江西省南昌二中、临川一中2018届高三下学期4月联考数学试卷理科二 含解析

2018-2018学年江西省南昌二中、临川一中高三（下）4月联考数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，A={x|x2+2x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（）A．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．（﹣1，0] D．[﹣1，0）2．复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ=（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=f（|x|）②y=f（﹣x）③y=xf（x）④y=f（x）﹣x．A．①③B．②③C．①④D．②④4．等比数列{a n}中，a3=5，a8=2，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．5 C．10 D．lg505．如图给出的是计算+++…+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8？B．i＞9？C．i＞10？D．i＞11？6．已知抛物线C：y2=4x，A，B是抛物线C上的两点，且线段AB的中点坐标为（2，2），则AB所在直线的方程为（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．2x﹣y﹣2=0 D．2x+y﹣6=07．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4．A．85 B．86 C．87 D．888．（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣25209．圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．10．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（1，）C．（，2）D．（，）12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．12πC．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．设与的夹角为θ，=（3，3），2﹣=（﹣1，1），则cosθ=．14．实数x、y满足不等式组，则W=的取值范围是．15．己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．16．在数列{a n}中，a1=0，a n+（﹣1）n a n=2．记S n是数列{a n}的前n项和，则S2018﹣S2018=．+2三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=，求DC的长．18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．21．已知函数f（x）=﹣aln（x+1）+﹣a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n都有（1+）n﹣a＞e成立，求a的取值范围．四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径为4，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=2，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（Ⅰ）求BD长；（Ⅱ）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（ρ＞0，0＜θ＜2π）．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）P是C1上的任意一点，过P点作与C2的夹角为45°的直线交C2于点A．求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2018-2018学年江西省南昌二中、临川一中高三（下）4月联考数学试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，A={x|x2+2x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（）A．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．（﹣1，0] D．[﹣1，0）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据交集与补集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U=R，A={x|x2+2x≤0}={x|﹣2≤x≤0}，B={x|x＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}，∴∁U（A∩B）={x|x≤﹣1或x＞0}=（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）．故选：A．2．复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】复数的基本概念．【分析】由复数z的实部为0且虚部不为0求得tanθ，再把sinθcosθ转化为含有tanθ的代数式得答案．【解答】解：∵复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ=2．则sinθcosθ=．故选：C．3．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=f（|x|）②y=f（﹣x）③y=xf（x）④y=f（x）﹣x．A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）验证①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（﹣x），为奇函数③﹣xf（﹣x）=﹣x•[﹣f（x）]=xf（x），为偶函数④f（﹣x）﹣（﹣x）=﹣[f（x）﹣x]，为奇函数可知②④正确故选D4．等比数列{a n}中，a3=5，a8=2，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．5 C．10 D．lg50【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的性质和题意得：a1•a2…a10=（a5•a6）5=118，由对数的运算求出数列{lga n}的前10项和即可．【解答】解：由题意得，等比数列{a n}中，a3=5，a8=2，所以a3•a8=a5•a6=10，由等比数列的性质得，a1•a2…a10=（a5•a6）5=118，所以数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lg（a1•a2…a10）=lg118=5，故选：B．5．如图给出的是计算+++…+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8？B．i＞9？C．i＞10？D．i＞11？【考点】程序框图．【分析】写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的S在第十次循环中结果中，此时的i满足判断框中的条件，得到判断框中的条件．【解答】解：经过第一次循环得到，i=2，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到，i=3，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到，i=4，此时的i应该不满足判断框中的条件…经过第十次循环得到S=+++…+，i=11，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出故判断框中的条件是i＞10故选C6．已知抛物线C：y2=4x，A，B是抛物线C上的两点，且线段AB的中点坐标为（2，2），则AB所在直线的方程为（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．2x﹣y﹣2=0 D．2x+y﹣6=0【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，x1+x2=4，y1+y2=4则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=（x1﹣x2），∴k AB=1，∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣2）即x﹣y=0．故选：B7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根=0.72x58.4A．85 B．86 C．87 D．88【考点】线性回归方程．【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4．代入样本中心点求出该数据的值，【解答】解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：=30，=63+，由于由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4．将=30，=63+，代入回归直线方程，得63+=0.72×30+58.4，∴m=85．故选：A8．（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣2520【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中各项系数的和2求得a的值，再把二项式展开，求得该展开式中常数项．【解答】解：令x=1可得（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为（a+1）=3，∴a=2．∴（x+）（3x﹣）5 =（x+）（3x﹣）5=（x+）（•243x5﹣•162x3+•118x﹣•+•﹣•），故该展开式中常数项为﹣•72+2•118=1440，故选：B．9．圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出圆柱的高是底面半径的2倍，结合图象求出满足条件的概率即可．【解答】解：如图示：设圆柱的高是h，则2πr2+2πrh=•2πrh，解得：h=2r，若|PO|≤r，P在以O为圆心，以r为半径的圆内，∴使|PO|≤r的概率是：p==，故选：C．10．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得，f（﹣1）=0，f'（﹣1）=0，解得a=2，b=9或a=1，b=3，经检验，当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故④错误．【解答】解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故②错误；对于③：若p∧q为真，则p、q均为真命题，此时p∨q为真，故命题“p∧q为真”是命题“p ∨q为真”的充分条件，故③错误；对于④：f'（x）=3x2+6ax+b，因为f（x）在x=﹣1有极值0，故，解得经检验，当a=2，b=9时，f'（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），此时f（x）在x=﹣1处取得极小值，符合条件；当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；所以a=2，b=9．