天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)(2014河北区一模)文科数学 (清晰扫描,含答案)
2014年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)文科数学试卷(带解析)
天津市河北区2014届高三总复习质量检测（一）文科数学试卷（带解析）1．己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则M N =I （ ）. (A)(2,)-+∞ (B)[)1,3- (C)(]2,1-- (D)(2,3)- 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知集合{}1N x x =-…，所以{}{}[)2311,3M N x x x x x =-<<-=-I I …，故正解答案选B.考点：1.集合运算；2.对数不等式.2．已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y 的最大值是（ ）.(A)-4 (B)0 (C)2 (D)4 【答案】C 【解析】试题分析：首先作出可行域110,1x y x+≤⎧⎪+≥≤区域，目标函数可化为2y x z =-+，所以作出直线y ()1,0时，所z 的最大值为max 2102z =⨯+=，故正解答案为C.考点：简单线性规划.3．)执行右边的程序框图，输出m 的值是（ ）.(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【答案】A 【解析】试题分析：第一次执行循环体时：1m =，23a =，0ba=，选择“否”；第二次：2m =，228239a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，293384b a =⨯=，选择“否”；第三次：3m =，328339a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，89198b a =⨯=，选择“是”，故此输出m 的值为3.正解答案选A. 考点：1.程序框图；2.幂运算.4．“a>l ”是“函数()2f x ax =-(a >0且1a ≠)在区间(0,)+∞上存在零点”的（ ）. (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：令20ax -=，得2x a =，若1a >，则20a >，所以充分性成立；若函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点时，则有20a >，显然存在2021a a<<⇒>，所以必要性成立.故正确答案为C.考点：1.充要条件；2.函数零点.5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）. (A)56 (B)103 (C)53(D)2【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是由一个长为222的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为1110222222323V =⨯⨯=.故正确答案选B.2222考点：1.三视图；2.简单组合体体积. 6．在ABC ∆中，3,13,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是（ ）.(A)333 (C)332 (D)334【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，即2340AB AB --=，解得4AB =，所以113sin 433322ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=故正确答案为A. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积.7．已知函数3log ,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）.(A) {}|30x x -≤≤ (B){}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D){}|03x x x ≤≥或 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒厖；②当0x „时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭厔，综①②得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D. 考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.8．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：因为12()()1f x f x +=，所以1212414114141x x xx --+=++，整理得()1212444430x x x x ⋅-+-=，又1244x x +…124430x x ⋅-…，解得3，即12124449x x x x +⋅=?，因此()1212121241224114141915x x x x x x f x x +++-+==--=+++….故正确答案为B.考点：1.指数函数；2.基本不等式.9．复数11iz i-=+，则z =______________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以1z ==.故正确答案为1. 考点：复数分母有理化、模.10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个三棱柱的体积是_____________.【答案】483 【解析】试题分析：由题意可得，球的半径为2R =，则正三棱柱的高为24h R ==，底面正三角形中心到各边的距离为2R =，所以底面边长为43，从而所求三棱柱的体积为()234344834V Sh ==⋅⋅=.故正确答案为483. 考点：1.球、三棱柱的体积；2.简单组合体.11．设F 是抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点，点A 是抛物线1C 与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为_______. 【答案】5 【解析】试题分析：由抛物线方程22y px =，可得焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设点A 在第一象限，则有,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线渐近线方程b y x a =，得2b a =，则225c a b a =+=，所以双曲线离率为55ae ==.故正确答案为5. 考点：1.抛物线；2.双曲线.12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD.若PC=4， PB=2，则CD=____________.【答案】125【解析】试题分析：连接OC ，则得直角三角形OPC ，设半圆的半径为r ，则有()22224r r +=+，解得3r =，又由CD CP AO OP =，得4123325CD =⋅=+.故正确答案为125.考点：1.圆的切线；2.平行线分线段成比例.13．己知0,0x y >>，若2287y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】81m -<< 【解析】试题分析：因为288y x x y +=…，所以287m m >+恒成立，即2780m m +-<恒成立，解得所求实数m 的范围为81m -<<.考点：1.基本不等式.14．已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________. 【答案】23π 【解析】 试题分析：设向量,a br r 的夹角为θ，则2222222cos 44cos 1m a tb a t a b t b t t θθ=+=++=++u r r r r r r r ，构造函数()2221144cos 14cos cos 124f t t t t θθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，因为当且仅当14t =时，m 取得最小值，所以当14t =时，函数()f t 有最小值，即111cos 0cos 422θθ+=⇒=-时，函数()f t 有最小值，又[]0,θπ∈，所以解得23πθ=.考点：1.向量；2.二次函数.15．已知实数{},2,1,1,2a b ∈--．（1）求直线y=ax+b 不经过第四象限的概率： （2）求直线y=ax+b 与圆221x y +=有公共点的概率. 【答案】（1）14；（2）34. 【解析】试题分析：（1）因为实数{},2,1,1,2a b ∈--，所以由,a b 构成的实数对总共有16种，又直线y ax b =+不过第四象限，即必须满足0a …且0b …，此时由,a b 构成的实数对总共有4种，故所求概率为41164=；（2）由圆方程221x y +=知圆心坐标为()0,0，半径为1，又直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离d 不大于半径1，根据点到直线距离公式得1d =，整理得221b a +„，经检验满足此式的,a b 实数对共有12种，故所求概率为123164=. （1）由于实数(),a b 的所有取值为：()2,2--，()2,1--，()2,1-，()2,2-，()1,2--，()1,1--，()1,1-，()1,2-，()1,2-，()1,1-，()1,1，()1,2，()2,2-，()2,1-，()2,1，()2,2共16种. 2分设“直线y ax b =+不经过第四象限”为事件A ，若直线y ax b =+不经过第四象限，则必须满足0a …，0b ….则事件A 包含4个基本事件：()1,1，()1,2，()2,1，()2,2. 4分()41164P A ∴==，直线y ax b =+不经过第四象限的概率为14. 6分 （2）设“直线y ax b =+与圆221x y +=有公共点”为事件B ，1，即221b a +„. 9分所以事件B 包含12个基本事件：()2,2--，()2,1--，()2,1-，()2,2-，()1,1--，()1,1-，()1,1-，()1,1，()2,2-，()2,1-，()2,1，()2,2. 11分()123164P B ∴==，所以直线y ax b =+与圆221x y +=有公共点的概率为34. 13分 考点：1.古典概型；2.直线与圆.16．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=u u u r u u u r，求边c 的长．