高中数学人教版必修圆的一般方程教案(系列三)
高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程 教案(系列三)
4.1.2 圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a≠0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax– 2ay = 0 (a≠0).【解析】（1）因为D＝1，E＝0，F＝1，所以D2 + E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2 + E2– 4F＝4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x2 + y2 + ax–ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径|r a ==. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = ，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得 2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a|. 222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==②③故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。
人教版高中数学必修二4.1圆的方程教案(3)
４.２.３直线与圆的方程的应用（一）教学要求：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题教学重点：直线的知识以及圆的知识教学难点：用坐标法解决平面几何.教学过程：一、复习准备：(1) 直线方程有几种形式? 分别为什么?(2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些?(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?(4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?(5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?二、讲授新课：1．标准方程问题例1. 求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离2.轨迹问题 充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式。
例2.求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程3.弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题。
一般是构成直角三角形来计算例3. 直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程。
练习：求圆922=+y x 与圆044222=---+y x y x 的公共弦的长。
4.对称问题圆关于点对称，圆关于圆对称例4.求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 练习：求圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程三、讲解作业《习案》P182面4、5题、P183面9题作业：《习案》作业二十九。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。
3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。
教学内容：1. 圆的标准方程的定义和意义。
2. 圆的标准方程的推导过程。
3. 圆的标准方程的应用实例。
教学步骤：第一章：圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念：引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念，复习圆的性质和特点。
1.2 圆的标准方程的定义：介绍圆的标准方程的定义，解释圆的标准方程的意义。
1.3 圆的标准方程的意义：引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用，以及它在实际问题中的应用。
第二章：圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程：介绍圆的参数方程的概念，引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。
2.2 圆的标准方程的推导：引导学生通过转化思想，将圆的参数方程转化为标准方程。
2.3 圆的标准方程的简化：引导学生学会简化圆的标准方程，理解圆的标准方程的不同形式。
第三章：圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质：引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质，如半径、直径等。
3.2 圆的方程与圆的位置关系：引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系，如相离、相切等。
3.3 圆的方程与圆的面积：引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积，理解圆的面积与半径的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。
2. 通过课后作业和练习题，评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。
3. 通过小组讨论和问题解答，评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示圆的标准方程的概念和意义，以及推导和应用过程。
2. 练习题库：准备丰富的练习题库，包括不同难度和类型的题目，以供学生课后练习和巩固知识。
3. 教学案例：提供一些与圆的标准方程相关的实际案例，引导学生将理论知识应用于实际问题中。
圆的一般方程教案
圆的一般方程教案
教案标题：圆的一般方程教案
教学目标：
1. 理解圆的一般方程的概念和含义。
2. 掌握如何根据已知条件写出圆的一般方程。
3. 能够利用圆的一般方程解决与圆相关的问题。
教学准备：
1. 教师准备：教案、电脑、投影仪、白板、白板笔。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮擦。
教学过程：
引入：
1. 教师通过投影仪展示一个圆，并引导学生回顾圆的定义和性质。
2. 教师提问：你们知道如何表示一个圆吗？请思考并回答。
探究：
1. 教师引导学生思考如何根据已知条件写出圆的一般方程，并解释一般方程的含义。
2. 教师通过演示和解释，以一个具体的例子来说明如何写出圆的一般方程。
3. 学生个体或小组合作，完成练习题，巩固掌握写出圆的一般方程的方法。
拓展：
1. 教师提供更多的例子，让学生自主尝试写出圆的一般方程。
2. 学生个体或小组合作，解决与圆相关的问题，运用圆的一般方程求解。
总结：
1. 教师总结本节课的重点内容，并强调圆的一般方程的重要性和应用。
2. 学生回答教师提出的问题，检查他们对本节课内容的掌握程度。
作业：
1. 学生个体完成课后练习题，巩固对圆的一般方程的掌握。
2. 学生预习下节课的内容，准备相关的学习材料。
教学反思：
1. 教师根据学生的学习情况，调整教学步骤和方法，确保学生能够理解和掌握圆的一般方程的写法和应用。
2. 教师鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高他们的学习兴趣和动力。
2019-2020年高二数学圆的一般方程教案 人教版
2019-2020年高二数学圆的一般方程教案人教版一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．(二)圆的一般方程的定义1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．例2小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：例3求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．(0，2)．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2．将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结1．圆的一般方程的定义及特点；2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3．用待定系数法，导出圆的方程．五、布置作业1．求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．作业答案：1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02．x2+y2-x+7y-32=03．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点．六．板书设计2019-2020年高二数学圆的标准方程教案人教版一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．(三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r 三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．例2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．这时，教师小结本题：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 d＞r；(3)点在圆内 d＜r．3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．五、布置作业1．求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．作业答案：1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 322．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)六、板书设计。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 2.3.2 圆的一般方程》
