27.2(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1、与圆心角、弧、弦、弦心距相关的定理和推理：
在上例中，若∠DOC=∠AOB，则CD=AB，弧CD=弧AB，弦心距OE=弦心距OF；若CD=AB，则∠DOC=∠AOB，弧CD=弧AB，弦心距OE=弦心距OF；若弧CD=弧AB，则∠DOC=∠AOB，CD=AB，弦心距OE=弦心距OF；若弦心距OE=弦心距OF，则∠DOC=∠AOB，CD=AB，弧CD=弧AB.(特别的对于弦心距而言，要么指出“弦心距”三字，要么指出(OE⊥DC或OF⊥AB）.2、典型例题及常见辅助线的添线方法：
解法分析：本题主要利用的推论是同圆中，相等的弦心距所对的弦相等。
(1)(2)两问的添线方法一致，只是根据点在圆外、圆上、圆内分类讨论而已。
因此常见的辅助线的添线方法为作弦心距。
3、与四边形相关的综合练习：
解法分析：本题综合利用了同圆的半径相等、矩形的对角线相等且互相平分，X型基本图形、锐角三角比、三角形的内外角和知识，是一道比较综合的简单综合题。
解法分析：本题综合利用了全等三角形的判定和性质定理，勾股定理，平行四边形的性质定理。
第3问稍有难度，构造全等的直角三角形，利用垂直平分线性质定理解决问题。
解法分析：本题的第1问利用了子母三角形相似得到解析式；本题的第2问分类讨论，利用X型基本图形，列比例关系求解.
4、圆周角相关性质定理的补充：。
03 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系
三．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【知识要点】（1）圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆不仅是轴对称图形，而且还是 图形，圆独有的性质是 ． （2）概念：弦、弦心距弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直线。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
【典型例题】例1．（1）过已知⊙O 中一已知点P 的弦中，最短的弦是 ；最长的弦是 ．（2）已知⊙O 中，AB 是直径，长10cm ，点M 为⊙O 内的一点，OM=4cm ，则⊙O 中过点M 的弦中，最长的弦等于 ．（3）在⊙O 中，弦AB ∥弦CD ，且AB 、CD 的度数分别为︒120和︒60，⊙O 的半径为6cm ，则AB 与CD 之间的距离是 ．（4）如图1，⊙O 中，弦CD 与直径AB 交于E ，且∠AEC=︒30，AE=1cm ，BE=5cm ，则弦CD 的弦心距OF= cm ，弦CD 的长为 cm.（3）概念：弧，圆心角弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
例2．（1）如图2，在△ABC 中，︒=∠︒=∠25,90B BCA ，以C 为圆心，CA 为半径的圆交· A C FE ODB 图1· O 图4AB C图2CBDD A图3· OECAB 于D ，则AD 的度数是 ．（2）在⊙O 中，弦AB 与过B 点的半径夹角为︒55，那么弦AB 所对的优弧AMB 的度数为 。
（3）一条弦的弦心距等于它所在圆的直径的41，则这条弦所对的劣弧的度数是 。
（4）已知⊙O 中，AB=2CD ，则弦AB 2CD ．（填“〉”、“〈”或“=” ） （5）如图3所示，已知C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若AD 的度数为︒40，BE 的度数 。
（6）如图4，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于 。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
得出结论：在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等。
• 如图，AB、CD是⊙O的两条弦， • OE、OF为AB、CD的弦心距， – 如果AB＝CD，那么 ， ， ； – 如果OE＝OF，那么 ， ， ； – 如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ； – 如果∵∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
1°的弧
性质： 弧的度数和它所对 圆心角的度数相等.
n°的弧
1° n°
二、 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
O A
1°圆心角
B
1°弧
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
圆心角和它所对的弧的度数的关系
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°， 同时整个圆周也被分成了 360 份．则每一份这样的弧叫做 1°的弧．
这样： （1）1°的圆心角对着 1°的弧， （2）1°的弧对着 1°的圆心角. （3）n°的圆心角对着 n°的弧， （4）n°的弧对着 n°的圆心角.
并说明理由。
①
②
③
④
A O
C
B
弦心距：从圆心到弦的距离。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
11.如图，已知AB是⊙ 的弦，且AC=BD，半径OE、OF分别过C、D两点.求证： .
12.如图，已知⊙ 的半径OA、OB，C在 上， 于D， 于E， .
求证： .
13.如图，在⊙ 中，AB是直径， ，D是CO的中点，DE∥AB.求证： .
14.如图，已知AB是⊙ 的直径，M、N分别是AO、BO的中点， 于M， 于N.