【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+u r r，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=u u u r u u u r，得cos 18ab C =，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+u r r2分 在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=u r r.又sin m n C ⋅=u r r Q ，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又sin 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B Q 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+. 9分18CA CB ⋅=u u u r u u u r Q ，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD=2，AB=BC=l ，E 为AD 中点． （1）求证：PE ⊥平面ABCD ：（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值： （3）求点A 到平面PCD 的距离.【答案】（1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ⊥.PE ∴⊥平面ABCD ；（2）63（3）233. 【解析】试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，并且相交于AD ，而PAD ∆为等腰直角三角形，E 为AD 中点，所以PE AD ⊥，即PE 垂直于两个垂直平面的交线，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ；（2）连结BE ，由题意可知PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角，并且三角形PBE 是直角三角形，EB ==，112PE AE AD ===，PB =，由余弦定理得cos3EB PBE PB ∠===；（3）利用体积相等法可得解，设点A 到平面PCD 的距离h ，即由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅， 而在Rt PEC ∆中，PC =，所以PC CD DP ==，因此242PCD S ∆=⨯=，又112ACD S AD AB ∆=⋅=，1EP =，从而可得解. （1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥. 2分 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD . PE ∴⊥平面ABCD . 4分（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BC AD P ，22AD AB BC ==，有ED BC P 且ED BC =.所以四边形EBCD 平行四边形，EB DC ∴P .由（1）知PE EB ⊥，PBE ∠为锐角，所以PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角. 7分2,1AD AB BC ===Q ，在Rt AEB ∆中，1,1AB AE ==.EB ∴=.在Rt PEA ∆中，1,AP AE ==1EP ∴=.在Rt PBE ∆中，PB ==cos3EB PBE PB ∴∠===.所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为3. 9分（3）解：由（2）得CD EB ==在Rt PEC ∆中，PC =PC CD DP ∴==， 242PCD S ∆==. 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅. 11分又112ACD S AD AB ∆=⋅=，解得h =分 考点：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5e =， 直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长：（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1；（2）65280x y --=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆顶点()0,4B 知4b =，又离心率5c e a ==，且222a b c =+，所以220a =，从而求得椭圆方程为2212016x y +=，联立椭圆方程与直线4y x =-消去y 得29400x x -=，12400,9x x ==，再根据弦长公式12MN x =-，可求得弦MN的长；（2）由题意可设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则根据三角形重心的性质知2BF FQ =u u u r u u u r，可求得Q 的坐标为()3,2-，又设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，根据中点公式得12126,4x x y y +=+=-，又由点,M N 是椭圆上的点所以222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减整理得1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，从而可求出直线MN 的方程.（1）由已知4b =，且c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 4分 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 6分129MN x ∴=-=. 7分 （2）椭圆右焦点F 的坐标为()2,0，设线段MN 的中点为()00,Q x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =u u u r u u u r，又()0,4B ，()()002,422,x y ∴-=-，故得003,2x y ==-.所以得Q的坐标为()3,2-. 9分设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y +-+-+=. 11分1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN 的方程为65280x y --=.13分考点：1.椭圆方程；2.直线方程.19．已知函数1()()3x f x =，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}(0)n n b b >的前n 项为n S ，且前n 项和n S满足12)n n S S n --=+≥．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式： （2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，问使10052014nT >的最小正整数n 是多少？ 【答案】（1）()213n n a n =-…，()211n b n n =-…；（2）252. 【解析】试题分析：（1）由已知得当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则等比数列{}n a 的公比13q =，又()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-，由等比数列通项公式11n n a a q -=可得所求数列{}n a的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求{}n b 的通项公式，因为11n n S S --=⇒==，1==，所以是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即2n S n =，从而()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-，故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…；（2）由数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式1111111212322121n b b b n n n n -⎛⎫=⋅=- ⎪---+⎝⎭可采用裂项求和法先求出前n 项和111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ，从而可得1005100510051251201421201444n n T n n >⇒>⇒>=+，故满足条件的最小正整数n 是252. （1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c =，则当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 因为是等比数列，所以{}n a 的公比13q =. 2分 ()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-.()213n na n ∴=-…. 4分 由题设知{}()0n n b b >的首项11b c ==，其前n 项和n S 满足)12n n S S n --=…，由11n n S S --==1==.所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分n =，2n S n =.()1212n n n b S S n n -=-=-Q …，又11211b ==⨯-. 故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…. 8分 （2）因为()211n b n n =-…，所以1111122121n b b b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭. 10分 111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 12分 要使10052014n T >，则1005212014n n >+.所以1005125144n >=. 故满足条件的最小正整数n 是252. 14分 考点：1.数列通项公式；2.数列列前n 项和公式.20．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0，5)，且()f x 在区间[-1，4]上的最大值是12．