高一数学《圆的一般方程》教学设计教材版本：人教版（必修）学科：数学年级：高二年级课题：圆的一般方程教学设计一、教材分析圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。
因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。
突破难点的关键是抓住一般方程的特点。
二、学情分析圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。
但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。
另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。
三、教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。
四、学法分析通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。
五、设计思想本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。
六、教学策略结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。
七、教学目标（一）知识与技能使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。
（二）过程与方法通过对方程2＋2＋D＋E＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。
高二数学圆的一般方程 人教版 教案
高二数学圆的一般方程一教学目标(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题．教学重点和难点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．难点：圆系的理解和应用．教学过程设计(一)教师讲授：请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．我们把它看成下面的形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆．② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．做圆的一般方程．现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0．且没有xy这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件．但不是充分条件．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0．[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：y－1=(－2)(x－2) 2x＋y=5∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25．[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出．解设曲线上的动点为M(x，y)．化简得 x2＋y2＋2x－3=0配方 (x＋1)2＋y2=4．∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的．为此我们要研究较简单的办法．P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手．即 x2＋y2－x0x－y0y=0．把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2．∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线．请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理．(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)．求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”．根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0．表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r2．就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点．通过这个题，我们有下面一般的结论：如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交．(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆．(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线．这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用．应当注意的是：方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系．这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合．(三)学生课堂练习1．课本练习题1(1)点(0，0)．2．课本练习题2．(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为|b|．3．课本练习题3．(四)作业习题7．7 5，6，7，8二教学目标1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．2．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．教学重点与难点圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．教学过程一、复习并引入新课师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．生：(x－a)2+(y－b)2=r2．师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？生A：是的．生B：缺少条件A2+B3≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？(书写课题：“圆的一般方程”的探求)二、新课师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件．师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方．师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．师：圆的一般方程有什么特点？生A：是关于x、y的二元二次方程．师：刚才生A的说法对吗？生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．师：特殊在什么地方？(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．2．没有xy这样的二次项．(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？生：必要条件．师：还缺什么？生：D2+E2－4F＞0．练习：判断以下方程是否是圆的方程：①x2+y2－2x+4y－4=0②2x2+2y2－12x+4y=0③x2+2y2－6x+4y－1=0④x2+y2－12x+6y+50=0⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0⑥x2+y2－12x+6y+F=0三、应用举例师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．生B：不用死记，配方即可．