析：11131223344++=⨯⨯⨯、应选C 、 7、D解析：∵当0x <时，函数()f x 为增函数，∴当0x <时，()0f x '>、又∵当0x >时，随着x 的增大，函数值先递增，再递减，最后又递增，∴选择“D ”、8、C解析：①A 显然正确、②∵22()()||||0+⋅-=-=a b a b a b ，∴()()+⊥-a b a b ，∴B 正确、黄冈中学 孝感高中③cos ,cos cos sin sin cos()||||αβαβαβ⋅<>==⋅=+=-⋅a ba b a b a b 、 当[0,]αβπ-∈时，,αβ<>=-a b ；当[0,]αβπ-∉时，,αβ<>≠-a b 、故C 不正确、 ④∵22()()||||||||||||⋅+⋅+=⇔+⋅=⋅+⇔=++a a b b a b a a b a b b a b a b a b ，∴D 正确、 应选择“C ”、 9、A 解析：：111110AB x yC C ++=，2l ：222210A B x y C C ++=，两式相减得12121212()()0A A B B x y C C C C -+-=、 ∵点O 、M 的坐标都满足该直线的方程，∴点O 、M 都在该直线上，∴直线OM 的方程为12121212()()0A A B B x y C C C C -+-=、应选“A ”、 10、C解析：该几何体是三棱锥，将该三棱锥视为长方体的一个角，得长方体的体对角线的长=，∴球的表面积为50π，选择“C ”、11、48解析：设被抽查的男生的人数为n 、∵后两组的频率之和为(0.01250.0375)50.25+⨯=，∴前三组的频率之和为0.75、又∵前三组的频数分别为6,12,18，∴612180.75n++=，得48n =、12、解析：∵对称轴通过函数图象的最高点或最低点，∴()8f π=、13、2或3解析：展开式中3x 的系数为3425666216C aC a C -+=-，∴2560a a -+=，得2a =或3、14、[0,6π解析：作出可行域如下图、直线2x y z +=与y 轴交于点(0,)2z 、设直线2x y z +=与曲线cos (0)2y x x π=≤≤相切于点A 、∵由1sin 2y x '=-=-得6x π=，∴(6A π，代入2x y z +=得6z π=+(0,0)O 代入2x y z +=得0z =、故z 的取值范围为[0,6π、15、3解析：∵2AD AE AB =⋅，∴24AD AB AE==、设CD x =，那么CB x =、∵222AB BC AC +=，∴2224(2)x x +=+，得3x =，即3CD =、16解析：将极坐标方程化为一般方程，得2221210,:C y C x y a +-=+=、在1C 中，令0y =，得x =，再将代入2C得a =、 17、解：〔1〕由()|34|1f x x --≤得|2||34|1x x +--≤，即2,(2)(34)1,x x x <-⎧⎨-++-≤⎩或42,3(2)(34)1,x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪++-≤⎩或4,3(2)(34)1,x x x ⎧≥⎪⎨⎪+--≤⎩得解集为35{|,}42x x x ≤≥或、〔6分〕 〔2〕方法1：在数轴上，设点,,A B M 对应的实数分别为2,,a x -，那么“()||1f x x a +->恒成立”⇔“|2|||1x x a ++->恒成立”⇔“||||1MA MB +>恒成立”、∵||||MA MB +的最小值为||AB ，即|2|a +，∴|2|1a +>，得21a +>，或21a +<-，即1a >-，或3a <-、方法2：由绝对值三角不等式得|2||||(2)()||2|x x a x x a a ++-≥+--=+，∴|2|1a +>，得1a >-，或3a <-、〔12分〕 18、解：〔1〕∵24()4123T πππ=-=，∴23T πω==，∴()2sin(3)f x x ϕ=+、∵点(,2)12π在图象上，∴2sin(3)212πϕ⨯+=，即sin()14πϕ+=，∴2()42k k ππϕπ+=+∈Z ，即24k πϕπ=+、故()2sin(3)4f x x π=+、〔6分〕 〔2〕2()2sin(3)cos32(sin 3cos cos3sin )cos33cos3cos 3)444h x x x x x x x x x πππ=+=+=+6cos 61)sin(6)4x x x π=++=+262()242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得函数()h x 的单调递增区间为[,]()38324k k k ππππ-+∈Z 、〔12分〕19、解：〔1〕记“在一次游戏中摸出k 个白球”为事件(0,1,2,3)k A k =、①2132322531()5C C P A C C ==、〔3分〕②22111323222323225317()()()510C C C C C P A A P A P A C C +=+=+=、〔6分〕〔2〕1233973217749(0),(1),(2)10101001010501010100P X P X C P X ==⨯===⨯===⨯=、〔9分〕 ①的分布列为 ②X 的数学期望921497()012100501005E X =⨯+⨯+⨯=、〔12分〕 【或：∵7(2,)10XB ，∴77()2105E X =⨯=】 20、解：方法1：〔1〕∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥、〔2分〕 〔2〕取BC 的中点N ，连MN 、∵PMCN =，∴MNPC =，∴MN⊥平面ABC 、作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH 、由三垂线定理得AC MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角、∵直线AM 与直线PC 所成的角为60︒，∴在Rt AMN ∆中，60AMN ∠=︒、在ACN ∆中，AN ==、 在Rt AMN ∆中，cot 601MN AN AMN =⋅∠=︒=、在Rt NCH ∆中，sin 1sin 60NH CN NCH =⋅∠=⨯︒=在Rt MNH ∆中，∵MH ==，∴cos NH MHN MH ∠==、故二面角M AC B --〔8分〕〔3〕作NE MH ⊥于E 、∵AC ⊥平面MNH ，∴AC NE ⊥，∴NE ⊥平面MAC ，∴点N 到平面MAC的距离为MN NH NE MH ⋅==N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC〔12分〕方法2：〔1〕∵,PC BC PC AB ⊥⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥、〔2分〕 〔2〕在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如下图、设(0,0,)P z ，那么(0,0,)CP z =、13(0,1,),0)(,)22AM z z =--=、 ∵cos 60|cos ,|||||||3AM CP AM CP AMCP ⋅︒=<>==⋅，且0z >，∴12=，得1z =，∴3(,1)2AM =-、设平面MAC 的一个法向量为(,,1)x y =n ，那么由0,0AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得310,210,2y y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴(1,1)=-n 、平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)CP =、21cos ,||CPCP ||CP ⋅<>==⋅n n n 、显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M ACB --、〔8分〕〔3〕点B 到平面MAC 的距离||||CB d ⋅==n n 、〔12分〕21、解：〔1〕设1122(,),(,)A x y B x y ，那么121212121,1,2y y x x y y x x -+=+==--、∵221121,x y a += 222221x y a +=，∴两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y a +-++-=，即121212212()x x y y y y x x a +-++- 0=，即211(2)0a +⨯-=，得212a =，∴椭圆C 的方程为2221x y +=、〔4分〕 〔2〕解法1：设3344(,),(,)P x y Q x y ，2:l y kx m =+〔∵2l 与y 轴相交，∴2l 的斜率存在〕、由,4PM MQ OP OQ OM λλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得33443434(,)(,),(,)(0,4),x m y x y m x x y y m λλλ--=-⎧⎨++=⎩得3434,4,x x y y m λλ-=⎧⎨+=⎩即3434,()()4,x x kx m kx m m λλ=- ⎧⎨+++= ⎩①②将①代入②得(3)0m λ-=，∵0m ≠，∴3λ=、解法2：∵PM MQ λ=，∴()OM OP OQ OM λ-=-，∴(1)OP OQ OM λλ+=+，又∵OP OQ λ+=4OM ，∴(1)4OM OM λ+=，∴(3)OM λ-=0，又∵OM ≠0，∴3λ=、〔8分〕 〔3〕将y kx m =+代入2221x y +=得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=、∵3λ=， ∴由3434223423,2,212x x km x x k m x x k ⎧⎪=-⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩消去3x 、4x 得2222(1)41m k m -=-、由0∆>得222(1)k m >-，即222(1)41m m ->-22(1)m -，即222(1)041m m m -<-，即(1)(1)0(21)(21)m m m m +-<+-，得112m -<<-，或112m <<、〔13分〕 22、解：〔1〕方法1：∵*13()n nSn n S n++=∈N ，且111S a ==，∴当2n ≥时， 3211214562(1)(2)112316n n n SS S n n n n S S S S S n -+++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11S =也适合、 当2n ≥时，1(1)2n n n n n a S S -+=-=，且11a =也适合，∴*(1)()2n n n a n +=∈N 、 方法2：∵1(3)0n n nSn S +-+=，∴1(1)(2)0n n n S n S ---+=，两式相减，得11()(2)()n n n n n S S n S S +--=+-，即1(2)n n na n a +=+，即12(2)n na n n a n++=≥、又∵可求得23a =，∴213a a =也适合上式、综上，得*12()n na n n a n ++=∈N 、 当2n ≥时，3211213451(1)112312n n n a a a n n n a a a a a n -++=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=-，且11a =也适合， ∴*(1)()2n n n a n +=∈N 、〔4分〕 〔2〕2(1)n b n =+、设2(1)(1)(1)n n n nc b n =-=-+、当n 为偶数时，∵1221(1)(1)(1)21n n n n c c n n n --+=-⋅+-⋅+=+，12341[5(21)](3)2()()()5913(21).22n n n n n n n T c c c c c c n -+++=++++++=+++++==∴ 当n 为奇数〔n ≥3〕时，221(1)(2)34(1)22n n n n n n n T T c n --+++=+=-+=-，且114T c ==-也适合上式、综上：得234(),2(3)().2n n n n T n n n ⎧++- ⎪⎪=⎨+⎪ ⎪⎩为奇数为偶数〔9分〕 〔3〕令()ln(1)f x x x =-+、当0x >时，∵1()101f x x'=->+，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，得ln(1)x x +<、 令1(1,2,,)ix i n a ==，得11211ln(1)2()(1)1i i a a i i i i +<==-++， ∴11111111ln(1)2[(1)()()]2(1)222311n i i a n n n =+<-+-++-=-<++∑， 即12111ln[(1)(1)(1)]2n a a a +++<，即21212111e 9n n a a a a a a +++<<、〔14分〕。
湖北省孝感市高三上学期期中数学试卷(理科)
湖北省孝感市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·惠来期末) 已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A . （﹣1，2）B . （0，1）C . （﹣1，0）D . （1，2）2. （2分）复数（i为虚数单位）＝（）A .B .C .D .3. （2分）已知则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·淄川期中) 过点P（0，0）、Q（1，）的直线的倾斜角是（）A . 30°D . 45°5. （2分）(2017·大新模拟) 某几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（）A . 6B . 7C . 8D . 96. （2分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x,y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是（）C . 32D . 648. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位9. （2分） (2017高一上·正定期末) 函数f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 810. （2分）若,是非零向量且满足（），（），则与的夹角是（）A .B .C .D .11. （2分）关于x的一元二次不等式ax2+x﹣ax﹣1＜0（a＞0）的解集是（）A . ∅B . {x|x＜1}C .D .12. （2分）给出下列命题，其中正确命题的个数为（）①在区间上，函数中有三个是增函数；②命题．则，使；③若函数f(x)是偶函数，则f(x-1)的图象关于直线x=1对称；④已知函数则方程有2个实数根．A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·陕西期末) 曲线y=x2+ 在点（1，2）处的切线方程为________．14. （1分）已知抛物线x2=8y的弦AB的中点的纵坐标为4，则|AB|的最大值为________15. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 在平面四边形ABCD中，E为BC的中点，且EA=1，ED= ．若•=﹣1，则• 的值是________．16. （1分）若函数f（x）=a（x﹣2e）•lnx+1有两个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2020·泉州模拟) 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线 .（1）求的参数方程；（2）设，点是上的动点，求面积的最大值，及此时的坐标．18. （5分） (2017高一上·惠州期末) 已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）图象的最高点D的坐标为，与点D相邻的最低点坐标为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足f（x）=1的实数x的集合．19. （10分）(2014·山东理) 设函数f（x）= ﹣k（ +lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．20. （10分）(2018·银川模拟) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为上一点.（1）若平面，试说明点的位置并证明的结论；（2）若为的中点，平面，且，求二面角的余弦值.21. （10分） (2017高三上·唐山期末) 已知抛物线，圆 .（1）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.22. （10分） (2019高二下·濮阳月考) 已知函数 .（1）若函数，，求函数的单调区间；（2）若不等式有解，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷1（含答案解析）
