高中数学——空间图形基本关系的认识
4.1空间图形基本关系的认识
4.1空间图形基本关系的认识班级：姓名：编号：04设计：史旭龙审核：审批：教学目标：(1)学会观察长方体模型中点线面关系，并能结合长方体模型掌握五类位置关系的分类及有关概念（2）能用图形语言和符号语言表示五类位置关系（3）给定的空间图形能指出有关点线面的位置关系教学重点：点线面的位置关系分类及有关概念教学难点：“异面直线”的理解一、自主学习：1．点、线、面的图形画法和符号表示（1）符号表示：（2）点、线、面的画法：点：A，B，C，D，…线：面：α，β，γ…2. 空间点与直线的关系（1）关系及符号表达：① A∈a （2）图形画法：②点在直线外3. 空间点与平面的关系（1）关系及符号表达：①点在平面内（2）图形画法：② A ∉α4. 空间直线与平面的关系（1）关系及符号表达：（2）图形画法：①直线在平面内：， a ⊂α②直线与平面相交：直线与平面只有一个公共点， b ⋂β=B③直线与平面平行：直线与平面没有公共点，5. 空间直线与直线的关系（1）关系及符号表达：（2）图形画法：①平行：，a⋂b=A②相交：只有一个公共点的两条直线，③异面：同在任何一个平面内的两条直线，a和b异面6.空间平面与平面的关系：（1）关系及符号表达：（2）图形画法：①平行：没有公共点的两个平面，α//β②相交：有公共点且不重合的两个平面，二、自主检测1、观察下图中A，B和a,b,c并用数学符号表达它们的关系。
2、观察上图中A ，B 和α，β并用数学符号表达它们的关系。
三、合作探究1、在上图中找出两对对异面直线.2、两个平面可以将正方体分为几份？三个平面呢？并且画出各种可能.3、在长方体ABCD —1111D C B A 找出今天所学的各种关系.☺今天学到了什么？。
4.1空间图形基本关系的认识
c
b
B
记作： P
β
3. 空间两条直线的位置关系有三种：A
①平行直线—— 在同一个平面内，没有公 共点的两条直线。 ②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有 一个公共点的两条直线。
α α
a
c
b
B
b 记作：a//b
a
β
a O b
记作： b O a
③异面直线— 不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。 —
b
α
b
a
a β b
α
γ
a
A （1）直线在平面内— 直线与平面有无数个 — 公共点。 （2）直线与平面相交— 直线与平面只 α 有一个公共点。 —
4. 空间直线与平面的位置关系有三种：
b
a
β
F
E
（3）直线与平面平行—— 直线与平面没有公共点。
5. 空间平面与平面的位置关系有两种：
（1）平行平面—— 没有公共点的两个平面。 （2）相交平面—— 两个平面不重合， 并且有公共点。 α
E
β
F
练习
1.思考题：
（1）没有公共点的两条直线叫做平行直线，对吗？ （2）空间两条没有公共点的直线叫做异面直线，对吗？
（3）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
（4）平面内一直线与这个平面外的一条直线一定是异面直线吗？
2.说出正方体中各对线段、线段与平面的位置关系： （1）AB和CC1； D1 （2）A1 C和BD1 ； B1 A1 （3）A1 A和CB1； （4）AC和A1 C1； （5）BC与平面A1 C1； （6）B1 C与平面AC； D （7）AB与平面AC。 A B
§4
实例分析
高中数学第六章立体几何初步6.3.1空间图形基本位置关系的认识6.3.刻画空间点线面位置关系的公理一
课时分层作业(四十二) 空间图形基本位置关系的认识刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)（建议用时：40分钟）一、选择题1．下列图形表示两个相交平面,其中,画法正确的是()A BC DD［A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对,故B，C都不正确．］2．如图所示,用符号语言可表示为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m,n∈α,m∩n＝AC．α∩β＝m,n⊂α，A⊂m,A⊂nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈nA[α与β交于m,n在α内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A．］3．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面,点A，B，C，E共面，则点A,B，C,D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2 D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,但A，B，C,D,E不共面；③显然不正确;④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]4．下列图形中不一定是平面图形的是（)A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形D［四边相等的四边形可能四边不共面．］5．下列各图均是正六棱柱，P，Q,R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()A B C DD［在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P,Q，R，S共面，故选D．]二、填空题6．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．1或4[其中三个点可确定唯一的平面,当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．］7. 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是________．平行或相交[如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊂平面ABCD，C1D1⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面CDD1C1，AB∥C1D1，但平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面CDD1C1相交．］8。
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形的基本关系与公理1公理3课
问题导学
当堂检测
1.公理 1 的应用 活动与探究 例 1 已知 a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c 三条直线在同一 平面内. 思路分析:依题意,可先证 a 与 b 确定一个平面,再证明 c 在这个平 面内,从而可证 a,b,c 在同一平面内. 证明:∵ a ∥b , ∴ a 与 b 确定一个平面 α, ∵ a∩c=A,∴ A∈a,从而 A∈α; ∵ b∩c=B,∴ B∈b,从而 B∈α. 于是 AB⫋α,即 c⫋α,故 a,b,c 三条直线在同一平面内.
