正态分布概率的计算
正态分布的概率计算
正态分布的概率计算：测量值X落在（a，b）区间内的概率为：
2
2
()
2
21
( )()
()()
b
a
x
b
a
P a X b p x dx
e dx u u
μ
σφφ
--
≤≤=
==-
⎰
（3-43）
式中，u= (x-μ)/σ，令δ=x-μ；
du
e
z z
u
⎰∞--
=2
2
2
1
)
(
π
φ称标准正态分布函数
表2-1-6 标准正态分布函数表（摘录）
置信因子k=z
1、k=3时，X落在（μ-3σ，μ+3σ）区间内的概率为：
P(⎪x-μ⎪≤ 3σ) = 2φ(3)-1= 2×0.99865-1= 0.9973
2、k=2时，X落在（μ-2σ，μ+2σ）区间内的概率为：
P(⎪x-μ⎪≤ 2σ) = 2φ(2)-1= 2×0.97725-1=0.9545
3、k=1时，X落在（μ-σ，μ+σ）区间内的概率为：
P(⎪x-μ⎪≤σ) = 2φ(1)-1= 2×0.84131-1=0.6827
用同样的方法可以计算得到正态分布时测量值落在μ±kσ置信区间内的置信概率，如下表所列。
置信概率与k值有关，
在概率论中k被称为置信因子。
表2-1-7 正态分布时置信概率与置信因子k的关
系
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标准正态分布的概率计算
标准正态分布的概率计算
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
概率计
算可以通过标准正态分布表或计算公式来进行。
1. 使用标准正态分布表：
标准正态分布表显示了标准正态分布的累积概率，即小于或等于某个给定值的概率。
首先需要将给定的数值转化为标准分数，即将原始数值减去均值并除以标准差。
然后查找标准正态分布表中对应的概率值。
2. 使用计算公式：
标准正态分布的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用公式表示为：
f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2/2)
其中，x是随机变量的取值，e是自然对数的底，π是圆周率。
要计算某个值的概率，可以对概率密度函数进行积分。
例如，要计算在某个区间内的概率，可以计算该区间的积分值。
需要注意的是，对于非标准正态分布（均值和标准差不为0和1），可以通过标准化将其转化为标准正态分布，然后使用上
述方法进行计算。
标准正态分布概率公式
标准正态分布概率公式标准正态分布是统计学中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算标准正态分布的概率，而概率密度函数和累积分布函数是我们计算概率的重要工具。
本文将介绍标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数的计算方法，帮助读者更好地理解和运用标准正态分布。
概率密度函数。
标准正态分布的概率密度函数可以用公式表示为：\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(e\)是自然对数的底，\(x\)是随机变量的取值，\(f(x)\)是对应取值的概率密度。
在这个公式中，我们可以看到指数函数的作用，它使得随机变量的取值越偏离均值，概率密度越小。
这也符合我们对正态分布的直观认识，在均值附近的取值概率较大，而远离均值的取值概率较小。
累积分布函数。
标准正态分布的累积分布函数可以用公式表示为：\[Φ(x)=\int_{-∞}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\]其中，\(Φ(x)\)表示随机变量的取值小于等于\(x\)的概率。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量在某个取值以下的概率，这对于统计推断和假设检验等问题非常有用。
概率计算举例。
现在，我们通过一个例子来说明如何使用标准正态分布的概率密度函数和累积分布函数进行计算。
假设随机变量\(X\)服从标准正态分布，我们需要计算\(P(X≤1.96)\)。
首先，我们可以使用累积分布函数来计算这个概率，即：\[Φ(1.96)=\int_{-∞}^{1.96}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\]这个积分可以通过数值积分或查表的方式进行计算，最终得到\(Φ(1.96)=0.975\)。
这就意味着随机变量\(X\)小于等于1.96的概率为0.975。
另外，我们也可以使用概率密度函数来计算这个概率，即：\[P(X≤1.96)=\int_{-∞}^{1.96}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\]同样地，这个积分也可以通过数值积分或查表的方式进行计算，最终得到\(P(X ≤1.96)=0.975\)。
正态分布的概率计算
正态分布的概率计算正态分布是统计学中最常用的分布之一，也被称为高斯分布。
在自然界和社会科学中，许多现象都服从于正态分布。
例如，身高、体重、智力、成绩等等。
正态分布具有许多优良的性质，使得其在实际应用中得到广泛的应用。