（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在正整数m,使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()()()225210f x x x x x x R =-=-∈；（2）方程()32370210370f x x x x+=⇔-+=， 设()3221037h x x x =-+，则()()26202310h x x x x x '=-=-. 当100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 是减函数；当10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 是增函数.因为()()101310,0,450327h h h ⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭.所以方程()0h x =在区间103,3⎛⎫⎪⎝⎭，10,43⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，而区间()0,3，()4,+∞内没有实数根.所以存在唯一的正数3m =，使得方程()370f x x+=在区间(),1m m +内有且只有两个不等的实数根. 【解析】试题分析：（1）由已知得0，5是二次函数()f x 的两个零点值，所以可设()()()50f x ax x a =->，开口方向向上，对称轴为52x =，因此()f x 在区间[]1,4-上的最大值是()16f a -=，则612a =，即2a =，因此可求出函数()f x 的解析式；（2）由（1）得()32370210370f x x x x+=⇔-+=，构造函数()3221037h x x x =-+，则方程()370f x x+=的实数根转化为函数()3221037h x x x =-+的零点，利用导数法得到函数()h x 减区间为100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭、增区间为10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，又有()310h =>，1010327h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()450h =>，发现函数()h x 在区间103,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,43⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一零点，而在区间()0,3，()4,+∞内没有零点，所以存在唯一的正数3m =，使得方程()370f x x+=在区间(),1m m +内有且只有两个不等的实数根.（1）因为()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是()0,5， 所以可设()()()50f x ax x a =-> 2分所以()f x 在区间[]1,4-上的最大值是()16f a -=. 4分由已知，得612a =，2a ∴=.()()()225210f x x x x x x R ∴=-=-∈. 6分（2）方程()32370210370f x x x x+=⇔-+=， 设()3221037h x x x =-+，则()()26202310h x x x x x '=-=-. 10分 当100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当10,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 是增函数. 10分 因为()()101310,0,450327h h h ⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭. 所以方程()0h x =在区间103,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,43⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，而区间()0,3，()4,+∞内没有实数根. 12分所以存在唯一的正数3m =，使得方程()370f x x+=在区间(),1m m +内有且只有两个不等的实数根. 14分考点：1.函数解析式；2.函数零点.。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(三)文数 Word版含答案
天津市河北区2014届高三总复习质量检测（三）文数 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至8页，第I 卷（选择题共40分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数(6)z i i =+在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(2)已知集合{}{}|06,|23A x x B x x =<<=-< ，则 AB =(A) {}|16x x -<< (B) {}|15x x -<<(C) {}|03x x << (D) {}|05x x <<(3)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(A)9 (B) 19(C) 20 (D) 35(4)若 p q ⌝∨是假命题，则(A) p q ∧是假命题 (B) pVq 是假命题(C)p 是假命题 (D) q ⌝是假命题(5)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是(A)3 (B) (C)6 (D)8(6)若双曲线 22:2(0)C x y m m -=>与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点且AB =，则m 的值是(A) 20 (B) 52(C) 80 (D) 116(7)函数 1()ln()f x x x=-的图象大致是(8)已知函数 2sin ()1x f x x =+．下列命题： ①函数 ()f x 的图象关于原点对称：②函数 ()f x 是周期函数；③当 2x π=时，函数f (x)取最大值：④函数()f x 的图象与函数 1y x= 的图象没有公共点． 其中正确命题的序号是(A)①③ (B)①②④(C)①④ (D)①③④第II 卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2014年高考文科数学试题(天津卷)及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数734ii+=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+ 2.设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5 3.已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为 A.00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤ B.00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤ C.0x ∀>，总有00(1)1x x e+≤ D.0x ∀≤，总有00(1)1x x e +≤4.设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c b a >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a =A.2B.-2C.21 D.21 6.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 8.已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，x R ∈.在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为 A.2πB.23πC.πD.2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数2()lg f x x =的单调递减区间是______________.13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为________.14.已知函数2|54|(0)()2|2|(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩.若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学A 、B 、C 和3名女同学X 、Y 、Z ，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）. ⑴用表中字母列举出所有可能的结果； ⑵设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知66a cb -=，sin 6sin B C =. ⑴求cos A 的值；⑵求cos(2)6A π-的值.17.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==，2AD =，5PA PD ==，E 、F 分别是棱AD 、PC 的中点. ⑴证明：//EF 平面PAB ；⑵若二面角P AD B --为60︒， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； ②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知123||||2AB F F =. ⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ，2||22MF =.求椭圆的方程.19.（本小题满分14分） 已知函数232()(0)3f x x ax a =->，x R ∈. ⑴求()f x 的单调区间和极值；⑵若对于任意的1(2x ∈，)+∞，都存在2(1x ∈，)+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.参考答案一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.60 10.320π11.-4 12.)0,(-∞ 13.2 14.(1,2)三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）16.（本小题满分13分）17.（本小题满分13分）(2)18.（本小题满分13分）19.（本小题满分14分）20.（本小题满分14分）。