师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．例1 求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求圆心和半径．分析标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单．解法：设出一般方程，用待定系数法．例2 一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程．解法一设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为(0，5))解法二设出标准式x2+(y－b)2=r2．(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)．四、小结注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关．五、作业：1．求下列各圆的一般方程：①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．2．求下列各圆的圆心坐标和半径：①x2+y2－2x－5=0②x2+y2+2x－4y－4=0③x2+y2+2ax＝0④x2+y2－2by－2b2＝03．求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和x2+y2+12x+6y－19=0相外切．设计思想这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”．在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，引导学生探索，重视探索过程．一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法．同时，通过类比进行条件的探求——“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比．在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．三一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(二)能力训练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．二、教材分析1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．)2．难点：圆的一般方程的特点．(解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．)3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0．(解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．)三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板．四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．(二)圆的一般方程的定义1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．(三)圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．例2小结：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：例3求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．(0，2)．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由圆心在直线l上得λ=-2．将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线．此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形．(五)小结1．圆的一般方程的定义及特点；2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3．用待定系数法，导出圆的方程．五、布置作业1．求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P 的轨迹．作业答案：1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02．x2+y2-x+7y-32=03．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点．六．板书设计四教学目标(1)了解曲线的参数方程的含义，参数方程和普通方程的区别．(2)掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半径，在解题中灵活运用．会把圆的参数方程与普通方程进行互化．(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法．教学重点和难点重点：圆的参数方程，圆的参数方程与普通方程的互化．利用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．难点：参数方程的理解．点与圆、直线与圆、圆与圆位置的判断．教学过程设计(一)学生阅读课本．(P97 3．圆的参数方程到P98例6前)．(二)导入新课，设圆O的圆心在原点，半径是r．根据三角函数的定义：P点的横坐标x，纵坐标y都是Q的函数．我们把这个方程叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．如果圆的圆心为O1(a，b)，半径为r，我们可以看成是由圆心在原点O，半径为r的圆按向量V=(a，b)平移而得到．即(x，y)=(rcosθ，rsinθ)＋(a，b)=(a＋rcosθ，b＋rsinθ)这个方程表示圆心在(a，b)点，半径为r的圆．消去参数就得到圆的标准方程．(x－a)2＋(y－b)2=r2．相对于参数方程来说，我们前面学过的方程叫曲线的普通方程．例1 如图，已知点P是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A是X轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？[分析] 这个问题符合我们前面学过的用“转化法”求轨迹的特征，我们先用“转化法”作一下．然后再考虑其它方法．[解法一] 设动点M的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，y′)．则(2x－12)2＋(2y)2=16．(x－6)2＋y2=4．∴M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆．[解法二] P点在圆x2＋y2=16上，P点的坐标为(4cosθ，4sinθ)设动点M(x，y)则由此可知，M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆．显然用参数方程表示出P的坐标，直接把圆的条件用进去，使解法简化．例2 经过圆x2＋y2=4上任一点P作X轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．于是Q点的坐标为(2cosθ，0)．(三)新课堂练习．2．课本练习题2．(1)(x－1)2＋(y＋3)2=4，(2)(x－2)2＋(y－2)2=1．(四)教师讲授．我们已经研究了圆的三种形式的方程，现在我们来研究圆与点，圆与直线，圆与圆的位置关系．M3(1，0)与圆C的位置关系．把圆C的参数方程化为普通方程，(x－1)2＋(y－2)2=4．即x2＋y2－2x－4y＋1=0．∴M1在圆C的外部．把M2(2，1)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=－2＜0．∴M2在圆C的内部．把M3(1，0)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=0．∴M3在圆上．小结：由上面我们得出判断一个点在圆内、圆外、圆上的基本方法；即把这点M(x0，y0)代入圆的一般式f(x，y)=0的左边，f(x0，y0)＞0点M(x0，y0)在圆外；f(x0，y0)=0点M(x0，y0)在圆上；f(x0，y0)＜点M(x0，y0)在圆内．同学们想想，这是为什么？经过研究大家发现，(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，(x0－a)2＋(y0－b)2－r2＞0，∴f(x0，y0)＞0．类似地可推出M点在圆上，圆内的情况．问题2．K为怎样的值时，圆(x－1)2＋y2=1与直线y=Kx＋2(1)相切，(2)相交，(3)相离圆(x－1)2＋y2=1的圆心为(1，0)，半径为r=1．有些同学通过交点的个数去判断．Δ=(4K－2)2－16(1＋K2)=(－4)(4K＋3)小结：通过以上研究，给我们提供了判断圆与直线位置关系的两条途径．1．从距离考虑：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，d=r，圆与直线相切；d＜r，圆与直线相交；d＞r圆与直线相离．2．从交点考虑：设圆与直线组成方程组，得出一个一元二次方程，其判别式为Δ．Δ=0，圆与直线相切；Δ＞0圆与直线相交；Δ＜0圆与直线相离．这两种办法中，方法1更为普遍．而方法2有时计算量过大，应用起来不方便．问题3．a为何值时，圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0与圆x2＋y2=4(1)外切，(2)内切，(3)相交，(4)外离，(5)内含．根据平面几何中两圆位置关系的研究，我们应从两圆连心线的距离与两圆半径间的关系去判断两圆的位置关系．圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0的圆心(－a，2a)，半径R=3．圆x2＋y2=4的圆心(0，0)，半径r=2．小结：通过上例我们可知，两圆的位置关系，可以由两圆连心线的长度d，与两圆半径R 与r(R＞r)的数量关系去判断．(五)作业．习题7．7 9．10．11．圆的方程及应用教学目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，通过圆的标准方程的推导，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径．3．理解掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图形特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线与曲线之间的各种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的．4．努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充分利用数形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方法．重点难点1．圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选用圆的一般方程解决问题．2．直线和圆的各种位置关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题．3．难点是如何适当的利用平面几何中圆的有关性质和定理解题．虽然解析几何中讨论圆的问题主要是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足够的重视．教学过程圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标法，从圆的特征性质导出圆的方程，再通过圆的方程来研究与圆有关的问题．由于圆的特殊性和其广泛的应用，所以在复习圆的过程中应着重掌握好以下几个方面的问题．1．圆的方程的各种情况及其应用；2．圆的切线方程；3．有关圆的轨迹问题；4．直线与圆结合的应用问题．例题部分例1 求圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P(3，-2)的圆的方程．分析由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=R2，根据题意，则有以下方程组成立评述这是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足曲线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由它所适合的方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基本方法．前面已经提到了复习圆这一节时要充分利用圆的有关平面几何的性质和定理，如能考虑到这一点，本题的解法则可能会更简单：如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于直线x+y-1=0，例2 已知经过点A(0，1)和点B(4，a)，且与x轴相切的圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程．分析因为该圆与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，所以用圆的标准方程解本题．解因为所求圆与x轴相切．所以可设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=y02．因为A(0，1)，B(4，a)在圆上，所以消去y0，得(x0-4)2+a2=a(x02+1)即 (1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0．③(2)当a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有二等根，即有Δ=b2-4ac=0．得64+4(a-1)(a2-a+16)=0，整理该方程有a[(a-1)2+16]=0，评述本题的特点是由数形结合的思想出发，画出草图，做出定量分析，在此基础上建立与题意相适应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决．例3 已知抛物线y2=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高线都通过焦点F，求此三角形的外接圆方程．分析先求三角形另两个顶点A，B的坐标，再求过O，A，B三点的圆的方程．解如图(2)所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，因为OA⊥BE，所以KOA·KBE=-1，即例4 求过点P(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程．解因为(2-1)2+(4+3)2=50＞1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部．4=k(x-2)．①把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，其判别式Δ=56k-192．的一条切线的方程．因为圆心(1，-3)到该直线的距离d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程．综合(1)、(2)，所求的两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0．评述在解决这类问题的时候，一定要注意两点，第一是先判断点P(2，4)与圆的位置关系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存在的情况，以免漏解．这样考虑问题较细致，但计算量相应较大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化．由圆心为(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊情况x=2，这样就可得两条切线方程．例5 求经过点A(4，-1)，且与已知圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点B(1，2)的圆的方程．解如图3，设所求的圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2．因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直线的方程为x+2y-5=0，所以圆心C′的坐标应满足方程组解得a=3，b=1．因为所求圆C′过点A(4，-1)，所以(4-3)2+(-1-1)2=R2=5．所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5．评述确定一个圆的方程主要是两个数据：圆心和半径．本题解决的关键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径即为|C′A|．由已知条件得出C′满足的条件有两个，一是C′在线段AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相外切，C′一定在直线CB上，由此建立(a，b)所满足的方程组，问题即可得解．例6 已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别于A，B点，设O 为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)．(1)求证圆C与直线l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．解 (1)因为l与圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方评述讲解本题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)小题被反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值得借鉴．例7 AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于P，求点P的轨迹．解法一如图4所示，以圆心O为原点，AB所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r2．(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为(x，y)，C点坐标为(x1，y1)．(P 点是直线AC，BP的交点，所以P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确定P点与C点坐标之间的关系式．)