本文将介绍正态分布的概念、性质、参数估计、假设检验以及在实际问题中的应用。
正态分布的概念正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为：$$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} $$其中，$mu$ 是分布的均值，$sigma$ 是分布的标准差，$pi$ 是圆周率。
正态分布的图像呈钟形曲线，以均值为对称轴，标准差越小，曲线越尖锐。
正态分布的性质1. 正态分布的均值和标准差唯一确定了整个分布。
2. 正态分布的概率密度函数在均值处取得最大值，即$f(mu)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}$。
3. 正态分布的标准差越大，分布的形状越平坦，标准差越小，分布的形状越尖锐。
4. 正态分布的面积为1，即 $int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1$。
5. 正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布的累积分布函数来表示，即 $F(x)=Phi(frac{x-mu}{sigma})$，其中，$Phi(z)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。
正态分布的参数估计在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来估计正态分布的参数，即均值和标准差。
下面介绍两种参数估计方法。
1. 极大似然估计假设我们有 $n$ 个来自正态分布 $N(mu,sigma^2)$ 的独立观测值 $x_1,x_2,cdots,x_n$。
它们的联合概率密度函数为：$$L(mu,sigma^2)=prod_{i=1}^{n}frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-fr ac{(x_i-mu)^2}{2sigma^2}}$$对 $L(mu,sigma^2)$ 取对数，得到对数似然函数：$$lnL(mu,sigma^2)=-frac{n}{2}ln(2pi)-nlnsigma-sum_{i=1}^{n}frac {(x_i-mu)^2}{2sigma^2}$$极大似然估计就是找到可以最大化对数似然函数的参数值。
正态分布的概率计算
解 (5)P(X<-1.12)
(1.12) 1 (1.12) 1 0.8686 0.1314
0.80511 0.7643 0.5694 (6)P(-0.72X0.86)
(0.86) (0.72) (0.86) [1 (0.72)]
复习
新授
例题分析
课内练习
p
(-x)
1-(x)
x -x O x
复习
新授
例题分析
课内练习
二、新授
③ P(x1<X<x2)= P(x1Xx2)=(x2)-(x1)
p
(x1)
(x2)
x x1 O x2
注：(x)的值可查标准正态分布数值表得到
复习
新授
例题分析
课内练习
三、例题分析
例1 设随机变量XN(0,1)，求下列概率：
(1)P(X<0)；
查正态分布数值表,(2.45)=0.9929, (1.80)=0.9641，
所以 P(-1.80<X<2.45)=0.9929-[1-0.9641]=0.9570．
复习
新授
例题分析
课内练习
四 课内练习
1. 设随机变量XN(0,1)，求下列概率： (1)P(X<0.39)； (2)P(X1.35)； (3)P(X2.93)； (4)P(X>-0.55)； (5)P(X<-1.12)； (6)P(-0.72X0.86)
例1 设随机变量XN(0,1)，求下列概率：
(1)P(X<0)；
(2)P(X2.77)；
(3)P(X>1)；
(4)P(-1.80<X<2.45)．
解 (3)因为P(X>1)=1-P(X1)=1-(1)
标准正态分布求概率
标准正态分布求概率标准正态分布是统计学中非常重要的一种分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算标准正态分布的概率，以便进行统计推断和决策。
本文将介绍标准正态分布的概念和性质，并详细讨论如何求解标准正态分布的概率。
首先，让我们回顾一下标准正态分布的概念。
标准正态分布又称为正态分布，是一种均值为0，标准差为1的正态分布。
其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(x\)为随机变量，\(e\)为自然对数的底，\(\pi\)为圆周率。
标准正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，且在均值处达到最大值。
标准正态分布的性质包括，1）曲线下面积为1，即总体的概率为1；2）当\(x=0\)时，概率密度函数取得最大值；3）随着\(x\)的增大或减小，概率密度函数值逐渐减小。
接下来，我们将介绍如何求解标准正态分布的概率。
在实际问题中，我们通常需要计算标准正态分布在某个区间内的概率，或者计算某个数值处的概率。
求解标准正态分布的概率可以通过查找标准正态分布表或使用统计软件进行计算。
下面我们将分别介绍这两种方法。
首先是通过查找标准正态分布表进行计算。