数学_2014年天津市河北区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2014年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项市符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|−2<x <3}，N ={x|lg(x +2)≥0}，则M ∩N =( ) A (−2, +∞) B (−2, 3) C (−2, −1] D [−1, 3)2. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x +1≥0x −y ≤1，则目标函数z =2x +y 的最大值是（ ）A −4B 0C 2D 43. 执行如图的程序框图，输出k 的值是（ ）A 3B 4C 5D 64. “a >1”是“函数f(x)=a x −2，(a >0且a ≠1)在区间(0, +∞)上存在零点”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）A 56 B 103 C 53 D 26. 在△ABC 中，BC =3，AC =√13，B =π3，则△ABC 的面积是（ ）A 3√3B 6√13C 3√32D 3√347. 已知函数f(x)={log 3x ，x >0(13)x ，x ≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为（ ）A {x|−3≤x ≤0}B {x|x ≤−3或x ≥0}C {x|0≤x ≤3}D {x|x ≤0或x ≥3} 8. 已知函数f(x)=4x −14x +1，若x 1>0，x 2>0，且f(x 1)+f(x 2)=1，则f(x 1+x 2)的最小值为（ ）A 14B 45C 2D 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 若复数z =1−i1+i ，则|z|=________．10. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是________，三棱柱的体积是________．11. 设F 是抛物线C 1:y 2=2pr(p >0)的焦点，点A 是抛物线C 1与双曲线C 2:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．12. 如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD ．若PC =4，PB =2，则CD =________． 13. 已知x >0，y >0，若2yx +8x y >m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．14. 已知a →、b →为非零向量，m →=a →+tb →(t ∈R)，若|a →|=1，|b →|=2，当且仅当t =14时，|m →|取得最小值，则向量a →、b →的夹角为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m →=(sinA,sinB)，n →=(cosB,cosA)，且m →⋅n →=sin2C ． （1）求角C 的大小；（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CA →⋅CB →=18，求边c 的长． 16. 已知实数a ，b ∈{−2, −1, 1, 2}(I)求直线y =ax +b 不经过第四象限的概率；(II)求直线y =ax +b 与圆x 2+y 2=1有公共点的概率．17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD =√2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC // AD ，AB ⊥AD ，AC =√2，AB =BC=1，E为AD中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．18. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为B(0, 4)，离心率e=√55，直线l交椭圆于M、N两点．（1）若直线l的方程为y＝x−4，求弦MN的长；（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．19. 已知函数f(x)=(13)x，等比数列{a n}的前n项和为f(n)−c，数列{b n}{b n>0}的首项为c，且前n项和S n满足S n−S n−1=√S n+√S n−1(n≥2)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{1b n b n+1}前n项和为T n，问使T n>10052014的最小正整数n是多少？20. 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0, 5)，且f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是12．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2014年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. C3. A4. C5. B6. A7. D8. B9. 110. 2,48√311. √512. 12513. (−8, 1)14. 2π315. 解：（1）∵ m→=(sinA, sinB)，n→=(cosB, cosA)，∴ m→⋅n→=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C=2sinCcosC，∵ sinC ≠0， ∴ cosC =12，∵ C 为三角形内角， ∴ C =π3；（2）∵ sinA ，sinC ，sinB 成等差数列， ∴ 2sinC =sinA +sinB ，利用正弦定理化简得：2c =a +b ， ∵ CA →⋅CB →=18，∴ abcosC =12ab =18，即ab =36，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ， 将a +b =2c ，ab =36代入得：c 2=4c 2−108，即c 2=36， 解得：c =6．16. 直线y =ax +b 不经过第四象限概率为14；y =ax +b 与圆x 2+y 2=1有公共点的概率为34．17. （1）证明：在△PAD 中PA =PD ，E 为AD 中点， ∴ PE ⊥AD又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BC // AD ，AD =2AB =2BC ，有ED // BC 且ED =BC ，∴ 四边形EBCD 是平行四边形， ∴ EB // DC由（1）知PE ⊥EB ，∠PBE 为锐角， ∴ ∠PBE 是异面直线PB 与CD 所成的角 ∵ AC =2，AB =BC =1，在Rt △AEB 中，AB =1，AE =1，∴ EB =√2，在Rt △PEA 中，AP =√2，AE =1，∴ EP =1，在Rt △PBE 中，PB =√EP 2+EB 2=√3， cos∠PBE =EB PB=√2√3=√63， ∴ 异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为√63．（3）解：以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EP 为z 轴， 建立空直角坐标系，A(0, −1, 0)，B(1, −1, 0)，P(0, 0, 1)， C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， PA →=(0,1,1)，PB →=(−1,1,1)， PC →=(−1,0,1)，PD →=(0,−1,1)， 设平面PAB 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅PB →=−x +y +z =0˙，取y =1，得n →=(0,1,−1)， 设平面PCD 的法向量m →=(a,b,c)，则{m →⋅PD →=−b +c =0˙，取a =1，得m →=(1,1,1)， ∵ n →⋅m →=0，∴ 平面PAB 与平面PCD 所成的二面角为90∘．18. 由已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为B(0, 4)， ∴ b ＝4， 又∵ 离心率e =ca =√55， 即c 2a 2=15，∴a 2−b 2a 2=15，解得a 2＝20，∴ 椭圆方程为x 220+y 216=1；由4x 2+5y 2＝80与y ＝x −4联立， 消去y 得9x 2−40x ＝0， ∴ x 1＝0，x 2=409，∴ 所求弦长|MN|=√1+12|x 2−x 1|=40√29； 椭圆右焦点F 的坐标为(2, 0)，设线段MN 的中点为Q(x 0, y 0)，由三角形重心的性质知BF →=2FQ →，又B(0, 4)， ∴ (2．−4)＝2(x 0−2, y 0)， 故得x 0＝3，y 0＝−2， 求得Q 的坐标为(3, −2)；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝−4，且x 1220+y 1216=1,x 2220+y 2216=1，以上两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)20+(y 1+y 2)(y 1−y 2)16=0，∴ k MN =y 1−y2x 1−x 2=−45⋅x 1+x2y 1+y 2=−45⋅6−4=65，故直线MN 的方程为y +2=65(x −3)，即6x −5y −28＝0．19. 解：（1）∵ 函数f(x)=(13)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)−c ，∴ n ≥2时，a n =[f(n)−c]−[f(n −1)−c]=−23n ， ∴ 等比数列{a n }的公比为q =13，∴ c =1，a 1=−23，∴ a n =−23n ；∵ 数列{b n }{b n >0}的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n −S n−1=√S n +√S n−1(n ≥2)． ∴ b 1=1，√S n −√S n−1=1，∴ {√S n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ √S n =n ，∴ S n =n 2，∴ n ≥2时，b n =S n −S n−1=2n −1， ∵ b 1=1，∴ b n =2n −1； （2）1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)，∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1，由T n >10052014，得n2n+1>10052014，解得n >251.25 ∴ T n >10052014的最小正整数n 是252．