2015十二区县一模 天津市十二区县重点学校2015届高三毕业班联考(一)数学(理)试题 Word版含答案题

2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足52(2(=++））i i z ,则z = .A i 23- .B i 23+ .C 23i - .D i 32+2.已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是56, 则输入的N 的值 可以等于 A. 4 B. 5 C. 6 D. 74.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形． 则该四棱锥的体积等于A.．． D．5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(1,2)--，则双曲线的焦距为A．6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *N ∈都有11,n n a a a n +=++则1a ++等于 A7.已知以下4个命题:①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题②若,023,2<--∈∀x x R x p ：则023,:2≥--∈∃⌝x x R x p ③设R b a ∈,，则b a >是b b a a )1(1->-）（成立的充分不必要条件④若关于实数x 的不等式x a x x <++-3121无解，则实数a 的取值范围是(]5,∞-. 其中,正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48．定义域为R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+2-，当(0.2]x ∈时，[]2(0,1)()11,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩，若(0,4]x ∈时，t x f t t -≤≤-3)(272恒成立，则实数t 的取值范围是A.[]2,1B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1 D.[)+∞,22015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)11. 已知ABC ∆中,1AB =，sin sin A B C +=，3sin 16ABC S C ∆=，则cos _____C =.12. 如图,ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠=，且2PD =，6BD =，则AC ＝______.13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲 线M cos()14πθ+=, 曲线N 的参数方程为244{x t y t==（t 为参数）. 若曲线M 与N 相交于,A B 两点，则线段AB 的长等于 .14. 已知O 为ABC ∆的外心，22,,120,AB a AC BAC a==∠=若AO xAB yAC =+，则36x y +的最小值为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了A 、B 、C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙独自参加B 组测试，丁、戊两人各自独立参加C 组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为23；丙通过B 组测试的概率为12；而C 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题. （Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记A 、B 两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 17．（本小题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：11//AB BDC 平面； （Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，直线l 是椭圆C 在点B 处的切线. 设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP 与直线l 的交点为D，且当||BD =时，AFD ∆是等腰三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设椭圆C 的长轴长等于4，当点P 运动时，试判 断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．19．（本小题满分14分）设数列}{n b ，}{n c ，已知31=b ，51=c ，241+=+n n c b ，241+=+n n b c （*N ∈n ）． （Ⅰ）设n n n a c b =-,求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（Ⅲ）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点为M ，()f x 在M 处的切线与直线10x y -+=平行.(Ⅰ)求函数()()T x xf x =的单调区间；(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值； (Ⅲ）令()()'()Fx gx g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号 12345678答案C D B AA CB A二、填空题: 每小题5分，共30分.9．100 ； 10．10-； 11．13； 12．6； 13．8； 14．6+三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； (Ⅱ) 求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()22cos 2f x x x =++ ……1分2cos23x x =++ …………2分2sin(2)36x π=++ …………4分∴()f x 的最小正周期22T ππ== ……………5分 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈ ……………7分 （Ⅱ）由[0,]2x π∈得72666x πππ≤+≤ ………9分故1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ………11分 所以2()5f x ≤≤ ………12分 因此,()f x 的最大为5, 最小值是2 ……13分解法二: ()f x 在区间[0,]6π上单调递增; 在区间[,]62ππ上单调递减………11分又(0)4,()5,()262f f f ππ===所以()f x 的最大为5, 最小值是2 ………13分16．（本小题满分13分）某银行招聘，设置了A 、B 、C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙独自参加B 组测试，丁、戊两人各自独立参加C 组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为23；丙通过B 组测试的概率为12；而C 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题. （Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记A 、B 两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望. 16.解：（Ⅰ）设参加C 组测试的每个人竞聘成功为A 事件，则()43144246+=C C C P A C 1+83==155 …………3分 故丁、戊都竞聘成功的概率等于3395525⨯= …………5分（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3， …………6分()21210(1)(1)2318P ξ==-⨯-=，()22112151(2)(1)(1)3323218P ξ==⨯⨯⨯-+-⨯=，()22112182(2)()(1)3323218P ξ==⨯⨯⨯+⨯-=，()22143()3218P ξ==⨯=， （每个结果各1分） …………10分故ξ的分布列为：…………11分所以158433()01231818181818E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=17．（本小题满分13分）如图，三棱柱1A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC 13AA =，D 为AC 的中点. （Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.17.（本小题满分13分）解法一: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系1C xyz -，………1分 则C 1（0，0，0），B （0，3，2），B 1（0，0，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0）， ………2分 设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-. …………4分又1(2,3,2)AB =--,所以12110AB m ⋅=-++=,即1AB m ⊥ ∵AB 1⊄面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………6分 （Ⅱ）易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………7分1112cos ,7n C Cn C C n C C==-⨯. …………8分∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. …………9分 （Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………11分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………12分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………13分解法二: （Ⅰ）证明：连接B 1C,与BC 1相交于O ，连接OD ．∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． …………1分 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1． …………2分 ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………4分 （Ⅱ）解1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，………5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-. …………6分易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………7分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯. …………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. …………9分 （Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………11分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………12分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………13分18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，直线l 是椭圆C 在点B 处的切线. 