2019-2020学年湖北省重点⾼中联考协作体⾼三（上）期中数学试卷1（含答案解析）2019-2020学年湖北省重点⾼中联考协作体⾼三（上）期中数学试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知复数z满⾜(z?1)i=1+i，则z=()A. ?2?iB. ?2+iC. 2?iD. 2+i2.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2?7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3.已知3件次品和2件正品放在⼀起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测⼀件产品，检测后不放回，则第⼀次检测出的是次品且第⼆次检测出的是正品的概率为()A. 16B. 310C. 35D. 564.已知向量a?=(?2,?1)，b? =(2,?2)，则(a??b? )?(a?+2b? )等于()A. 7B. ?6C. ?10D. ?135.由曲线y=|x?1|与(x?1)2+y2=4所围成较⼩扇形的⾯积是()A. π4B. 3π4C. πD. 3π26.若曲线x2m +y21?m=1表⽰焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为()A. m<1B. m<0C. ?1227.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平⾯α、β的四个命题：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共⾯；②若m、l是异⾯直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l//α，m//β，α//β，则l//m；④若l?α，m?α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//β，其中为真命题的是()A. ①③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.根据如图程序框图，当输⼊5时，输出的是()A. 6B. 4.6C. 1.9D. ?3.99.已知函数，若a≠b,f(a)=f(b)，则ab等于()A. e?1B. 1C. eD. e210.有下列4个说法：①等⽐数列的某⼀项可以为0②等⽐数列的公⽐取值范围是R③若b2=ac，则a,b,c成等⽐数列④若⼀个常数列是等⽐数列，则这个数列的公⽐是1其中正确说法的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 311.在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的()A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若函数f(x)={ln (x+1)?x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.某⼯⼚零件模型的三视图如图所⽰，则该零件的体积为______ mm3．14.在区间[1,5]上任取⼀个数m，则函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]的概率是______ ．15.函数f(x)=2sin(2x+π6)在[?π6,π2]上取最⼩值时x的值为______．16.某农户计划种植莴笋和西红柿，种植⾯积不超过30亩，投⼊资⾦不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿4.5吨0.5万元0.4万元那么，该农户⼀年种植总利润(总利润=总销售收⼊?总种植成本)的最⼤值为__________．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.某快递公司收取快递费⽤的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不⾜1kg，按1kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直⽅图如下图所⽰(同⼀组数据⽤该区间的中点值作代表)．(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；(2)该公司从收取的每件快递的费⽤中抽取5元作为前台⼯作⼈员的⼯资和公司利润，剩余的作为其他费⽤．已知公司前台有⼯作⼈员3⼈，每⼈每天⼯资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？(3)⼩明打算将A(0.9kg)，B(1.3kg)，C(1.8kg)，D(2.5kg)四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他⽀付的快递费为45元的概率．18.已知等差数列{a n}满⾜a3=7，a5+a7=26．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(?1)n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项的和S2n．19.如图，在四棱锥P?ABCD中，底⾯ABCD为平⾏四边形，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平⾯PAB⊥平⾯PAD；(2)若AD=√2PA=√2PD=√2AB.且四棱锥的侧⾯积为6+2√3，求该四棱锥P?ABCD的体积．20. 已知从椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上⼀点P 向x 轴作垂线，垂⾜恰为左焦点F 1.⼜点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB//OP ，|F 1A|=√10+√5． (Ⅰ)求椭圆C 的⽅程；(Ⅱ)在椭圆C 中，求以点D(?2,1)为中点的弦MN 所在的直线⽅程．21. 已知函数．(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线⽅程;(2)若⽅程f (x )=g (x )+m 有唯⼀解，试求实数m 的值．22. 在直⾓坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标⽅程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的⾯积的最⼩值．23. 已知a >0，b >0，函数f(x)=|x +a|+|x ?b|的最⼩值为4．(1)求a +b 的值；(2)求a 2+14b 2的最⼩值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代⼊(z ?1)i =1+i ，根据复数相等即可．【解答】设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代⼊(z ?1)i =1+i得(a ?1+bi)i =1+i ，即?b +(a ?1)i =1+i ．根据复数相等可得{?b =1a ?1=1得a =2,b =?1，所以复数z =2?i ．故选C ．2.答案：B解析：解：B ={x|2≤x ≤5}；∴A ∩B ={3,5}．故选：B ．可解出集合B ，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，⼀元⼆次不等式的解法，交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独⽴事件概率乘法公式的合理运⽤．利⽤相互独⽴事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在⼀起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测⼀件产品，检测后不放回，∴第⼀次检测出的是次品且第⼆次检测出的是正品的概率为：p =35×24=310．故选B ．4.答案：D解析：解：向量a ? =(?2,?1)，b ? =(2,?2)，a ? ?b ? =(?4,1)，a ? +2b ? =(2,?5)，则(a ? ?b ? )?(a ? +2b ? )=?8?5=?13．故选：D ．求出相关向量，利⽤向量的数量积运算法则求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积，考查计算能⼒，属于基础题．5.答案：C解析：解：(x?1)2+y2=4的圆⼼坐标为(1,0)，半径为2，由曲线y=|x?1|与(x?1)2+y2=4所围成较⼩扇形的⾯积是圆的⾯积的四分之⼀，∴⾯积是14×π×22=π．故选：C．根据所给的⽅程可以看出两个图形⼀个是半径为2的圆⼀个是⼀条折线，围成较⼩的⾯积是圆的⾯积的四分之⼀，得到结果．本题考查扇形的⾯积公式，解题的关键是从图形中看出要求的函数的图形是圆的四分之⼀，是⼀个基础题．6.答案：B解析：解：∵曲线x2m +y21?m=1表⽰焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准⽅程，得y21?m ?x2m=1，由此可得1?m>0且?m>0，解得m<0．故选：B将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准⽅程，得y21?m ?x2m=1，由此建⽴关于m的不等式组，解之可得m<0．本题已知曲线表⽰焦点在y轴上的双曲线，求参数m的范围．着重考查了圆锥曲线与⽅程、双曲线的标准⽅程等知识，属于基础题．7.答案：C解析：解：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共⾯，正确；②若m、l是异⾯直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，利⽤线⾯垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l//α，α//β，α//β，则l与m不⼀定平⾏，不正确；④若l?α，m?α，l∩m=A，l//β，m//β，利⽤⾯⾯平⾏的判定定理可得：α//β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．①利⽤异⾯直线的定义即可判断出正误；②利⽤线⾯垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不⼀定平⾏，即可判断出正误；④利⽤⾯⾯平⾏的判定定理可得：α//β，即可判断出正误．