因为C点不与点A，B重合，所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC=r2，即(x-r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴上的两个点．评述本题特点是动点P随着相关点C的运动而运动，如果能用动点P的坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，y1)，则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨迹方程．这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，应给予足够的重视．解法二因为BP⊥l，OC⊥l，所以OC∥BP．因此|BP|=2|OC|=2r．这说明当点C运动时，动点P距定点B的距离总等于常数2r．根据定义可得到：P点轨迹是以点B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆．因为C点不与A，B点重合，所以y≠0，所以点P 的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)．例8 从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为端点的弦AB的中点M的轨迹方程．分析如图5，本题解决的思路是如何建立起切点弦AB所在直线的方程．如图所示，OP ⊥AB，由kOP·kAB=-1，即可得出PO，AB交点M的轨迹方程．解在直线x=-2上任取一点P(-2，y′)，过P引圆的两条切线PA，PB，A，B为两切点．设A，B点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，ABy2y=1．因为P点在两条切线上，所以。
人教版高中数学必修2-4.1《圆的一般方程》教学设计
4.1.2圆的一般方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节内容的学习，掌握圆的一般方程，能利用各种条件求出圆的一般方程.（二）学习目标1.掌握圆的一般方程，理解二元二次方程表示圆的条件；2.能够熟练进行圆的一般方程和标准方程之间的转换；3.能够在各种条件下求圆的一般方程.（三）学习重点1.圆的一般方程和标准方程之间的转换；2.在不同条件下求圆的一般方程.（四）学习难点1.理解二元二次方程表示圆的条件；2.在不同条件下求圆的一般方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读 阅读教材第121页到122页，填空：（1）关于,x y 的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆的条件是2240D E F +->；其圆心坐标为(,)22D E --. （2）求圆的方程常用的方法是待定系数法.2.预习自测（1）若圆的方程为22210230x y x y +-++=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）A.(1,5),-(1,5),- C. (1,5),3- D. (1,5),3-【知识点】圆的一般方程.【解题过程】方程配方得222(1)(5)x y -++=，故圆心和半径为(1,5)-【思路点拨】一般方程通常通过配方成标准方程，从而方便找出圆心和半径.【答案】B（2）关于,x y 的方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的条件是（ ） A.114m << B.14m <或1m > C.14m < D. 1m > 【知识点】二元二次方程表示圆的条件.【解题过程】由2240D E F +->得：22(4)(2)450m m +--⨯>，解得14m <或1m >【思路点拨】形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示一个圆的条件是2240D E F +->.【答案】B（3）过三点(00),(11),(42)O M N ，，，的圆的方程为（ ） A. 2286250x y x y ++--= B. 2286250x y x y +-+-=C. 22860x y x y ++-=D. 22860x y x y +-+=【知识点】圆的一般方程.【解题过程】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则代入三点的坐标得：0811061444200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，故圆的方程为22860x y x y +-+= 【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程.【答案】D（二）课堂设计1.知识回顾：（1）确定圆的基本要素是：圆心位置和半径大小；（2）圆心为点(a,b )，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= 2.问题探究探究一 二元二次方程表示的图形活动① 分别研究方程222410x y x y +-++=……①，222450x y x y +-++=……②，222460x y x y +-++=……③表示什么图形？。
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4.1.2 圆的一般方程
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2y2Dx Ey F = 0表示圆的条件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
2．过程与方法
通过对方程x2y2Dx Ey F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
（二）教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
（三）教学过程
备选例题
例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.
（1）x2y2x 1 = 0；
（2）x2y22ac a2 = 0 (a≠0)；
（3）2x22y22ax– 2ay = 0 (a≠0).
解析（1）因为D＝1，E＝0，F＝1，
所以D2E2– 4F＜0 方程（1）不表示任何图形；
（2）因为D＝2a，E＝0，F＝a2，
所以D2E2– 4F＝4a2– 4a2 = 0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x2y2ax–ay = 0，
所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a
-
，半径|r a ==. 点评：也可以先将方程配方再判断.
例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y
轴上截得的线段长为的方程.
分析涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.
解析法一：设圆的方程为： x 2 y 2 Dx Ey F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得
4220
310D E F D E F -+=-⎧⎨
--=⎩
令x = 0，由①，得y 2 Ey F = 0 ④
由已知|y 1 – y 2
| = ，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得 2012D E F =-⎧⎧⎪⎪
=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩
D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 y 2 – 10x – 8y 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ① ∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C
的半径||r CP == ②
由已知圆C 截y
轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a
|. 222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.
∴12r r ==②
③
故所求的圆的方程为：(x – 1)2 y 2 = 13或(x – 5)2 (y – 4)2 = 37.
评析(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.
（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.
例3 已知方程x 2 y 2 – 2(t 3)x 2(1 – t 2)y 16t 4 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围； （2）该圆半径r 的取值范围. 解析原方程表示一个圆的条件是
D 2
E 2 – 4
F = 4(t 3)2 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 9)＞0 即7t 2 – 6t – 1＜0，∴1
17
t -<<
（2）222
2224224(3)(1)(169)761
4316
7()77
D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+
∴2160,07r r <≤<<。