圆心角弧弦弦心距之间的关系
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学圆的定理
九年级上册数学中有关圆的定理有很多，以下是其中一部分：
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平
分弦所对的两条弧。
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，相等
的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同
圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的'
弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等。
3.过三点的圆：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
三角形的
外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
以上信息仅供参考，建议查阅九年级上册数学教材或相关辅导资料，获取更全面和准确的信息。
垂径定理
垂径定理1.弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5）平行弦夹的弧相等。
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）A 3cmB 2.5cmC 2cmD 1cm2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是( )A 、1.5B 、2C 、2.5D 、33、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O 过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC∆的内部，090,1,6BAC OA BC ∠===，则圆O 的半径为（ ） Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213AOB C第3题图 4、（2011年浙江杭州六模）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π-8 B . 8π-16 C.16π-16 D. 16π-325.（2011年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB =120m ，C 是AB 弧上一点，OC ⊥AB 于D ，CD =20m ，则该弯路的半径为________米6. （2011浙江慈吉 模拟）如图，△ABC 内接于⊙O , ∠B=42°, 则∠OCA=__________.7．（2011年杭州市西湖区）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的宽口AB 是 mm ．8.（2011年北京中考）一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ）9.（2011年北京四中中考模拟19）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点；C A B OC A BO 第4题O C B A 第6题图 B A 8mm 第7题D C B A O 第5题图（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；10.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．AB与CD间距离为。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心 弧 弦 弦心距之间的关系1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个不能比较变量的概念。
相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。
当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。
（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。
注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。
7. 辅助线方法小结：（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。
（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。
（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：∴AB＝CD弦AB、DC若PO平分∠APC弦AB、CD交于P点（PO平分∠APC=⎩OP OP ∴≅∆∆P O M P O N AAS ()∴=PM PN AM AB CN CD AB CD ===1212，， ∴=AM CN（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）1. 弧在前文中我们已经介绍了圆心角和弧之间的关系。
在这篇文章中，我们将进一步探讨弦和弦心距与圆心角、弧之间的关系。
首先，我们先来了解一下什么是弧。
在一个圆上，两个点之间的曲线部分叫做弧。
弧的长度可以通过圆心角来计算，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。
假设圆的半径为r，圆心角为θ，那么弧长L可以表示为：L = r * θ2. 弦接下来，我们来介绍一下弦。
弦是连接圆上的两个点的线段。
弦的长度可以通过圆心角来计算，通过以下公式计算：S = 2 * r * sin(θ/2)其中S表示弦的长度。
3. 弦心距弦心距是指从圆的中心点到弦的距离。
弦心距可以通过以下公式计算：D = 2 * r * cos(θ/2)其中D表示弦心距。
4. 圆心角与弦、弦心距的关系圆心角与弦和弦心距之间有一定的关系。
当圆心角的大小固定时，弦和弦心距的大小也是固定的。
具体可以通过以下公式进行计算：•弦长S与圆心角θ之间的关系：S = 2 * r * sin(θ/2)•弦心距D与圆心角θ之间的关系：D = 2 * r * cos(θ/2)可以看出，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距都与半径r成正比。
也就是说，如果增加半径r的大小，弦长和弦心距也会增加；减小半径r的大小，弦长和弦心距也会减小。
另外，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距之间也有一定的关系。
根据三角函数的性质，可以得到以下关系：S^2 + D^2 = (2r)^2该关系也被称为勾股定理。