标准正态分布表是一种预先计算好的表格，其中包含了标准正态分布在不同数值处的累积概率值。
通过查表，我们可以快速得到标准正态分布在某个区间内的概率，或者某个数值处的概率。
使用标准正态分布表的方法简单直观，但是需要注意对数值的精确度和查表的准确性。
其次是通过统计软件进行计算。
现今，各种统计软件都提供了标准正态分布的计算功能，比如Excel、SPSS、R等。
通过输入相应的参数，我们可以快速得到标准正态分布在某个区间内的概率，或者某个数值处的概率。
使用统计软件进行计算的方法更加灵活和精确，适用于复杂的问题和大规模的数据计算。
总之，求解标准正态分布的概率是统计学中的重要问题，我们可以通过查找标准正态分布表或使用统计软件进行计算。
正态分布公式
正态分布公式正态分布也称为高斯分布或正常分布，它是一种概率分布，用于描述符合几种基本假设的连续随机变量的分布。
正态分布是一个重要的基本分布，被广泛应用于统计学、自然科学、社会科学等领域中。
正态分布有许多不同的形式，但最常见的是标准正态分布。
标准正态分布的分布函数和概率密度函数分别如下：标准正态分布的分布函数：$$\\Phi (x)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}\\int_{-\\infty}^x e^{-\\frac{t^2}{2}} dt$$标准正态分布的概率密度函数：$$\\phi (x)=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{x^2}{2}}$$其中，$\\phi(x)$表示在点$x$处获得概率密度的值，$\\Phi(x)$表示在$-\\infty$到$x$的积分所得到的累积概率。
对于非标准正态分布，可以使用变换将其转换为标准正态分布。
转换的方法是，对于一个均值为$\\mu$，标准差为$\\sigma$的正态分布$X$，使用以下公式进行变换：$$Z=\\frac{X-\\mu}{\\sigma}$$其中，$Z$表示标准正态分布的变量。
只要确定了$Z$，就可以使用标准正态分布的表格或统计软件来计算概率。
正态分布的形状是钟形曲线，均值$\\mu$位于曲线中心，标准差$\\sigma$决定曲线的宽度。
它具有很多特性：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等。
2. 曲线在均值处对称，即左右两侧面积相等。
3. 由于标准差的不同，曲线的高度、峰度和尖度也不同。
4. 68%的数据落在均值$\\pm$1个标准差范围内，95%的数据落在均值$\\pm$2个标准差范围内。
正态分布在现实生活中具有重要意义，例如身高、体重、智力、化学反应速率、股票收益率等，往往都服从于正态分布。
因此，深入理解正态分布的公式和性质，对于数据分析、统计学、金融学等领域的人士来说是非常重要的。
正态分布的概率计算解读
正态分布的概率计算解读正态分布是一种重要的概率分布，在统计学和概率论中广泛应用。
它的数学表达式为：f(f;f,f)=1/(√(2f)f)e^(-(f−f)²/(2f²))其中，f(f;f,f)表示随机变量f的概率密度函数，f是分布的均值，f是标准差。
正态分布的特点是呈钟形曲线，以均值为对称中心。
标准差决定了曲线的宽度，标准差越大，曲线越宽。
在正态分布中，我们经常需要计算特定范围内的概率。
以下是对正态分布的概率计算进行解读：1.标准正态分布的概率计算：标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
对于标准正态分布，我们可以将需要计算的区域转化为标准单位（即标准差的倍数），利用标准正态分布的概率表或计算函数得到。
2.计算特定区域的概率：正态分布曲线下的面积表示了该范围内的概率。
我们可以通过积分或查表的方式来计算特定范围内的概率。
例如，给定一个正态分布f(f,f²)，我们希望计算f在一些范围[a,b]内的概率f(f≤f≤f)。
我们可以计算出标准化的区间，即(a−f)/f和(b−f)/f，然后利用标准正态分布的概率表或计算函数来计算区间的概率。
3.计算单点的概率：正态分布是连续分布，因此单个点的概率接近于0。
但我们可以通过计算在一些点附近的一个小范围内的概率来近似计算单个点的概率。
例如，要计算f在一些特定值f附近的概率，我们可以计算出一个范围[f−f,f+f]的概率，其中f是一个较小的数值（如0.01），然后通过累积正态分布的概率值来计算该范围内的概率。
4.利用正态分布进行推断：正态分布在统计推断中起到重要的作用。
例如，我们可以根据样本数据建立样本均值的置信区间，由于样本均值服从正态分布，我们可以利用正态分布的性质计算出样本均值落在一些特定范围内的概率。
此外，我们还可以利用正态分布来进行假设检验，比如判断一个总体均值是否为一些特定值。
总而言之，正态分布的概率计算对于理解和应用统计学和概率论都是至关重要的。
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f (x)
(2) f (x)dx 1.
x
连续型随机变量取定值（单点值）的概率为零。
事实上,由于X充满区间a, b, 对r a,b,
如果r, r x a,b
那么，P{X r} lim P{r x r x} x0
r x
lim
近似正态分布 N(np,np(1-p)).