若 A∈α,A∈β,且 α,β 不重 合,则 α∩β=l,且 A∈l
目标导航
预习引导
预习交流 3
公理 1 的三个推论是什么? 提示:推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面. 推论 2:两条相交直线确定一个平面. 推论 3:两条平行直线确定一个平面.
预习交流 4
公理 1 中的“有且只有一个”的含义是什么? 提示:“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一.“有且只有”强 调的是存在性和唯一性两个方面,确定一个平面中的“确定”是“有且只 有”的同义词,也是指存在性和唯一性这两个方面.
【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
空间图形的基本关系与公理(1)
分析 可先转换成符号语言，再作图．
解 (1)A∈α，B∈α，A∈l，B∈l
(2)l α，P∈l，P∈α.
(3)α∩β＝l，m α，m∥l.
变式训练
将下面用符号语言表示的关系改用文
字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．
解 文字语言叙述为： 点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，AB、AC 分 别在 α、β 内． 图形语言表示为如图所示．
B α
A
（2）点在平面外
记作：
B
空间两条直线的位置关系有三种：
①平行直线——
在同一个平面内，没有公共点的两条直线.
②相交直线—— 在同一个平面内，有且只有一个公共点的两
条直线.
记作：a//b a b α
b
记作： β
ab O
a O b b
③异面直线——不同在任何一个平面内
α a
a
β b
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
变式训练
下面命题中正确的个数是
( C )
①如果 a、b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面； ②如果直线 a 满足 a∥α，那么 a 与平面α内的任何 一条直线平行； ③如果直线 a、b 满足 a∥α，b∥α，则 a∥b； ④如果直线 a、 和平面α满足 a∥b， α， α， b a∥ b 那么 b∥α； ⑤如果 a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线 a 必平行于平面α. A．0 B．2 C．1 D．3
解析
A、B 都不能保证 α、β 无公共点，如图 1
所示；C 中当 a∥α，a∥β 时 α 与 β 可能相交，如 图 2 所示；只有 D 说明 α、β 一定无公共点．
高中数学-4.1空间图形基本关系的认识
l
∥
l
5.空间两条直线的位置关系
Ab
a
相交
a
b
Ab
平行
异面 a
课堂探究
空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
思考2:如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否在平面α内？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到 桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．
4.1空间图形基本关系的认识
学习目标
1. 通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基 本构成----点、线、面的基本位置关系； 2. 理解异面直线的概念,掌握空间图形的三个基本公理； 3. 培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行 交流的能力、几何直观能力，通过典型例子的学习和自 主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的 数学思想方法.
错误
C1 D1
B1 A1
②设正方形ABCD与 A1B1C1D的1 中心分别为O，O1 ，则平面 AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1 ；
C
B
正确
D
OA
C1
B1
D1
O1
A1
③由点A，O，C可以确定一个平面；
C
B
D
OA
错误
C1 D1
B1 A1
④由 A, C1, B确1定的平面是ADC1B1；
（7）AB与平面AC。
D1 A1
D A
C1 B1
C B
归纳总结 提高认识
1.空间点与直线的位置关系
（1）点在直线上；（2）点在直线外.