20. 解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0, 5)， ∴ 可设f(x)=ax(x −5)(a >0)．∴ f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是f(−1)=6a ． 由已知得6a =12，∴ a =2，∴ f(x)=2x(x −5)=2x 2−10x(x ∈R)． (2)方程f(x)+37x=0等价于方程2x 3−10x 2+37=0．设ℎ(x)=2x 3−10x 2+37，则ℎ′(x)=6x 2−20x =2x(3x −10)． 在区间x ∈(0,103)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数；在区间(−∞, 0)，(103，+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数， 故ℎ(0)是极大值，ℎ(103)是极小值．∵ ℎ(3)=1>0，ℎ(103)=−127<0，ℎ(4)=5>0，∴ 方程ℎ(x)=0在区间(3,103)，(103,4)内分别有唯一实数根， 故函数ℎ(x)在(3, 4)内有2个零点．而在区间(0, 3)，(4, +∞)内没有零点，在(−∞, 0)上有唯一的零点． 画出函数ℎ(x)的单调性和零点情况的简图，如图所示,∴ 存在惟一的自然数m =3，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m +1)内有且只有两个不同的实数根．。
天津市河北区-高三年级总复习质量检测(一).docx
天津市河北区2015-2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共40分）3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合={01234}U ，，，，，={123}A ，，，={24}B ，，则()U C A B =I（A ）{2} （B ）{24}， （C ）{04}， （D ）{4} （2）i 是虚数单位，复数34i12i+=- （A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i --（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （A ）2016 （B ）2 （C ）12（D ）1-（4）若1311321=()=log 2=log 32a b c ，，，则a b c ，，（A ） b c a >> （B ）c a b >>（C ） a b c >> （D ）a >（5）设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“+3x y ≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -（7）若函数()=sin +f x x x 的图象关于直线x =a 对称，则最小正实数a 的值为 （A ）π6（B ）π4（C ）π3 （D ）π2（8）已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x +x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围是（A）(3)-，（B）(03]∞，（C）[03]，（D）(03)，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.______________．（10）如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B C，，点D在线段BC上，且24，，，则线段AB的长为=∠=∠==DC BD BAD PAB PA PB_______________．（第9题图） （第10题图） （11）已知正数x y ，满足=x+y xy ，那么x+y 的最小值为 ．（12）在区间[44]-，上随机地取一个实数x ，则事件“2230x x --≤”发生的概率是．（13）函数()e x f x =x 在点(1(1))f -，-处的切线方程为 ．（14）已知ΔABC 中，AB =AC ，=4BC ，90BAC =∠︒，3BE EC =u u u r u u u r，若P 是BC 边上的动点，则AP AE ⋅u u u r u u u r的取值范围是______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得 分 评卷人 （15）（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若7a 3b =， 7sin +sin =23B A（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求πsin(2)6B +的值．得 分 评卷人 （16）（本小题满分13分）1桶甲产品需耗A 原料3千克，B 原料1千克，生产1桶乙产品需耗A 原料1千克，B 原料3千克．每生产一桶甲产品的 利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中， 每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x 桶甲产品和y 桶乙产品． （Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应 的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，22AB=AD=AP=CD=． （Ⅰ）若M 是棱PB 上一点，且2BM =PM ，求证：PD ∥平面MAC ；（Ⅱ） 若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ； PC 与平面ABCD 所成角的正切值．（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1028a =，8=92S ，数列{}n b 对任意*n ∈N ，总有1231=3+1n n b b b b b n ⋅⋅⋅L -成立． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2n n n na b c =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y +=a >b >ab的短轴长为2，离心率=2e ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y =kx +m 与椭圆交于不同的两点A B ，，与圆2223x +y =相切 于点M ．（i ）证明：OA OB ⊥（O 为坐标原点）； （ii ）设AM λ=BM，求实数λ的取值范围．（20）（本小题满分14分）已知函数32()=f x ax x ax +-，其中a ∈R 且0a ≠． （Ⅰ）当1a=时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求函数()3()ln f x g x =x x a-的单调区间； （Ⅲ）若存在(1]a ∈∞，--，使函数()()()[1](>1)h x =f x f x x b b '+∈，-，-在1x=-处 取得最小值，试求b 的最大值．河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学 答 案（文）（9）16+π； （10） （11）4； （12）12； （13）1=ey -； （14）[26]，．三、解答题：本大题共6小题，共80分． （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵sinsin a b =A B ，∴sin sin b A B =a． …………2分 又a =3b =+sin =B A∴sin =A …………4分 又02A π<<，∴π=3A ． …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， sin ==B A …………7分 又02B π<<，∴cos ==B …………9分 ∵sin2=2sin cos B B B 213cos2=12sin =14B B --， …………11分 ∴πππ1sin(2)=sin 2cos cos2sin =6667B B B ++- …………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设每天生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，则x ，y 满足条件的数学关系式为3+12+31200x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，≥，≥，≤≤ …… 3分 该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如下…………7分 （Ⅱ）设利润总额为z 元，则目标函数为：400300z =x+y ． ………8分 如图，作直线l ：400300=0x+y ，即43=0x+y ．当直线4=+3300zy x -经过可行域上的点A 时，截距300z 最大，即z 最大．解方程组3+=12+3=12x y x y ⎧⎨⎩，，得33x y ⎧⎨⎩==，即(33)A ，，………11分代入目标函数得max =2100z ． ………12分答：该公司每天需生产甲产品3桶，乙产品3桶才使所得利润最大，最大利润为 2100元．…………13分 （17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）连结BD ，交AC 于点N ，连结MN ．∵AB ∥CD ，2AB CD =， ∴2BN AB DN CD==． ∵2BM PM =， ∴2BM BN PM DN==． ∴MN ∥PD ． ……2分又MN ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ， ∴PD ∥平面MAC ． …… 4分（Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD=AB ，AB AD ⊥，∴AD ⊥平面PAB ． ∴AD PA ⊥． …… 6分同理可证AB PA ⊥． …… 7分又AB AD A =I ，∴PA ⊥平面ABCD ． ……8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD∴PC 与平面ABCD 所成的角为PCA ∠． ……10分 在Rt PAC ∆中，∵2225PA AC AD +CD =，， ∴25tan 5PA PCA AC ∠===……12分 ∴PC 与平面ABCD 25． ……13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则10181=+9=2887=8+=922a a d S a d ⎧⎪⎨⨯⎪⎩．