设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线AP 与直线l 的交点为D，且当||BD =时，AFD ∆是等腰三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设椭圆C 的长轴长等于4，当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题可知(,0)A a -、(),D a ， ………1分 由||||AF FD =，得，a c +=， ………2分化简得122c a c e a =∴==， ………3分 故椭圆C 的离心率是12………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）及椭圆C 的长轴长等于4得，椭圆C 的方程为22143x y +=，且()()0,2,0,2B A -, 在点B 处的切线方程为2=x . 以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ……5分 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠. 则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．…………………7分 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． …………………9分 因为点F 坐标为(1, 0)，（1）当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程 为1x =，点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切 (10)分（2）当12k ≠±时，直线PF 的斜率0204114PF y k k x k==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14k y x k =--,即214104k x y k---=． 故点E 到直线PF的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-===………12分 (算法二: 或直线PF 的方程为224401414k kx y k k --=--,故点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-…12分) 又因为k R BD 42== ，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……13分解法二: 由（Ⅰ）及椭圆C 的长轴长等于4得，椭圆C 的方程为22143x y +=，且()()0,2,0,2B A -, 在点B 处的切线方程为2=x . 以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ……5分证明如下: 设点(,)P x y ,则221(0)43x y y +=≠ (1)当1x =时,点点P 的坐标为3(1, )2±，直线PF 的方程为1x =， ……6分点D 的坐标为(2, 2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切…7分(2)当1x ≠时直线AP 的方程为(2)2yy x x =++, …8分点的坐标为4(2,)2y x +,BD 中点E 的坐标为2(2,)2y x +,故2||||2yBE x =+…9分直线PF 的斜率为1PF yk x =-,故直线PF 的方程为(1)1y y x x =--,即110x x y y---=,………10分所以点E 到直线PF 的距离212|21|22||||2)x y y x yd BE x y--⨯-+===+………12分故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………13分19．（本小题满分14分）设数列}{n b ，}{n c ，已知31=b ，51=c ，241+=+n n c b ，241+=+n n b c （*N ∈n ）． （Ⅰ）设n n n a c b =-,求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（Ⅲ）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p的取值范围．19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）所以22241+=+=+n n n c c b ，221+=+n n bc ， )(21)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++,即112n n a a +=-， ……………………2分又11120a c b =-=≠, 故数列{}n a 是首项为2，公比为21-的等比数列， 所以1122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭． …………………………………………………4分（Ⅱ）解：4)(2111++=+++n n n n c b c b ， 所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n nn n c b c b c b ，………………………………6分 而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即n n b a +恒为定值8． ……………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1212,8n n n n n b c c b ，所以1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，…9分所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--+=nnn n n S 2113242112114， ……………10分 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-⋅nn p n S p 21132)4(，由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤np ，因为0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，所以nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111， ………………11分当n 为奇数时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而增大，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<n， 当n 为偶数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而减小，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n， 所以，n ⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为34，n⎪⎭⎫⎝⎛--2113的最小值为2．……………13分 由nn p ⎪⎭⎫⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111，得23234≤≤p ，解得32≤≤p ． 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．……………………………………14分20．（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线与直线10x y -+=平行.(Ⅰ)求函数()()T x xf x =的单调区间；(Ⅱ)已知实数t∈R，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分14分）(Ⅰ)解:点(,0)M a ，'()2f x x a =- ，由题意可得()1f a '=，故1a =，……1分∴2(),f x x x =- ()32T x x x =-，()22323()3T x x x x x '=-=- ……………2分 令()0T x '>，得()T x 的增区间是2(,0),(,)3-∞+∞； ………………3分 令()0T x '<，得()T x 的减区间是2(0,)3； ……………4分 (Ⅱ)解法一：令()()u h x xg x t ==+，（[]1,x e ∈），则()(ln )ln 10h x x x t x ''=+=+>， …………………………5分∴()h x 在[]1,e 单调递增，故当[]1,x e ∈时，t u e t ≤≤+ ……………6分因为()(1)f x x x =-在(,0.5)-∞上单调递减，在(0.5,)+∞上单调递增，故可分以下种情形讨论（1）当0.5e t +≤即0.5t e ≤-时()f u 在[,]t e t +上单减，所以()f u 的最小值是2()()()f e t e t e t +=+-+ ………………7分（2）当0.5t e t <<+即0.50.5e t -<<时()f u 的最小值是(0.5)0.25f =-，…8分（3）当0.5t ≥时()f u 在[,]t e t +上单增，所以()f u 的最小值是2()f t t t =- ………9分解法二：2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…5分 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ ……………6分 22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=，抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………7分②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ………8分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………9分 （Ⅲ）1()()()ln ,F x g x g x x x'=+=+22111'()0x F x x x x -=-=≥1x ≥得所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………10分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0,注意到121x x << ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………11分 ∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<,2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. …………12分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………13分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ………………14分 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。