本题考查了线⾯平⾏与垂直的判定定理、异⾯直线的定义，考查了推理能⼒，属于中档题．8.答案：A解析：解：模拟执⾏程序框图，可得程序的功能是计算y={1.2x x≤71.9x?4.9x>7的值．∵当输⼊5<7，满⾜条件x≤7，∴y=1.2×5=6．故选：A．当输⼊5<7，满⾜条件x≤7，执⾏y=1.2x运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查对数的运算．【解答】解：函数，若a≠b,f(a)=f(b)，所以．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查等⽐数列的定义，根据定义即可求解，属于基础题．【解答】解：对于①，等⽐数列的各项都不为0，故①错误；对于②，等⽐数列的公⽐不为0，故②错误；对于③，若b2=ac，只有当a、b、c都不为0时，a，b，c才成等⽐数列，故③错误；对于④，若⼀个常数列是等⽐数列，⽽等⽐数列的公⽐不为0，则这个常数列的公⽐为1，故④正确；综上可知，正确的说法有1个．故选B．11.答案：B解析：解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°?A，，即必要性成⽴．若A=B=30°，满⾜cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成⽴，即充分性不成⽴，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．根据三⾓函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三⾓函数的诱导公式是解决本题的关键．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点与⽅程根的关系，利⽤导数求出函数单调性进⽽求出函数零点，属于基础题．【解答】解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)?x，f′(x)=1x+11，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒⼩于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最⼤值，最⼤值为f(0)=0，x=0是⼀个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的⼀元⼆次⽅程，令f(x)=0，解得x=?1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=?1和x=0两个零点，故选C．13.答案：11003解析：解：由三视图可知⼏何体是下部为长⽅体底⾯边长为10的正⽅形，⾼为2，上部是4个四棱锥，底⾯边长为5的正⽅形，⼀条侧棱垂直底⾯的⼀个顶点，⾼为：5，⼏何体的体积为：10×10×2+4×13×5×5×5=11003.(mm3).故答案为：11003．判断⼏何体的形状，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积即可．本题考查⼏何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能⼒以及计算能⼒．14.答案：12解析：解：当x=2时，y=?6；当x=0或4时，y=?2．即m∈[2,4]时，函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]，则所求概率为P=4?25?1=12，故答案为：12．找出函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]时对应的区域长度的⼤⼩，再代⼊⼏何概型的计算公式进⾏解答．本题主要考查了⼏何概型、⼆次函数的性质．⼏何概型的概率估算公式中的“⼏何度量”只与“⼤⼩”有关，⽽与形状和位置⽆关解．15.答案：?π6或π2解析：【分析】本题考查利⽤正弦函数的图象与性质求闭区间上的最值，属于基础题．求出的范围，结合正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：因为x∈[?π6,π2 ]，所以，可得，所以当，即时，取最⼩值?1，故答案为?π6或π2．16.答案：43万元解析：【分析】本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和⽬标函数，同时考查了作图的能⼒，属于基础题．设种植莴笋和西红柿的种植⾯积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建⽴关于x与y的约束条件，得到⽬标函数，利⽤线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．【解答】解：设种植莴笋和西红柿的种植⾯积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，由题意可知{x +y ≤30x +0.5y ≤25x ≥0,y ≥0，⼀年的种植总利润为z =0.5×5x +0.4×4.5y ?x ?0.5y =1.5x +1.3y ，作出约束条件如下图阴影部分，由{x +y =30x +0.5y =25，解得A(20,10)，平移直线1.5x +1.3y =0，当过点A(20,10)时，⼀年的种植总利润为z 取最⼤值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------(2分)【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为160×(50×6+150×6+250×30+350×12+450×6)=260】设中位数为x ，易知x ∈(200,300)，则0.001×100×2+0.005×(x ?200)=0.5，解得x =260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------(4分)(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5?3×100=1000(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------(7分)(3)设四件礼物分为⼆个包裹E 、F ，因为礼物A 、C 、D 共重0.9+1.8+2.5=5.2(千克)，礼物B 、C 、D 共重1.3+1.8+2.5=5.6(千克)，都超过5千克，------------------(8分)故E 和F 的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50(单位：元)------------------------------(10分)故所求概率为35.----------------------------------------------------------------------------------(12分)解析：(1)根据频率分布直⽅图，将每⼀组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．(2)根据(1)中得到的平均值，求出每天的费⽤，减去300元的前台⼯作⼈员⼯资即可．(3)将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg ，共有5种分法，其中快递费⽤为45的有3种，可得概率．本题考查了⽤频率分布直⽅图估计平均值，考查频率公式，频率分布直⽅图的应⽤，古典概型的概率求法．属于基础题．18.答案：解：(1)等差数列{a n }满⾜a 3=7，a 5+a 7=26．设⾸项为a 1，公差为d ，则：{a 3=7a 5+a 7=26， {a 1+2d =72a 1+10d =26，解得：a 1=3，d =2．所以：a n =a 1+(n ?1)d =2n +1．(2)由于：b n =(?1)n a n a n+1=(?1)n (2n +1)(2n +3)，则：S 2n =b 1+b 2+b 3+?+b 2n ，=(?3)×5+5×7?7×9+??(4n ?1)(4n +1)+(4n +1)(4n +3)，=4[5+9+13+?+4n +1]，=4×[5n +n(n?1)2×4]， =8n 2+12n ．解析：(1)直接利⽤等差数列建⽴⽅程组，求出数列的通项公式．(2)利⽤数列的通项公式，进⼀步利⽤分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应⽤，分组求和在数列中的应⽤．19.答案：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°．∴AB ⊥AP ，CD ⊥PD ，∵四边形ABCD 是平⾏四边形，∴AB//CD ，∴AB ⊥PD ，⼜PA ∩PD =P ，PA ?平⾯PAD ，PD ?平⾯PAD ，∴AB ⊥平⾯PAD ，⼜AB ?平⾯PAB ，∴平⾯PAB ⊥平⾯PAD ．(2)解：取AD ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，MN ，PN ，由(1)知AB ⊥平⾯PAD ，故AB ⊥AD ，AB ⊥PM ，∴MN =AB ，MN//AB ，∴BC ⊥MN ，∵PA =PD ，M 是AD 的中点，∴PM ⊥AD ，∵平⾯PAD ∩平⾯ABCD =AD ，PM ?平⾯PAD ．