解得113a d ==，． ……2分∴32n a n =-． ……3分∵12313+1n n b b b b b =n ⋅⋅⋅L -， ① ∴1231=32(2n b b b b n n ⋅⋅L --≥）． ② ①②两式相除得3132n n b n +=- (2)n ≥． ……5分 ∵当1n =时，14b =适合上式，∴3132n n b n +=-()n *∈N ． ……6分 （Ⅱ）∵(31)221n n n nna b c ==n ⋅+， ……7分∴2311114710(31)2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++L ． ……8分2311111147(32)(31)22222n n n T n n +=⨯+⨯++-++L ． ……9分两式相减得，2311333312()22222n n n n T ++=++++-L ……10分 1111[1()]3142231212n n n -+-+=+⨯-- ……11分173722n n ++=-． ……12分∴3772n nn T +=-． ……13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵22b =，∴1b =．…… 1分又c e a =，222a b c =+，∴ 22a =． ……3分∴ 椭圆C 的方程为 2212x y +=． …… 4分（Ⅱ）（i ）∵直线l ：y =kx +m 与圆2223x +y =相切，∴d ==222(1)3m k =+． ……5分 由2212y =kx +m x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 并整理得，222(12)4220k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，，22()B x y ，， 则12221224122212km x +x =+k m x x =+k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩--． …… 7分 ∵12121212()()OA OB =x x +y y =x x +kx +m kx +m ⋅u u u r u u u r．221212(1)()=+k x x +km x +x +m22222224(1)()1212m km=+k +km +m +k +k-- 2222223222(1)2201212m k +k k ===+k +k ----，∴OA OB ⊥． …… 9分（ii ）∵直线l ：y =kx+m 与椭圆交于不同的两点A B ，，∴222212121122x x +y =+y =，．∴AMλ==BM…… 11分由（Ⅱ）（i）知1212+=0x x y y，∴1212=x x y y-，222222121212==(1)(1)22x xx x y y--，即22122142=2+3xxx-．∴212+3==4xλ．…… 13分∵1x∴λ的取值范围是122λ≤≤．…… 14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a=时，32()+f x x x x=-，∴2()3+21(1)(31)f x x x x x'=-=+-．…… 2分令()0f x'=，得1x=-或13x=．列表讨论'()f x和()f x的变化情况：∴当1x=-时，()f x取得极大值(1)1f=-，当13x=时，()f x取得极15()327f=-． (4)小值分（Ⅱ）∵2()33()ln lnf xg x=x=ax x a xx a a+---，∴()g x的定义域为(0)+∞，，22323()21a x axg x=axax ax+'+=--2132()()2(0)a x xa a aax+=≠-．……5分（1）当0a>时，由()0g x'>，解得1xa>，由()0g x'<，解得10xa<<，∴()g x在1(0)a，上单调递减，在1()a+∞，上单调递增；……7分（2）当0a<时，由()0g x'>，解得32xa<<-，由()0g x'<，解得32xa>-，∴()g x在3(0)2a-，上单调递增，在3()2a-+∞，上单调递减．…9分（Ⅲ）∵2()=3+2f x ax x a'-，∴32()=+(3+1)+(2)h x ax a x a x a--．由题意知，()(1)h x h≥-在区间[1]b-，上恒成立．即2(+1)[(21)(13)]0x ax a x a+++-≥．①……10分当1x=-时，不等式①成立；当1x b-<≤时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a+++-≥．②……11分令2()(21)(13)F x=ax+a+x+a-∵1a≤-，(1)40F a-=->，∴2()(21)(13)0F b ab a b a=+++-≥，……12分即2+231+1b bb a-≤-．由题意，只需2max+231()=1b bb a-≤-．b……13分又1b>-，∴1b-<∴maxb=．……14分。
天津市河北区2014届高三数学总复习质量检测 文(河北一模)
河北区2013 -2014学年度高三年级总复习质量检测（一）数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至8页，第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x=-<<=+≥，则M N =(A) (2,)-+∞ (B)[)1,3-(C) (]2,1--(D)(2,3)-(2)已知变量x，y满足约束条件110,1x yxx y+≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y的最大值是(A) -4 (B) 0(C)2 (D)4(3)执行右边的程序框图，输出m的值是(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(4)“a>l”是“函数()2f x ax=-(a >0且1a≠)在区间(0,)+∞上存在零点”的。
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(5) 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A)56 (B) 103 (C)53 (D)2 (6)在ABC ∆中，3,13,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是(A)33 (B)63(C)332 (D)334(7)已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为(A){}|30x x -≤≤ (B) {}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D {}|03x x x ≤≥或(8)已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=， 则12()f x x +的最小值为(A)14 (B)45(C)2 (D)4第II 卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)理科数学试卷(带解析)
天津市河北区2014届高三总复习质量检测（一）理科数学试卷（带解析）1．己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则MN =（ ）.(A)(2,)-+∞ (B)[)1,3- (C)(]2,1-- (D)(2,3)- 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知集合{}1N x x =-…，所以{}{}[)2311,3MN x x x x x =-<<-=-…，故正解答案选B. 考点：1.集合运算；2.对数不等式.2．已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y 的最大值是（ ）.(A) -4 (B) 0 (C)2 (D)4 【答案】C 【解析】试题分析：首先作出可行域110,1x y x+≤⎧⎪+≥≤区域，目标函数可化为2y x z =-+，所以作出直线y ()1,0时，所z 的最大值为max 2102z =⨯+=，故正解答案为C.3．执行下边的程序框图，输出m 的值是（ ）.(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】A 【解析】试题分析：第一次执行循环体时：1m =，23a =，0ba=，选择“否”；第二次：2m =，228239a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，293384b a =⨯=，选择“否”；第三次：3m =，328339a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，89198b a =⨯=，选择“是”，故此输出m 的值为3.正解答案选A. 考点：1.程序框图；2.幂运算.4．直线:10l mx y -+=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（ ）. (A)相切 (B)相离 (C)相交 (D)不确定 【答案】C 【解析】试题分析：由直线:10l mx y -+=，得()10y m x -=-，因此直线l 恒过点()0,1，又点()0,1是圆C 的圆心，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交.故正确答案为C.考点：直线与圆5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）. (A)56 (B) 103 (C)53(D)2 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是由一个长为2点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为111022323V =⨯⨯=.故正确答案选B.2222考点：1.三视图；2.简单组合体体积. 6．在ABC ∆中，3,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是（ ）.(A)【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，即2340AB AB --=，解得4AB =，所以11sin 4322ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=故正确答案为A. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积.7．已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）.(A){}|30x x -≤≤ (B){}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D){}|03x x x ≤≥或 【答案】D【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒厖；②当0x …时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭厔，综①②得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D. 考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.8．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（ ）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：因为12()()1f x f x +=，所以1212414114141x x xx --+=++，整理得()1212444430x x x x ⋅-+-=，又1244x x +…124430x x ⋅-…，解得3，即124449x x x x+⋅=?，因此()1212121241224114141915x x x x x x f x x +++-+==--=+++….故正确答案为B.考点：1.指数函数；2.基本不等式.9．复数11iz i-=+，则z =______________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以1z ==.故正确答案为1.考点：复数分母有理化、模.10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是____________（用数字作答）. 【答案】80 【解析】试题分析：由题意得()()()55551552112rrrrr rr r T C x C x ----+=-=-⋅，令53r -=，解得2r =，代入上式得()23351280C -=.故正确答案为80.考点：二项式定理.11．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是____________.【答案】2sin ρθ= 【解析】试题分析：设圆上任一点P 的坐标为(),ρθ，连接圆心C 与极点O ，延长OC 交圆另一点A ，连接AP 得Rt OPA ∆，所以cos 22ρπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得所求圆的方程2sin ρθ=. 考点：圆的极坐标方程.12．如图，AB 是半圆D 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD.若PC=4，PB=2，则CD=____________.【答案】125【解析】试题分析：连接OC ，则得直角三角形OPC ，设半圆的半径为r ，则有()22224r r +=+，解得3r =，又由CD CP AO OP =，得4123325CD =⋅=+.故正确答案为125. 考点：1.圆的切线；2.平行线分线段成比例. 13．己知0,0x y >>，若2287y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】81m -<<【解析】试题分析：因为288y x x y +=…，所以287m m >+恒成立，即2780m m +-<恒成立，解得所求实数m 的范围为81m -<<. 考点：1.基本不等式.14．已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________. 【答案】23π 【解析】 试题分析：设向量,a b的夹角为θ，则2222222cos 44cos 1m a tb a t a b t b t t θθ=+=++=++，构造函数()2221144cos 14cos cos 124f t t t t θθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，因为当且仅当14t =时，m 取得最小值，所以当14t =时，函数()f t 有最小值，即111cos 0cos 422θθ+=⇒=-时，函数()f t 有最小值，又[]0,θπ∈，所以解得23πθ=.考点：1.向量；2.二次函数.15．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin 2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求边c 的长． 【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=，得c o s 18a b C=，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+ 2分 在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=.又sin m n C ⋅=，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又s i n 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+.9分18CA CB ⋅=，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分 由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和1个黑色球．顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖．规定摸到红色球奖励10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励． （1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）14； （2）所以随机变量X 的分布列为：，10EX =.【解析】 试题分析：（1）由题意知，事件“一名顾客摸球3次停止摸球”的基本事件为前两次摸到的球可能为红、黄、蓝球中的两种、第三次必是黑球，所以该事件个数为23A ，而事件总数是从四个球中不放回地选三个的总数为34A ，由古典概型的概率计算公式可求出所事件的概率；（2）由题意得，一名顾客摸球次数的可能性分别为1、2、3、4，由（1）的做法可得随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20，并分别求出相应的概率，从而可得到随机变量X 的分布列，并求出其数学期望.（1）设“一名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则()233414A P A A ==.故一名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14. 4分（2）随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20. 6分()104P X ==，()2224156A P X A ===，()22234411106A P X A A ==+=，()1222341156C A P X A ⋅===，()33441204A P X A ===. 所以随机变量X 的分布列为：11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 13分考点：1.古典概型；2.随机变量布列、数学期望.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD=2，AB=BC=l ，E 为AD 中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ：（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值： （3）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角.【答案】（1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ⊥.PE ∴⊥平面ABCD ；（2（3【解析】试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，并且相交于AD ，而PAD ∆为等腰直角三角形，E 为AD 中点，所以PE AD ⊥，即PE 垂直于两个垂直平面的交线，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ；（2）连结BE ，由题意可知PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角，并且三角形PBE是直角三角形，EB ==112PE AE AD ===，PB ，由余弦定理得cos EB PBE PB ∠===；（3）利用体积相等法可得解，设点A 到平面PCD 的距离h ，即由P A C D AP C D V V--=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅， 而在R t P E C ∆中，PC ，所以P C C D D P ==，因此2PCD S ∆==，又112A C D S A D AB ∆=⋅=，1EP =，从而可得解. （1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥. 2分 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD . PE ∴⊥平面ABCD . 4分（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BCAD ，22AD AB BC ==，有E D B C且ED BC =.所以四边形EBCD 平行四边形，EBDC ∴.由（1）知P E E B ⊥，PBE∠为锐角，所以PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角. 7分2,1AD AB BC ===，在Rt AEB ∆中，1,1AB AE ==.EB ∴=.在Rt PEA ∆中，1,AP AE ==1EP ∴=.在Rt PBE ∆中，PB =cosEB PBE PB ∴∠===.所以异面直线PB 与CD 分（3）解：由（2）得CD EB ==在Rt PEC ∆中，PCPC CD DP ∴==， 2PCD S ∆==. 