《导数》复习题二
高考数学二轮复习专题02：函数与导数
B . f(a)<f(b)
C . f(a)＝f(b)
D . f(a)f(b)>0
4. （2分） (2019高二上·浙江期中) 已知 ，且 ， ， 是函数 的两个相邻的零点，且 ，则 的值为（ ）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）= ， 则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A . 3a﹣1
B . 1﹣3a
C . 3﹣a﹣1
D . 1﹣3﹣a
6. （2分） 已知函数 的图像为曲线C，若曲线C存在与直线 垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·沈阳期中) 已知函数f（x）满足：当f（x）= ，则f（2+log23）=（ ）
29-2、答案：略
29-3、答案：略
29-4、答案：略
30-1、
高考数学二轮复习专题02：函数与导数
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共17题；共34分)
1. （2分） (2016高一上·厦门期中) 已知函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（ ）
A . 当a=0时，f（x）没有零点
B . 当a＜0时，f（x）有零点x0 ， 且x0∈（2，+∞）
A .
B .
C .
D .
17. （2分） （ ）
A . 0
B . π
C . －π
D . 2π
二、 填空题 (共7题；共8分)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
函数与导数期末复习题
3D f'(3)e B．e+e eD．06．已知函数f(x)=，则该函数的导函数f'(x)=8．若函数f(x)＝a sin x＋cos x在x＝处有最值，那么a等于()A.B．－ C.D．－9．函数y＝x－sin x，x∈⎣2，π⎦的最大值是()A．π－1 B.－1C．πD．π＋1则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸x2x2x28D．(函数与导数期末复习题一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定2．已知函数f(x)在x=1处存在导数，则lim∆x→0f(1+∆x)-f(1)3∆x=A．f'(1)B．3f'(1)C．1f'(1)3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(a，3)，则该曲线在该点处的切线方程为() A．y＝－4x－1B．y＝4x－1C．y＝4x－11D．y＝－4x＋7 4．已知f(x)=e-x+e x的导函数为f'(x)，则f'(1)=A．e-111C．1+5．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)x2+sin xx2x+cos x x2+x cos x-sin x2x+x cos x-sin xA．B．C．D．2x-cos x7．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为() A．1B．2C．3D．41π3333333366⎡π⎤π210.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个11．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在(a,b)上的导函数记为f''(x)，若在(a,b)上f''(x)<0恒成立，x4t3432函数”，则实数t的取值范围是A．[3,+∞)B．(3,+∞)C．[51,+∞)518,+∞)13．已知函数 y ＝f (x )的图象在点 M (1，f (1))处的切线方程是 y ＝ x ＋2，则 f (1)＋f ′(1)＝ 倾斜角均为 π，有以下命题：17．若函数 f (x )＝ x 3－ ax 2＋(a －1)x ＋1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函 18．已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在 x ＝－ 与 x ＝1 时都取得极值．12．已知点 P 为函数 f ( x ) =12x 2 + 2ax 与 g ( x ) = 3a 2 ln x + 2b (a > 0) 图象的公共点，若以P 为切点可作直线 l 与两曲线都相切，则实数 b 的最大值为2 3 A ． e 433 34 2 B ． e 4 C ． e 32 3 3 2 D ． e 34二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)1214．设函数 f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于 x ∈[－1，1]，都有 f (x )≥0，则实数 a 的值为15. f （x ）=ax 3﹣x 2+x +2， ，∀ x 1∈（0，1]，∀ x 2∈（0，1]，使得 f （x 1）≥g （x 2），则实数 a 的取值范围是．16．已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在 x ＝±1 处的切线的34①f (x )的解析式为 f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)1 1 3 2数，试求实数 a 的取值范围．23(1)求 a ，b 的值与函数 f (x )的单调区间；(2)若对 x ∈[－1,2]，不等式 f (x )<c 2 恒成立，求 c 的取值范围．19.一个圆柱形圆木的底面半径为 1 m ，长为 10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．如(2)求证：当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )的图象在 g (x )＝ x 3＋ x 2的下方．图所示，现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD ，其中 O 为圆心， C ， D 在半圆上，设 ∠BOC = θ ，木梁的体积为 V （单位：m 3），表面积为 S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ 的函数表达式；（2）求θ 的值，使体积V 最大，并判断此时表面积 S 是否也最大．20．已知函数 f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数 f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；2 13 221.设 a 为实数，函数 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .时，求函数 f ( x ) 在区间 [ , e] 上的最值；(1)求 f (x )的单调区间与极值； (2)求证：当 a >ln 2－1 且 x >0 时，e x >x 2－2ax ＋1.22．已知函数 f ( x ) = a ln x +a + 12x 2 + 1 ．（1）当 a = - 1 12 e（2）讨论 f ( x ) 的单调性；（3）当 -1 < a < 0 时， f ( x ) > 1 +a 2ln( -a ) 恒成立，求实数 a 的取值范围．参考答案，∴k ＝y ′|x ＝－1＝ (x ＋2)2 (x ＋2)2 (－1＋2)2 8．A [f ′(x )＝a cos x － sin x ，由题意 f ′⎝3⎭＝0，即 a · － × ＝0，∴a ＝ .] 