∴PM ⊥平⾯ABCD ，⼜∵BC ?平⾯ABCD ，∴PM ⊥BC ．⼜∵PM ∩MN =M ．∴BC ⊥平⾯PMN ，且PN ?平⾯PMN ，故BC ⊥PN ．设AB =PA =PD =x ，则AD =√2x ，PM =√22x ，MN =x ，∴PN =√MN 2+PM 2=√62x ，∴四棱锥P ?ABCD 的侧⾯积为12x 2×2+12×√2x ×√22x +12×√2x ×√62x =6+2√3，解得x =2，即AB =2，∴AD =2√2，PM =√2，∴四棱锥的体积V=13S矩形ABCDPM=13×2×2√2×√2=83．解析：本题考查了⾯⾯垂直的判定，棱锥的表⾯积与体积计算，属于中档题．(1)根据AB⊥AP，AB⊥PD可得AB⊥平⾯PAD，于是平⾯PAB⊥平⾯PAD；(2)根据侧⾯积计算AB的长和棱锥的⾼，再计算棱锥的体积．20.答案：解：(Ⅰ)由题意知：P(?c,b2a),A(a,0),B(0,b)，故k AB=?ba ,k OP=?b2ac，即?ba=?b2ac，解得b=c，⼜a+c=√10+√5,a2=b2+c2，解得a=√10,b=c=√5，故椭圆C的⽅程为C：x210+y25=1；(Ⅱ)因为点D(?2,1)在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的⽅程为y=k(x+2)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，代⼊椭圆⽅程得(2k2+1)x2+(8k2+4k)x+8k2+8k?8=0，故x1+x2=?8k2+4k2k2+1=?4，解得k=1，故直线MN的⽅程为y=x+3．解析：本题考查椭圆的标准⽅程，直线与椭圆的位置关系，直线⽅程，考查计算能⼒，属于中档题．(Ⅰ)易求点P坐标，由k OP=k AB，由斜率公式可得b，c关系，进⽽可得a，c关系，由|F1A|=√10+√5，可求得c，进⽽可得a，b；(Ⅱ)故设直线MN的⽅程为y=k(x+2)+1，代⼊椭圆⽅程，根据韦达定理即可求出．21.答案：解：(1)因为f′(x)=2x?8x，所以切线的斜率k=f′(1)=?6，⼜f(1)=1，故所求切线⽅程为y?1=?6(x?1)，即y=?6x+7．(2)原⽅程等价于，令，则原⽅程即为?(x)=m.因为当x>0时原⽅程有唯⼀解，所以函数y=?(x)与的图象在y轴右侧有唯⼀的交点，?′(x)=4x?8x ?14=2(x?4)(2x+1)x且x>0，所以当x>4时，?′(x)>0；当0即?(x)在(4,+∞)上递增，在(0,4)上递减．故?(x)在x=4处取得最⼩值，从⽽当x>0时原⽅程有唯⼀解的充要条件是．解析：本题主要考查切线⽅程、⽅程的解，解答本题的关键是掌握相关知识，逐⼀分析解答即可．(1)因为f′(x)=2x?8x，所以切线的斜率k=f′(1)=?6，⼜f(1)=1，故所求切线⽅程为y?1=?6(x?1)，即y=?6x+7．(2)原⽅程等价于，令，则原⽅程即为?(x)=m.根据当x >0时原⽅程有唯⼀解，求实数m 的值22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ，转化为直⾓坐标⽅程为：x 2+y 2=4x ，直线l 的极坐标⽅程为ρcos(θ+π4)=2√2，即，转化为直⾓坐标⽅程为：x ?y ?4=0，联⽴{x 2+y 2=4x x ?y =4，解得：{x =2y =?2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,?2)或(4,0)，所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直⾓坐标为(2,?2)，(4,0)，|AB|=√(2?4)2+(?2)2=2√2，因此，△PAB 的⾯积取得最⼩时也就是P 到直线l 的距离最⼩的时候，设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =√2=√5sin(θ?α)+4|√2，当sin(θ?α)=?1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4?√5．解析：本题考查的知识要点：参数⽅程和极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的转化，三⾓函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应⽤．(1)直接把参数⽅程和极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程进⾏转化．(2)利⽤点到直线的距离公式和三⾓函数的关系式的恒等变换求出三⾓形的⾯积．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x +a|+|x ?b|≥|(x +a)?(x ?b)|=a +b ，当且仅当?a ≤x ≤b 时，等号成⽴，所以f(x)的最⼩值为a +b =4．(2)由(1)知a +b =4，由柯西不等式得(a 2+14b 2)(12+22)≥(1?a +2?12b)2=16．即a 2+14b 2≥165，当且仅当a 1=12b 2，即a =45，b =165时，等号成⽴．所以a 2+14b 2的最⼩值为165．解析：本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运⽤，属于中档题．(1)利⽤绝对值不等式，结合条件求a +b 的值；(2)由(1)知a +b =4，由柯西不等式求a 2+14b 2的最⼩值．。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i2.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3.已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为()A. 16B. 310C. 35D. 564.已知向量a⃗=(−2,−1)，b⃗ =(2,−2)，则(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )等于()A. 7B. −6C. −10D. −135.设圆的方程为(x−1)2+(y+3)2=4，过点(−1,−1)作圆的切线，则切线方程为()A. x=−1B. x=−1或y=−1C. y+1=0D. x+y=1或x−y=06.若曲线x2m +y21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为()A. m<1B. m<0C. −12<m<0 D. 12<m<17.设l、m、n是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是()A. 若l⊥α，l//β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC. 若l⊥n，m⊥n，则l//mD. 若α⊥β，l⊂α，n⊂β则l⊥n8.根据如图程序框图，当输入5时，输出的是()A. 6B. 4.6C. 1.9D. −3.99.函数f(x)满足当x⩾4时，f(x)=(12)x，当x<4时，f(x)=f(x+1)，则为()A. 124B. 112C. 18D. 3810.已知3,a,12成等比数列，则a=()A. 6B. ±6C. −6D. 7.5 11. 在△ABC 中，“C =π2”是“sinA =cosB ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 12. 若函数f (x )={ln (x +1)−x,x ≥0,2x 2+2x,x <0,则函数f (x )的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为______．14. 若直线y =x +b 在x 轴上的截距在[−3,3]范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是______．15. 已知函数y =acos(2x +π3)+3，x ∈[0,π2]的最大值为4，则正实数a 的值为______ ．16. 已知实数x ，y 满足{x ≥y,x ≤2y,x +y −6≤0,则z =2x +y 取得最大值的最优解为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w应至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．18.在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n−2，求b1+b2+b3+⋯+b10的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，BC=PC，DB=2√2，(1)证明PA//平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求四棱锥P−ABCD的体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√2,1)，且离心率为√22． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON(O 为坐标原点)的斜率之积为−12，若动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究，是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标，若不存在，请说明理由．