图5
图3图4
【家庭作业】
一、选择题
1.下列说法： 直径是弦； 弦是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 长度相等的两条弧是等弧.其中正确的命题有（）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.下列说法正确的是（）
A.弦是直径B.半圆是弧
C.过圆心的线段是直径D.圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆
3.在⊙ 中，圆心角 是圆心角 的两倍，则下列式子中能成立的是（）
A. B. C. D.
4.在⊙ 中，圆心角 ，点O到弦AB的距离为4，则⊙ 的直径长为（）
A. B. C. 24 D. 16
二、填空题
5.（1）圆上任意两点之间的部分叫做________；（2）连结圆上任意两点的线段叫做_________；过圆心的弦就是__________；（3）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做_____________；
【圆中相关圆心角的求解】
例4、如图所示，在 中，∠A= ，⊙O截 的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC．
例5、如图，在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC= ，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E．
求证： 是等边三角形．
【巩固练习】
1．如图，在⊙O中，AB的度数是 ，∠OBC= ，那么∠OAC等于（）
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
C
3、如图，⊙O中弦AB， CD相交于P，且AB=CD.
求证：PB=PD
P
O
A D
B
思考题：
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON 分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD， 那么OM和ON有什么关系？为什么？ 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系
1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；
AOB COD AB=CD ，_____________ ． AB = CD ，那么____________ AB=CD AB = CD ，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ．
（2）如果
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE﹦OF
┌ O
M
A
顶点在圆心的角称为圆心角，把以点Ａ和点 B的端点的弧AB称为圆心角∠ＡＯＢ所对的 弧，把象ＯＭ这样的以圆心Ｏ到弦ＡＢ的距 离称为弦ＡＢ的弦的弦心距．
(
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
O
①
O ②
O
O
③
④
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在等圆中
B O A
两位同学先作一个度数相同的圆心角！
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB 与 A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)数学教案
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）数学教案标题：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）
一、教学目标
1. 理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的基本关系。
2. 能够运用这些关系解决实际问题。
3. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点
重点：理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的基本关系。
难点：运用这些关系解决实际问题。
三、教学过程
1. 导入新课
通过回顾上节课的内容，引导学生复习圆心角、弧、弦的概念，然后引出本节课的主题——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
2. 新课讲解
(1) 定义解释：首先对圆心角、弧、弦、弦心距的概念进行再次解释和强调。
(2) 关系阐述：详细阐述这四个元素之间的关系，例如“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
”等等。
(3) 举例说明：给出一些具体的例子，帮助学生理解和记忆这些关系。
3. 练习巩固
设计一些练习题，让学生运用所学的知识去解答，从而加深对知识的理解和记忆。
4. 总结提升
总结本节课的主要内容，并引导学生思考如何将这些知识应用到实际生活中去。
四、作业布置
布置一些相关的习题，以检验学生的学习效果。
27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
第27章圆与正多边形第一节圆的基本性质§27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标(1)理解圆心角、弧、弦、弦心距等概念，知道圆是一个旋转对称图形，理解圆的旋转不变性.(2)经历利用圆的旋转不变性探索同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的过程，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能运用这一定理及其推论解决有关数学问题.教学重点引进圆心角、弧、弦、弦心距等概念，导出同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，并能进行简单的运用，解决有关数学问题.知识点梳理1.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径.以圆心为顶点的角叫做圆心角.(没有特别说明时，本章中的圆心角通常是指大于00且小于0180的角)2.圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.3.圆心到弦的距离叫做弦心距.4.在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度(大于00且小于0360)，都能与原来图形重合.所以，圆是以圆心为旋转对称中心的旋转对称图形，旋转角可为大于00且小于0360的任何一个角.5.能够重合的两条弧称为等弧.半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相等的两个圆称为等圆.(等圆可看作同一个圆移动到不同的位置时的图形)6.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.7.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧或优弧、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.8.圆被等分成360份，得到的每一份弧叫做01的弧.圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.经典题型解析(一)圆的基本概念例1.车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征( )A.同弧所对的圆心角相等B.直径是圆中最大的弦C.圆上各点到圆心的距离相等D.圆是中心对称图形随堂练习：下列说法中，正确的是( )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2.下列说法中，错误的是( )A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随堂练习：下列语句中，正确的有( )A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.长度相等的两条弧相等D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴例3.如图，在O中，如果AB CD、是直径，那么图中相等的弧有哪些?为什么?随堂练习：如图，已知在O中，AB CD、.⊥，垂足分别是点E F、分别是弦，OE AB⊥，OF CD请添加一个条件，使得OE OF=.(二)定理与推论例4.已知：如图，O的弦AB与CD相交于点P，OM AB、，⊥，ON DC⊥，垂足分别是点M N 且AD BC=.求证：OM ON=.随堂练习：如图，AB CECD AB.、是O的直径，CD是圆O的弦，//求证：EB AC BD==.例5.已知：如图，AB CD、.、是O的直径，弦//AE CD，联结CE BC求证：BC CE=.随堂练习：已知：如图，AD BC=分别表示弦AB和CD的弦心、是O的弦，AD BC=，OM ON距.求证：OM ON=.例6.已知：如图，AB CD=.、是O的弦，且AB CD求证：ACB DBC∆≅∆.随堂练习：已知：如图，AB是O的直径，AC和AD是分别位于AB两侧的两条相等的弦.求证：AB平分CAD∠.例7.如图，O是ABC∆的形状，并说明∠=∠，探索ABC∠，AOB BOC∆的外接圆，AO平分BAC理由. 等边三角形例8.已知：如图，AB是O的直径，M N⊥.⊥，DN AB、的中点，CM AB、分别是AO BO求证：AC BD=.例9.已知：如图，在O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB的中点，AB OC、相交于P.求证：四边形OACB为菱形.例10.已知：如图，AD的度数是090，B C、将AD三等分，弦AD与半径OB OC、.、相交于E F 求证：AE BC FD==.巩固提升一、填空题1.下列说法正确的是_________(填序号)①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦.2.圆是中心对称图形，它的对称中心有_________个.3.如图，AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，025OEF ∠=，则EOF ∠=__________.(第3题) (第4题) (第5题)4.如图，在ABC ∆中，070A ∠=，圆O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等，则BOC ∠=_________.5.如图，半圆O 中，直径2AB =，作弦//DC AB ，设AD x =，四边形ABCD 的周长为y ，则y 与x 的函数关系式为_________，自变量x 的取值范围是_________.6.已知等边ABC ∆的三个顶点在半径为r 的圆上，则ABC ∆的周长为_________.7.已知点(1,0)(4,0)A B 、，P 是经过A B 、两点的一个动圆，当P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3时，则圆心P 的坐标是_________.二、选择题8.下列命题中正确的是( )A .三点确定一个圆B .在同圆中，同弧所对的圆周角相等C .平分弦的直线垂直于弦D .相等的圆心角所对的弧相等9.下列命题，①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成的两条弧中，至少有一条是优弧。
圆心角弧弦弦心距之间的关系(供参考)
27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）上海市奉贤区泰日学校张忠华一、教学内容分析：本课是圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的第3课时，主要内容是对圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的灵活运用.二、教学目标1.灵活运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决相关的几何证明与计算.2.通过例题的学习，进一步发展逻辑推理能力.三、教学重点与难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的灵活运用.四、教学用具准备课件、多媒体投影仪五、教学流程六、教学过程设计(一) 温故知新回顾定理与推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.（二）应用举例例4 如图（1）已知：点F为圆O内一点，过点F作圆O的两条图（1）图（2）F 图（3）F 弦AB 、CD ，且∠AFO ＝∠DFO求证：（1）AB ＝CD （2）变式1：将例4中条件结论互换，命题是否为真？