9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以 y ＝x －sin x 在⎣2，π⎦上为增函数．∴当 x ＝π 时，y max ＝π.] (1－x )2 (1－x )2 (1－x )2 所以 g (x )在区间⎝0，2⎭上单调递增，在区间⎝2，1⎦上单调递减，因此 g (x )max ＝g ⎝2⎭＝4，从而 a ≥4；当 x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0 可转化为 a ≤ 2－f ( x 4 15. 解析 设 CD ＝x ，则点 C 坐标为⎝2，0⎭.点 B 坐标为⎝2，1－⎝2⎭2⎭，∴矩形 ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x · ⎣1－⎝2⎭2⎦＝－ ＋x (x ∈(0,2))．x 4由 f ′(x )＝－ x 2＋1＝0，得 x 1＝－ (舍)，x 2＝ ，∴x ∈⎝0， 2 ⎫3⎭ ⎛ 2 ，2⎫时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当 x ＝ 的，x ∈⎝ 3 ⎭ 3 时，f (x )取最大值 .16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得 f (0)＝0，f ′(－1)＝f ′(1)＝tan ＝－1.1．B [f ′ x A )和 f ′ x B )分别表示函数图象在点 A 、B 处的切线斜率，故 f ′ x A )<f ′ x B )．] 2．B [物体的初速度即为 t ＝0 时物体的瞬时速度，即函数 s (t )在 t ＝0 处的导数．s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]3．B [∵曲线过点( a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1，∴切点为(1,3)．由导数定义可得 y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为 k ＝4，∴切线方程为 y －3＝4(x －1)，即 y ＝4x －1.] 4．B5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令 3x 2＋a ≥0，则 a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′ 2 2 6．A [∵y ′＝ ＝ ＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即 y ＝2x ＋1.] 7．C1 ⎛π⎫ 1 1 3 3 323 2 3⎡π ⎤ 10．A [由图象看，在图象与 x 轴的交点处左侧 f ′ x )<0，右侧 f ′ x )>0 的点才满足题意，这 样的点只有一个 B 点．]x ′(1－x )－x (1－x )′ 1－x ＋x 111．C [∵f ′(x )＝ ＝ ＝ >0，又 x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量 g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息 h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为 y ，则 y ＝0.048kx －kx 2.于是 y ′＝0.048k －2kx ，令 y ′＝0，解得 x ＝0.024，依题意知 y 在 x ＝0.024 处取得最大值．故当存款利率为 0.024 时， 银行可获得最大收益．] 13．314．4 解析 若 x ＝0，则不论 a 取何值，f (x )≥0，显然成立；3 1 3 1 3(1－2x ) 当 x ∈(0,1]时， x )＝ax 3－3x ＋1≥0 可转化为 a ≥x 2－x 3，设 g (x )＝x 2－x 3，则 g ′(x )＝ ， ⎛ 1⎫ ⎛1 ⎤⎛1⎫ 3 x1 x 3，3 1 3(1－2x )设 g (x )＝x 2－x 3，则 g ′(x )＝ ，所以 g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此 g (x )min ＝g (－1)＝4，从而 a ≤4，综上所述，a ＝4.4 3 ⎛x ⎫ ⎛x ⎛x ⎫ ⎫ 9⎡ ⎛x ⎫ ⎤x 3 43 2 2 ⎛4 3 3时，f ′(x )>0，f (x )是递增2 43 93π4，x 2＝ ， 2 3 ( ，－22 3 2 3 3 33 ∴x ＝－ 是极大值点也是最大值点．x ＝ 是极小值点也是最小值点．∴a ≥ ＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ①∴a ≤ ＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ②⎛ 2⎫ 12－4a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0 得 a ＝－ ，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令 f ′(x )>0，得 x <－ 或 x >1，令 f ′(x )<0，得－ <x <1.所以函数 f (x )的递增区间是⎝－∞，－3⎭和(1，＋∞)，递减区间是⎝－3，1⎭. ⎛ 2⎫ 22＋c 为极大值， (2)f (x )＝x 3－ x2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当 x ＝－ 时，f ⎝－3⎭＝后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为 x 台，所以每年的保管费用为 x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为 ·1 600 元，这样每年的总费用为 ·1 600＋ x ·4 000·10%元．0 0⎧⎪c ＝0∴⎨3－2a ＋b ＝－1 ⎪⎩3＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．2 3 2 3由 f ′(x )＝3x 2－4＝0 得 x 1＝－ 3 3.根据 x 1，x 2 分析 f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.(－x( － 2 ，－ － 2 3 2 3） 33 3 2 3 2))2f ′(x )＋ － ＋16 3 － f (x ) 0 0916 3 92 3 2 33 3f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知 f ′(x )≤0 在(1,4)上恒成立，且 f ′(x )≥0 在(6，＋ ∞)上恒成立．由 f ′(x )≤0 得 x 2－ax ＋a －1≤0，即 x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，x 2－1x －1由 f ′(x )≥0 得 x 2－ax ＋a －1≥0，即 x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，x 2－1x －1∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验 a ＝5 或 a ＝7 都符合题意，∴所求 a 的取值范围为 5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由 f ′⎝－3⎭＝9 3122 23 3⎛ 2⎫ ⎛ 2 ⎫1 2 2 3 27而 f (2)＝2＋c ，则 f (2)＝2＋c 为最大值，要使 f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立， 则只需要 c 2>f (2)＝2＋c ，得 c <－1 或 c >2.19．解 设每次订购电脑的台数为 x ，则开始库存量为 x 台，经过一个周期的正常均匀销售12125 000x5 000 1x 2(－∞，x 1)(x 1，x 2) (x 2，＋∞)x 1x 2解得 a ≥ .综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为 a ≥ .即 a 的取值范围是⎣4，＋∞⎭.4 x ·1 600＋ 00 ln 2 22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋ .∵x >1 时，f ′(x )>0，(2)证明 令 F (x )＝f (x )－g (x )＝ x 2－ x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋ ＝ ＝ ＝ . ∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴F (x )<F (1)＝ － ＝－ <0.∴f (x )<g (x )．∴当 x ∈(1，＋∞)时，函数 f (x )的图象在 g (x )＝ x 3＋ x 2的下方．5 000 1 1 1令 y ＝ 2x ·4 000·10%，y ′＝－x 2·5 000·1 600＋2·4 000·10%.令 y ′＝0，解得 x ＝200(台)．也就是当 x ＝200 台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小 值为 80 000 元．20．解 (1)对函数 f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋21 －a x －2a ]e x .令 f ′(x )＝0，得[x 2＋21 －a x －2a ]e x ＝0，从而 x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得 x 1＝a －1－ 1＋a 2，x 2＝a －1＋ 1＋a 2，其中 x 1<x 2. 当 x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：xf ′(x )＋－＋f (x )极大值极小值当 f (x )在 x ＝x 1 处取得极大值，在 x ＝x 2 处取到极小值． 当 a ≥0 时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数．而当 x <0 时，f (x )＝x (x －2a )e x >0； 当 x ＝0 时，f (x )＝0，所以当 x ＝a －1＋ 1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当 a ≥0 时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是 x 2≥1，即 a －1＋ 1＋a 2≥1，343 ⎡3⎫ 21．(1)解 由 f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知 f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令 f ′(x )＝0，得 x ＝ln 2.于是当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2) (ln 2，＋∞)f ′(x )－ ＋f (x )2(1－ln 2＋a )故 f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在 x ＝ln 2 处取得极小值，极小值为 f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设 g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是 g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当 a >ln 2－1 时，g ′(x )取最小值为 g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意 x ∈R ，都有 g ′(x )>0，所以 g (x )在 R 内单调递增． 于是当 a >ln 2－1 时，对任意 x ∈(0，＋∞)，都有 g (x )>g (0)． 而 g (0)＝0，从而对任意 x ∈(0，＋∞)，都有 g (x )>0， 即 e x －x 2＋2ax －1>0，故 e x >x 2－2ax ＋1.1x ∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是 f (1)＝1，最大值是 f (e)＝1＋e 2.1 2 2 31 x 2－2x 3＋1 x 2－x 3－x 3＋1 (1－x )(2x 2＋x ＋1)x x x x1 2 1 2 3 62 13 2。
高考二轮复习 导数及其应用(2)
一、选择题【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】12.已知函数()(R)f x x ∈导函数f ′()x 满足f ′()x <()f x ，则当0a >时，()f a 与(0)a e f 之间的大小关系为（） A.()(0)a f a e f < B.()(0)a f a e f >C.()(0)a f a e f =D.不能确定，与()f x 或a 有关【答案】A【山东滨州2012届高三期中联考理12.函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（）A ．（-24,8）B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）【答案】D【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】11. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是 A.B.C.2D. 3【答案】C二、解答题【山东省聊城一中2012届高三上学期期中理】21．（本小题满分12分） 函数 （I ）当时，求函数的极值； （II ）设，若，求证：对任意，且，都有. 【答案】21.（本小题满分12分） 解：（1）当时，函数定义域为（）且)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、[-1,3]b a +3223R ,2)1ln()(2∈-++=b x x b x x f 23=b )(x f x x f x g 2)()(+=2≥b ),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)(2)()(2121x x x g x g -≥-23=b ,2)1ln(23)(2x x x x f -++=+∞-,1令，解得或…………………2分当变化时，的变化情况如下表：+_ 0 +增函数 极大值减函数极小值增函数所以当时，， 当时，；……………………6分 （2）因为，所以，因为，所以（当且仅当时等号成立）， 所以在区间上是增函数，……………………10分 从而对任意，当时，，即,所以. …………12分 【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】20．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】20．解：（I ）的定义域是．．．．．．．．．．．1分 02)1(232=-++x x 211-=x 212=x x )(),('x f x f x )21,1(--21-)21,21(-21),21(+∞)('x f )(x f 21-=x 2ln 2345)21()(-=-=f x f 极大值21=x 23ln 2343)21()(+-==f x f 极小值x x b x x f 2)1ln()(2-++=)1(122212)('2->+-+=-++=x x b x x b x x f 2≥b 0)('≥x f 0,2==x b )(x f ),1(+∞-),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)()(21x f x f ≥22112)(2)(x x g x x g -≥-)(2)()(2121x x x g x g -≥-14341ln )(-+-=xx x x f )(x f 42)(2-+-=bx x x g )2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥b 14341ln )(-+-=xx x x f (0,)+∞．．．．．．．．．．．．．．． 2分由及得；由及得， 故函数的单调递增区间是；单调递减区间是．．．．．4分 （II ）若对任意，，不等式恒成立， 问题等价于，．．．．．．．．．5分由（I ）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；．．．．．．．6分当时，；当时，；当时，；．．．．．．．．．．．．8分问题等价于或或．．．．．．．．11分解得或或 即，所以实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【山东省聊城市五校2012届高三上学期期末联考】20. （本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：880312800013+-=x x y )1200(≤<x .已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22243443411)(x x x x x x f --=--='0>x 0)(>'x f 31<<x 0>x 0)(<'x f 310><<x x 或)(x f )3,1(),3(,)1,0(∞+)2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥max min )()(x g x f ≥(0,2)1x =min 1()(1)2f x f ==-[]2()24,1,2g x x bx x =-+-∈1b <max ()(1)25g x g b ==-12b ≤≤2max ()()4g x g b b ==-2b >max ()(2)48g x g b ==-11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩1b <12b ≤≤b ∈∅b ≤b ,⎛-∞ ⎝⎦【答案】20. （I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，[来源:Z§xx§]要耗油(1128000×403－380×40+8)×2.5=17.5（升）.所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5.（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(1128000x 3－380x+8)·100x =11280x 2+800x －154(0＜x ≤120)，h '(x)=232640640800800640xx x x ⋅-=-(0＜x ≤120)，令h '(x)=0得x=80当x ∈(0,80)时，h '(x)＜0,h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h '(x)＞0,h(x)是增函数,∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】19.（本小题满分12分）32()f x x ax bx c =+++在1x =、2x =-处取得极值（1）求a 、b 的值. （2）若[]113,2,()2x f x c ∈->-恒成立，求c 的取值范围. 【答案】19.（1）f ′()x 2320x ax b =++=的两根为1,2-23132623aa b b ⎧-=-⎧⎪=⎪⎪∴∴⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩11722c c ∴-<-即2311c c c-->0c <<或c >. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】22.（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a R =---∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的最值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 【答案】22.解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈的定义域是(1,)+∞.当1a =时，f ′()x 32()122111x x x x x -=--=--，所以()f x 在3(1,)2为减函数， 在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.(2) f ′()x 22()22,11a x x a x a x x +-=--=-- 若0a ≤时，则22()221,()021a x x a f x x +-+≤=>-在(1,)+∞恒成立，所以()f x 的增区间为(1,)+∞. 若0a >，则212a +>，故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，f ′()x 22()201a x x x +-=≤-，[来源:学#科#网] 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，22()2()0,1a x x f x x +-=≥- 所以0a >时()f x 的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x 的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）1a ≥时，由（2）知()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln 242a a af a +=-+-， 令22()()1ln 242a a ag a f a +==-+-在[)1,+∞上单调递减， 所以max 3()(1)ln 24g a g ==+，则max 51()(ln 2)088g a -+=>， 因此存在实数(1)a a ≥使()f x 的最小值大于5ln 28+，故存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点.【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中理】22.（本小题满分12分）建造一条防洪堤，其断面为如图等腰梯形ABCD ，腰与底边所成角为60︒，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. (1) 求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少？(2) 如防洪堤的高限制在[3,32]范围内，外周长最小为多少米？【答案】22解：（1）由题意， 所以12(2BC+233h)h= 63, BC=63h -33h …………………4分设外围周长为，则 当，即时等号成立.……………………6分 所以外围的周长的最小值为米，此时堤高米. --------------8分（2）由（1），由导数或定义可证明在单调递增，…10分所以的最小值为米（当） -------------------1236)(21=+h BC AD h BC h BC AD 33260cot 20+=+=l 26363333660sin 220≥+=-+=+=h h h h h BC AB l hh 363=6=h 266=h )6(3hh l +=]24,3[∈h l 3533633=+⨯3=h分【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考理】21．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．【答案】21．解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+=设(,)C x y 则y =（1）1(22)2(2S x r r x =+⋅=+定义域为{}0x x r <<． （2）由（1）知2(S r x =+=设222g(x)=(r+x)(r -x )则22()(2)g (x)x r x r '=-+- 由0g (x)'=得2r x =当02r x <<0g (x)'>当2rx r <<0g (x)'< ∴当2r x =时g(x)取最大值,S 取最大值, 【山东济宁金乡一中2012届高三12月月考理】22、（本小题满分15分）设函数（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：()ln 1f x x px =-+()f x 0)(≤x f ).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n【答案】22、解：（1）， …………2分当上无极值点…………3分当p>0时，令的变化情况如下表：…………4分从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点…………5分（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，…………7分 要使恒成立，只需，…………8分∴∴p 的取值范围为[1，+∞…………10分 （Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，∴，…………11分∴…………12分 ∴ …………13分),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f x pxp x x f -=-='11)(),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p x x f x f p x x f 随、，)()(),,0(10)('+∞∈=∴='()f x p x 1=1x=p 11()lnf pp =()0f x £11()ln 0f p p = 1p ³)2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ，1ln 22-≤n n 22222111ln n n n nn -=-≤)11()311()211(ln 33ln 22ln 222222222n n n -++-+-≤+++ )13121()1(222n n +++--=…………14分…………15分∴结论成立【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】21．（本小题满分12分）已知函数，． （1）设（其中是的导函数），求的最大值； （2）证明: 当时，求证：； （3）设,当时,不等式恒成立,求的最大值． 【答案】21．解:（1）,所以． 当时，；当时，． 因此，在上单调递增，在上单调递减．因此，当时，取得最大值；（2）当时，． 由（1）知：当时，，即．因此，有． （3）不等式化为所以对任意恒成立．令，则， ))1(1431321()1(+++⨯+⨯--<n n n )11141313121()1(+-++-+---=n n n )1(212)1121()1(2+--=+---=n n n n n ()ln f x x =21()22g x x x =-/()(1)()h x f x g x =+-/()g x ()g x ()h x 0b a <<()(2)2b af a b f a a-+-<k Z ∈1x >/(1)()3()4k x xf x g x -<++k /()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+1x >-1()111xh x x x -'=-=++10x -<<()0h x '>0x >()0h x '<()h x (1,0)-(0,)+∞0x =()h x (0)2h =0b a <<102b aa--<<10x -<<()2h x <ln(1)x x +<()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭/(1)()3()4k x xf x g x -<++ln 21x x xk x +<+-ln 21x x xk x +<+-1x >()ln 21x x x g x x +=+-()()2ln 21x x g x x --'=-令，则， 所以函数在上单调递增．因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．所以． 故整数的最大值是．【莱州一中2012高三第三次质量检测理】22.（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数(),n n f x x n =∈ N *，其导函数记为()n f x '，且满足222121221()()[(1)]f x f x f ax a x x x -'+-=-，其中a 、1x 、2x 为常数，12x x ≠.设函数()g x = 123()()ln (),(f x mf x f x m +-∈R 且0)m ≠.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 无极值点，其导函数()g x '有零点，求m 的值； （Ⅲ）求函数()g x 在[0,]x a ∈的图象上任一点处的切线斜率k 的最大值. 【答案】22.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为222(),()2f x x f x x '==，所以222112212[(1)]x x ax a x x x -+-=-，整理得：12()(21)0,x x a --=又12x x ≠，所以12a =.…………………………………………3分 （Ⅱ）因为23123(),(),()f x x f x x f x x ===，所以2()3ln (0)g x mx x x x =+->.…………………………4分()ln 2h x x x =--()1x >()1110x h x x x-'=-=>()h x ()1,+∞()()31ln30,422ln 20h h =-<=->()0h x =()1,+∞0x ()03,4x ∈01()0x x h x <<<时，()0g x '<0()0x x h x >>时，()0g x '>()ln 21x x xg x x +=+-()01,x ()0,x +∞()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦k 5导数2 由条件23230,()21mx x x g x mx x x+-'>=-+=.……………………5分 因为()g x '有零点而()g x 无极值点,表明该零点左右()g x '同号，又0m ≠，所以二次方程2230mx x +-=有相同实根，即1240,m ∆=+= 解得124m =-.…………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，2133,()21,22a k g x mx k m x x ''===-+=+，因为1(0,]2x ∈，所以23x ∈[12，+∞]，所以①当60m -≤<或0m >时，0k '≥恒成立，所以()k g x '=在（0，12]上递增， 故当12x =时，k 取得最大值，且最大值为5m -，…………10分 ②当6m <-时，由0k '=得x =，而102<.若x ∈，则0k '>，k 单调递增；若1]2x ∈，则0k '<，k 单调递减.故当x =时，k 取得最大值，且最大值等于2311=-…………………13分综上，max5,(600)16)m m m k m --≤<>⎧⎪=⎨-<-⎪⎩或…………………………14分。
2020新课标Ⅱ年高考数学总复习专题03导数分项练习含解析理2
专题03 导数一．基础题组1. 【2014新课标，理8】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】因为'11y a x =-+，所以切线的斜率为12a -=，解得3a =，故选D 。
2.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A【考点】 函数的极值、函数的单调性【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 3. 【2005全国2，理22】(本小题满分12分) 已知0a ≥，函数2()(2)e x f x x ax =-．(Ⅰ) 当为何值时，()f x 取得最小值？证明你的结论； (Ⅱ) 设()f x 在[1,1]-上是单调函数，求的取值范围．【解析】：（I ）对函数()f x 求导数得xe a ax x x xf )222()(2--+=' 令,0)(='x f 得2x +2(1－)－2］x e =0从而2x +2(1－)－2=0 解得 11,112221++-=+--=a a x a a x 当变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表),(1x -∞1x),(21x x2x),(2+∞x)(x f '+ 0 － 0 + )(x f递增极大值递减极小值递增∴在=1处取得极大值，在=2处取得极小值。
当≥0时，1x <－1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数 而当0<x 时)(x f =0)2(>-xe a x x ，当x=0时，0)(=xf 所以当112++-=a a x 时，)(x f 取得最小值二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理10】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．A ． x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 【答案】：C【解析】：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．2. 【2012全国，理10】已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1 【答案】 A【解析】y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1) (x －1)． 当y ′＞0时，x ＜－1或x ＞1；当y′＜0时，－1＜x＜1.∴函数的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)．∴x＝－1时，取得极大值；x＝1时，取得极小值．要使函数图象与x轴恰有两个公共点，只需：f(－1)＝0或f(1)＝0，即(－1)3－3×(－1)＋c＝0或13－3×1＋c＝0，∴c＝－2或c＝2.3. 【2013课标全国Ⅱ，理21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′ (x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.4. 【2011新课标，理21】已知函数ln()1a x bf xx x=++，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．(ⅰ)设k ≤0.由222(1)(1)()k x x h x x +--'=知，当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得21()01h x x ⋅>-；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得21()01h x x >-.从而当x ＞0，且x ≠1时，ln ()()01x kf x x x-+>-， 即ln ()1x kf x x x>+-. (ⅱ)设0＜k ＜1.由于当x ∈(1，11k-)时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )＞0.而h (1)＝0，故当x ∈(1，11k -)时，h (x )＞0，可得21()01h x x <-，与题设矛盾． (ⅲ)设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得21()01h x x<-.与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为(－∞，0]． 5. 【2005全国3，理22】（本小题满分12分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.当变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：0 （0，21） 21 （21，1） 1 )(x f '－ 0 + )(x f 27-－4－3所以，当)2,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,2(∈x 时，)(x f 是增函数. 当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a 又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a6.【2016高考新课标2理数】若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = .【答案】1ln2-① ②【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三．拔高题组1. 【2014新课标，理12】设函数()3x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C【解析】由题意知：()f x 的极值为3，所以()203f x =⎡⎤⎣⎦，因为'00()30x f x mmππ==，所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即011||||22x k m =+≥，所以0||||2mx ≥，即 2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.2. 【2010全国2，理10】若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 【答案】：A3. 【2014全国2，理20】 已知函数()f x =2x x e e x ---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）【解析】（Ⅰ）因为'1()20x xf x e e =+-≥，当且仅当0x =时等号成立，所以函数()f x 在R 上是增函数；（Ⅱ）因为()g x =(2)4()f x bf x -=224()(84)xx x x ee b e e b x -----+-，所以'()g x =222[2()(42)]xx x x ee b e e b --+-++-=2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+.(1)当2b ≤时, '()0g x ≥,等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以对任意0x >，()0g x >；（2）当2b >时，若满足222x x e e b -<+<-，即20ln(12)x b b b <<--时，'()0g x <，而(0)0g =，因此当20ln(12)x b b b <≤--时，()0g x <， 综上，的最大值为2.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，32)222(21)ln 22g b b =-+-， 当2b =时，32)426ln 202g =->，823ln 20.692812>>； 当3214b =+时，2ln(122b b b --=，32)22(322)ln 22g =--0<，182ln 20.693428+<<，所以ln 2的近似值为0.693. 4. 【2012全国，理20】设函数f (x )＝ax ＋cos x ，x ∈0，π]． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )≤1＋sin x ，求a 的取值范围． 【解析】：(1)f ′(x )＝a －sin x .(2)由f (x )≤1＋sin x ，得f (π)≤1，a π－1≤1， 所以2πa ≤. 令g (x )＝sin x －2πx (0≤x ≤π2)， 则g ′(x )＝cos x －2π. 当x ∈(0，arccos2π)时，g ′(x )＞0， 当x ∈(arccos2π，π2)时，g ′(x )＜0. 又g (0)＝g (π2)＝0， 所以g (x )≥0，即2πx ≤sin x (0≤x ≤π2)． 当a ≤2π时，有f (x )≤2πx ＋cos x . ①当0≤x ≤π2时，2πx ≤sin x ，cos x ≤1， 所以f (x )≤1＋sin x ； ②当π2≤x ≤π时，f (x )≤2πx ＋cos x ＝1＋2π(x －π2)－sin(x －π2)≤1＋sin x .综上，a 的取值范围是(－∞，2π]． 5. 【2010全国2，理22】设函数f (x )＝1－e －x. (1)证明当x ＞－1时，f (x )≥1xx +； (2)设当x ≥0时，f (x )≤1xax +，求a 的取值范围．(2)由题设x ≥0，此时f (x )≥0. 当a ＜0时，若x ＞－1a ，则1x ax +＜0，f (x )≤1x ax +不成立； 当a ≥0时，令h (x )＝axf (x )＋f (x )－x ，则f (x )≤1xax +当且仅当h (x )≤0， h ′(x )＝af (x )＋axf ′(x )＋f ′(x )－1＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )． (ⅰ)当0≤a ≤12时，由(1)知x ≤(x ＋1)f (x )， h ′(x )≤af (x )－axf (x )＋a (x ＋1)f (x )－f (x )＝(2a －1)·f (x )≤0， h (x )在0，＋∞)上是减函数，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤1xax +. (ⅱ)当a ＞12时，由(ⅰ)知x ≥f (x )， h ′(x )＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )≥af (x )－axf (x )＋af (x )－f (x )＝(2a －1－ax )f (x )， 当0＜x ＜21a a -时，h ′(x )＞0，所以h (x )＞h (0)＝0，即f (x )＞1xax +，综上，a 的取值范围是0，12]． 6. 【2006全国2，理20】设函数f (x )=(x +1)ln(x +1),若对所有的x ≥0,都有f (x )≥ax 成立,求实数a 的取值范围.7. 【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-+∞U C ．(,1)(1,0)-∞--U D ．(0,1)(1,)+∞U 【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质． 8. 【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）[1,1]-．【解析】(Ⅰ)'()(1)2mx f x m e x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．【考点定位】导数的综合应用．9. 【2016高考新课标2理数】（I ）讨论函数()2e 2x x f x x -=+的单调性，并证明当>0时，(2)e 20x x x -++>；（II ）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2e =(0)x ax a g x x x -->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21e (,].24（II ）33(2)e (2)2()(()),x x a x x g x f x a x x-+++'==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0()0g x '=，【考点】函数的单调性、极值与最值【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．10. 【2017课标II ，理21】（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e()2f x --<<．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--． 设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-． 当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >， 所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增． 又()2e 0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点．由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-．由()00,1x ∈得()014f x <． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点，由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=．所以()220e 2f x --<<．【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。
导数定义复习题
导数定义复习题导数定义复习题导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇文章中，我们将通过一些复习题来回顾导数的定义和相关概念。
题目一：计算函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解答一：根据导数的定义，函数 f(x) 在 x = 2 处的导数可以表示为 f'(2) =lim(h→0) [(f(2+h) - f(2))/h]。