实用中，n 30, np 10时正态近似的效果较好.
例6 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次， 认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由 .
解: 设X为10000次试验中出现正面的次数，
若硬币是均匀的， X~B(10000，0.5),
采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,
只须P{X x} 0.015e0.015x d x x e0.015x 0.1
于是 0.015x ln 0.1 x ln 0.1 153.5
0.015
3 正态分布 如果随机变量X具有概率密度
f(x)
1
e
(
x 2 2
)2
2
( x )
关于一般正态分布的问题，都可以转化为 标准正态分布的问题来解决！正态分布是核心！
正态分布概率的计算：
(1 ) 若X ~ N ( 0,1 ),可用
P{ x1 X x2 } ( x2 ) ( x1 ).
标准正态分布函 当0 x 3时,可直接查到( x )的值.
数 Φ (x) 的函数
§2.2 一维连续型随机变
量的分布密度
一、 一维连续型随机变量及其分布密度
定义 设X是一个随机变量，如果总存在非负可积 函数f(x), 使对任意实数a,b有
Pa
X
b
b
a
f
(x)dx
则称X为一维连续型随机变量，f(x)为X的分布密度 函数，简称分布密度。
概率密度f(x)的性质：
y
(1) f (x) 0,
所求概率为：
P {1 0 X 1 5} P {2 5 X 3 0}
15 1 dx 30 1 dx 1
10 30
25 30
3
f
(
x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
f (x)
p l ba
l
l
1
ba
a
o
bx
分布函数
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b, x b.
Un iform Dist ribut io n U[2,4]
1
0.5
0
2
4
6
8
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此 站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的 均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
例4. 设随机变量X服从 0.015 的指数分布，
试求： (1) P{X 100}; (2) 若要P{X x} 0.1, 则x应在什么范围内？
解 (1)P{X 100} 0.015 e0.015x d x 0.22 100
(2)若要求P{X x} 0.1
Exp Distribution EP(2)
2
1
0
5
10
分布函数
1 ex , x 0,
F( x)
0,
x 0.
Exp Distribution EP(2)
1
0.5
应用与背景
0
5
10
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
x
No rmal Distribut ion N(0,1)
1 0.5
10
0
10
一般正态分布与标准正态分布的关系：
设X ~ N (, 2 ),则 X ~ N (0,1).
即：若X的分布函数为F (x),则
启示：
FX
(x)
Φ(
x
).
——随机变量的标准化！
三、小结
1. 连续型随机变量
x
F(x) f (t)dt
分布函数 概率密度
2. 常见连续型 均匀分布
随机变量的分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
知识回顾 Knowledge Review
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛 高斯
正态分布的分布密度及分布函数图像：
No rmal Distribut ion N(1,1.5)
0.4 0.2
5
0
5
No rmal Distribut ion N(1,1.5)
1
0.5
10
0
10
正态分布的分布密度函数具有以下特征：
解： 以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f
(
x)
1 30
,
0 x 30
0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.
P{Y
2}
3 2
2 3
2
1
2 3
33
2 3
3
1
2 3
0
20 . 27
2 指数分布 如果随机变量X具有概率密度
ex ,
f( x)
x 0 （ 0）
0,
x0
则称X服从参数为的指数分布.记作XE( )
f (x)
S1
o
a
b
x
二、常用的一维连续型随机变量的概率分布
1 均匀分布 如果X的密度函数为
f(
x
)
1
b
a
,a
x
b,
0 ,
其它
1
则称X服从（a,b）上的均匀分布，
记为XU(a,b)
Байду номын сангаас
0.5
Un iform Distribut ion U[2,4]
0
2
4
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
F (x) PX x x f (x)dx
且
F(x) f (x)
可以证明：一维连续性随机变量的分布函数是 连续函数。
分布函数用于计算随机变量取值的概率： P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
二项分布的正态近似
定理(棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理）
设随机变量 Yn 服从参数n, p(0<p<1)的二
项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或
者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 Yn 的分布
例5 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头 机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62), 问车门高度应如何确定?
解: 设车门高度为h cm,按设计要求
P(X h) 0.01 或 P(X< h) 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h .
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
即 X np X 5000
np(1 p)
50
近似正态分布N(0,1).
X np X 5000 近似正态分布N(0,1).
np(1 p)
50
P(X≥5800) =1-P(X<5800)
1 (5800 5000) 50
=1-Φ(16) ≈0
此概率接近于0, 故认为这枚硬币不均匀是合理的 .
因为X～N(170,62),
X 170 ~ N (0,1)
6