故④错误．故选：A．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（1，）C．（，2）D．（，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的渐近线斜率1＜＜2，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率1＜＜2，∵e====，∴＜e＜，∴双曲线离心率的取值范围为（，）．故选：D．12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．12πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体为三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．如图：△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．OE ⊥底面ABC，设OE=x，外接球的半径为R，利用勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．底面为等腰直角三角形，直角边长为2，如图：∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．OE⊥底面ABC，设OE=x，外接球的半径为R，则=1+（2﹣x）2，解得x=．∴R2=，∴外接球的表面积S=4π×R2=．故答案为：．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．设与的夹角为θ，=（3，3），2﹣=（﹣1，1），则cosθ=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出的坐标，利用2﹣=（﹣1，1）求得x和y，进而求得两向量的积，和两向量的模，最后利用平面向量的数量积的法则求得cosθ的值．【解答】解：设=（x，y），故2﹣=（2x﹣3，2y﹣3）=（﹣1，1） x=1，y=2，即b=（1，2），则•=（3，3）•（1，2）=9，||=3，|b|=，故cosθ==故答案为：14．实数x、y满足不等式组，则W=的取值范围是[﹣1，1）．【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：表示可行域内的点Q（x，y）与点P（0，1）连线的斜率，当Q在直线y=x上时，W==1﹣取最大值1，当（x，y）=（1，0）时取最小值﹣1，故的取值范围是[﹣1，1）故答案为：[﹣1，1）．15．己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得导数，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0，韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．16．在数列{a n}中，a1=0，a n+（﹣1）n a n=2．记S n是数列{a n}的前n项和，则S2018﹣S2018=+22018．【考点】数列的求和．+（﹣1）n a n=2，考虑分n为奇数、偶数来讨论，根据数列{a n}的表达式即可【分析】由a n+2求S2018﹣S2018．+（﹣1）n a n=2，【解答】解：由a n+2可知得n为奇数时a n﹣a n=2，+2∴数列{a n}的奇数项构成以0为首项，2为公差的等差数列，+a n=2，当n为偶数时a n+2即a2+a4=a4+a6= (2)∴S2018﹣S2018=a2018+a2018+a2018=a2018+2=a1+×2+2=2018，故答案为：2018．三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=，求DC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=x．于是sinB==，cosB=，AB=x．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有=．∵AC=DC，∴sin∠ADC==．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，∴∠ADC=120°．于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠B=60°．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=x．于是sinB==，cosB=，AB=x．在△ABD中，由余弦定理，AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=1．故DC=1．18．某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数．（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（I）由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．…（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而，，所以．（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2．则，，，（每项1分）∴（人）．（未化简不扣分）（或是，因为X服从超几何分布，所以（人）．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，连OD，推导出△AA1D≌△ABD，从而DO⊥A1B，由菱形的性质知AO⊥A1B，从而A1B⊥平面ADO，进而A1B⊥AD，再由AD∥BC，能证明A1B⊥BC．（Ⅱ）分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，连OD，如图所示．由AA1=AB，∠DAB=∠DAA1，可得△AA1D≌△ABD，所以A1D=BD，由于O是线段A1B的中点，所以DO⊥A1B，又根据菱形的性质知AO⊥A1B，所以A1B⊥平面ADO，所以A1B⊥AD，又因为AD∥BC，所以A1B⊥BC．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B⊥AB1，又由题意知DO⊥平面ABB1A1，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设AD=AB=3BC=3a，由∠A1AB=60°知，|OA|=|OB1|=，所以|OD|==，从而A（0，﹣，0），B（，0，0），B1（0，，0），D（0，0，），所以．由=，得，所以．设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得，取y0=1，则，，所以=（）．又平面ABB1A1的法向量为，所以．故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小为．…20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，由此能求出椭圆C1的标准方程；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，由此能求出抛物线C2的标准方程．（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，…即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…经检验，，m=﹣1符合要求．此时，，∴．…21．已知函数f（x）=﹣aln（x+1）+﹣a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n都有（1+）n﹣a＞e成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）利用导数的运算法则可得：f′（x）=﹣，对a分类讨论即可得出单调性．（Ⅱ）．令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需对∀x∈（0，1]，有g（x）＞0.，利用（Ⅰ），对a分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ），当时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当a≥0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）．令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需对∀x∈（0，1]，有g（x）＞0.，由（Ⅰ）可知：①当时，∴g（x）在（0，1]上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0，符合题意．②当a≥0时，∴g（x）在（0，1]上单调递减；∴g（x）＜g（0）=0，不符合题意．③当时，g（x）在上单调递减；∴当时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．④当时，g（x）在（0，1]上单调递减；∴当x∈（0，1]时g（x）＜g（0）=0，不符合题意．综上可知，a的取值范围为．四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的半径为4，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=2，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（Ⅰ）求BD长；（Ⅱ）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【考点】相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由OC=OD，可得∠OCA=∠ODB．进而单调△OBD∽△AOC．利用相似三角形的性质即可得出．（Ⅱ）由OC=OE，CE⊥OD．可得∠COD=∠BOD=∠A．进而得出．【解答】（Ⅰ）解：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=4，AC=2，∴，∴BD=8．（Ⅱ）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（ρ＞0，0＜θ＜2π）．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）P是C1上的任意一点，过P点作与C2的夹角为45°的直线交C2于点A．求|PA|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出C1与C2的普通方程，即可求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，所以C1的普通方程为：（x﹣2）2+y2=4．将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由直线与圆的方程联立解得或．所以C1与C2交点的极坐标分别为（4，0）或（2，）．…（Ⅱ）设P（2+2cosα，2sinα），P到直线C2的距离为d==|+1|∴|PA|的最大值==2+2．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2018年11月25日。