21. 已知函数．(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若方程f (x )=g (x )+m 有唯一解，试求实数m 的值．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22． (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23.若关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解时，实数a的最大值为5，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代入(z −1)i =1+i ，根据复数相等即可．【解答】设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代入(z −1)i =1+i得(a −1+bi)i =1+i ，即−b +(a −1)i =1+i ．根据复数相等可得{−b =1a −1=1得a =2,b =−1，所以复数z =2−i ．故选C ．2.答案：B解析：解：B ={x|2≤x ≤5}；∴A ∩B ={3,5}．故选：B ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p =35×24=310．故选B ．4.答案：D解析：解：向量a ⃗ =(−2,−1)，b ⃗ =(2,−2)，a ⃗ −b ⃗ =(−4,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(2,−5)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=−8−5=−13．故选：D．求出相关向量，利用向量的数量积运算法则求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积，考查计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：∵圆的方程为(x−1)2+(y+3)2=4，故圆心为(1,−3)，半径等于2，如图：故过点(−1,−1)作圆的切线，则切线方程为x=−1或y=−1，故选B．根据圆的方程，求出圆心和半径，结合图形写出切线方程．本题考查直线和圆的位置关系，求圆的切线方程，体现了数形结合的数学思想，求出圆心和半径是解题的关键．6.答案：B解析：解：∵曲线x2m +y21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准方程，得y21−m −x2−m=1，由此可得1−m>0且−m>0，解得m<0．故选：B将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准方程，得y21−m −x2−m=1，由此建立关于m的不等式组，解之可得m<0．本题已知曲线表示焦点在y轴上的双曲线，求参数m的范围．着重考查了圆锥曲线与方程、双曲线的标准方程等知识，属于基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查了空间位置关系的判定、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．A.利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理即可判断出；B.由α⊥β，l⊂α，推不出l⊥β；C.由l⊥n，m⊥n，可得l//m、相交或为异面直线都有可能；D.由α⊥β，l⊂α，n⊂β，可得l//n、相交或为异面直线都有可能．【解答】解：A.由l⊥α，l//β，利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理可得α⊥β；B.由α⊥β，l⊂α，不一定l⊥β，不正确；C.由l⊥n，m⊥n，则l//m、相交或为异面直线，不正确；D.由α⊥β，l⊂α，n⊂β，则l//n、相交或为异面直线，不正确．故选：A．8.答案：A解析：解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是计算y={1.2x x≤71.9x−4.9x>7的值．∵当输入5<7，满足条件x≤7，∴y=1.2×5=6．故选：A．当输入5<7，满足条件x≤7，执行y=1.2x运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查了函数性质与对数运算，属于基础题．【解答】解：，，故选A．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查等比数列的概念，属于基础题．【解答】解：∵3,a,12成等比数列，∴a2=36，即a=6或a=−6．故答案为B．11.答案：A解析：解：“C=π2”⇔“A+B=π2”⇔“A=π2−B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=π2，或A=π2+B，“C=π2”不一定成立，∴A+B=π2是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．根据诱导公式和充要条件的定义，可得结论．本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．【解答】解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1−1，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：20π3解析：解：几何体上部是圆锥，下部是圆柱，所以几何体的体积为：π⋅12×4+1 3×22π×2=20π3．故答案为：20π3．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14.答案：13解析：解：所有的基本事件构成的区间长度为3−(−3)=6，∵直线在y轴上的截距b大于1，∴直线横截距小于−1，∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为−1−(−3)=2，由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P=26=13故答案为：13求出所有的基本事件构成的区间长度；再求出“直线在y轴上的截距大于1”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N(A)N求解15.答案：2解析：【分析】由x∈[0,π2]⇒2x+π3∈[π3,4π3]，利用余弦函数的单调性，结合题意即可求得实数a的值．本题考查复合三角函数的单调性，考查转化与运算能力，属于中档题．【解答】解：∵x∈[0,π2]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，∴−1≤cos(2x+π3)≤12，当a>0时，−a≤acos(2x+π3)≤12a，∵y max=4，∴12a+3=4，∴a=2；当a<0时，12a≤acos(2x+π3)≤−a同理可得3−a=4，∴a=−1．综上所述：正实数a的值为2．故答案为2．16.答案：(4,2)解析：解：实数x，y满足{x≥y,x≤2y,x+y−6≤0,的如图所示区域，把y=−2x+z，平移，当直线经过点(4,2)时，z取最大值，最大值为z=10．故答案为：(4,2)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义得到最优解，即可．本题考查简单的线性规划的简单应用，是基本知识的考查．17.答案：解：(1)如题图所示，用水量在[0.5,3)立方米内的频率的和为(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×0.5=0.85．∴用水量小于或等于3立方米的频率为0.85，又w 为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 应至少定为3．(2)当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5−3)+0.05×(4−3)+0.05×(4.5−3)]×10=7.2+1.8+1.5=10.5(元)．∴当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为10.5元．解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题．(1)根据图形求出用水量在[0.5,3)立方米内的频率的和即可得结果；(2)当w =3时，该市居民该月的人均水费估计为(0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.15×3×4+[0.05×(3.5−3)+0.05×(4−3)+0.05×(4.5−3)]×10，计算即可得．18.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得{a 1+d =4a 1+3d +a 1+6d =15， 解得{a 1=3d =1…(3分) ∴a n =3+(n −1)×1，即a n =n +2.