5. 总结综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一定的关系。
圆心角决定了弧的长度，可以通过半径和圆心角的关系进行计算；弦的长度和弦心距都与圆心角成正比，可以通过圆心角和半径的关系进行计算。
另外，弦和弦心距之间也满足勾股定理。
通过理解和掌握这些关系，我们可以在解决相关问题时更加灵活和准确。
实际应用中，这些关系经常用于计算圆中的各个要素，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。
圆心角、弧、弦关系定理
上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
求证：AB=CD
B
A P
C
O
M
D B
（1）
变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与
A
A、B、C、D，AB=CD
P
O
求证：点O在∠BPD的平分线上
C
D
（2）
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB
A
P
O
(3) B
变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中 还存在相等的弦吗？
（2）如果 AB CD，那么____________，_____________
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，__
_____________ _______．
（4）如果OE=OF，那么_____________ ，_____________ ，
_____________
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆
心角、两条弧、两条弦或两条弦的 弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余的各组量都分别相等。
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
（1）如果AB=CD，那么___________， _____________ ， _________________。
B
C PO
A
D （４）
1、在同圆或等圆中, 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系。
2、定理和推论
课堂检测：
课本39页练习1、2
E
D
C
A
o
B
例题选讲
例1 如图, 在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
圆心角弧弦弦心距关系定理及运用
结论1在同圆或等圆中，如果：①两个圆心角②两条弧③两条弦④两条弦的弦心距中，有任意一组量相等，那么其它各组量都相等。
结论2:称一段弧所对圆心角的度数为弧的度数。
即：圆心角度数=该圆心角所对弧的度数例1如图，已知AB、CD为O O的两条弦，AD二BC，求证AB= CD.A例2如图7-23，点0是/ EPF的平分线上的一点，以0为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D.求证：AB=CD.变式1：变式2:例3如图，已知AB 和CD 是O O 的两条直径，弦CE //AB , EC 的度数为40°求/ BOC 的度数. L 1BMA P NDDE变式：已知：如图，AB和CD是两条直径，弦CE// AB,求证:1例4如图，在。
O中，弦AB所对劣弧为。
O的-，圆的半径为2cm,3例5如图，MN是半径为1的O O的直径，点A在O O上，/ AMN =30° B为AN弧的中点, P是直径MN上一动点，则PA+ PB的最小值为（）（A）2 2 (B) 2 (C)1(D)2OE例6如图，CD与EF为O O的弦，AB与之交于M、N,若AM=BN,/ 仁/2,求证：CD=EF作业：1. 如图，在半径为2cm的O O内有长为_的弦AB,求此弦所对的圆心角二此二的度数及AB上弦心距的长度。
2. 在O O中，弦AB的长恰好等于半径，求弦AB所对的圆心角度数。
3. O O的一条弦长与半径之比是，这条弦将圆周分成的两部分中，求其劣弧的度数：优弧的度数的比值。
4•如图，在O O中，D、E分别为半径OA、OB中点，C为AB中点,C5.如图，AB 是O O直径，AC 二CD,求证：OC// BD. AC 二CD。
-圆心角定理
3.已知AB是⊙O的直径，M、N是AO、BO的中 点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C、D点。 求证：⌒ ⌒ Ｄ AC=BD
Ａ Ｍ o
●
Ｎ Ｃ
Ｂ
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
⌒ ⌒
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵AB=AC
⌒ ⌒
AB=AC, △ABC 等腰三角形．
B
M O A
图1
一般的，n。的圆心角对着n。的弧，n。的弧对 着n。的圆心角，即圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（
）
┐
①
②
┐
③
④
探究
如图， 若∠AOB＝∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ D′ B B D′ B′ B′ D D O
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ （3）如果AB=CD 那么
∠ AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________ 。
⌒
⌒
┏ A′ D′ B′
③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
圆心角、弧、弦心距
圆心角、弧、弦心距
一、圆心角
圆心角是位于圆心的正多边形的角度单位，它是由端点组成的角的量化表示。
圆心角的数量与正多边形的边数有关，比如正六边形的圆心角为60°，正十二边形的圆心角为30°，正二十四边形的圆心角为15°等。
圆心角的单位是度，也可以用弧度（radian）表示。
二、弧
弧是一条曲线，作为圆柱面的切面而成，它是由圆心和曲线前端两个端点构成的圆心角所确定。
弧又称为圆弧；一般当圆半径r恒定时，圆心角$\theta$时，弧长可表示为$L=r\theta$。
三、弦心距
弦心距是指圆弦的两个端点之间的距离，表示为$d$。
由圆心角 $\theta$ 所确定，由圆上两点到圆心的距离之差而定，其公式为：$d=2r \sin \frac{\theta}{2}$。
在正多边形里，圆心角、弧以及弦心距之间存在着对应关系。
圆心角和正多边形的边数有关，圆心角确定弧的长度，又由圆心角以及圆半径来确定弦心距。
圆心角就是控制圆弦长度和弦心距的重要因素，它们三者的关系在图形学中具有重要意义。