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅. 11分又112ACD S AD AB ∆=⋅=，解得h =分 考点：：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5e =， 直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长：（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）9；（2）65280x y --=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆顶点()0,4B 知4b =，又离心率c e a ==，且222a b c =+，所以220a =，从而求得椭圆方程为2212016x y +=，联立椭圆方程与直线4y x =-消去y 得29400x x -=，12400,9x x ==，再根据弦长公式12MN x =-，可求得弦MN 的长；（2）由题意可设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则根据三角形重心的性质知2BF FQ =，可求得Q 的坐标为()3,2-，又设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，根据中点公式得12126,4x x y y +=+=-，又由点,M N 是椭圆上的点所以222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减整理得1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，从而可求出直线MN 的方程.（1）由已知4b =，且c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 4分 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 6分129MN x∴=-=. 7分（2）椭圆右焦点F的坐标为()2,0，设线段MN的中点为()00,Q x y，由三角形重心的性质知2BF FQ=，又()0,4B，()()002,422,x y∴-=-，故得003,2x y==-.所以得Q的坐标为()3,2-. 9分设直线MN的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y+=-，则12126,4x x y y+=+=-，且222211221,120162016x y x y+=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y+-+-+=. 11分1212121244665545y y x xkx x y y-+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN的方程为65280x y--=. 13分考点：1.椭圆方程；2.直线方程.19．已知函数1()()3xf x=，等比数列{}n a的前n项和为()f n c-，数列{}(0)n nb b>的前n项为nS，且前n项和nS满足12)n nS S n--=+≥．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式：（2）若数列11n nb b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n项和为nT，问使10052014nT>的最小正整数n是多少？【答案】（1）()213n na n=-…，()211nb n n=-…；（2）252.【解析】试题分析：（1）由已知得当2n…时，()()()12113nn na f n c f n c a a-=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则等比数列{}n a的公比13q=，又()2121193a a q f c∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a==-，由等比数列通项公式11nna a q-=可得所求数列{}n a的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求{}n b 的通项公式，因为11n n S S --=⇒==，1==，所以是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即2n S n =，从而()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-，故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…；（2）由数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式1111111212322121n b b b n n n n -⎛⎫=⋅=- ⎪---+⎝⎭可采用裂项求和法先求出前n 项和111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1005100510051251201421201444n n T n n >⇒>⇒>=+，故满足条件的最小正整数n 是252. （1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c =，则当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 因为是等比数列，所以{}n a 的公比13q =. 2分 ()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-.()213n nan ∴=-…. 4分 由题设知{}()0n n b b >的首项11b c ==，其前n项和n S满足)12n n S S n --=…，由11n n S S --=⇒=1==.所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分n =，2n S n =.()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-. 故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…. 8分 （2）因为()211n b n n =-…，所以1111122121n b b b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭. 10分 111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 12分要使10052014n T >，则1005212014n n >+.所以1005125144n >=. 故满足条件的最小正整数n 是252. 14分考点：1.数列通项公式；2.数列列前n 项和公式. 20．已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈. （1）当a=l 时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈(e 是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）72a -…；（3）存在实数2a e =. 【解析】试题分析：（1）把1a =代入函数解析式得()2ln f x x x x =+-，且定义域为()0,+∞，利用导数法可求出函数的单调区间，由()()1211221x x f x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=，分别解不等式()0f x '…，()0f x '…，注意函数定义域，从而可求出函数()f x 的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数()f x 在[]1,2上是减函数，则其导函数()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立，又因为()0,x ∈+∞，所以函数()221h x x ax =+-，必有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……，从而解得实数a 的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈，则()11ax g x a x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x a =，通过对1a 是否在区间(]0,e 上进行分类讨论，可求得当10ea<<时，有()min 13g x g a ⎛⎫==⎪⎝⎭，满足条件，从而可求出实数a 的值.（1）当1a =时，()()2121121221x x x x f x x x x x⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭'=+-==. 2分因为函数()2ln f x x x x =+-的定义域为()0,+∞，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '…，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '….所以函数()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 4分（2）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立. 令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……， 6分得172a a -⎧⎪⎨-⎪⎩……，72a ∴-…. 8分（3）假设存在实数a ，使()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax g x a x x-'=-=. 9分 当0a …时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）； 10分 ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =，满足条件； 12分③当1e a…时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）. 13分综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时，()f x 有最小值3. 14分考点：1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.。