即已知点F 为圆O 内一点，过点F 作⊙O 的两条弦AB 、CD ，AB ＝CD 求证：∠AFO=∠DFO （学生探索发现）变式2：若点F 为⊙O 上一点，过F 作⊙O 的弦FA 、FD 如图（2） 若∠AFO ＝∠DFO,求证：AF ＝DF （学生探索发现）变式3：如图（3）若点F 为⊙O 外一点，过F 作两条射线分别交⊙O 于点A 、B 、C 、D ，若∠AFO ＝∠DFO ，求证：AB ＝CD （学生探索发现）AC=BD例5 已知，如图（4）：⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC 的外角∠DAC，O M⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM ＝ON求证：（1）A E∥BC (2)AO⊥AE图（4）（三）反馈练习1、课本P11页，练习27.2（3）2、将例5条件、结论互换，变式1：把条件OM＝ON与结论AE∥BC互换，命题是否为真？说明理由.3、变式2：把条件OM＝ON与结论AO⊥AE互换，命题是否为真？说明理由.图（5）图（5）（四）归纳小结1.谈谈本堂课的收获2.谈谈本堂课的疑惑（五）布置作业必做题：练习册27.2（3）选做题：如图（6）：已知半圆O中，直径AB＝2，作弦DC∥AB，设AD＝x，四边形ABCD的周长为y，求：y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围B图（6）设计说明本节课主要内容是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的应用，对课本例题做了适当的变式，以问题为主线，探中有究，究中有探，通过例4的变式训练，引导学生灵活创新地运用定理、推论解决问题，根据学生已有的知识基础，设计出具有一定探索价值的问题链，进而让学生去发现、去创造，从而充分调动学生的思维，有效地提高课堂的效率，使整个课堂焕发出思维的活力.。
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变式2：
若点F为⊙O上一点，过F作⊙O的弦FA、FD 如图（2） 若∠AFO＝∠DFO,求证：AF＝DF（学生探 A 索发现）
O F
D 图（2）
变式3：
如图（3）若点F为⊙O外一点，过F作两条 射线分别交⊙O于点A、B、C、D，若 ∠AFO＝∠DFO，求证：AB＝CD（学生探 索发现）
巩固反馈
1、例题精讲 例1 如图（3），在⊙O中，弦 AB、CD相交于E， OM、 ON分别是弦AB、CD的弦心距 AC=BD （1）如果OM＝ON，求证： （2）如果 AC=BD ， 求证：EO平分∠AED
C E M A O N D B
图（3）
巩固反馈
例2 如图，在⊙O中， 相交于点E 求证(1)∆ABD ≌ ∆CDB ∠AEC ，AD、BC
B O C
A E
D
图（5）
课堂小结
1．会叙述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关 系 2．你觉得定理和推论在运用过程中需注意些 什么？
27.2(3)圆心角、弧、弦、弦心 距之间的关系
(一) 温故知新
回顾定理与推论：同圆或等圆中，如果两 个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦， 两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量 相等，那么它们所对应的其余三组量也分 别相等.
27.2(2)圆心角、弧、弦、弦心距 之间的关系
上海市干巷学校
A
E B
探究
O
问题：如图（1），在⊙O中，AB、CD是两 D F 条弦，OE、OF分别是AB、CD的弦心距 C 图（1 ） （1）如果∠AOB＝∠COD，可得到哪些结 论？ 定理推论：在同圆或等 （2）如果 AB=CD ，能否得到 圆中如果两个圆心角， ∠AOB＝∠COD？ 两条劣弧（或优弧）， （3）如果AB＝CD，能否得到 两条弦，两条弦的弦心 ∠AOB＝∠COD？ 距得到的四组量中有一 （4）如果OE＝OF，能否得到 组量相等，那么它们所 对应的其余三组量也分 ∠AOB＝∠COD？
(2) OE平分
例题变式1
如图（4），已知圆O中，过圆内一点E作圆O 的两条弦AB和CD，AE＝DE，求证：AC=BD
C E A O D B
图（4）
例题变式2
如图（ 5 ），已知圆 O 外一点 E ，过 E 作二条射 线分别交圆 O 于 A 、 B 、 C 、 D 四点， 若 AE ＝DE，求证： AB=DC
别相等.
A
获得新知
O
E B
1、定理推论：在同圆或等圆中如果 两个圆心角，两条劣弧（或优弧）， D 两条弦，两条弦的弦心距得到的四组 F C 图（2 ） 量中有一组量相等，那么它们所对应 的其余三组量也分别相等. 2．用几何语言熟练描述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系. 如图（2）：⊙O中，OE、OF分别是弦AB、CD的弦心距 （1）如果∠AOB＝∠COD，那么_________________ （2）如果AB＝CD，那么____________________ （3）如果 AB=CD ，那么____________________ （4）如果OE＝OF，那么____________________
D A E
M O B 图（5）
N
C
（四）归纳小结
1.谈谈本堂课的收获 2.谈谈本堂课的疑惑
A B O C D 图（3） F
例5
已知，如图（4）：⊙O是△ABC的外接圆， AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB， ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ ON求证：（1）AE∥BC (2)AO⊥AE
D A E
M O B 图（4）
N
C
（三）反馈练习
1、 课本P11页，练习27.2（3） 2、将例5条件、结论互换，变式1： 把条件OM＝ON与结论AE∥BC 互换，命题是否为真？说明理 由. 3、 变式2：把条件OM＝ON与结 论AO⊥AE互换，命题是否为真？ 说明理由.图（5）
例题讲解
如图（1）已知：点F为圆O内一点，过点F作 圆O的两条弦AB、CD，且∠AFO＝∠DFO 求证：（1）AB＝CD （2） AC=BD
A
C O F B D 图（1）
Hale Waihona Puke 变式1： 将上个例题中条件结论互换，命题是否为 真？即已知点F为圆O内一点，过点F作⊙O 的两条弦AB、CD，AB＝CD求证： ∠AFO=∠DFO（学生探索发现）