…(5分)(2)由(1)知b n =2n ，∴b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=21+22+⋯+210=2(1−210)1−2=2046.…(10分)解析：(1)利用等差数列的通项公式即可得出．(2)利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：(Ⅰ)证明：设AC ∩BD =H ，连接EH ，在△ADC 中，因为AD =CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，从而EH//PA ，因为HE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA//平面BDE ；(Ⅱ)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，由(Ⅰ)知BD ⊥AC ，PD ∩BD =D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，从而AC ⊥平面PBD ：(Ⅲ)解：在△BCD 中，DC =1，DB =2√2，∠BDC =45°得BC 2=12+(2√2)2−2×1×2√2cos45°=5，∴BC =√5．在Rt △PDC 中，PC =BC =√5，DC =1，从而PD =2，则S ABCD =2S △BCD，故四棱锥P −ABCD 的体积V P−ABCD =13S ABCD ×PD =43．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．(Ⅰ)设AC ∩BD =H ，连接EH ，说明H 为AC 的中点，证明EH//PA ，利用直线与平面平行的判定定理证明PA//平面BDE ；(Ⅱ)通过直线与平面垂直证明PD ⊥AC ，然后证明AC ⊥平面PBD ：(Ⅲ)求出S ABCD ，然后求四棱锥P −ABCD 的体积．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√2,1)，且离心率为√22， ∴{ e =c a =√222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =√2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(Ⅱ)设P(x,y)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x =x 1+2x 2，y =y 1+2y 2， ∵M ，N 都在椭圆x 24+y 22=1上，∴x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4，∴x 2+2y 2=(x 12+4x 1x 2+4x 22)+2(y 12+4y 1y 2+4y 22)=(x 12+2y 12)+4(x 22+2y 22)+4(x 1x 2+2y 1y 2)=20+4(x 1x 2+2y 1y 2)，设k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=−12， ∴x 1x 2+2y 1y 2=0，∴x 2+2y 2=20，∴点P 是椭圆x 220+y 210=1上的点， ∴由椭圆的定义知存在点F 1，F 2，满足|PF 1|+|PF 2|=2√20=4√5为定值，又∵|F 1F 2|=2√20−10=2√10，∴F 1，F 2的坐标分别为F 1(−√10,0)，F 2(√10,0)．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查向量与圆锥曲线轨迹问题的综合，是较难题．(Ⅰ)由椭圆经过点(√2,1)，且离心率为√22，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程． (Ⅱ)由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x =x 1+2x 2，y =y 1+2y 2，由M ，N 都在椭圆x 24+y 22=1上，再结合k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=−12，得到点P 是椭圆x 220+y 210=1上的点，由此能求出F 1，F 2的坐标． 21.答案：解：(1)因为f′(x)=2x −8x ，所以切线的斜率k =f′(1)=−6，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=−6(x −1)，即y =−6x +7．(2)原方程等价于，令，则原方程即为ℎ(x)=m.因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y =ℎ(x)与的图象在y 轴右侧有唯一的交点， ℎ′(x)=4x −8x −14=2(x−4)(2x+1)x 且x >0，所以当x >4时，ℎ′(x)>0；当0<x <4时， ℎ′(x)<0．即ℎ(x)在(4,+∞)上递增，在(0,4)上递减．故ℎ(x)在x =4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是．解析：本题主要考查切线方程、方程的解，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．(1)因为f′(x)=2x −8x ，所以切线的斜率k =f′(1)=−6，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=−6(x −1)，即y =−6x +7．(2)原方程等价于，令，则原方程即为ℎ(x)=m. 根据当x >0时原方程有唯一解，求实数m 的值22.答案：解：(1)圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数)，圆C 的普通方程为(x −1)2+y 2=4，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22， 直线l 的方程可化为ρsinθ−ρcosθ=√2−1，即：直线l 的直角坐标方程为x −y +√2−1=0；(2)圆心C 到l 的距离为d =√2−1|√2=1，所以|AB|=2√4−1=2√3，又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为：r +d =2+1=3，所以(S △MAB )max =12×|AB|×3=12×2√3×3=3√3，即△MAB 面积的最大值为3√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．(1)直接利用转换关系，把参数方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换；(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．23.答案：解：令f(x)=|x−1|−|x+m|，由|x−1|−|x+m|≤|(x−1)−(x+m)|=|m+1|，可得f(x)的最大值为|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|．又实数a的最大值为5，则|m+1|=5，解得m=4或−6．解析：本题主要考查绝对值不等式的性质及解法，令f(x)=|x−1|−|x+m|，求出其最大值|m+1|，关于x的不等式|x−1|−|x+m|≥a有解，即为a≤|m+1|，进而求出m．。
湖北省孝感市重点高中协作体2019届高三理综上学期期中联考考试试题
湖北省孝感市重点高中协作体2019届高三理综上学期期中联考考试试题考试时间：2018年 11月20日 9：00-11：30 试卷满分：150分注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上。
考试时间为150分钟，满分300分。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答案写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
相对原子质量(原子量)：H-1 N-14 O-16 Na-23 Al-27 Mg-24 C-12 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Cu – 64 Cr-52第Ⅰ卷（共126分）一.选择题：（本题共13小题,每题6分,共78分，每小题给出四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
）1.下列关于细胞的结构和功能的叙述，正确的是（）A．颤藻叶绿体的类囊体膜上有光合作用有关的色素B．衰老细胞内染色质的收缩会影响遗传信息的表达C．溶酶体中有多种水解酶，例如DNA聚合酶D．核仁中可以合成mRNA、tRNA和rRNA2．呼吸作用过程中在线粒体的内膜上NADH将有机物降解得到的高能电子传递给质子泵，后者利用这一能量将H+ 泵到线粒体基质外，使得线粒体内外膜间隙中H+ 浓度提高，大部分H+ 通过特殊的结构①回流至线粒体基质，同时驱动ATP合成(如下图)。