2.空间点与平面的位置关系 （1）点在平面内；（2）点在平面外. 3.空间直线与平面的位置关系
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D平面β，平面ABCD，平面
AC，平面BD等.
问题讨论
三、用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)空间点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上： 记为：B∈a
A
B
(2)空间点与平面的位置关系：
点A在平面α上： 记为：A∈α
B
点B不在平面α上：记为：B∈ α
空间两直线的位置关系及判断
问题2：没有公共点的直线 一定平行吗？
问题3：没有公共点的两直 线一定在同一平面内吗？
引入新知
定义 不同在任何一个平面内的两 条直线叫作异面直线.
位置关系 公共点个数 是否共面
相交
平行
异面
只有一个 没有 没有
共面 共面 不共面
异面直线 ⒈ 异面直线： 不同在任何一个平面内的两条直线.
空间两直线的位置关系：
（1）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两直线平行
②没有公共点则 两直线为异面直线
（2）从平面的性质来讲，可分为： 两直线相交
①在同一平面内 两直线平行
②不在同一平面内则两直线为异面直线.
结论：不同在任何一个平面内的两条直线 为异面直线
复习巩固 空间两条直线的位置关系：
问题讨论
(4)空间平面与平面的位置关系：
当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与 平面β重合.
当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公
共点组成集合a，称平面α与平面β相交.
记做：
α∩ β＝a.
当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β 平行.记做： α∩ β＝ 或α ∥β.
β
a
α
α
α
β
相交、平行、异面 ⑴空间两条直线的位置关系归纳为：
位置关系 是否共面 公共点情况 记 法
相交直线 平行直线 异面直线
在同一个平 有且只有一
面内
个公共点
没有公共点
不同在任何 一个平面内
a∩b＝A a∥b
例题解析
例1.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图.
（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B
都在直线 a上；
（2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平
面α内且平行于直线 m.
B A α
a
α
a
m β
例题解析
例2.把下列图形中的点、线、面关系用 集合符号表示出来.
l
αa
A
a
a
α A
α A
l
l
B β
B β
谢谢
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
A
α
问题讨论
(3)空间直线与平面的位置关系：
直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平
面α内，或称平面α通过直线a.记为： a
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a 与平面α相交. 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面
α平行. 记为：a∩α＝ 或 a∥α.
a
a
a
A
α
α
α
m
l
复习巩固
巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内 各画一条直线，使它们成为：⑴平行直线 ；⑵相 交直线； ⑶异面直线.
β
β
b
α a
β
b
a
α
b
α a
复习巩固
两条异面直线指：
A.空间中不相交的两条直线； B.某平面内的一条直线和这平面外的直线； C.分别在不同平面内的两条直线； D.不在同一平面内的两条直线; E.不同在任一平面内的两条直线； F.分别在两个不同平面内的两条直线; G.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条 直线; H.空间没有公共点的两条直线; I.既不相交，又不平行的两条直线.
β
问题讨论
用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
B
b
a
A
α
A
aA
α
α
A∈a B∈a
α
β
与β重合
A∈α B∈α
β a
α
α∩β ＝a
a a∩α＝
b∩α＝A 或 a∥α
α β
α∩ β＝ 或α ∥ β
问题讨论
(5)空间直线与直线的位置关系： 问题1: 在平面几何中， 两直线的位置关系如何？
空间图形基本 关系的认识
引入新知
一、平面的画法： （1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß
通常把表示平面的平行四边形的锐角画 成450.
引入新知
（3）在画图时，如果图形的一部分被 另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
问题讨论
二、平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代 表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对 的两个顶点字母表示.
b βb
b
α
a
α
a α
a
异面直线
A
lB
议一议
如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
D
答案：
C1
D1C1、 C1C、 CD
B1
D1D、 AD、 B1C1
C
A
B
引入新知
异面直线直观图的画法 两条直线异m面:
l
引入新知
异面直线直观图的画法
分别在两个相交平面内的两条异面直线: