淘数A 09-10-2期末复习提纲(最新,完整版)
2023-2024年上海沪教版高二第二学期期末数学--核心考点10计数原理(原卷版)
核心考点10计数原理目录一．古典概型及其概率计算公式（共10小题）二．分类加法计数原理（共3小题）三．分步乘法计数原理（共2小题）四．计数原理的应用（共4小题）五．排列及排列数公式（共5小题）六．组合及组合数公式（共10小题）七．排列、组合及简单计数问题（共10小题）八．二项式定理（共10小题）考点考向一．古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．【解题技巧】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．二．列举法计算基本事件数及事件发生的概率【知识点的知识】1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝．等可能条件下概率的特征：（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；（2）每一个结果出现的可能性相等．2、概率的计算方法：（1）列举法（列表或画树状图），（2）公式法；列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．列表法（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．树状图法（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．（2）运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．三．分类加法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+m n种不同的方法．3．特点：（1）完成一件事的n类方案相互独立；（2）同一类方案中的各种方法相对独立．（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；4．注意：与分步乘法计数原理区别【解题步骤】如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理．实现步骤：（1）分类；（2）对每一类方法进行计数；（3）用分类加法计数原理求和；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．四．分步乘法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；4．注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题步骤】如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．五．计数原理的应用【知识点的认识】1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+m n（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×m n2．两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法】1．计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．2．解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答．【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）六．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．七．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m 个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．八．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A 策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A 策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．九．二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁n i a n﹣i•b i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105．（精确到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．故答案为：360i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁n r；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．考点精讲一．古典概型及其概率计算公式（共10小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）小陈掷两次骰子出现6的概率为．2．（2023•上海模拟）上海电视台五星体育频道有一档四人扑克牌竞技节目“上海三打一”，在打法中有—种“三带二”的牌型，即点数相同的三张牌外加一对牌，（三张牌的点数必须和对牌的点数不同）．在一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到两张A，一张K，则接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型（AAAKK或KKKAA）的概率为．3．（2022秋•静安区期末）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是．4．（2022秋•杨浦区校级期末）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到如表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数16080260200740560好评率0.40.30.20.250.30.15（好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值）从这六类电影中随机选取一部电影，则估计这部电影没有获得好评的概率为．5．（2022秋•杨浦区校级期末）8个男生和4个女生排成一排，要求女生不排在两端，则4个女生排在一起的概率为．6．（2022秋•杨浦区校级期末）某高中已经从高一、高二、高三3个年级中各挑选出4男5女，现从这27人中选出一人评选区三好学生，则此人是男生或是高二年级学生的概率是．7．（2022秋•徐汇区校级期末）从{1，2，3，4，5}中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为．8．（2022秋•徐汇区校级期末）第届国际数学教育大会（ICME﹣14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为．9．（2023•浦东新区模拟）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是．10．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为．二．分类加法计数原理（共3小题）11．（2020•上海）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有种．12．（2023春•闵行区月考）小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有种．13．（2022•崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有种．（用数值表示）三．分步乘法计数原理（共2小题）14．（2020春•徐汇区校级期中）从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有种不同的走法．15．（2022春•长宁区校级期末）将3封不同的信投入4个不同的邮箱，则有种不同投法．四．计数原理的应用（共4小题）16．（2021春•浦东新区校级期末）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．17．（2021春•徐汇区校级期中）54的不同正约数有个．18．（2023春•闵行区月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有种．19．（2022春•青浦区校级期末）6个人排成一排，甲、乙两人相邻的排法有种．五．排列及排列数公式（共5小题）20．（2022春•浦东新区校级期末）＝．21．（2022秋•嘉定区校级期中）若，则x＝．22．（2022春•闵行区校级期末）求满足下列方程组的正整数的解：（1）；（2）．23．（2022•黄浦区模拟）已知m∈N*，用非负整数n1、n2表示m，m＝n1+，若A m为其表示方法的数组（n1，n2）的个数，则A m＝．24．（2022春•浦东新区校级期中）对于任意正整数n，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!＝n（n﹣2）（n﹣4）⋅⋅⋅6×4×2；对于n是奇数时，n!!＝n（n﹣2）（n﹣4）⋅⋅⋅5×3×1．现有如下四个命题：①（2021!!）•（2022!!）＝2022!；②2022!!＝21011•1011!；③2022!!的个位数是0；④2023!!的个位数是5．正确的命题序号为．六．组合及组合数公式（共10小题）25．（2022秋•宝山区校级期末）若，则x＝（）A．2B．5C．2或5D．726．（2022春•奉贤区校级月考）“n＝3”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件27．（2022•虹口区校级开学）关于排列组合的方程的解是．28．（2022春•松江区校级期末）若C＝C，则正整数x的值是．29．（2022春•浦东新区校级期中）已知，则m＝．30．（2023春•闵行区月考）解方程（1）；（2）．31．（2022春•青浦区校级期末）（1）解不等式；（2）已知，，成等差数列，求的值．32．（2022秋•徐汇区校级期末）若（n∈N*），则n＝．33．（2022春•浦东新区校级期中）若，则r＝．34．（2022秋•静安区校级期中），求正整数x的值．七．排列、组合及简单计数问题（共10小题）35．（2022秋•宝山区校级期末）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（）A．36B．64C．72D．8136．（2023春•闵行区月考）将4名新老师安排到A，B，C三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（）A．54B．36C．24D．1837．（2022秋•徐汇区校级期末）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（）A．24B．36C．60D．24038．（2023•浦东新区校级一模）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）A．A•A B．C•CC．A•A D．C•C39．（2022秋•宝山区校级期末）电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种．40．（2022秋•浦东新区校级期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有种．41．（2022秋•徐汇区校级期末）有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有种．42．（2022秋•虹口区校级期末）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）43．（2022秋•静安区期末）2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区．数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务．现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有种．（结果用数值表示）44．（2022秋•杨浦区校级期末）某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有种不同的站队方法．八．二项式定理（共10小题）45．（2022秋•徐汇区校级期末）2100被9除所得的余数为（）A．1B．3C．5D．746．（2022秋•静安区期末）在的二项展开式中，称为二项展开式的第r +1项，其中r ＝0，1，2，3，…，n ．下列关于的命题中，不正确的一项是（）A ．若n ＝8，则二项展开式中系数最大的项是B ．已知x ＞0，若n ＝9，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是C ．若n ＝10，则二项展开式中的常数项是D ．若n ＝27，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项47．（2022秋•杨浦区校级期末）已知（1+x ）n 的二项展开式中，第5项与第11项的系数相等，则所有项的系数之和为（）A ．216B ．215C ．214D ．21348．（2022秋•杨浦区校级期末）已知，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 7|＝（）A ．128B ．2187C ．78125D ．82354349．（2023•嘉定区模拟）已知a ＞0，（1+a ）12的二项展开式中的第9项是7920，则实数a 为．50．（2022秋•浦东新区校级期末）的展开式的常数项是（用数字作答）．51．（2022秋•虹口区校级期末）若，则a 1+a 3+a 5＝．52．（2022秋•宝山区校级期末）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为．53．（2022秋•杨浦区校级期末）450除以17的余数为．54．（2022秋•杨浦区校级期末）在的二项展开式中，系数最大的项为．巩固提升一、单选题1．（2023春·上海闵行·高二校联考阶段练习）已知122332020202020201C 2C 2C 2C 2a =+++++ ，则a 被10除所得的余数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）以下5个命题，其中正确的是（）①从1，2，3，L ，9九个数字中任取3个不同的数，组成三位数的个数为39C ；②4封信投入3个信箱，有43种投法；③从a ，b ，c ，d 四名学生中选两名去完成同一份工作，有24C 种选法；④5个人相互通电话一次，通电话的总次数为25C 次；⑤5个人相互写一封信，所有信的数量25C 封．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）在1、2、3、4、5的所有排列1a 、2a 、3a 、4a 、5a 中，满足条件12a a <，32a a <，34a a <，54a a <的排列个数是（）A ．10B ．12C ．14D ．164．（2023·上海·高三专题练习）若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=（）A ．244B ．243C ．242D ．241二、填空题5．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）圆上有10个不同的点，以其中任意3个点为顶点，可以组成______个不同的三角形．6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）在4(2)+x 的展开式中，含有2x 项的系数为__________.7．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）满足等式322P 28P n n =的正整数n 的值为______．8．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）二项式62x ⎛+ ⎝的展开式中，含2x 的项的系数为___．9．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考开学考试）有7人站一排，甲既不站在排头、也不站在排尾，有________种不同站法．10．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考开学考试）若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为52，则=a ________（用数字作答）11．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知三位数abc 满足：以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则有______个满足条件的三位数．12．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）在5(12)x +的二项展开式中，3x 项的系数是______（结果用数值表示）．13．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）8(1)x +的二项式展开中，系数最大的项为______．14．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）二项式512x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开中3x 的系数为___________.15．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）如图ABCDEF A B C D E F ''''''-为正六棱柱，若从该正六棱柱的6个侧面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是_________．16．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）上海电视台五星体育频道有一档四人扑克牌竞技节目“上海三打一”，在打法中有—种“三带二”即点数相同的三张牌外加一对牌，（三张牌的点数必须和对牌的点数不同）．在一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到两张A ，一张K ，则接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型（AAAKK 或KKKAA ）的概率为__________．17．（2023春·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）从7,5,2,1,1,2,5,7----中任取3个不同的数作为椭圆22ax by c +=的系数,,a b c ，则得到不同的椭圆的个数为__________．18．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知袋中有8n +（n 为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n 个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为n P ，则n P 的最大值为__________.三、解答题19．（2023春·上海闵行·高二校联考阶段练习）（1）已知n的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求n 的值；。
六年级数学上册第9课总复习必备知识点
六年级数学上册9 总复习必备知识点六年级数学上册的总复习阶段，学生需要掌握以下必备知识点：一、数与代数1. 分数运算分数乘法的意义和计算法则，包括分数乘整数和分数乘分数。
分数除法的意义和计算法则，理解除以一个数等于乘这个数的倒数。
分数混合运算的运算顺序，与整数混合运算的运算顺序相同，先乘除后加减，有括号先算括号里的。
分数乘法运算定律，包括乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。
2. 比和比例比的意义，两个数相除又叫做两个数的比。
比值的概念，比的前项除以后项所得的商叫做比值。
比例的基本性质，在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
比例的应用，如解决按比例分配问题等。
二、空间与几何1. 圆的认识圆的定义和特征，圆是平面上的一种曲线图形，圆心到圆上任意一点的距离都相等。
圆的周长和面积公式，周长公式为C=πd或C=2πr，面积公式为S=πr²。
圆的对称性质，圆是轴对称图形，任意经过圆心的直线都是它的对称轴。
2. 轴对称图形轴对称图形的定义和特征，一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合。
常见的轴对称图形，如等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆等。
三、统计与概率1. 统计图统计图的作用和种类，如条形统计图、折线统计图和扇形统计图等。
扇形统计图的特点和作用，能直观清楚的显示各部分占总体的百分比及部分与整体的关系。
2. 简单的统计活动数据的收集、整理、描述和分析的过程。
根据统计图表中的数据，提出并回答简单的问题。
四、解决实际问题1. 分数应用题的解题技巧找准单位“1”，理解题目中的数量关系。
利用分数乘除法解决实际问题，如求一个数的几分之几是多少，已知一个数的几分之几是多少求这个数等。
2. 几何应用题的解题技巧利用圆的周长和面积公式解决实际问题。
利用轴对称图形的性质解决实际问题。
五、其他注意事项1. 计算准确性在进行分数运算时，要注意约分和通分，确保计算结果的准确性。
在进行统计时，要确保数据的准确性和完整性。
(整理)秋《高等数学(2)》期末复习应考指南.
2010秋《高等数学（2）》期末复习应考指南（成专）第一部份 课程考核说明1．考核目的通过本次考试，了解学生对本课程的基本内容、重点和难点的掌握程度，以及运用本课程的基本知识、基本方法和基本理论分析和解决实际问题的能力。
同时还考察学生在平时的学习中是否注意了理解和记忆相结合，理解和运用相结合。
2．考核方式本课程期未考试为开卷笔试，考试时间为90分钟。
3．适用范围、教材本复习指导适用于成人教育专科电子信息技术、建筑工程技术和机械制造与自动化等专业的课程《高等数学(2)》。
本课程考试命题依据的教材采用由柳重堪主编,中央电大出版的《高等数学（下册）》和《高等数学（上册第二分册）》。
4．命题依据本课程的命题依据是《高等数学(2)》课程教学大纲、教材、实施意见。
5．考试要求本次考试主要考学生掌握基本概念、基本计算方法和应用能力。
在能力层次上，从了解、理解、掌握三个角度来要求。
了解要求学生对本课程相关知识有所了解，考试不作要求；理解要求学生对有关抽象概念和运算过程较复杂题目的方法理解；要求学生能对基本概念、基本计算方法技能及运用所学知识解决实际问题的技能的掌握。
6、考题类型及比重考题类型及分数比重大致为：填空题(24%)；单项选择题(24％)；计算题(32％)；积分应用题 (20％)。
第二部份 期末复习要求第7章 无穷级数（7，8，9节傅里叶级数部分）一、重点掌握周期为π2或定义在],[ππ-上的函数的傅里叶级数展开，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性。
二、一般掌握定义在],0[π上的函数展开成正弦级数或余弦级数，并会利用狄利克雷定理讨论它的收敛性。
第9章：空间解析几何与向量代数一、重点掌握1．平面的点法式方程，平面的一般方程，会求点到平面的距离；2．空间直线的标准方程，掌握参数方程和一般方程，会进行这三种方程间的互化．用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系（平行、垂直、重合等）；3．知道球面、椭球面，旋转抛物面，母线平行于坐标轴的柱面、以坐标轴为轴的圆锥面的方程及图形；知道空间曲线的参数方程。
部编版高中数学必修二第九章统计知识点归纳超级精简版
(名师选题)部编版高中数学必修二第九章统计知识点归纳超级精简版单选题1、某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团．已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x ：y ：z ＝5：3：2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35．为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取的人数为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．10 答案：B分析：先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解. 因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，所以“剪纸”社团的人数占总人数的25，人数为800×25=320．因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x+y+z =35+3+2=310， 所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310=96． 以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为96×50800=96×116=6．故选：B.2、某书店新进了一批书籍，下表是某月中连续6天的销售情况记录：本B ．1110本C ．1340本D ．1278本 答案：A分析：由表格中的数据可以看出每天的销售数量在一个数值附近波动，故用平均数估计总体即可.由表中6天的销售情况可得，一天的平均销售量为16(30+40+28+44+38+42)=37（本），该月共31天，故该月的销售总量约为37×31=1147（本）．故选: A3、已知样本，x1，x2，⋅⋅⋅，x n的平均数为x，样本y1，y2，⋅⋅⋅，y m的平均数为y（x≠y），若样本x1，x2，⋅⋅⋅，x n，y1，y2，⋅⋅⋅，y m的平均数z=ax+(1−a)y，其中0<a<12，则n，m的大小关系为（）A．n<m B．n>m C．n=m D．不能确定答案：A分析：利用平均数的定义求出z与x与y的关系式，和题干中的z=ax+(1−a)y对比，可得：nn+m =a，nn+m=1−a，结合0<a<12，最终求出结果由题意可得x=x1+x2+⋯+x nn ，y=y1+y2+⋯+y mm，z=x1+x2+⋯+x m+y1+y2+⋯+y mn+m=nn+m ⋅x1+x2+⋯+x nn+mn+m⋅y1+y2+⋯+y mm=nn+m⋅x+mn+m⋅y=ax+(1−a)y，所以nn+m=a，nn+m=1−a.又0<a<12，则1−a>a所以0<nn+m <12<mn+m，故n<m.故选：A4、如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为a,b,c，则（）A．b>a>c B．a>b>c C．a+c2>b D．b+c2>a答案：B解析：根据频率分布直方图读出众数a，计算中位数b，平均数c，再比较大小.由频率分布直方图可知：众数a=70+802=75；中位数应落在70-80区间内，则有：0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×(b−70)=0.5，解得：b=2203=7313；平均数c=0.01×10×40+502+0.015×10×50+602+0.015×10×60+702+0.03×10×70+802+0.025×10×80+902+0.005×10×90+1002=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71所以a>b>c故选：B小提示：从频率分布直方图可以估计出的几个数据：(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．5、某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）A．10B．09C．71D．20答案：B分析：按照题意依次读出前4个数即可.从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B6、某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（）A．20B．25C．40D．50答案：A分析：直接利用分层抽样，即可计算.因为学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，×180=20．所以应抽取博士生的人数为2001200+400+200故选：A7、总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81A．27B．26C．25D．19答案：D分析：根据随机数表法的步骤即可求得答案.由题意，取出的数有23,20,80（超出范围，故舍去），26,24,26（重复，故舍去），25,25（重复，故舍去），36（超出范围，故舍去），99（超出范围，故舍去），72（超出范围，故舍去），80（超出范围，故舍去），19.故选：D.8、某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数表法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于（）A．80B．160C．200D．280答案：C分析：每个个体被抽的可能性等于样本容量除以总体数，由此列出关于n的方程并求解出结果.由题意可知：n=0.2，解得n=200，400+320+280故选：C.多选题9、在一次演讲比赛中，以下表格数据是5位评委给甲､乙两名选手评出的成绩，则下列说法正确的是（）B．甲选手成绩的中位数小于乙选手成绩的中位数C．甲选手成绩的方差小于乙选手成绩的方差D．甲选手成绩的平均数小于乙选手成绩的平均数答案：ABD分析：对于A：根据极差的概念，直接求解；对于B：直接求出甲、乙成绩的中位数进行判断；对于C：直接求出甲、乙成绩的方差进行判断；对于D：直接求出甲、乙成绩的平均数进行判断.对于A：根据极差的概念，可知甲选手成绩的极差为9，乙选手成绩的极差为7.故A正确；对于B：易知甲成绩的中位数是90，乙成绩的中位数是91.故B正确；对于C：甲选手成绩的平均数为15(86+87+90+92+95)=90，方差为1 5[(86−90)2+(90−90)2+(95−90)2+(92−90)2+(87−90)2]=545乙选手成绩的平均数为(88+88+91+93+95)×15=91，方差为1 5[(88−91)2+(88−91)2+(91−91)2+(93−91)2+(95−91)2]=385.故C错误；对于D：由于甲选手成绩的平均数为90，乙选手成绩的为91.故D正确.故选：ABD.10、已知一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i=x i+c（i= 1,2,⋯,n），c为非零常数，则这两组样本数据的数字特征相同的是（）A．平均数B．方差C．众数D．极差答案：BD分析：根据数字特征公式分别计算并判断.对于A，原样本数据的平均数x̅=x1+x2+⋯+x nn ，新样本数据的平均数y̅=y1+y2+⋯+y nn=x1+x2+⋯+x nn+c（c≠0），所以A错误；对于B，原样本数据的方差s x2=1n ×[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x n−x̅)2]，新样本数据的方差为s y2=1n×{[(x1+c)−(x̅+c)]2+[(x2+c)−(x̅+c)]2+⋯+[(x n+c)−(x̅+c)]2}=1n×[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+ (x n−x̅)2]=s x2所以B正确；对于C，设样本数据x1，x2，…，x n的众数为M，则新样本数据y1，y2，…，y n的众数为M+c（c≠0），所以C错误；对于D，不妨设样本数据x1，x2，…，x n中x1，x n分别为最小值和最大值，极差为x n−x1，则新样本数据y1，y2，…，y n中y1，y n分别为最小值和最大值，极差为y n−y1=(x n+c)−(x1+c)=x n−x1，所以D正确；故选：BD.11、（多选题）下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数答案：BD解析：根据频数分布表中的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．解：对于A，甲同学的成绩的平均数种x̅甲≤15(105+120×2+130+140)=123，乙同学的成绩的平均数x̅乙≥15(105+115+125+135+145)=125，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于(30,40)之间，乙同学的成绩的极差介于(35,45)之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在115~120之间，乙同学的成绩的中位数在125~130之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确.故选:BD.小提示：本题考查了频数分布与应用问题，是基础题．填空题12、某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．答案：6分析：先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.因为“泥塑”社团的人数占总人数的35，故“剪纸”社团的人数占总人数的25，所以“剪纸”社团的人数为800×25=320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为yx+y+z =32+3+5=310，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310=96.由题意知，抽样比为50800=116，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116=6.故答案为:613、为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B 型血有600人，AB型血有400人．在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本，则应从O型血中抽取的人数为_____．答案：40分析：直接根据其所占比例求解即可.因为在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人，即O型血的人数占8002400=1 3，所以应从O型血中抽取的人数为120×13=40所以答案是：40。
部编版高中数学必修二第九章统计知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)部编版高中数学必修二第九章统计知识点归纳总结(精华版)单选题1、为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励.已知该校高三年级共有500名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.据此估计，能够获得该项奖励的高三学生的最低分数为（）A．89B．88C．87D．86答案：B分析：根据题意确定出前100名的频率，进而判断出第100名的区间，然后根据频率求出答案.由题意，100500=0.2，[90,95)的频率为：0.02×5=0.1，[85,90)的频率为：0.05×5=0.25，则0.1<0.2<0.25，则第100名在[85,90)中，设分数为x，[x,90)的频率为：0.2−0.1=0.1，所以90−x5=0.2−0.10.25=0.10.25=25⇒x=88.故选：B.2、2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误．．的是（）A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多答案：D分析：根据饼状图和条形图提供的数据判断．由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×(45%−30%)=30，A正确；=45<50，由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为200×45%×12B正确；成绩第1-50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2=18，因此高三最多有32人，C正确；第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D错误．故选：D．3、新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）A．第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平B．第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值C．若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元D．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元答案：D分析：利用扇形统计图和第三产业中各行业比重统计图的数据即可求解.对于A，57%×6%=3.42%<6%，错误；对于B，57%×13%=7.41%>6%，错误；×16%=4000（亿），错误；对于C，75003%×37%=166500亿元，正确.对于D，根据题意，第二产业生产总值为4104016%×57%故选：D.4、甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3．下列说法正确的个数为（）①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．A．0B．3C．2D．1答案：B分析：根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．故选：B小提示：本题主要考查平均数、方差在实际生活中的应用，属于基础题.5、某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：103km）．A类轮胎：94，96，99，99，105，107．B类轮胎：95，95，98，99，104，109．根据以上数据，下列说法正确的是（）A．A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B．A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C．A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D．A类轮胎的性能更加稳定答案：D分析：根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误．对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−6−4−1−1+5+76=100，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−5−5−2−1+4+96=100，选项C错误．对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为(94−100)2+(96−100)2+(99−100)2×2+(105−100)2+(107−100)26=643，B类轮胎行驶的最远里程的方差为(95−100)2×2+(98−100)2+(99−100)2+(104−100)2+(109−100)26=763>643，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确．故选：D.6、某购物广场开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对其中一日8时至22时的销售额进行统计，组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至l6时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为（）．A．60万元B．80万元C．100万元D．120万元答案：A分析：依据频率分布直方图的性质即可求得10时至12时的销售额.12时至l6时的频率为0.100×2+0.125×2=0.45，10时至12时的频率为0.150×2=0.3010时至12时的销售额0.300.45×90=60（万元）则故选：A7、某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x̅，s2，新平均分和新方差分别为x̅1，s12，若此同学的得分恰好为x̅，则（）A．x̅=x̅1，s2=s12B．x̅=x̅1，s2<s12C．x̅=x̅1，s2>s12D．x̅<x̅1，s2=s12答案：C分析：利用平均数和方差的公式即可求解.设这个班有n个同学，分数分别是a1，a2，a3，…，a n，第i个同学的成绩a i=x̅没录入，第一次计算时，总分是(n−1)x̅，方差s2=1n−1[(a1−x̅)2+(a2−x̅)2+⋅⋅⋅+(a i−1−x̅)2+(a i+1−x̅)2+⋅⋅⋅+(a n−x̅)2]；第二次计算时，x̅1=(n−1)x̅+x̅n=x̅，方差s12=1n [(a1−x̅)2+(a2−x̅)2+⋅⋅⋅+(a i−1−x̅)2+(a i−x̅)2+(a i+1−x̅)2+⋅⋅⋅+(a n−x̅)2]=n−1ns2，故s2>s12.故选：C.8、下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查答案：B分析：根据简单随机抽样的特点逐项判断可得答案.对于A，某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动，每个人被抽到的机会不相等，故错误；对于B，从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验，是简单随机抽样，故正确；对于C，从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本，由于被抽取的样本的总体个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故错误；对于D，饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查，不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，故错误.故选：B.多选题9、某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如下表：B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定答案：BD分析：按所给数据计算两人的极差，中位数，平均值，和方差．由题意甲的极差为34－9＝25，中位数是21，均值为22，方差为s2=75，同样乙的极差为35－10＝25，中位数是22，均值为22，方差为s乙2＝8913．比较知BD都正确，故答案为BD．小提示：本题考查样本的数据特征，掌握极差、中位数、均值、方差等概念是解题基础，本题属于基础题．10、为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）互不相等，且从小到大分别为x1,x2,⋅⋅⋅,x10，则下列说法正确的有（）A．x1,x2,⋅⋅⋅,x10的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B．x1,x2,⋅⋅⋅,x10的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C．x10−x1可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D．x1,x2,⋅⋅⋅,x10的中位数为x5答案：BC分析：根据平均数、标准差、极差、中位数的定义即可求解.解：标准差和极差都可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度，故BC正确.故A错误，中位数为x5+x62，故D错.故选：BC.11、在某文艺比赛中，由6名媒体代表组成的甲组、12名专家组成的乙组和12名观众代表组成的丙组分别给选手打分(100分制，选手得分为所有评委打分的平均分).已知甲组对某选手打分为;46,50,52,48,48,56,乙组、丙组对该选手打分的平均分分别为48和56,标准差分别为3.7和11.8，则（）A．该选手的得分为51.6B．甲组打分的中位数为50C．相对于丙组，乙组打分稳定性更高D．相对于丙组，乙组对该选手评价更高答案：AC分析：计算出甲组打分平均分，再根据选手得分为所有评委打分的平均分即可求得该选手的得分，即可判断A；将46,50,52,48,48,56,按照从小到大得顺序排列，求得中位数，即可判断B；根据乙组、丙组对该选手打分的标准差即可判断C；根据乙组、丙组对该选手打分的平均分即可判断D.解：甲组打分平均分为46+50+52+48+48+56=50,6=51.6,故A正确;∴x̅=6×50+12×48+12×566+12+12将46,50,52,48,48,56,按照从小到大得顺序排列得46,48,48,50,52,56，=49,B错误;所以甲组打分的中位数为48+502根据标准差知乙组评委打分的波动小，稳定性更高，故C正确;根据平均数知丙组对选手评价更高，D错误.故选：AC.填空题12、某班学号1−8的学生铅球测试成绩如下表：答案：7分析：利用百分位数的计算方法即可求解.将以上数据从小到大排列为5.2，6.9，7.1，7.9，8.0，8.1，8.4，9.1；=7.8×25%=2，则第25百分位数第2项和第3项的平均数，即为6.9+7.12所以答案是：7.13、某校为了解学生的课外阅读情况﹐随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，该调查中，得到的数据为______．（填“观测数据”或“实验数据”）答案：观测数据．分析：根据数据收集的方式，结合观测数据和实验数据的定义，即可求解.由题意，从课外阅读的学生中﹐随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，这个数据为观测数据.所以答案是：观测数据.。
2024(新插图)人教版六年级数学上册第9课时整理和复习[001]-课件
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3 分数除法
第9课时 整理和复习
优 翼
Байду номын сангаас
知识回顾
分数除法
倒 数
分 数 除
解 决
法
问
的
题
计
算
知识点1：倒数 什么是倒数？
乘积是1的两个数互为倒数
两个数 相互依存
一个数不能叫倒数
知识点1：倒数 怎样求一个数的倒数？
求一个数（0除外）的倒数，只要把这 个数的分子、分母交换位置。
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
➢ He who falls today may rise tomorrow.
孩春 子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
3 5
。张
解：设养了x只鸭。
（1－
3 5
）x
=
200
2 x = 200 5
x = 500
答：张大爷养了500只鸭。
(3)张大爷养的鹅和鸭共有700只，其中鹅的数 量是鸭的 2 。鹅和鸭各有多少只?
5 解：设鸭有x只。
x + 2 x = 700 5 7 x = 700 5
x = 500
700－500=200(只)
1 7 7 98
=1 7 8 97
=1 8 9
=1 9
四年级数学上册9.总复习必备知识点
四年级数学上册9.总复习必备知识点四年级数学上册的总复习必备知识点主要包括以下几个方面：一、大数的认识1. 数位与计数单位数位：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位等。
计数单位：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿等。
每相邻两个计数单位之间的进率是10，这种计数方法叫做十进制计数法。
2. 数的读写法从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级。
每级末尾不管有几个0都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个0。
写数时，从高位起，先写亿级，再写万级，最后写个级。
哪一个数位上一个单位也没有，就写0占位。
3. 数的大小比较位数多的数大。
位数相同时，从最高位比起，最高位大的数就大。
最高位相同时，再比较下一位，依次类推。
4. 数的改写与求近似数改写：整万的数，直接去掉末尾的4个0，在后面加上“万”字；整亿的数，直接去掉末尾的8个0，在后面加上“亿”字。
求近似数：用“四舍五入”法，看省略的尾数部分的最高位是小于5还是等于或大于5，来决定是“舍”还是“入”。
二、角的度量1. 线的认识直线：没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度。
射线：有一个端点，向一端无限延伸，不能量出长度。
线段：有两个端点，不能向两边无限延伸，能量出长度。
2. 角的认识从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。
角的分类：锐角（小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°而小于180°）、平角（等于180°）、周角（等于360°）。
3. 量角与画角量角：把量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数。
画角：画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，在量角器相对应刻度线的地方点一个点，然后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。
期末总复习(数逻)27页PPT
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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“冷饮”
四、 间断点及类型 左右极限是否相等
f ( x0 0) f ( x0 0) 跳跃间断点 第一类间断点： f ( x0 0)＝f ( x0 0) 可去间断点
第二类间断点：f ( x0 0) 和 f ( x0 0) 中至少有一个不存在
例
1 04-05 f ( x ) 的间断点及类型 1 x
x ln x “热饮” dx 六、积分（计算、求导、单调性、最值、证明） 0 (1 x 2 )2 （二） 反常积分 4 种基本类型及收敛的定义
b a
a
f ( x )dx ，
b
f ( x )dx
b a
； f ( x )dx （ a 瑕点） f ( x )dx （ b 瑕点）
例 04-05
a nT
a
f ( x )dx n f ( x ) dx n
T 0
2 4
T /2
T / 2
f ( x ) dx
0
x cos x cos x dx
2
05-06 x sin2 x sin4 x dx
0
06-07
0
x sin x dx
08-09
2
“冷饮”
一、 渐近线
“垂直”
例 03-04
“水平”
“斜渐近线”
（2 条）
ln x y 2x 4 的渐近线条数 x 1
1
2
x2 x 1 04-05 y e x arctan 的渐近线条数 （2 条） ( x 1)( x 2)
05-06
1 x3 的斜渐近线方程 y x 1 y 2 2 2(1 x )
但可积函数未必存在原函数
A 若 c, d a, b,则必有 f xdx f xdx .
d b c a
B
f x 在区间 a, b 上可积,则 f x 在区间 a, b 上可积.
C f x 在区间 a, b 上可积,则 f x 在 a, b 内必有原函数.
Ce x 用分离变量法求得通解 f ( x ) 1 x e x 0, f (0) 1 ,得 C 1, f ( x ) 1 x
yx ， 06-07 在任意点 x 处的增量 y 2 1 x x 0 时， 是 x 的高阶无穷小， y (0) ，求 y(1)
04-05 二(2)，05-06 一(8)，06-07 一(7，8) 04-05 六
( x 1) f ( x ) ( x 2) f ( x ) 0 ， f (0) 1, f (0) 1
1 1 1 1 ( x 1)2 f ( x) 4 x2 2 x x 1
1 u3
du
1 1 1 1 1 1 1 2 x x 1 x 2 x x 1
六、积分（计算、求导、单调性、最值、证明）
（一） 定积分
“热饮”
1 1 1 1 ln xd ln xd 2 1 2 0 2 1 x 2 1 x
1 ln x dx ln x dx 2 2 2 1 2 x (1 x 2 ) 2(1 x ) 0 0 2 x(1 x ) 2(1 x ) 1 1
其它的反常积分， 都化为上述 4 种类型的和差
原反常积分发散：只要右端有一个发散
用分部积分时能拆开成几项和的基本条件： x ln x 14(14)P209 dx 每一项的值都是有限数 0 (1 x 2 )2
原式
1
0
1 1 ln xd 2 1 x2
sec x 1 tan x
2 2
转化的方法： 变形出一些三角函数的平方，乘积
分子分母同乘以 sec2 x
3. 被积函数的表达式不易求
向着易求的表达式方向化
f ( x ) 的一个原函数为 (1 sin x )ln x ，求 xf ( x ) dx
结论：闭区间上的连续函数必存在原函数
f ( x) Βιβλιοθήκη x 为取整函数“冷饮”五、定义（连续、可导、定积分、原函数等）
分段函数 怎样求原函数；在分段点处怎样求导
f (3 h) f (3) 例 07-08 f (3) 2 ，求 lim （ 1 ） h 0 sin 2h
n n n 07-08 lim 2 2 2 n n 3 n 12 n 3n2
05-06 f ( x0 ) 0 是曲线 y f ( x ) 以 ( x0 , f ( x0 )) 为拐点的
非充分非必要条件
07-08 一(6) 08-09 一(3)
单调区间 用开区间表示即可
“冷饮”
（e 1）
x0
三、 求导求微分（隐、参、极、幂指函数、变限积分）
例 03-04
x y
n 1 n 3 3 1 n是偶数, n n 2 4 2 2 , “热饮” 2 2 n n 六、积分（计算、求导、单调性、最值、证明） 0 cos xdx 0 sin xdx n 1 n 3 4 2 （一） 定积分 1, n是奇数. n n2 5 3 熟记 2. 周期函数： f C ， f ( x T ) f ( x ), x
x
f ( x ) dx
2 04-05 x(1 x )(e e ” （ ） )dx 在定积分中，被积函数开“ ，必须加绝对值 1 e sin x dx 05-06 2 x cos x
定积分换元的同时必须换限； 1
06-07 一(6) 07-08 一(8) 08-09 二(2) 07-08 二(10)
(2) 求 f ( x )dx ．
08-09 x 4 x ( x 1) sin( x 1) 六、积分（计算、求导、单调性、最值、证明）dx 0
2 2 2 4
“热饮”
（一） 定积分
1. 积分区间具有某种对称性
例
a
a
f ( x )dx
2005 x
a
0
f ( x)
ds (dx )2 (dy )2
在这些原始的公式，积分下限应小于上限
六、积分（计算、求导、单调性、最值、证明）
（二） 不定积分
“热饮”
有理函数的积分 熟练掌握
等
1. 被积函数含有 arc, ln,
arctan x (1 x 2 )3/ 2 dx ，
arccos x x x
2
dx ， arccos 1 x dx
07-08 一(6) 08-09 一(4)
06-07 一(9)
二、 拐点、极值点、曲率
“冷饮”
拐点：曲线上的点，表示方法 ( x0 , f ( x0 ))
极值点：函数定义域内的点，表示方法 x x0 怎样找： step 1. 可能的 step 2. 用判别 Thm 判别
例
03-04 曲线 y xe x 的拐点
1 ( x 1)2 sin u 证： f ( x ) 2 du x 2 u 1 cos u ( x 1)2 1 ( x 1)2 cos u 2 du x2 2 2 x u u3 1 cos x 2 cos( x 1)2 1 ( x 1)2 cos u du x2 2 x x 1 4 u3
1
dy e dt x , 求 dx
t2
07-08 y x
sin
1 x
，求 dy
对应点处的切线方程
07-08 e 在
2
03-04 f ( x )
x2
0
t 4 dt 的单增区间为，单减区间为 2 t 2
07-08 一(5) 08-09 一(1)
06-07 一(3，4)
ex 1 e 2 x 4 dx
去 arc, ln, 方法：
1. 整体代换
2. 分部积分（向着对它们求导方向）
六、积分（计算、求导、单调性、最值、证明）
（二） 不定积分
化为有理函数的积分
“热饮”
2. 三角函数有理式
dx 2 cos x
sec x dx d (tan x )
2
0
sin4 x dx
07-08 一(8)
六、积分（计算、求导、单调性、最值、证明）
（一） 定积分
3. 分段函数（绝对值函数）
“热饮”
例
1 x 2 , x 0, 05-06 f ( x ) x e , x 0,
求 f ( x 2 )d x
3 1
08-09
4 0
03-04 y 3 y 2 y 2xe x 满足 y(0) 0, y(0) 0 的解
04-05 二(2)，05-06 一(8)，06-07 一(7，8)
04-05 六
七、 1 时, f 04-05 x常微分方程( x ) 可微, f ( x ) f ( x ) 0 f (t )dt 0 x 1 已知解，求微分方程；证明一些不等式； （二） 变形
“热饮” x 1
求函数表达式 f (0) 1 ,证: x 0 时,有 e x f ( x) 1 xF ( x ) 04-05 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数, f ( x ) ,求 f x 2 1 x 05-06 y1 e x 与 y2 e2 x 是 y ay by 0 解，求 a , b