首先，我们计算 f(2+h) 和 f(2)：f(2+h) = 3(2+h)² - 2(2+h) + 1= 3(4+4h+h²) - 4 - 2h + 1= 12 + 12h + 3h² - 4 - 2h + 1= 3h² + 10h + 9f(2) = 3(2)² - 2(2) + 1= 12 - 4 + 1= 9将这些值代入导数的定义中，我们有：f'(2) = lim(h→0) [(3h² + 10h + 9 - 9)/h]= lim(h→0) [(3h² + 10h)/h]= lim(h→0) [3h + 10]= 10因此，函数f(x) = 3x² - 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 10。
题目二：计算函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数。
解答二：同样地，根据导数的定义，函数 g(x) 在 x = 4 处的导数可以表示为g'(4) = lim(h→0) [(g(4+h) - g(4))/h]。
首先，我们计算 g(4+h) 和 g(4)：g(4+h) = √(4+h)= √4 + √h= 2 + √hg(4) = √4= 2将这些值代入导数的定义中，我们有：g'(4) = lim(h→0) [(2 + √h - 2)/h]= lim(h→0) [√h/h]= lim(h→0) [1/√h]= ∞因此，函数g(x) = √x 在 x = 4 处的导数为无穷大。
导数复习导数大题练习(含详解答案)
1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。
〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
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导数复习题（二）
1、自变量0x 变到1x (1x >0x )时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.在区间[]
10,x x 上的平均变化率 B.在0x 处的变化率C.在1x 处的变化量 D.在区间[]
10,x x 上的导数
2、下列说法正确的是
(
)
A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处就没有切线
B ．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在
C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率不存在
D ．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线3、函数y ＝x 2
x ＋3的导数是
(
)
A.x 2＋6x (x ＋3)2
B.x 2＋6x x ＋3
C.－2x (x ＋3)2
D.3x 2＋6x (x ＋3)2
4、函数y ＝x 3cos x 的导数是(
)A ．3x 2cos x ＋x 3sin x
B ．3x 2cos x －x 3sin x
C ．3x 2cos x
D ．－x 3sin x
5、若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝(
)A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0
6、若函数f (x )＝1
2f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为
()
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
7、函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是
()
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
8、已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为()
A ．a ≥3
B ．a >3
C ．a ≤3
D ．a <3
9、函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是(
)
A ．有极大值，没有极小值
B ．有极小值，没有极大值
C ．既无极大值也无极小值
D ．既有极大值又有极小值
10、下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是(
)
A ．y ＝2－3x 2
B ．y ＝ln x
C ．y ＝
1
x －2
D ．y ＝sin x
11、若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.
12、若函数y ＝－4
33＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．
13、y ＝x 2e x 的单调递增区间是________．
14、设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝1
2
，则a ＝________，b ＝________.
15、(本题满分12分)若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．
16、(本题满分15分)求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x
x.
1＋x；(3)y＝lg x－e
17、(本题满分14分)求下列函数的单调区间：
.
(1)y＝x－ln x；(2)y＝1
2x
18、(本题满分12分)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
19、(本题满分13分)求f(x)＝2x
x2＋1－2的极值．
《导数及其应用》同步测试题答案
1、A。
2、C.
3、A.
4、B.
5、B
6、B.
7、D.
8、A.
9、D 10、C.11、3．12、(0，＋∞)13、(－∞，－2)，(0，＋∞)14、0，－115、解：Δx 的取值范围是(0，＋∞)．
………………12分
16、解：(1)y ′＝(3x 2)′+(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x+x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .
………………5分
(2)y ′＝
x'(1＋x )－x (1+x)'(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1
(1＋x )2
.
………………10分(3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝
1
x ln10
－e x .………………15分
17、解：(1)单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．……7分(2)单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．………………14分18、a ＝－3.………………12分19、解：函数的定义域为R.………………2分
f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)
(x 2＋1)2.
………………4分
令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )、f (x )变化状态如下表：
8分
所以当x ＝－1时，函数有极小值f (－1)＝
－2
2
－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值f(1)＝2
2
－2＝－1.………………13分。