下列叙述错误的是（）A．H+回流和泵出线粒体内膜的方式不相同B．结构①是一种具有ATP水解酶活性的通道(载体)蛋白C．上述能量转化过程是:有机物中的化学能→电能→ATP中的化学能D． H+ 由膜间隙向线粒体基质的跨膜运输属于协助扩散3下列关于生命活动调节的叙述正确的是（）A．下丘脑中有渗透压感受器，在细胞外液渗透压上升时下丘脑释放的抗利尿激素增加B．神经调节的基本方式是反射，完成反射时兴奋可在神经纤维上双向传导C．根的向重力生长与顶端优势都体现了生长素生理作用两重性D．植物激素与动物激素一样，都是由特定的器官产生的微量的具有调节作用的物质4.下列关于实验相关的叙述,不正确的是（）A．“探究pH对酶活性的影响”实验，一般不选择淀粉酶为实验对象B．“探究促进葡萄插条生根的最适NAA浓度”实验中,不同浓度NAA溶液浸泡不同插条的时间要相同C．DNA双螺旋结构的研究和某种群数量变化规律的研究均用到了模型建构法D. 艾弗里的肺炎双球菌转化实验说明DNA是主要遗传物质，蛋白质不是遗传物质5．田鼠是一种群居的植食性鼠类，是内蒙古草原的主要鼠害之一，下列有关叙述不正确的是（）A．田鼠与其天敌猫头鹰的种群数量的波动总是不同步的B．由于田鼠标记个体被再次捕获的概率下降，所以调查其种群密度时结果往往偏大C．即使食物十分充足，内蒙古草原上田鼠的种群数量也呈“S”型增长D．田鼠的环境容纳量是种群数量的最大数量，不同时期环境容纳量不同6．有一玉米植株（二倍体)，它的一条9号染色体有缺失，另一条9号染色体正常。
高三理数试卷-2019年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试
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湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)---精校解析Word版
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过运算分别得到集合A和B，再根据交集并集的运算得到结果即可.【详解】由于,又=集合.故选B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.下列命题正确的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；B. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；C. “”是“”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.【答案】A【解析】【分析】A.逆否命题与原命题同真同假,故判断原命题即可；B命题“”为假命题，则两个命题至少有一个是假命题即可；C举出反例即可；D，根据特称命题的否定是全称命题可得到选项不正确.【详解】A.逆否命题与原命题同真同假，由可得故命题为真; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)真假，(i i)假真，(iii) 假假； C.；则“a<b”，反之当m=0，，故“”是“”成立的充分不必要条件;D否定是：“对任意，均有”.故选A.【点睛】本题考查了命题的真假的判断，其中涉及特称命题和全称命题的判断，要判定特称命题“”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．判断特称命题的真假时，一定要结合生活和数学中的丰富实例，通过相关的数学知识进行判断．3.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.5.如图，在平行四边形中，相交于点，为线段的中点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的图像特点得到＝λ＋2μ，又因为＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.【详解】∵＝2，＝λ＋μ，∴＝λ＋2μ.∵E为线段AO的中点，∴＝(＋)，根据平面向量基本定理得到对应系数相等∴λ＝，2μ＝，解得μ＝，∴λ-μ＝.故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.6.已知数列满足:.若，则数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题干得到变形为，故是等比数列,公比为2，根据等比数列的公式得到，进而得到.【详解】由得所以,故是等比数列,公比为,,.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.7.已知函数是奇函数，其中，则函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于轴对称C. 可由函数的图象向右平移个单位得到D. 可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】A【解析】【分析】根据函数是奇函数得到，进而得到函数的解析式，根据左加右减的原则得到CD是错误的，由，得到B错误，A正确.【详解】∵函数是奇函数，其中，∴，∴f（x）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），则函数g（x）=cos（2x﹣）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，C,D错;由,得时,B错.因为，故A正确.故选A．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩.8.已知函数，则函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值得到答案.【详解】故函数非奇非偶，排除B,C..故选A．【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题干得双曲线的焦点在y轴上，再由离心率得到进而求得a,b,c得到方程，再得到渐近线.【详解】由已知得抛物线的焦点为,所以双曲线的焦点在y轴上，故,,故a=,b=1,所以双曲线的方程是.渐近线方程是.选D.【点睛】这个题目考查了双曲线的标准方程和几何意义的应用，以及抛物线的几何意义，将两个圆锥曲线结合到一起，要善于发现两者的共同点，建立等量关系.10.已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将存在两个零点,等价于有两个不同的实根，函数的图象与直线有两个交点即可.【详解】由已知存在两个零点,等价于有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作图可得直线y=-x+2a,斜率固定，只需要上下平移即可，在y轴上的截距小于等于2即可，.选D.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.11.中有：①若，则；②若，则—定为等腰三角形；③若，则—定为直角三角形；④若，且该三角形有两解，则的范围是.以上结论中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据或可得到结论不正确；③可由余弦定理推得，三角形为直角三角形; ④根据正弦定理得到：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，进而得到b的范围.【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理知①正确；②，则或是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得，化简得，所以③正确；④在△ABC中，∵B=60°，c=2，若满足条件的三角形恰有两个，由正弦定理得：变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以：，解得：＜b＜2，则b的取值范围是（，2）．故④错误.故答案为：B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）A. 平面平面B. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. 与平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】【分析】先由图形的位置关系得到是二面角的平面角，，故A不正确；B 由于故得到B错误；易知为二面角的平面角,，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，sin∠BCO=.【详解】沿折后如图,,易知是二面角的平面角,,由余弦定理得,可得,过作于,连接,则,由面积相等得,可得.根据,易知是二面角的平面角, 故A 平面与平面不垂直,错;B由于,错;C易知为二面角的平面角,,对;D故如图，由题意可知∠BDC为B﹣AD﹣C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，连结AF，AF=，BD=4，DC=8，AD=4，过O作BO垂直BO⊥CO于O，则∠BCO就是BC与平面ACD 所成角，BO=2，OD=2，BC=，sin∠BCO=．选【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。